Chương 3

Bài toán đòn 3.1.1.Định nghĩa Đòn là vật rắn có thể quay quanh một trục cố định, chịu tác dụng của các lực nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay.. 3.1.2.Điều kiện cân bằng - Khi h

Chương 3 CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC VẬT RẮN 3.1 Bài toán đòn

3.1.1.Định nghĩa

Đòn là vật rắn có thể quay quanh một trục cố định,

chịu tác dụng của các lực nằm trong mặt phẳng vuông góc với

trục quay

3.1.2.Điều kiện cân bằng

- Khi hệ lực tác dụng lên đòn thì ổ trục O có phản lực

liên kết R cũng nằm trong mặt phẳng với hệ lực o

- Điều kiện để đòn cân bằng là: ( ,F F F F Ruur uur uur uur uur1 2, ,3 n O)

∼ 0 Gọi ( ,F F F Fuur uur uur uur1 2, )3 n

∼ R

⇒ ( R , R ) o ∼ 0 ⇒m o (R)= - m o(R o) = 0 (3.1) ( m o(R o) = 0 vì R đi qua O) o

Mặt khác theo định lý Varinhông: m o (R)= ∑ m o(F i) (3.2)

Từ (3.1) và (3.2) ⇒∑ m o(F i) = 0 (3.3) (Trong đó O là giao điểm giữa trục quay với mặt phẳng chứa các lực F ) i

Vậy: Điều kiện cần và đủ để đòn cân bằng là tổng đại số mô men của các lực tác dụng lên đòn đối với điểm O ( là giao điểm giữa trục quay với mặt phẳng chứa các lực đó) phải bằng 0.

3.2 Bài toán vật lật

3.2.1 Khái niệm

Vật lật là vật chịu tác dụng của hệ lực bất kỳ và liên kết với mặt cố định tại một số vị trí nào đó

3.2.2.Bài toán cân bằng về vật lật

Ta xét một vật chịu liên kết bản lề với mặt cố định tại hai điểm A, B Vật chịu tác dụng của hệ lực (F ,1 F ,2 F …3 F ) Vật có khả năng bị lật đổ quanh trục đi qua điểm A n

hoặc lật đổ quanh trục đi qua điểm B Ta phải tìm điều kiện để vật được ổn định, không bị lật đổ

Gọi phản lực liên kết tại A, B là R , A R B

- Điều kiện để vật cân bằng là: (F ,1 F ,2 F …3 F , n R , A R ) B ∼ 0

Để vật được ổn định, các lực chủ động đồng thời không được làm vật lật quanh

A và B

- Xét vật có thể lật quanh trục đi qua A:

Ta chia các lực tác dụng lên vật ra hai loại:

+ Lực lật: là các lực có tác dụng làm vật lật quanh A

+ Lực giữ: là các lực có tác dụng giữ cho vật không bị lật quanh A

Gọi tổng trị số mô men của các lực lật đối với điểm A là mô men lật (Ml)

Ml = ∑m A(F k l )

Tổng mô men đối với điểm A của các lực giữ là mô men giữ (Mg)

Mg = ∑m A F gi k

Điều kiện cân bằng của vật lật đối với điểm A là: Mgiữ ≥ Mlật

l

M k M

k: là hệ số ổn định của vật đối với điểm A

k= 1: vật ở trạng thái ổn định giới hạn

Điều kiện để vật không bị lật quanh điểm nào đó là hệ số ổn định của vật đối với điểm đó phải lớn hơn một.

Trong trường hợp vật có khả năng lật quanh nhiều điểm khác nhau thì điều kiện (3.5) phải thoã mãn đối với tất cả các điểm

3.2.3.Ví dụ

Một ụ đất tựa vào bức tường đá thẳng đứng AB Giả

thiết áp lực của đất lên tường hướng nằm ngang đặt tại 1/3 chiều cao

của nó và bằng 60 kN/m (trên một mét chiều dài tường) Trọng lượng

riêng của tường đá bằng 20 kN/m3 Tìm bề dày cần thiết của tường

Giải:

Xét sự cân bằng của tường đá (Vẽ tiết diện giữa tường)

Gọi áp lực của đất lên tường là : P =60.l

Gọi Q là toàn bộ trọng lượng tường đá: Q=20.a.h.l

Khi tường bị lật quay quanh A thì lúc đó N = 0

Lực gây lật là P

Mô men lật là: Ml =

3

1 h.P = 3

1 h.60.l =20h.l

Lực giữ là Q

Mô men giữ là: Mg = Q

2

a

= 20.a.h.l

2

a

= 10.a2.h.l

Để vật cân bằng thì Mg ≥ Ml hay 10.a2.h.l ≥ 20h.l ⇒ a ≥ 2 =1,41 (m)

Ví dụ 2:

Chiếc cẩu tháp đặt trên 2 đường ray có khoảng cách a, cẩu vật A trọng lượng P có thể chuyển động đều dọc theo cần với, có chiều dài l Trong lực Gcủa cần cẩu (không kể đối trọng B) có đường tác dụng cách đường ray I đoạn c Tìm giá trị nhỏ nhất của trọng lượng Q của đối trọng B và giá trị lớn nhất của khoảng cách x từ đường tác dụng của trọng lực Qur đến đường ray H, sao cho cẩu tháp được ổn định với mọi vị trí của A và khi cẩu không làm việc

Bài giải:

Cẩu tháp có thể bị lật quanh I hoặc quanh H

- Tìm điều kiện để cẩu không bị lật đổ quanh ray I, ngay cả khi vật A ở vị trí xa nhất trên cần với, ta được:

Mg = Q(a+x)

Ml = Pl + Gc

Điều kiện để cẩu không lật quanh I là:

kI= Q a x( )

Pl Gc

+

Q(a+x) ≥ Pl + Gc

x ≥ Pl+Gc Q −Qa

- Tìm điều kiện để cẩu không lật quanh

ray H, ngay cả trong trường hợp không

cẩu vật nặng A, lúc đó chỉ có 2 lực chủ

động là Gvà Q, ta được:

Mg= G(c+a); Ml= Qx

Điều kiện để cẩu không lật quanh H là:

kH=G c a(Qx+ )

≥ 1 G(c+a)≥ Qx

x ≤ G(c Q+a)

Vậy khoảng cách x phải thỏa mãn bất đẳng thức :

Pl+Gc Q −Qa

≤ x ≤ G(c Q+a)

Để bất đẳng thức trên có nghĩa, các tham số phải thỏa mãn điều kiện:

P

A

Q

B G

l

c

a

x

Pl + Gc – Qa ≤ G(c+a)

Q≥

a

Ga

Pl−

Vậy giá trị nhỏ nhất của trọng lượng của đối trọng B là:

Qmin=

a

Ga

Pl−

và giá trị lớn nhất của x bằng :

xmax=

min

) (

Q

a c

G +

=

Ga Pl

a c a G

−

+ ) (

3.3 Bài toán cân bằng hệ vật

Là bài toán xét cân bằng của hệ gồm nhiều vật được nối với nhau bằng các liên kết

Ví dụ: Hệ khung 3 khớp (hình 3-1), hệ dầm (hình 3-2), hệ dàn (hình 3-3)

3.3.1 Liên kết trong và liên kết ngoài

- Liên kết ngoài là liên kết do các vật ngoài hệ tác dụng lên các vật thuộc hệ (ngoại lực)

- Liên kết trong là liên kết do các vật thuộc hệ khảo sát gây ra (nội lực)

Nội lực ở hai vật liên kết với nhau bao giờ cũng cùng phương, ngược chiều, cùng trị

số (theo tiên đề 4)

3.3.2 Phương pháp giải

a Phương pháp hóa rắn

- Hóa rắn cả hệ (xem toàn bộ hệ như một vật), giải phóng các liên kết ngoài bằng các

phản lực liên kết tương ứng

- Viết các phương trình cân bằng cho vật

- Giải các phương trình cân bằng

b Phương pháp tách vật

- Tách riêng từng vật của hệ bằng cách thay các liên kết bằng các phản lực liên kết tương ứng

- Viết các phương trình cân bằng cho từng vật

- Giải các phương trình cân bằng để tìm các yếu tố chưa biết

Trong thực tế ta thường kết hợp vừa hoá rắn, vừa tách vật để giải bài toán gọi là phương pháp hỗn hợp

Ví dụ 1:

Cho kết cấu gồm hai thanh ABC và CD được cân bằng dưới tác dụng của các lực như hình

vẽ Biết các giá trị:

F1= 10kN; F2=12kN; M = 25kNm; q = 2kN/m; α =60o.

Các kích thước cho trên hình vẽ đo bằng mét, bỏ qua trọng lượng hai thanh Tìm phản lực liên kết tại A, C, D

F 2

F 1

α B

A

C

D M

Bài giải:

Ta giải bài toán này theo phương pháp hóa rắn

- Hệ gồm hai thanh ABC và CD Hóa rắn hai vật đó, ta được một vật vân bằng dưới tác dụng của các lực đã cho F ,1 F ,Q , ngẫu lực có mômen M và các lực liên kết 2 X , A Y , A X , O Y có O

chiều giả thiết (phản lực liên kết trong tại C không còn nữa) Chọn hệ trục tọa độ như hình

vẽ, thành lập ba phương trình cân bằng cân bằng cho cả hệ:

F2

F1

2

A

C

D M

XA

YA

XD

YD

Q

x y

∑X =X A- F1cosα + XD+ Q = 0,

∑Y =Y A- F1sinα - F2+ YD= 0,

∑m = -2Q + 4F A 1cosα + 3F1sinα - M – 5F2+7YD= 0

Trong đó Q = 4q

- Giải phóng liên kết cho thanh CD, lúc này phản lực liên kết

tại C xuất hiện

Lập phương trình cân bằng cho thanh CD, ta được:

∑X = X C+XD = 0,

∑Y = Y C+YD - F2 = 0,

∑m = 2F D 2- M – 4XC- 4YC= 0

Thay các giá trị của lực đã cho vào hệ 6 phương trình

trên, giải ra được 6 ẩn số :

XA = - 3,39kN; XC=- 4,39kN; XD=4,39kN;

YA = 11,8kN; YC= 4,14kN; YD= 7,86kN

Ví dụ 2:

F2

D

M

YD

YC

XD

XC

x y

C

Cho hệ gồm ba thanh AB, BC, CD được cân bằng dưới tác dụng của các lực như hình

vẽ Cho biết: F1=20kN; F2=15kN; M = 40kNm; q = 1,6kN/m Bỏ qua trọng lượng của các thanh Các kích thước cho trên hình đo bằng bằng mét Tìm phản lực tại A, B, C, D

2

F 1

D M

q

C B

F 2

A

60

4

Bài giải:

Ta giải bài toán bằng phương pháp tách vật Các phản lực liên kết tại ngàm A và các bản lề B, C, D được giả thiết có chiều như hình vẽ Chọn hệ trục tọa độ Oxy, lập phương trình cân bằng cho từng vật ,với : Q = 2q, XB= X’B, YB =Y’B, XC=X’C, YC=Y’C

F 1

D M

q

C B

F 2

A

60

2

4 1

X A

Y A

Q

M A

X B

Y B

1 B

Y' B

X D

Y C

Y' C

Y D

C

x y

Phương trình cân bằng của thanh vuông AB:

∑X = XA+Q - XB= 0

∑Y= YA- F1 -YB = 0

∑m A= MA- 2F1- Q+ 2XB- 4YB= 0

Phương trình cân bằng của thanh BC:

∑X = XB - F2cos 60o- XC= 0 ,

∑Y = YB - F2sin 60o + YC= 0,

∑m B= - 2 F2sin 60o+4YC= 0

Phương trình cân bằng của thanh CD:

∑X =X C +X D=0,

∑Y =−Y C +Y D =0

0 4

+

=

∑m C M Y D X D

Giai hệ 9 phương trình trên, ta tìm được 9 ẩn số:

XA= 17,6kN; YA= 16,5 kN; MA= 7,6kN;

XB= 20,7kN; YB =6,5kN; XC=13,3kN;

YC=6,5kN; XD = -13,3kN; YD= 6,5kN;

Ví dụ 3:

Dầm đồng chất AB có trọng lượng P và chiều dài l, đầu

A ngàm chặt vào tường để dầm tạo góc α với tường

Trên dầm có đặt khối trụ tròn đồng chất, tiếp xúc với

nhau tại điểm D, với BD =

3

2

l Trọng lượng của khối trụ

là Q Tìm áp lực của khối trụ lên dầm và tường, phản lực

tại ngàm A

Bài giải:

Giải phóng liên kết cho 2 vật Khối trụ E chịu tác

dụng của hệ lực đồng quy phẳng gồm lực chủ đồng Q

và hai lực liên kết N1, N2 Dầm AB chịu tác dụng của hệ lực phẳng gồm 2 lực P,N'1 và các lực liên kết X A,Y A và ngẫu lực MA

D

E Q

A

N2

D N'1

A

x

y

P

B

XA

MA

YA

α

α

Phương trình cân bằng của vật E:

0 sin

, 0 cos

1

2 1

=

−

=

= +

−

=

∑

∑

Q N

Y

N N

X

α α

Phương trình cân bằng của dầm AB:

0 3

1 sin

2 1

, 0 sin

, 0 cos

1 1

1

=

−

−

=

= +

−

−

=

= +

=

∑

∑

∑

N P

M m

Y P N

Y

X N

X

A A

A A

α α α

Giải hệ 5 phương trình trên,ta tìm được 5 ẩn số :

sin 6

) sin 3 2 ( 1

;

; cot

; cot

; sin

2

α α

α α

P Q M

Q P Y g Q X

g Q N

Q

A A

A

+

= +

=

−

=

=

3.4 Ma sát trượt

3.4.1 Định nghĩa

Ma sát trượt là lực cản xuất hiện khi một vật trượt hoặc có khuynh hướng trượt tương đối trên bề mặt một vật khác

Nguyên nhân chính của ma sát trượt là do bề mặt tiếp xúc không tuyệt đối nhẵn

3.4.2.Thí nghiệm Culông :

D

E

Q C

A

α

x

y

P

B

Trên mặt bàn nằm ngang không nhẵn đặt vật D có trọng lượng P, dây vắt qua ròng rọc

C một đầu buộc vào vật D, một đầu treo đĩa cân E

- Khi chưa đặt quả cân nào lên đĩa, vật D cân bằng dưới tác dụng của các lực P và N ;

chưa xuất hiện lực ma sát

- Khi đặt lên đĩa cân E quả cân có trọng lương Q nhỏ, quan sát thấy vật chưa trượt tức

là vẫn cân bằng dưới tác dụng của các lực ( P ; N ;Q và F ) ms ∼ 0

( Vì P và N cân bằng chứng tỏ phải có F ngược chiều với Q và F ms ms = Q )

- Tiếp tục tăng Q lên nhưng Q vẫn còn nhỏ, quan sát thấy vật chưa trượt chứng tỏ vật vẫn cân bằng tức là Fms = Q mà Q thay đổi chứng tỏ Fms có trị số biến đổi

- Tăng Q từ từ đến khi Q= Q1, quan sát thấy vật bắt đầu trượt, ta nói vật ở trạng thái cân bằng giới hạn Lực ma sát tăng dần đến trị số giới hạn gọi là lực ma sát lớn nhất Fmax ;

Fmax = Q1

- Tăng Q lên nữa vật sẽ trượt, Q càng lớn vật càng trượt với gia tốc lớn Khi đó, lực ma sát trở thành ma sát trượt động

Làm thí nghiệm nhiều lần với nhiều giá trị của trọng lượng P, ta thấy giá trị giới hạn Q1 cũng thay đổi nhưng tỉ số f=

N

F P

Q1 max

= không thay đổi trong các lần thí nghiệm

3.4.3 Các tính chất của ma sát trượt

a Định luật về lực ma sát trượt

Lực ma sát trượt ( F ) tiếp tuyến với mặt tiếp xúc, ngược chiều với khuynh hướng ms chuyển động của vật và có trị số biến đổi từ 0 đến F max

0 ≤ Fms ≤ Fmax (3.6)

b Định luật về lực ma sát trượt lớn nhất và hệ số ma sát trượt

Trị số của lực ma sát trượt lớn nhất tỷ lệ thuận với phản lực pháp tuyến

Fmax = f.N (3.7)

f: Hệ số ma sát trượt tĩnh

Phụ thuộc vào vật liệu mặt tiếp xúc (đồng, gỗ…); trạng thái bề mặt tiếp xúc (trơn nhẵn, ráp, khô, ẩm, nhiệt độ…) ; f được xác định bằng thực nghiệm Bảng (3-1) cho ta trị số của hệ số ma sát trượt đối với một vài vật liệu thường gặp

Bảng 3.1

D

C

E

P

Q

F ms

N

Q Hình 3-4

Hình 3.5 φ

O

Đá trượt trên gỗ

Gỗ trượt trên gỗ Kim loại trượt trên gỗ Đồng trượt trên gang Đồng trượt trên sắt Thép trượt trên thép

0,46 - 0,6 0,62 0,62 0,16 0,19 0,15

3.4.4 Góc ma sát và mặt nón ma sát

Khi có ma sát ở mặt tiếp xúc phản lực có 2 thành phần : N và F ms

Gọi R = N + F ; ms

R : Phản lực toàn phần

Khi F đạt đến ms Fmax thì R đạt đến

max

R ( phản lực toàn phần lớn nhất)

⇒ Góc ma sát (ϕ) là góc hợp bởi phản lực toàn

phần lớn nhất với pháp tuyến của mặt liên kết

Ta có : Fmax = N.tgϕ Mà Fmax = f.N⇒ f = tgϕ

Vậy : Hệ số ma sát trượt bằng tang của góc ma sát

Vật đặt cân bằng trên mặt liên kết ứng với mỗi hướng trượt trên mặt phẳng tiếp xúc, ta có một phản lực toàn phần Rmax Khi thay đổi hướng trượt, lực Rmax cũng thay đổi, đường tác dụng của phản lực Rmax tạo thành một mặt nón ma sát Nếu hệ số ma sát giống nhau đối với mọi hướng trượt của vật thì mặt nón ma sát là tròn xoay

Fmax

N Rgh

m?t nón

ma sát

m?t ph?ng ti?p xúc

3.4.5 Điều kiện cân bằng khi có ma sát trượt

Vật rắn muốn cân bằng thì hệ lực tác dụng lên nó, kể cả lực ma sát trượt phải thỏa mãn điều kiện cân bằng như ở tĩnh học

Ngoài ra, lực ma sát còn phải thoã mãn điều kiện:

0 ≤ F ms ≤ f.N (3.8)

Nếu xét phản lực toàn phần R thì nó phải nằm trong mặt nón AOB (nón ma sát)

Khi Fms = Fmax = f.N thì vật vẫn còn ở trạng thái cân bằng nhưng đó là vị trí cân bằng giới hạn

Ví dụ: Một vật có trọng lượng P=100N nằm trên mặt phẳng nằm ngang Tìm lực Q nghiêng góc α =300 với phương ngang tác dụng lên vật và làm vật chuyển động Hệ số ma sát trượt tĩnh là f = 0,6

Giải:

Xét vật ở trạng thái cân bằng giới hạn

Các lực tác dụng lên vật ( P , Q , N , F ) ms ∼ 0

Các PTCB :







=

∑

=

∑

0

0

Y

X

⇔







=

− +

=

−

0 sin

0 cos

P Q

N

F

α

α

Từ (2) ta có N = P - Qsinα

Vì vật ở trạng thái cân bằng giới hạn nên Fms = Fmax = f.N = f (P - Qsinα )

Từ (1) suy ra Fms = Qcosα Do đó: f (P - Qsinα) = Qcosα

→ Q =

α

cos

f

P f

Vậy : Với Q ≤ 52 N thì vật cân bằng

Q > 52 N thì vật chuyển động

Ví dụ 2: Thanh đồng chất AB có trọng lượng Q, đầu B tựa

vào tường không nhẵn, đầu A tựa vào sàn nhẵn nằm ngang

và được buộc dây vắt qua ròng rọc D Đầu kia của dây treo

vật E có trọng lượng P Hệ số ma sát giữa thanh với tường là

f Tìm giá trị của trọng lượng P để thanh cân bằng ở vị trí

nghiêng góc α với phương nằm ngang

Giải:

Xét cân bằng của thanh AB

Các lực tác dụng gồm Q, T, N A, N B, F ms tại B; trong đó T = P

P

Q

A

E

B

C

D l

α

Khi tăng P, đến lúc nào đó, đầu A bắt đầu trượt trên sàn về phía dương của trục Ax, đầu B bắt đầu trượt về phía dương của trục Ay, do đó P ≤ Pmax

Khi P giảm đến lúc nào đó, đầu A bắt đầu trượt trên sàn về phía âm của trục Ax, đầu B trượt

về phía âm của trục Ay, do đó P≥ Pmin

Vậy để thanh được cân bằng, lực P phải thỏa mãn bất đẳng thức:

Pmin ≤ P ≤ Pmax

Q

A

B

C

α

x

y

NA

T=Pmax

F max =fN B NB

Q

A

B

C

α

x

y

NA

T=Pmin

Fmax=fNB NB

- Tìm giá trị Pmax tương ứng với vị trí cân bằng giới hạn T = Pmax

Ta có các phương trình cân bằng:

max

max

0 0 sin cos cos 0

2

B

X P N

Y N fN Q

l

m P l α Q α N l α











∑

∑

∑

Giải ra ta được Pmax = 2(tgαQ− f)

Giá trị Pmax chỉ có nghĩa khi tgα > f.

Khi tgα < f giá trị P không tồn tại, thanh không cân bằng

Khi tgα → f thì Pmax→∞ thì trọng lượng P tăng lên bao nhiêu thanh cũng được cân bằng

- Tìm giá trị Pmin: Xét thanh ở trạng thái cân bằng giới hạn:

Ta có các phương trình cân bằng:

min

min

0 0 sin cos cos 0

2

B

X P N

Y N fN Q

l

m P l α Q α N l α











∑

∑

∑

Giải ra ta được Pmin =

) (

2 tg f

Q

+ α

Vậy để thanh cân bằng, trọng lượng P của vật E phải thỏa mãn điều kiện:

P

tgα+ f ≤ ≤ tgα− f , với tgα > f