Đại số 11 chương 3

đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3đại số 11 chương 3

Biên soạn: Thầy Thanh – sđt: 0983.987.120 CHƯƠNG III: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = • Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) với với số nguyên dương n ≥ p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k ≥ p phải chứng minh mệnh đề với n = k + Baøi 1: Chứng minh với n ∈ N*, ta có: n(n+ 1) a) + + … + n = c)  n(n + 1)  + + + n =    3 b) 12 + 22 + + n2 = n(n+ 1)(2n + 1) d) 1.4+ 2.7+ + n(3n+ 1) = n(n+ 1)2 1 n n(n+ 1)(n + 2) + + + = f) 1.2 2.3 n(n + 1) n + Chứng minh với n ∈ N*, ta có: 1.2+ 2.3+ + n(n+ 1) = e) Baøi 2: a) c) 2n > 2n+ (n ≥ 3) 1+ 1+ 22 + + + + n2 < 2− b) n (n ≥ 2) d) 2n+ 2n− 1 < 2n 2n + 1 1 13 + + + > n+ n+ 2n 24 a) n3 + 11n chia hết cho b) n3 + 3n2 + 5n c) 7.22n− + 32n− chia hết cho d) n3 + 2n chia hết cho e) 32n+ + 2n+ chia hết cho f) (n > 1) chia hết cho 13n − chia hết cho Baøi 4: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh II Dãy số n(n− 3) Dãy số u: ¥ * → ¡ n a u(n) Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … Dãy số tăng, dãy số giảm • (un) dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N* Biên soạn: Thầy Thanh – sđt: 0983.987.120 • (un) dãy số giảm ⇔ un+1 – un > với ∀ n ∈ N* ⇔ ⇔ un+1 < un với ∀n ∈ N* ⇔ un+1 – un< với ∀ n ∈ N* ⇔ un+1 un un+1 Dãy số bị chặn • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃M ∈ R: un ≤ M, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃m ∈ R: un ≥ m, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃m, M ∈ R: m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N* Baøi 1: a) un = un 0) với ∀n ∈ N* (un > 0) Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: 2n2 − b) n2 + n + (− 1)n un = 2n + c) un = f) un = n  1 u = d) e) n − ÷ un = n+ cos2 n   Baøi 2: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: a) >1 u1 = 2, un+ = ( u + 1) n u1 = 0, un+ = b) n− n2 + (n+ 1)! 2n u1 = 15, u2 = 9, un+ = un − un+ c) d) u1 = 1, u2 = − 2, un+ = un+ − 2un un2 + Baøi 3: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un), dự đốn cơng thức số hạng tổng qt un chứng minh cơng thức qui nạp: a) d) u1 = 1, un+ = 2un + u1 = − 1, un+ = 2un + ĐS: a) d) Baøi 4: a) d) b) un = 2n+ − b) u1 = 1, un+ = un + un = n+ c) un = − e) f) un = 7n− Xét tính tăng, giảm dãy số (un) cho bởi: 2n + un = 3n − un = e) u1 = 3, un+ = 1+ un2 b) n2 + n + n2 + e) un = c) u1 = 3, un+ = 2un e) u1 = un = 2n+ + 2n+ c) 4n + un = n+ cos n u n +1 = un = 3.2n− 4n − , f) un = (− 1)n un = n+ 2− n n un + Biên soạn: Thầy Thanh – sđt: 0983.987.120 Baøi 5: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số (un) cho bởi: un = a) un = 2n+ n+ b) un = e) un = n2 + 2n d) + ncộng +1 III Cấpn số Định nghĩa: n(n + 1) c) un = n2 + n f) n2 + 2n + n (un) cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d, ∀n ∈ N* Số hạng tổng quát: un = u1 + (n − 1)d Tính chất số hạng: uk = uk− + uk+ un = (− 1)n cos π 2n (d: công sai) với n ≥ với k ≥ Sn = u1 + u2 + + un = n 2u1 + (n − 1)d n(u1 + un) Tổng n số hạng đầu tiên: = 2 Baøi 1: Trong dãy số (un) đây, dãy số cấp số cộng, cho biết số hạng đầu cơng sai nó: 3n+ a) un = 3n – b) 7− 3n n u = d) e) n un = Bài 2: Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng, biết: un = a)  u1 + u5 − u3 = 10   u1 + u6 = 17 b) u2 + u5 − u3 = 10   u4 + u6 = 26 c) un = n2 f) n un = − c)  u3 = − 15   u14 = 18 u7 − u3 =  u1 + u3 + u5 = − 12  u7 + u15 = 60    2 d) e) f) u2.u7 = 75 uu  u4 + u12 = 1170   2u3 = Baøi 3: a) Giữa số 35 đặt thêm số để cấp số cộng b) Giữa số 67 đặt thêm 20 số để cấp số cộng Bài 4: a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293 b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 22 tổng bình phương chúng 66 Bài 5: a) Ba góc tam giác vng lập thành cấp số cộng Tìm số đo góc b) Số đo góc đa giác lồi có cạnh lập thành cấp số cộng có cơng sai d = 30 Tìm số đo góc c) Số đo góc tứ giác lồi lập thành cấp số cộng góc lớn gấp lần góc nhỏ Tìm số đo góc Bài 6: Chứng minh số a, b, c lập thành cấp số cộng số x, y, z lập thành cấp số cộng, với: a) x = b2 + bc + c2; y = c2 + ca + a2; z = a2 + ab + b2 Biên soạn: Thầy Thanh – sđt: 0983.987.120 b) x = a2 − bc; y = b2 − ca; z = c2 − ab Bài 7: Tìm x để số a, b, c lập thành cấp số cộng, với: a) a = 10− 3x; b = 2x2 + 3; c = 7− 4x b) a = x + 1; b = 3x − 2; c = x2 − Bài 8: Tìm nghiệm số phương trình: , biết nghiệm số phân biệt tạo thành cấp số cộng Baøi 9: Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây, … Hỏi có hàng? IV Cấp số nhân Định nghĩa: (un) cấp số nhân ⇔ un+1 = un.q với n ∈ N* (q: công bội) x − 15x + 71x − 105 = Số hạng tổng quát: un = u1.qn−1 uk2 = uk−1.uk+1 Tính chất số hạng:  Sn = nu1  n  S = u1(1− q )  n 1− q Tổng n số hạng đầu tiên: Bài 1: Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân, biết: a)  u4 − u2 = 72   u5 − u3 = 144 với n ≥ b) với k ≥ với q = với q ≠ u1 − u3 + u5 = 65   u1 + u7 = 325 c)  u3 + u5 = 90   u2 − u6 = 240  u1 + u2 + u3 = 21   u1 + u2 + u3 + u4 = 30  u1 + u2 + u3 = 14 1+ 1+ =  2 2   u u u 12 d) e) f) u1.u2.u3 = 64  + u2 + u3 + u4 = 340  vào2 số3nữa để tạo thành cấp usố Baøi 2: a) Giữa số 160 chèn nhân b) Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân Bài 3: Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216 Bài 4: a) Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết công bội 3, tổng số số hạng 728 số hạng cuối 486 b) Tìm cơng bội cấp số nhân có số hạng đầu 7, số hạng cuối 448 tổng số số hạng 889 Bài 5: a) Tìm góc tứ giác, biết góc lập thành cấp số nhân góc cuối gấp lần góc thứ hai b) Độ dài cạnh ∆ABC lập thành cấp số nhân Chứng minh ∆ABC có hai góc khơng q 600 Bài 6: Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ hai nhỏ số hạng thứ 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560 Baøi 7: Số số hạng cấp số nhân số chẵn Tổng tất số hạng lớn gấp lần tổng số hạng có số lẻ Xác định cơng bội cấp số 148 , đồng thời, Bài 8: Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tổng số hạng đầu theo thứ tự, chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng Baøi 9: Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tăng số thứ hai thêm số tạo thành cấp số cộng, sau tăng số cuối thêm chúng lại lập thành cấp số nhân BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Biên soạn: Thầy Thanh – sđt: 0983.987.120 Bài 1: S = 1.2+ 2.3+ + n(n+ 1) Tính tổng :  u1 =   un+1 = 3un − (u ) Bài 2: Dãy số xác định công thức: n Chứng minh dãy số tăng phương pháp quy nạp Bài 3: u1 = (u n ) xác định bởi: Cho dãy số a) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với b) Chứng minh dãy số Bài 4: với n ≥ un + với u n = n+ + u n+1 = n ≥ ta có n ≥ (u n ) dãy giảm bị chặn Xét tính tăng, giảm dãy số (un ) với: a) un = 2− n b) 3n n + un = 4n Bài 5: Cho dãy số (un) xác định u1 =2 với Bài 6: nhận xét dãy số ? nCấp ≥ sốCócộng: un+1 = un + với n ≥ Chứng minh u = n a) Tìm nghiệm phương trình: Biết nghiệm tạo thành cấp số cộng b) Cho cấp số cộng biết tổng ba số hạng –6 tổng bình phương chúng 30 Hãy tìm cấp số cộng x –15x + 71x –105 = c) Cho phương trình x4 – (3m+ thành cấp số cộng d) Cho số a, b, c thoả mãn 4)x2 + (m+ 1)2 = Định m dể phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập 1 , , a+ b a+ c b+ c tạo thành cấp số cộng Chứng minh 2 tạo thành cấp số cộng a ,b,c e) Nếu số thứ p, thứ q thứ r cấp số cộng a, b, c Chứng minh rằng: (q – r)a + (r – p)b+ (p– q)c = f) Cho biết tổng n số hạng cấp số cộng Sn = n(5n – 3) Tìm số hạng thứ p cấp số cộng u11 v11 g) Cho hai cấp số cộng có tổng n số hạng Sn = 7n+ Tn = 4n+ Tìm tỉ số số hạng thứ 11 hai cấp số Bài 7: Cấp số nhân: a) Tìm số hạng đầu công sai cấp số nhân, biết số hạng thứ hai 16 tổng ba số hạng đầu 56 Biên soạn: Thầy Thanh – sđt: 0983.987.120 b) Một cấp số nhân cấp số nhân (un ) có số hạng, biết cơng bội q= u1 + u4 = 24 Tìm số hạng ... u1.u2.u3 = 64  + u2 + u3 + u4 = 34 0  vào2 s 3 nữa để tạo thành cấp usố Baøi 2: a) Giữa số 160 chèn nhân b) Giữa số 2 43 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân Baøi 3: Tìm số hạng liên tiếp cấp số. .. – 3) Tìm số hạng thứ p cấp số cộng u11 v11 g) Cho hai cấp số cộng có tổng n số hạng Sn = 7n+ Tn = 4n+ Tìm tỉ số số hạng thứ 11 hai cấp số Bài 7: Cấp số nhân: a) Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số. .. thứ 35 , số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560 Baøi 7: Số số hạng cấp số nhân số chẵn Tổng tất số hạng lớn gấp lần tổng số hạng có số lẻ Xác định cơng bội cấp số 148 , đồng thời, Bài 8: Tìm số