CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂNA.. Phương pháp dùng bảng nguyên hàm Bài 1.. Tìm họ các nguyên hàm của y.. Phương pháp đổi biến số... Phép đổi biến khi hàm dưới dấu tíc
Trang 1CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
A Phương pháp dùng bảng nguyên hàm
Bài 1 (ĐH-B-2003) Tính tích phân 4 2
0
1 2sin
1 sin 2
x dx x
π
− +
∫
Bài 2 Tính tích phân 4
2 0
sin 2
4 cos
x dx x
π
−
∫
Bài 3 (ĐH-A-2006) Tính tích phân4
0
sin 2 cos 4sin
x
dx
π
+
∫
Bài 4 Tính tích phân
ln 3
3
x x
e dx
∫
Bài 5 Tính tích phân 2 ( )
3 3
sin cos sin cos
π
π
+
−
∫
Bài 6 Tính tích phân
1 3 2
x dx
∫
Bài 7 Tính tích phân
3
4
sin
os 1 cos
xdx
π
∫
Bài 8 Tính tích phân
1
01 x
dx e
+
∫
Bài 9 (ĐH-D-2005) Tính tích phân 2( )
sin 0
cos cos
x
π
+
∫
Bài 10 Tính tích phân 1 6
0 sin 2 cos3x xdx
π
∫ ; 2
2
3 cos cos5x xdx
π
π
∫
Bài 11 Tính tích phân 1.4 3
0
sin xdx
π
∫ ; 2 3 4
0
cos x
π
∫
Bài 12 Tính tích phân
1
3
xdx
x+
∫
Bài 13 Cho hàm số
2 3
y
=
− +
1 Xác định các hằng số A, B, C để ( 1)2 1 2
y
x
−
2 Tìm họ các nguyên hàm của y
Bài 14
B Phương pháp đổi biến số
Trang 2Bài 1 (ĐH-A-2004) Tính tích phân
2 3
2
dx
∫
Bài 2 Tính tích phân
2
xdx x
∫
Bài 3 Tính tích phân
1
1 3ln ln
e
dx x
+
∫
Bài 4 Tính tích phân 2
0
sin 2 sin
1 3cos
dx x
π
+ +
∫
Bài 5 Tính tích phân
ln 5 2
ln 2 1
x x
e dx
∫
Bài 6 Tính tích phân
3 4
x dx x
∫
Bài 7 Tính tích phân
1
0 2
∫
Bài 8 Tính tích phân
1 2 0
1
∫
Bài 9 Tính tích phân
3 1
3 ln
1 2 ln
x
− +
∫
Loại 2 Đổi biến x = -t
Bài 1 Cho f x là hàm số lẻ trên ( ) [−a a; ] và tồn tại ( ) 0
a
a
f x dx
−
=
∫ Chứng minh rằng
a
a
f x dx
−
=
Bài 2 Cho f x là hàm số chẵn trên ( ) [−a a; ] và tồn tại a ( )
a
f x dx
−∫ Chứng minh rằng
0 2
a
−
=
Bài 3 Tính tích phân
2 6
21 x
x dx e
−∫ +
Bài 4 Tính tính phân:
4
4
dx I
π
−
=
+
∫
Loại 3 Phép đổi biến nếu như biểu thức dưới dấu tích phân có chứa số hạng dạng: 2 2
a −x , với
0
a>
Bài 1 Tính tích phân:
3
2 1
4
−
Trang 3Bài 2 Tính tích phân:
3 2
3 2
3 2
dx x
−∫ −
Bài 3
2
2
2
2
0 1
x dx
x
−
∫
Bài 4 Tính tích phân:
6 2
dx
∫
Loại 4 Phép đổi biến khi hàm dưới dấu tích phân là các biểu thức dạng (a2 +x2)k,a>0 Bài 1 Tính tích phân
2 2
0 4
dx x
+
∫
Bài 2 Tính tích phân
3
3 2 3
3 1
dx x
−∫ +
Bài 3 Tính tích phân
1
4 2
xdx
∫
Bài 4 Tính tích phân
1
dx
∫
Loại 5 Đổi biến khi biểu thức dưới dấu tích phân có chứa hàm số lượng giác.
Bài 1 (ĐH-B-2005) Tính tích phân 2
0
sin 2 cos
1 cos
x
π
+
∫
Bài 2 Tính tích phân 2
0
cos
7 cos 2
xdx x
π
+
∫
Bài 3 Tính tích phân 2 3 5
0 sin xcos xdx
π
∫
Bài 4 Tính tích phân
2
3 sin
dx x
π
π
∫
Bài 5 Tính tích phân 2
01 sin cos
dx
π
∫
Bài 6 Tính tích phân 2 4
0
sin sin cos
xdx
π
+
∫
Bài 7 Tính tích phân: 2
0
sin
1 cos
dx x
π
+
∫
Bài 8 Tính tích phân 2
0 sin cos
π
∫
Trang 4Bài 9 Tính tích phân 4 ( )
0
ln 1 tan x dx
π
+
∫
Bài 10 Tính tích phân:
2
2
sin
1 cos
x
π
π
π
+
∫
Loại 6 Một vài phép đổi biến khác khi lấy tích phân.
Bài 1 (ĐH-B-2006) Tính tích phân
ln 5
ln 3 x 2 x 3
dx
∫
Bài 2 Tính tích phân 1 5( 3)6
0 1
∫
Bài 3 Tính tích phân
2 0
2 2
x dx x
+
−
∫
C Phương pháp tích phân từng phần
Bài 1 (ĐH-D-2004) Tính tích phân 3 ( 2 )
2
ln x −x dx
∫
Bài 2 (ĐH-D-2006) Tính tích phân 1( ) 2
0
1 x
∫
Bài 3 Tính tích phân 3 2
1 ln
e
∫
Bài 4 Tính tích phân 2( )
2 0
sin cos
π
+
∫
Bài 5 Tính tích phân 2
1 3 0
x
x e dx
∫
Bài 6 Tính tích phân 2 2
0 cos3
x
π
∫
Bài 7 Tính tích phân 4
01 cos 2
xdx x
π
+
∫
Bài 8 Tính tích phân
2 2
2
x
x e dx
x+
∫
TÍCH PHÂN VỚI HÀM CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
VÀ MỘT VÀI TÍCH PHÂN TRUY HỒI
Bài 1 (ĐH-D-2003) Tính tích phân
2 2 0
I =∫ x −x dx
Bài 2 Tính tích phân
0
1 sin 2xdx
π
−
∫
Trang 5Bài 3 Tính tích phân 5 ( )
3
−
+ − −
∫
Bài 4 Cho f x( ) =3x3− −x2 4x+1 và g x( ) =2x3+ − −x2 3x 1 Tính tích phân 2 ( ) ( )
1
−
Bài 5 Cho 2
0
sinn n
π
0
cosn n
π
=∫
1
n
−
1
n
−
= với n≥2
2 Áp dụng tính I J 4, 5
Bài 6 Cho
1 0
n x n
I =∫x e dx, với n≥1 là số tự nhiên
1 Chứng minh I n = −e nI n−1
2 Áp dụng tính I 5
Bài 7 Cho tích phân
0
cosn cos
n
π
=∫
Chứng minh rằng 1
1 2
Từ đó hãy tính I 5