Đề IMO năm 2011

Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011Đề IMO năm 2011

▲❛♥❣✉❛❣❡✿ ❱✐❡t♥❛♠❡s❡ ❉❛②✿ Thứ 2, 18 tháng 7, 2011 Bài Cho tập hợp A = {a1 , a2 , a3 , a4 } gồm bốn số nguyên dương phân biệt, ta ký hiệu tổng a1 + a2 + a3 + a4 sA Giả sử nA số cặp (i, j) với ≤ i < j ≤ cho + aj chia hết sA Tìm tất tập hợp A gồm bốn số nguyên dương phân biệt mà với chúng nA đạt giá trị lớn Bài Giả sử S tập hợp hữu hạn điểm mặt phẳng với hai điểm Giả thiết ba điểm S nằm đường thẳng Cối xay gió trình bắt đầu với đường thẳng qua điểm P ∈ S Đường thẳng quay theo chiều kim đồng hồ chung quanh tâm P lần gặp điểm khác S Điểm này, ký hiệu Q, lại lấy làm tâm mới, đường thẳng quay theo chiều kim đồng hồ chung quanh Q, gặp điểm S Quá trình tiếp tục không dừng, với tâm luôn điểm S Chứng minh ta chọn điểm P ∈ S đường thẳng qua P cho cối xay gió nhận điểm S làm tâm quay vô hạn lần Bài Giả sử f : R → R hàm giá trị thực xác định tập số thực thỏa mãn f (x + y) ≤ yf (x) + f (f (x)) với số thực x y Chứng minh f (x) = với x ≤ Language: Vietnamese Thời gian: 30 phút Mỗi điểm ✶ ▲❛♥❣✉❛❣❡✿ ❱✐❡t♥❛♠❡s❡ ❉❛②✿ Thứ 3, 19 tháng 7, 2011 Bài Giả sử n > số nguyên Cho cân hai đĩa n cân với trọng lượng 20 , 21 , , 2n−1 Ta muốn đặt lên cân n cân, một, theo cách để bảo đảm đĩa cân bên phải không nặng đĩa cân bên trái Ở bước ta chọn cân chưa đặt lên cân, đặt vào đĩa bên trái, vào đĩa bên phải, tất cân đặt lên cân Xác định xem có cách để thực mục đích đề Bài Giả sử f hàm từ tập số nguyên Z vào tập số nguyên dương N∗ Giả thiết với hai số nguyên tùy ý m n, hiệu f (m) − f (n) chia hết cho f (m − n) Chứng minh với số nguyên m, n f (m) ≤ f (n), f (n) chia hết cho f (m) Bài Giả sử ABC tam giác nhọn với đường tròn ngoại tiếp Γ Giả sử tiếp tuyến Γ, giả sử a , b , c đường thẳng nhận cách lấy đối xứng qua đường BC, CA, AB, tương ứng Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo thành đường thẳng a , b , c tiếp xúc với đường tròn Γ Language: Vietnamese Thời gian: 30 phút Mỗi điểm ✷ ...▲❛♥❣✉❛❣❡✿ ❱✐❡t♥❛♠❡s❡ ❉❛②✿ Thứ 3, 19 tháng 7, 2011 Bài Giả sử n > số nguyên Cho cân hai đĩa n cân với trọng lượng 20 , 21 , , 2n−1 Ta muốn... đặt vào đĩa bên trái, vào đĩa bên phải, tất cân đặt lên cân Xác định xem có cách để thực mục đích đề Bài Giả sử f hàm từ tập số nguyên Z vào tập số nguyên dương N∗ Giả thiết với hai số nguyên tùy