Ứng dụng hình học của tích phân xác định

34 354 0
Ứng dụng hình học của tích phân xác định

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài tốn diện tích D: a ≤ x ≤ b, y nằm f(x) a y = f (x) D a S (D ) = ∫ b a b f ( x ) dx Bài tốn diện tích D: a ≤ x ≤ b, y nằm f1(x) f2(x) y = f2 ( x ) b a y = f1 ( x ) S (D ) = ∫ b a f2 ( x ) − f1 ( x ) dx Bài tốn diện tích d D: c ≤ y ≤ d, nằm f(y) x = f (y ) S (D) = ∫ d c f ( y ) dy c Bài tốn diện tích D: c ≤ y ≤ d, nằm f1(y) f2(y) S (D) = ∫ d c d f2 ( y ) − f1 ( y ) dy x = f1 ( y ) x = f2 ( y ) c Lưu ý Có thể vẽ hình đường cong đơn giản tìm hồnh độ(tung độ giao điểm) để xác định cận tích phân •Tính hồnh độ giao điểm ⇒ tích phân tính theo biến x(ngược lại tính theo y) Lưu ý tính đối xứng Nếu miên D đối xứng qua Ox, D1 phần phía Ox D S (D) = 2S (D1 ) Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y = x ( x − 2), y = Hoành độ giao điểm: 0, S (D) = = ∫ 2 ∫0 x ( x − 2) − dx 16 x (2 − x )dx = 15 Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y = x , y = 0, x + y = Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y = x , y = 0, x + y = S (D) = ∫ x dx + ∫ (2 − x )dx Hoặc S (D ) = ∫ = (2 − y ) − ydy Lưu ý tính đối xứng Nếu miên D đối xứng qua Ox, D1 phần phía Ox D Vx (D) = Vx (D1 )  V ( D ) = V ( D ) y y  Ví dụ D : x ≥ 0, y ≤ – x2, y ≥ x Tính thể tích D quay quanh Ox, oy ∫ 2 2  Vx = π (2 − x ) − x  dx ∫  Vy = 2π x (2 − x ) − x  dx Ví dụ Tính thể tích D quay quanh Ox D : y = xe − x , y = 0, x = Vx = π ∫0 ( xe ) −x dx Ví dụ Tính thể tích D quay quanh Ox, Oy D : y = − x , y = −1 ≤ x ≤ y = 1− x2 Vx = π = 2π -1 Vy = 2π ∫ ∫ ( x − x dx −1 1− x2 ) dx − x dx ( ) ∫0 Ví dụ Tính thể tích D quay quanh Ox, Oy D : x + y ≤ 2y Pt đường tròn giới hạn C: x = ± 2y − y hay y = 1± 1− x Bài tốn diện tích, thể tích với đường cong tham số D giới hạn trục hoành, đường thẳng x=a, x=b đường cong tham số x (t1 ) = a, x (t ) = b Nếu S (D ) = Vx = π x = x (t ), y = y (t ), ∫ t2 t1 ∫ t2 t1 y (t ) x ′(t )dt y (t ) x ′(t )dt , Vy = 2π ∫ t2 t1 x (t ).y (t ) x ′(t )dt Ví dụ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: 3 x = cos t , y = sin t ,0 ≤ t ≤ π trục hoành t ∈ [0, π ] ⇒ x ∈ [−1,1] S (D) = ∫ −1 ydx = ∫π sin t3cos t ( − sin t )dt π (sin t − sin t )dt = 6∫ 3π = 16 Ví dụ D: 3 x = cos t , y = sin t ,0 ≤ x ≤ π trục hồnh Tính thể tích tạo D quay quanh Ox, Oy Nhận xét: D đối xứng qua Oy (thay x π - x ) t ∈ [0, π / 2] ⇒ x ∈ [0,1]  Vx = 2. π  = 2π ∫ π  y dx ÷  ∫ 2 y (t ) x ′(t )dt Vx = 2π ∫ = 6π Vy = 2π = 2π π sin t3cos t ( − sin t )dt π (sin t − sin t )dt ∫ ∫ ∫ 0 x.y dx π cos 3 t sin t3cos t ( − sin t )dt Độ dài đường cong phẳng Diện tích mặt tròn xoay Cho đường cong C: y= f(x), a ≤ x ≤ b Độ dài đường cong C: L= ∫ b a + [ f ′( x ) ] dx Khi C quay quanh Ox tạo thành diện tích : Sx = 2π ∫ b a f ( x ) + [ f ′( x ) ] dx Ví dụ x ( x − 12),0 ≤ x ≤ 12 Cho đường cong C: y = Tính độ dài đường cong diện tích mặt tạo C quay quanh Ox  x − 12 3x − 12 x −  y′ =  + x = = 6 x x  x ( x − 4) 1+ y′ = 1+ 16 x 2 ( x − 4) 1+ y′ = 1+ 16 x L= ∫ 12 Sx = 2π = ∫ 12 2 + y ′ dx = ∫ 12 x + x + 16 ( x + 4) = = 16 x 16 x ∫ +4 dx x 12 x y + y ′ dx x x+4 ( x − 12) dx x Ví dụ Cho đường cong C: y = ln x , ≤ x ≤ Tính diện tích mặt trịn xoay tạo C quay quanh Oy y y = ln x , ≤ x ≤ ⇔ x = e ,0 ≤ y ≤ ln Sy = 2π ∫ f ( y ) + [ f ′( y ) ] dy ln y e = 2π ∫ 2y + e dy ln y e S y = 2π ∫ = 2π ∫ 2y + e dy + x dx ( = 5− + ln(2 + 5) − ln(1 + 2) 2 ) Bài tốn độ dài cung diện tích mặt trịn xoay với đường cong tham số Cho đường cong C: x = x(t), y = y(t), t1≤ t ≤ t2 L=∫ t2 t1 t2 [ x′(t)] S x = ∫ y(t) t1 + [ y′(t ) ] dt [ x′(t)] 2 + [ y′(t ) ] dt ... Có thể vẽ hình đường cong đơn giản tìm hồnh độ(tung độ giao điểm) để xác định cận tích phân •Tính hồnh độ giao điểm ⇒ tích phân tính theo biến x(ngược lại tính theo y) Lưu ý tính đối xứng Nếu miên... ) dx Bài toán thể tích d D: c ≤ y ≤ d, nằm f(y) x = f (y ) c Bài tốn thể tích D: c ≤ y ≤ d, nằm f1(y) f2(y) d x = f1 ( y ) c x = f2 ( y ) Lưu ý tính đối xứng Nếu miên D đối xứng qua Ox, D1 phần...Bài tốn diện tích D: a ≤ x ≤ b, y nằm f(x) a y = f (x) D a S (D ) = ∫ b a b f ( x ) dx Bài tốn diện tích D: a ≤ x ≤ b, y nằm f1(x) f2(x) y = f2 ( x ) b

Ngày đăng: 15/09/2017, 14:52

Hình ảnh liên quan

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - Ứng dụng hình học của tích phân xác định
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Xem tại trang 1 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

  • Bài toán diện tích

  • Slide 3

  • Slide 4

  • Slide 5

  • Lưu ý

  • Lưu ý về tính đối xứng

  • Ví dụ

  • Slide 9

  • Slide 10

  • Slide 11

  • Bài toán thể tích

  • Slide 13

  • Slide 14

  • Slide 15

  • Slide 16

  • Slide 17

  • Slide 18

  • Slide 19

  • Slide 20

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan