Một số biện pháp nhằm rèn kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp Phn th nht T VN I/ L DO CHN TI L hc sinh tip cn vi mụn toỏn thỡ tt yu phi hỡnh thnh mt k nng gii toỏn i vi mt kin thc nht nh Cú c k nng gii toỏn ngha l ó khng nh c mỡnh dng lý thuyt vo bi mt cỏch cú t duy, sỏng to i vi chng trỡnh toỏn c vit SGK thỡ lng kin thc khụng nhiu nhng bi ỏp dng i vi mi kin thc thỡ khỏ phong phỳ v a dng ú cú dng toỏn chia ht Thc t cho thy,dng toỏn chia ht c bt gp xuyờn sut chng trỡnh toỏn THCS Chớnh vỡ th l mt giỏo viờn chỳng ta cn rốn cho cỏc em k nng gii dng toỏn ny kin thc cũn l nn tng ú l dng toỏn chia ht chng trỡnh toỏn Trong quỏ trỡnh ging dy tụi nhn thy hc sinh mỡnh cũn rt yu dng toỏn ny thm khụng bit gii v nu bit gii thỡ s lp lun cha cht ch Nu lp cỏc em khụng lm quen vi lp lun cht ch thỡ lờn lp trờn cỏc em cm thy kin thc ch l ỏp t,t ú khụng to s tũ mũ, hng thỳ i vi mụn hc Vỡ vy chỳng ta cn cú gii phỏp lõu di rốn cỏc em bit gii toỏn t nhng phộp bin i c bn Cú nh th toỏn hc mi thc s lụi cun cỏc em vo dũng say mờ chim lnh tri thc, hn na toỏn li l mụn ch o Chớnh vỡ l ú tụi ó nghiờn cu ti Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp II/ I TNG NGHIấN CU Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp III/ PHM VI NGHIấN CU: Khụng gian: Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp c th dnh cho i tng l lp 6A1 1/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp Thi gian: chia lm giai on Giai on 1: Nghiờn cu bi lm cng nh kt qu qua kho sỏt cht lng u nm Giai on 2: a bin phỏp rốn k nng gii toỏn chia ht qua kt qu kho sỏt gia hc kỡ Giai on 3: p dng ti sau hc v chun b thi hc kỡ cho n IV/ PHNG PHP NGHIấN CU: - c ti liu SGK, ti liu mng - m thoi trc tip - Nghiờn cu v tng kt kinh nghim giỏo dc - Nghiờn cu sn phm hot ng s phm 2/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp Phn th hai NI DUNG I/ C S Lí LUN Chỳng ta ang dy hc theo s i mi l dy hc theo chun kin thc k nng , vỡ th nhng gỡ gi l chun l c bn nht cn phi nm vng Rốn k nng gii toỏn chia ht cng l chun m hc sinh cn phi nm H thng bi th hin dng toỏn chia ht cú vai trũ quan trng l nú giỳp cho hc sinh phỏt trin kh nng t duy, kh nng võn dng kin thc mt cỏch linh hot vo gii toỏn, trỡnh by li gii chớnh xỏc v logic ú cng l nhng k nng cn thit ca hc sinh cũn ngụi trờn gh nh trng Cú nh th mi phự hp vi s ci tin dy hc l phỏt huy ht tớnh tớch cc, t sỏng to ca hc sinh trng hc II/ C S THC TIN Trong quỏ trỡnh ging dy tụi thy a phn hc sinh cha cú k nng gii toỏn chia ht vỡ cỏc em cha bit bi toỏn ú cn ỏp dng phng phỏp no gii cho kt qu ỳng nht, nhanh nht v n gin nht Vỡ vy nõng cao k nng gii toỏn chia ht thỡ cỏc em phi nm c cỏc dng toỏn, cỏc phng phỏp gi, cỏc kin thc c bn c c th hoỏ tng bi, tng chng Cú th núi rng dng toỏn chia ht luụn l dng toỏn khú i vi hc sinh v khụng ớt hc sinh cm thy s hc dng toỏn ny L mt giỏo viờn dy toỏn tụi mong cỏc em chinh phc c nú v khụng chỳt ngn ngi gp dng toỏn ny Nhm giỳp cỏc em phỏt trin t suy lun v úc phỏn oỏn, k nng trỡnh by linh hot H thng bi tụi a t d n khú, bờn cnh ú cũn cú nhng bi nõng cao dnh cho hc sinh gii c lng vo cỏc tit luyn Lng bi cng tng i nhiu nờn cỏc em cú th t hc, t chim lnh tri thc thụng qua h thng bi ỏp dng ny, iu ú giỳp cỏc em hng thỳ hc hn rt nhiu 3/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp Hin ti, hc sinh lp 6A1 tụi ang dy nm cũn rt khú khn i vi dng toỏn chia ht, cỏc em cm thy l v rt ngi lm dng toỏn ny vỡ ngh nú rt khú Vỡ th, thit yu phi rốn k nng gii toỏn chia ht lp lm hnh trang kin thc vng chc cho cỏc em gp li dng toỏn ny cỏc lp trờn III/ NI DUNG VN 1.Vn t ra: H thng húa lý thuyt chia ht v bi dng tng ng, t dng c bn nht n tng i v khú hn Trong quỏ trỡnh gii nhiu dng bi l ó hỡnh thnh khc sõu cho cỏc em k nng gii cỏc dng toỏn chia ht.Giỏo viờn nờu cỏc du hiu chia ht hay l cỏc phng phỏp chng minh chia ht SGK ,ngoi b sung thờm mt s phng phỏp cn thit nht dng vo nhiu dng bi khỏc Gii quyt 2.1 Lí THUYT: a) Tớnh cht chia ht ca mt tng, mt hiu, mụt tớch -Nu a Mm v bMm thỡ a + b Mm , a b Mm , a.b Mm - Nu a Mm thỡ a n Mm(n N ) - Nu a Mm v bMn thỡ a.bMm.n c bit a Mb thỡ a n Mb n b) SKG toỏn gii thiu du hiu chia ht cho 2, 3, 5, õy giỏo viờn cn b sung thờm du hiu chia ht cho 4, 6, 8, 25 v 125 Mc ớch a thờm cỏc du hiu l dng vo bi hc sinh khụng b lỳng tỳng c lờn cỏc lp trờn (7, 8, 9) Chia ht cho Du hiu S cú ch s tn cựng l ch s chn 4/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp 4(hoc 25) 8(hoc 125) 10 11 S cú tng cỏc ch s chia ht cho S chia ht cho 4(hoc 25) hai ch s tn cựng lp thnh mt s chia ht cho 4(hoc 25) S cú ch s tn cựng l hoc L s ng thi chia ht cho v S chia ht cho 8(hoc 125) ba ch s tn cựng lp thnh mt s chia ht cho 8(hoc 125) S cú tng cỏc ch s chia ht cho S cú ch s tn cựng l S chia ht cho 11 hiu gia tng cỏc ch s ca nú ng v trớ l v tng cỏc ch s ng v trớ chn(k t trỏi sang phi) chia ht cho 11 c) Nguyờn tc irichlờ: Ngay t lp giỏo viờn cng cú th gii thiu s lc v nguyờn tc irichlờ cú ni dung c phỏt biu di dng mt bi toỏn: Nu nht n th vo m lng (m> n) thỡ ớt nht cú mt lng nht khụng ớt hn hai th d) Phng phỏp chng minh quy np: Mun khng nh An ỳng vi mi n= 1,2,3, ta chng minh nh sau: - khng nh A1 ỳng - Gi s Ak ỳng vi mi k>=1 ta cng suy khng nh Ak+1 ỳng - Kt lun An ỳng vi mi n=1,2,3 Thc ra, dy bi ỏp dng phng phỏp ny giỏo viờn khụng cn phi núi cu k, tru tng khú hiu, m ch cn i xột tng trng hp cho hc sinh d hiu ch khụng nht thit phi dựng t ta ỏp dng phng phỏp chng minh quy np e) Phng phỏp chng minh phn chng: Mun chng minh khng nh P ỳng cú bc: - Gi s P sai 5/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp - Nh tớnh cht ó bit t gi s sai suy iu vụ lớ - Vy iu gi s l sai , chng t P ỳng f) chng minh a chia ht cho b ta biu din b = m.n Nu (m,n) = thỡ tỡm cỏch chng minh a chia ht cho m, a chia ht cho n ú a chia ht cho m.n hay a chia ht cho b Nu (m,n) khỏc thỡ ta biu din a = a 1.a2 ri chng minh a1 chia ht cho m, a2 chia ht cho n hoc ngc li ú a1.a2 chia ht cho m.n hay a chia ht cho b 2.2 CC DNG TON: Trong phn ny tụi s a cỏc dng toỏn t c bn nht n m rng hn, Cú nh th chỳng ta mi cú th rốn v hỡnh thng k nng gii toỏn chia ht cho cỏc em mt cỏch cú nn tng a) Dng 1: Dng toỏn in vo * c s chia ht cho mt s Bi toỏn 1: in vo * s 35* a) chia ht cho b) chia ht cho c) chia ht cho c v õy l dng toỏn ht sc c bn gp dng toỏn ny thỡ ng nhiờn giỏo viờn phi cho hc sinh tỏi hin li du hiu chia ht cho 2, cho v s nh th no chia ht cho c v a) 35*M2 * {0; 2; 4;6;8} b) 35*M2 * { 0;5} c) 35*M2 v * { 0} Bi toỏn 2: in vo * a) 3*5M b) * 2M 6/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp Tng t nh bi toỏn hc sinh cú th dng trc tip du hiu chia ht cho v cho lm a) 3*5M + *M * { 1;4;7} b) * 2M + * + 2M + *M * { 0;9} b) Dng 2: Tỡm cỏc ch s cha bit ca mt s: Bi toỏn 3: Tỡm ch s a, b cho a 63b chia ht cho ng thi 2,3,5,9 Lp lun: u tiờn phi cp n chia ht cho v vỡ nú liờn quan n ch s tn cựng Sau ú, ó cú ch s tn cựng, ta xột tng cỏc ch s vỡ nú liờn quan n chia ht cho õy ta khụng cn quan tõm n chia ht cho 3, vỡ s chia ht cho thỡ ng nhiờn chia ht cho a63bM2,5 b = a630M 3,9 a + + + 0M + aM aM a { 0;9} a=9 (Vỡ a l ch s hng nghỡn nờn s khụng cú ngha) Vy a= 9; b= thỡ a63b chia ht cho ng thi 2,3,5,9 Bi toỏn 4: Tỡm ch s a, b cho 87abM v a b = Lp lun 87 abM + + a + bM 15 + a + b a + b { 3;12} 7/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp M iu kin a b = nờn ta loi a + b = T a b = v a + b = 12 ta tỡm c a = 8; b = Bi toỏn 5: cho s 76a 23 a) Tỡm a 76a 23M b) Trong cỏc s va tỡm c ca a cú giỏ tr no lm cho s 76a 23M 11 khụng ? Hng dn a) Tớnh tng cỏc ch s ca 76a 23 ta c a + 18M ú a { 0;9} b) vi a = thỡ s 76023 cú (7 + + 3) (6 + ) = M11 Tng t vi a = ta cú (7 + + 3) ( + 2) = 11 M11 Vy a= thỡ 76a 23M11 Bi toỏn 6: Tỡm a, b cho b851a chia ht v Hng dn Lp lun chia ht cho trc ta c a = v a = + Thay a = vo b851a ta c b8512 Xột tip du hiu chia ht cho bng cỏch tớnh tng cỏc ch s b851aM b + + + + 2M b + 16M b { 2;5;8} Lp lun tng t vi a = ta c b { 1; 4;7} Bi toỏn 7: Thay cỏc ch s x, y bng ch s thớch hp cho a) S 275x chia ht cho 5, cho 25, cho 125 8/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp b) S xy chia ht cho 2, cho 4, cho Hng dn b) xy 4M2 x, y { 0;1;2;3; ;9} vỡ ch s tn cựng l s chn x { 0;1;2 ;9} xy 4M4 y { 0;2;4;6;8} x { 0;2;4;6;8} xy 4M y { 2;6} Hoc x { 1;3;5;7;9} y { 0;4;8} Bi toỏn 8:Tỡm cỏc ch s a v b cho 19ab chia ht cho v tỡm c a v b ta phi thy c hai du hiu c bn ú l s ú chia ht cho v Vỡ 19ab chia ht cho nờn b=0 hoc b=5 v 19ab chia ht cho nờn suy b=0 Mt khỏc , 19a0 chia ht cho nờn 19a0 chia ht cho a0 chia ht cho suy a {0;2;4;6;8} Ta cú 19a0 chia ht cho 9a0 chia ht cho nờn a=2 hoc a=6 Vy nu a=2 thỡ b=0 v nu a=6 thỡ b=0 nờn s cn tỡm l 1920 v 1960 Bỏi toỏn 9: Ch s a l bao nhiờu aaaaa96 chia ht cho c v vỡ aaaaa96 a96 100a + 96 suy 100a vy a l s chn a { 2, 4, 6, 8} (1) vỡ aaaaa96 (a + a + a + a + a + + ) 5a + 15 m 15 5a m (5, 3) = Suy a vy a { 3, ,9} (2) T (1) v (2 ) suy a = KL: Vy s phi tỡm l 6666696 Bi toỏn 10: Tỡm ch s a 1aaa1 11 9/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp HD: tng cỏc ch s hng l l + a Tng cỏc ch s hng ch l 2a * Nu 2a a + a thỡ 2a (a + 2) = a -2 = m (a - 2) 11 nờn a - = a = * Nu 2a a + a < thỡ (a + 2) - 2a = - a m hoc l khụng chia ht cho 11.Vy a=2 Bi toỏn 11:Tỡm x x1994M3 chia ht cho nhng khụng chia ht cho Hng dn x1994M3 x + 23M3 Vỡ x nờn 24 x + 23 32 T ú ta c x = 24; x = 30 c) Dng 3: Chng minh chia ht i vi biu thc s Bi toỏn 12: Tng (hiu) sau cú chia ht cho khụng? a) 1251+5316 b) 5436-1234 c) 1.2.3.4.5.6 + 27 Hng dn: da vo du hiu chia ht cho lp lun Bi toỏn 13: Cho M = 7.9.11.13 + 2.3.4.7 N = 16 354 + 675 41 Chng t rng: M chia ht cho N chia ht cho Ta cú: 7.9.11.13 M3( vỡ 9M3 ) 2.3.4.7 M3 (vỡ M3) 7.9.11.13 + 2.3.4.7 M Vy M chia ht cho 10/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp Ta cú giỏ tr ca tng 16 354 + 67 541 cú ch s tn cựng l nờn chia ht cho Vy N chia ht cho Bi toỏn 14: Cho A= 2.4.6.8.10 + 40 Chng t rng: a) A chia ht cho b) A chia ht cho Hng dn a) Da vo tớnh cht chia ht ca mt tng ta lp lun 2.4.6.8.10 M8 ( vỡ tớch cú cha tha s 8) 40M 2.4.6.8.10 + 40M8 Vy A chia ht cho b) Tng t 2.4.6.8.10M5 ( vỡ 10 chia ht cho 5) 40M5 2.4.6.8.10 + 40M5 Bi toỏn 15: Chng minh rng 995 984 + 973 962 M2 v Hng dn: Theo bi ta suy ch s tn cựng (CSTC) ca tng ly tha bi 995 984 + 973 962 =9 - +3 = Biu thc ó cho cú giỏ tr cha CSTC l nờn chia ht cho v Vy 995 984 + 973 962 M2 v d) Dng 4: Chng minh tng, tớch cỏc s liờn t nhiờn liờn tip chia ht cho mt s lm dng toỏn ny ta ỏp dng phng phỏp chng minh quy np Tuy nhiờn, dy lp ta khụng cn phi núi khú hiu m ch dy cho cỏc em xột cỏc trng hp bng mnh : Nuthỡ Mt khỏc nu lp cỏc em c lm dng bi ny thỡ rt thun tin cỏc em lm dng toỏn 11/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp chia ht cỏc lp trờn Nu khụng, cỏc em s cm thy kin thc chia ht rt l, rt xa vi lờn lp 7,8,9 gp bi toỏn m s dng kin thc ỏng lớ phi c chng minh lp Bi toỏn 16: Chng t rng tớch hai s t nhiờn liờn tip chia ht cho Gv cn gi m rng: õy ta chng minh bi toỏn trờn ỳng vi mi cp giỏ tr liờn tip N, ch khụng phi ch cn ch mt hoc hai cp giỏ tr l m phi i chng minh ỳng di dng tng quỏt Gi hai s t nhiờn liờn tip l: a, a+1 Nu a M2 thỡ bi toỏn ó c gii Nu a M2 thỡ a chia d Ta cú a= 2k + a + = 2k + + = 2k + M2 Vy hai s t nhiờn liờn tip bao gi cng cú mt s chia ht cho 2.Cho nờn tớch hai s t nhiờn liờn tip chia ht cho Bi toỏn 17: Chng minh tớch ba s t nhiờn liờn tip chia ht cho Gi ba s t nhiờn liờn tip l a, a+1, a+2 Nu a M3 thỡ bi toỏn ó c gii Nu a = 3k+1(ngha l a chia d 1) thỡ lỳc ú Ta cú a+2= 3k+1+2 = 3k+3 M3 Nu a= 3k+2 (ngha l a chia d 2) thỡ lỳc ú Ta cú a+1= 3k+2+1 = 3k+3 M3 Vy ba s t nhiờn liờn tip bao gi cng cú mt s chia ht cho Cho nờn tớch ba s t nhiờn liờn tip chia ht cho 12/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp Bi toỏn 18: Chng minh rng tng ba s t nhiờn liờn tip l mt s chia ht cho nhng tng ca bn s t nhiờn liờn tip thỡ khụng chia ht cho Gi ba s t nhiờn liờn tip n, n+1, n+2 Tng ca chỳng l: n + n+1 + n+2 = 3n +3 M3 Vy tng ba s t nhiờn liờn tip l mt s chia ht cho Tng t tng ca bn s t nhiờn liờn tip l: 4n + M4(vỡ M4) Vy tng ca bn s t nhiờn liờn tip khụng chia ht cho Bi toỏn 19: Chng minh rng tớch hai s chn liờn tip chia ht cho Gi hai s chn liờn tip l 2n, 2n+2 (n N) Tớch 2n.(2n+2) = 2.n.2.(n+1) = 4.n.(n+1) Ta cú n.(n+1) l tớch hai s t nhiờn liờn tip nờn chia ht cho 2( theo bi toỏn 16) Vỡ th 4.n.(n+1) M8 Vy tớch hai s chn liờn tip chia ht cho Bi toỏn 20: Chng minh rng tớch ba s chn liờn tip chia ht cho 48 Gi ba s chn liờn tip l 2n, 2n +2, 2n +4 ((n N) Tớch 2n.(2n+2).(2n+4) = 2.n.2(n+1).2(n+2) = 8.n.(n+1).(n+2) Ta cú n.(n+1) l tớch hai s t nhiờn liờn tip nờn chia ht cho 2( theo bi toỏn 16) Ta cú n.(n+1).(n+2) l tớch ba s t nhiờn liờn tip nờn chia ht cho 3(theo bi toỏn 17) M (2,3) = nờn n.(n+1).(n+2) chia ht cho Vỡ th 8.n.(n+1).(n+2) M48 Vy tớch ba s chn liờn tip chia ht cho 48 13/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp e) Dng 5: Dng toỏn dng nguyờn lớ irichlờ i vi dng toỏn dng nguyờn lớ irichlờ giỏo viờn khụng i sõu m ch gii thiờu cho hc sinh bit v bi ỏp dng dng suy lun d hiu Bi toỏn 21: Cho ba s l chng minh rng tn ti hai s cú tng hoc hiu chia ht cho Mt s l chia cho thỡ s d ch cú th l mt bn s sau: 1;3;5;7 ta chia s d ny ( th) thnh nhúm (2 lng) Nhúm 1: d hoc d Nhúm 2: d hoc d Cú s l (3 th) m ch cú hai nhúm s d nờn tn ti hai s thuc cựng mt nhúm - Nu s d bng thỡ hiu ca chỳng chia ht cho - Nu s d khỏc thỡ tng ca chỳng chi ht cho Bi tng t: Cho ba s nguyờn t ln hn 3.Chng minh rng tn ti hai s cú tng hoc hiu chia ht cho 12 Hng dn: Mt s nguyờn t ln hn chia cho 12 thỡ s d ch cú th l s 1; 5; 7; 11 Chia lm hai nhúm: Nhúm 1: d hoc d 11 Nhúm 2: d hoc d Gii tip nh bi toỏn 18 f) Dng 6: Tỡm iu kin mt biu thc chia ht cho mt s, chia ht cho mt biu thc Bi toỏn 22: Chng minh rng Nu a Mm, b Mm, a+b+c Mm thỡ c Mm Ta s dng phng phỏp chng minh phn chng Gi s c Mm 14/21 Mt s bin phỏp nhm rốn k nng gii toỏn chia ht cho hc sinh lp Ta cú a Mm, bMm nờn a + b + c Mm (tớnh cht sgk toỏn tr 35) iu ny trỏi vi bi a + b + c Mm Vy iu gi s sai.Suy c Mm i vi bi ny, dy giỏo viờn khụng nht thit khc sõu phn chng minh Yờu cu hc sinh ch cn dng kin thc ó c chng minh vo bi c th no ú l c Bi toỏn 23: Tỡm n N : a) n+4 Mn b) 3n + Mn c) 27- 5n Mn Gii: n + 4Mn a) nMn Vy n { 1; 2; 4} 3n + 7Mn b) 3nMn Vy n { 1;7} 27 5nMn c) 5nMn Mn ( theo bi toỏn 22) Mn 27 Mn Vy n { 1;3;9;27} nhng 5n < 27 hay n