bai tap giai he phuong trinh tuyen tinh

Phần này trình bày các bài toán về hệ phương trình tuyến tính và nêu cách giải. Có nhiều cách để giải một hệ phương trình tuyến tính, ở phông thông chúng ta đã học một cách giải thông thường bằng phương pháp cộng, hạn chế của cách giải này chỉ áp dụng đối với hệ 3, 4 phương trình. Lên bậc Đại học chúng ta tiếp cận nhiều cách giải mới, giúp giải quyết nhanh bài toán trong đó có cách dùng phương pháp Gaus mà tôi trình bày sau đây.

BÀI TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP Phần một: Giải hệ phương trình tuyến tính Bài      x1 − 5x2 + 4x3 = −7(1) 2x1 − 9x2 − x3 = 4(2)     3x − 11x − 7x = 17(3) Giải Cách (Phương pháp thông thường) Nhân hai vế phương trình (1) với - 2, - cộng vào phương trình (2) phương trình (3), ta hệ:    x − 5x2 + 4x3 = −7(1)   x2 − 9x3 = 18(4)     4x − 19x = 38(5) Nhân hai vế phương trình (4) với - cộng vào phương trình (5) được:    x − 5x2 + 4x3 = −7(1)   x2 − 9x3 = 18(4)     17x = −34(6) Từ(6) suy x3 = −2 Thay x3 = −2 vào phương trình (4) ta tính x2 = Thay x2 = 0, x3 = −2 Vào phương trình (1) ta tìm x1 = Hệ có nghiệm (1, 0, -2) Cách 2: Phương pháp Gauss    − −7 − −7   d3 −4d2   d2 −2d1    − 18   − 18  − 2−9−1 − − − − → − − − →     d3 −3d1   0 17 −34 − 19 38 − 11 − 17  1−5   −7 Vậy hệ cho tương đương với hệ phương trình sau:   x − 5x2 + 4x3 = −7   x2 − 9x3 = 18    17x3 = −34   x =1   ⇔ x2 =    x3 = −2 Bài    2x1 − 2x2 − 1x3 = −1(1)   x2 + x3 = 1(2)     −x + x + x = −1(3) Cách (Phương pháp thông thường) Nhân hai vế phương trình (3) với 2, ta hệ:      2x1 − 2x2 − 1x3 = −1(1) x2 + x3 = 1(2)     −2x + 2x + 2x = −2(4) cộng phương trình (1) vào phương trình (4) ta được:    2x − 2x2 − 1x3 = −1(1)   x2 +     x3 = 1(2) x3 = −3(5) Từ(5) suy x3 = −3 Thay x3 = −3 vào phương trình (2) ta tính x2 = Thay x2 = 4, x3 = −3 Vào phương trình (1) ta tìm x1 = Hệ có nghiệm (5, 4, -3) Giải: Phương pháp Gauss   −2  0  1 1 −1 − −1  −2  − −1  2d3 +d1   1  −−−−→  1 0 −1  1  −3 Vậy hệ cho tương đương với hệ phương trình sau:   2x − 2x2 − x3 = −1   x2 + x3 =    x3 = −   x =5   ⇔ x2 =    x3 = −3 Bài      x1 − x + x3 = 2x1 + x2 + x3 =     3x + x + 2x = Giải: Phương pháp Gauss  −1  2  1      −1 1 −1 1 1   3d3 −4d2   d2 −2d1  0 −1  0 −1 − − − − − → − − − − → 2     d3 −3d1  −9 0 − −3 Vậy hệ cho tương đương với hệ phương trình sau:   x − x2 + x3 =   3x2 − x3 =    x3 = −   x =7   ⇔ x2 = −3    x3 = −9 Bài      2x1 − x2 − x3 = 3x1 + 4x2 − 2x3 = 11     3x − 2x + 4x = 11 Giải   3  −1 −2 −1 −2   −1  2d2 −3d1  −−−→  11  −− d3 −d2  11 11 −6 −1 −1   −1  11d3 +6d2   10  −−−−−−→  0 11 −1 −1 60  10  60 Vậy hệ cho tương đương với hệ phương trình sau:   2x − x2 − x3 =   11x2 − x3 = 10    60x3 = 60    x =3   ⇔ x2 =    x3 = Bài      3x1 + 2x2 + x3 = 2x1 + 3x2 + x3 =     2x + x + 3x = 11 Giải   2      3d2 −2d1  −−−→  1   −− d3 −d2  11  5d3 +2d2   −7  −−−−−→  10 12 36 −2    −7  Vậy hệ cho tương đương với hệ phương trình sau:   3x + 2x2 + x3 =   5x2 + x3 = −7    12x3 = 36   x =2   ⇔ x2 = −2    x3 = Bài      x1 + x2 + x3 = x1 + 2x2 + 3x3 = −1     x + 4x + 9x = −9 Giải       1 1 1  d2 −d1    −1 − −→   d−3−  −d2  −9  d3 −2d2   −2  −−−−→  0 −8 −2  1 1  −4 Vậy hệ cho tương đương với hệ phương trình sau:   x + x2 + x3 =   x2 + 2x3 = −2    2x3 = −4   x =1   ⇔ x2 =    x3 = −2 Bài      2x1 + 5x2 − 8x3 = 4x1 + 3x2 − 9x3 =     2x + 3x − 5x = Giải   4    −8  d2 −2d1  −8    − 9  −−−−→  −7 −5 −2 −1 d3 −d1  7d3 −2d2   −7  −−−−−→  0 −7 −8   −7  7 Vậy hệ cho tương đương với hệ phương trình sau:   2x + 5x2 − 8x3 =   −7x2 + 7x3 = −7    7x3 =   x =3   ⇔ x2 =    x3 = Bài      x1 + x3 = −x1 + 2x2 + x3 =     2x − x + 2x = 3 Giải    d2 +d1    −1 2 −−−−→   d3 −2d1   −1  1    2d3 +d2   2 4 − − − − → 2     0 2 − −1   Vậy hệ cho tương đương với hệ phương trình sau:   x + x2 + x3 =   2x2 + 2x3 =    2x3 =   x =1   ⇔ x2 =    x3 = Bài      x1 + x3 = 2x1 + 3x2 − 4x3 =     7x − 2x − 5x = Giải     d2 −2d1  −−−→  − 1 − d3 −7d1  −2 −5  2    3 −8 3d3 +2d2  −5   −−−−−→    −8 0 − 19 −21 −2   −5   − 73 −73 Vậy hệ cho tương đương với hệ phương trình sau:   x + x2 + x3 =   3x2 − 8x3 = −5    −73x3 = −73   x =1   ⇔ x2 =    x3 = Bài 10    3x1 + x2 − 5x3 = 11   x1 + 7x2 − 13x3 = 15     x − 3x + 4x = 2 Giải   1    11  3d2 −d1  −−−→  − 13 15 − 3d3 −d1  −3 −5    11  2d3 +d2    20 − 34 34 − − − − → 20 − 34 34     − 10 17 −5 0 24 −5 11 −5 Vậy hệ cho tương đương với hệ phương trình sau:   3x + x2 − 5x3 = 11   20x2 − 34x3 = 34    0x3 = 24 Phương trình vô nghiệm Các tập tham khảo: Bài 11 Giải hệ phương trình tuyến tính sau    −3x1 − x2 + 5x3 =   x1 + 7x2 − 13x3 = 15     2x − 6x + 8x = Bài 12 Giải hệ phương trình tuyến tính sau      3x1 + x2 − 5x3 = 11 x1 + 7x2 − 13x3 = 15     −x + 3x + −4x = −2 Bài 13 Giải hệ phương trình tuyến tính sau      −3x1 − x2 + 5x3 = −x1 − 7x2 + 13x3 = −15     2x − 6x + 8x =