TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT NỬA VÀNH VÀ NỬA MÔĐUN (bao gồm file latex)

Nội dung tiểu luận gồm 3 chương: CHƯƠNG I: Một số kiến thức liên quan. Khái niệm nữa vành, nửa modun, đồng cấu nữa moodun , tính chất nữa modun giản ước được CHƯƠNG II:Tích Tenxơ của môđun. Cách xây dựng Tích Tenxơ và một số tính chất cıa Tench Tenxơ

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC ——————o0o—————— TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT NỬA VÀNH VÀ NỬA MÔĐUN Đề tài: TÍCH TENXƠ CỦA NỬA MÔĐUN Chuyên Ngành: Đại số Lý thuyết số Cán hướng dẫn: Học viên: PGS.TSKH.Nguyễn Xuân Tuyến Hoàng Thị Kiều My Thành phố Huế, tháng 11 năm 2014 LỜI CẢM ƠN Lời xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến, người định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu, học tập môn Lý thuyết nửa vành nửa môđun trình hoàn thành tiểu luận Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cám ơn giúp đỡ, bảo quý báu anh chị học viên lớp Cao học 22, chuyên ngành Đại số-Lý thuyết số trường Đại học Sư Phạm Huế động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập, trình viết chỉnh sửa tiểu luận Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Mục lục Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Nửa vành 1.2 Nửa môđun 1.3 Đồng cấu nửa môđun 1.4 Tính chất giản ước Chương TÍCH TENXƠ CỦA NỬA MÔĐUN 2.1 Xây dựng tích Tenxơ 2.2 Tính chất Chương MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG 17 Bài 17 Bài 19 LỜI MỞ ĐẦU Trên giới nay, lý thuyết môđun đạt nhiều thành tựu rực rỡ Cấu trúc nhiều lớp môđun thiết lập áp dụng vào lĩnh vực khác toán học đại Do nhu cầu phát triển toán học đại, vào năm kỷ hai mươi lý thuyết nửa vành lý thuyết nửa môđun nửa vành đời thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu Dựa thành tựu đạt lý thuyết môđun, nhiều kết môđun chuyển sang nửa môđun với thay đổi thích hợp tinh tế Tiểu luận dựa sách A theory of semirings and semimodules PGS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến để trình bày kiến thức sở lý thuyết xây dựng tích Tenxơ nửa môđun tính chất Nội dung tiểu luận gồm chương : Chương : Một số kiến thức liên quan Trong chương trình bày khái niệm : nửa vành, nửa môđun, đồng cấu nửa môđun, tính chất nửa môđun giản ước Chương : Tích Tenxơ nửa môđun Trong chương trình bày cách xây dựng Tích Tenxơ số tính chất Tích Tenxơ Chương 3: Một số tập liên quan Trong chương chủ yếu giải tập giáo trình thầy Nguyễn Xuân Tuyến Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Nửa vành Định nghĩa 1.1.1 Một nửa vành tập Λ trang bị hai phép toán cộng nhân thỏa mãn điều kiện sau: (1) (Λ, +) vị nhóm với phần tử không − Λ; (2) (Λ, ) vị nhóm với phần tử đơn vị − Λ; (3) Phép nhân phân phối với phép cộng theo hai phía; (4) − Λr = − Λ = r0 − Λ với r ∈ Λ; (5) − Λ = − Λ Một tập khác rỗng H với hai phép toán cộng nhân thỏa mãn điều kiện (1), (3), (4) thay (2) điều kiện (H, ) nửa nhóm H gọi nửa vành đơn vị Một nửa vành giao hoán phép nhân giao hoán Mệnh đề 1.1.1 Một tập Λ chứa hai phần tử = với hai phép toán (+) (.) nửa vành giao hoán điều kiện sau thỏa mãn với a, b, c, d, e ∈ Λ: (1) a + = + a; (2) a1 = a; (3) 0a = 0; (4) [(ae + b) + c]d = db + [a(ed) + cd] 1.2 Nửa môđun Định nghĩa 1.2.1 Cho Λ nửa vành, Λ− nửa môđun trái M vị nhóm cộng giao hoán (M,+) với phần tử không 0M , với ánh xạ : Λ × M → M, kí hiệu : (r, m) → rm, gọi phép nhân thỏa mãn điều kiện sau : ∀r, r ∈ Λ, ∀m, m ∈ M: (1) (rr )m = r(r m) (2) r(m + m ) = rm + rm (3) (r + r )m = rm + r m (4) 1Λ m = m (5) r0M = 0M = 0Λ m 1.3 Đồng cấu nửa môđun Định nghĩa 1.3.1 Cho A, B Λ− nửa môđun trái Ánh xạ f : A → B gọi đồng cấu thỏa điều kiện : f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Λ f (rx) = rf (x), ∀x ∈ A, r ∈ Λ Định nghĩa 1.3.2 Cho f : A → B gọi Λ− đồng cấu nửa môđun a) Nếu f thỏa mãn tính chất : ∀a1 , a2 ∈ A : f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 f gọi đơn cấu b)f gọi toàn cấu : ∀b ∈ B , ∃a ∈ A : f(a)=b c)f gọi đẳng cấu f vừa đơn cấu vừa toàn cấu Định nghĩa 1.3.3 Cho A, B hai Λ− nửa môđun Đặt HomΛ (A, B) = f |f : A → B đồng cấu Lúc HomΛ (A, B) vị nhóm giao hoán với phép cộng : (f + g)(x) = f (x) + g(x) (HomΛ (A, B), +) vị nhóm đồng cấu từ A vào B Định nghĩa 1.3.4 Cho f : A → B Λ− đồng cấu nửa môđun trái a) f gọi i-chính quy f(A)=Im(f) b) f gọi k-chính quy : ∀a1 , a2 ∈ A cho f (a1 ) = f (a2 ) ∃k1 , k2 ∈ Ker (f ) : a1 + k1 = a2 + k2 c) f gọi quy f vừa i-chính quy vừa k-chính quy d) f gọi nửa đẳng cấu f toàn cấu Ker(f)=0 Mệnh đề 1.3.1 Cho f : A → B Λ− đồng cấu nửa môđun Khi f đơn cấu f k-chính quy Ker(f)=0 1.4 Tính chất giản ước Định nghĩa 1.4.1 Một phần tử u nửa vành có đơn vị Λ gọi giản ước u+b=u+c suy b=c Λ Chương TÍCH TENXƠ CỦA NỬA MÔĐUN 2.1 Xây dựng tích Tenxơ Cho Λ nửa vành có đơn vị, A Λ− nửa môđun phải B Λ− nửa môđun trái Cho N [A × B] vị nhóm cộng giao hoán tự sinh tập A × B gọi Tích Đề-các A B Khi phần tử α N [A × B] biểu diễn dạng tổng hữu hạn : α= ni (ai , bi ) với ni ∈ N, (ai , bi ) ∈ A × B Ta biểu thị U = N [A × B] × N [A × B] tích vị nhóm cộng theo thành phần Giả sử W tập U bao gồm tất phần tử biểu diễn dạng : ((a + a , b), (a, b) + (a , b)), ((a, b) + (a , b), (a + a , b)) ((a, b + b ), (a, b) + (a, b )), ((a, b) + (a, b ), (a, b + b )) ((ar, b), (a, rb)), ((a, rb), (ar, b)) với a, a ∈ A; b, b ∈ B, r ∈ Λ Cho U’ vị nhóm U sinh W Khi phần tử U’ viết ( không thiết nhất) dạng tổng hữu hạn : ni (αi , βi ) = ( ni αi , ni βi ) với ni ∈ N; (αi , βi ) ∈ W Để ý (γ, γ) ∈ U với α ∈ N(A × B) Ta định nghĩa quan hệ N−đồng dư ≡ N(A × B) thiết lập : α ≡ β ⇔ ∃(γ, δ) ∈ U : α + γ = β + δ Vành thương N− nửa môđun N(A × B)/≡ kí hiệu A⊗Λ B gọi tích tenxơ A B Λ Nếu a ∈ A b ∈ B phần tử (a, b)/≡ kí hiệu a ⊗ b 2.2 Tính chất (a) Vì N(A × B) sinh phần tử có dạng (a,b) nên A⊗Λ B sinh phần tử có dạng a ⊗ b phần tử A⊗Λ B viết (không thiết nhất) dạng tổng hữu hạn (ai ⊗ bi ) với ∈ A, bi ∈ B (b) Hơn nữa, cách xây dựng ta thấy ∀a, a ∈ A, ∀b, b ∈ B , ∀r ∈ Λ, ∀n ∈ N ta có : (1) (a + a ) ⊗ b = a ⊗ b + a ⊗ b (2) a ⊗ (b + b ) = a ⊗ b + a ⊗ b (3) (ar) ⊗ b = a ⊗ (rb) (4) 0A ⊗ b = a ⊗ 0B = 0A⊗Λ B (c) Ngoài ra, Γ nửa vành có đơn vị, ta dễ dàng kiểm tra : Nếu A (Γ, Λ)− song nửa môđun A⊗Λ B Γ− nửa môđun trái với tích vô hướng định nghĩa : s(a ⊗ b) = (sa) ⊗ b Tương tự, B (Λ, Γ)− song nửa môđun A⊗Λ B Γ− nửa môđun phải với tích vô hướng định nghĩa : (a ⊗ b)s = a ⊗ (bs) Mệnh đề 2.19: Cho Λ nửa vành có đơn vị Nếu A Λ− nửa môđun phải B Λ− nửa môđun trái N− nửa môđun A⊗Λ B giản ước Chứng minh: Giả sử α, α , α ∈ N(A × B) thỏa : α/≡ + α /≡ = α /≡ + α /≡ Khi tồn cặp (γ, δ) ∈ U cho α + α + γ = α + α + δ Theo cách xây dựng ta có : (α , α ) ∈ U ⇒ (α + γ, α + δ) ∈ U Điều có nghĩa α/≡ = α /≡ Vậy A⊗Λ B giản ước Định nghĩa 2.2.1 Cho Λ nửa vành có đơn vị Nếu A Λ− nửa môđun phải B Λ− nửa môđun trái Γ N− nửa môđun ánh xạ θ : A × B → Γ gọi Λ− cân : ∀a, a ∈ A, ∀b, b ∈ B, ∀r ∈ Λ ta có : (1) θ(a + a , b) = θ(a, b) + θ(a , b) (2) θ(a, b + b ) = θ(a, b) + θ(a, b ) (3) θ(ar, b) = θ(a.rb) Ví dụ: Nếu N Λ− nửa môđun trái Γ N− nửa môđun tập HomN (N, Γ) = { α : N → Γ} có cấu trúc Λ− nửa môđun phải, ta định nghĩa (α + β)(n) = α(n) + β(n) (αr)(n) = α(rn) Nếu M Λ− nửa môđun phải ϕ : M → HomN (N, Γ) Λ− đồng cầu, ta có ánh xạ cân : θ :M×N→Γ (m, n) → (ϕ(m))(n) Ngược lại, θ : M × N → Γ toàn ánh cân ta định nghĩa Λ− đồng cấu : ϕ : M → HomN (N, Γ) m → (ϕ(m))(n) = θ(m, n) Chứng minh: (⇒) : Chứng minh θ ánh xạ cân : ∀m, m ∈ M, ∀n, n ∈ N, ∀r ∈ Λ : θ(m + m , n) = (ϕ(m + m ))(n) = (ϕ(m) + ϕ(m ))(n) = (ϕ(m))(n) + (ϕ(m ))(n) = θ(m, n) + θ(m , n) θ(m, n + n ) = ((ϕ(m))(n + n ) = (ϕ(m))(n) + (ϕ(m))(n ) = θ(m, n) + θ(m, n ) θ(mr, n) = ((ϕ(mr))(n) = (rϕ(m))(n) = (ϕ(m))(rn) = θ(m, rn) (⇐) : Chứng minh ϕ đồng cấu : ∀m, m ∈ M, ∀n, n ∈ N, ∀r ∈ Λ ta có : 10 ϕ(m + m ) = (ϕ(m + m ))(n) = θ(m + m )(n) = θ(m, n) + θ(m , n) = (ϕ(m))(n) + (ϕ(m ))(n) = ϕ(m) + ϕ(m ) ϕ(mr) = (ϕ(mr))(n) = θ(mr)(n) = θ(m, rn) = (ϕ(m))(rn) = (rϕ(m))(n) = rϕ(m) Chú ý 2.6: (1) Nếu Λ nửa vành có đơn vị M Λ− nửa môđun trái ta có quan hệ [≡](0) M định nghĩa : m[≡](0) m ⇔ ∃m ∈ M : m + m = m + m Lớp tương đương phần tử m quan hệ kí hiệu : m[/](0) (2) Nếu Λ nửa môđun trái ∼ Λ− quan hệ tương đẳng M định nghĩa : m ∼ m ⇔ ∃m ∈ M : m + m = m + m Khi M/ ∼ gọi Λ− nửa môđun trái giản ước Mệnh đề 2.20: Cho Λ nửa vành có đơn vị, A Λ− nửa môđun phải, B Λ− nửa môđun trái Γ N− nửa môđun Nếu θ : A × B → Γ ánh xạ Λ− cân tồn N− đồng cấu ϕ : A⊗Λ B → Γ [/] { 0} thỏa điều kiện : ϕ(a ⊗ b) = θ(a, b) [/] { 0} ∀a ∈ A, ∀b ∈ B Chứng minh: θ mở rộng cách suy N− đồng cấu θ∗ : θ∗ : N(A × B) → Γ 11 thỏa : θ∗ (α(a, b)) = θ(a, b), ∀a ∈ A, ∀b ∈ B Thật vậy, với γ ∈ N(A × B) ta có : θ∗ (γ) = γ(a, b)θ(a, b) (a,b)∈sup p(γ) với sup p(γ) giá γ nghĩa γ(a, b) = với (a, b) ∈ A × B Cho ≡ quan hệ tương đương dùng định nghĩa A⊗Λ B, nghĩa : A⊗Λ B = N(A × B)/ ≡ Tương tự, cho U’ W dùng ánh xạ : ϕ : A⊗Λ B → Γ = Γ [/] {0} α/ ≡→ θ∗ (α) [/] {0} Ánh xạ định nghĩa tốt : Nếu α ≡ β N (A × B) ∃ (γ, δ) ∈ U cho α + γ = β + δ ⇒ θ∗ (α) + θ∗ (γ) = θ∗ (β) + θ∗ (δ) Theo định nghĩa U’, (γ, δ) viết lại : (γ, δ) = ni γi , ni δi với ni ∈ N, (γi , δi ) ∈ W với i Khi : θ∗ (γ) = ni θ∗ (γi ) = ni θ∗ (δi ) = θ∗ (δ) Theo ý 2.6(2) Γ [/] {0} giản ước nên : θ∗ (α) [/] {0} = θ∗ (β) [/] {0} ⇒ ϕ(α/ ≡) = ϕ(β/ ≡) Ta chứng minh ϕ N− đồng cấu : Thật vậy, α, β ∈ N (A × B) : 12 ϕ (α/ ≡ +β/ ≡) = ϕ [(α + β) / ≡] = θ∗ (α + β) [/] {0} = θ∗ (α) [/] {0} + θ∗ (β) [/] {0} = ϕ(α/ ≡) + ϕ(β/ ≡) Giả sử α ∈ N (A × B) thỏa điều kiện : α = Khi ∃ (γ, δ) ∈ U cho α + γ = β + δ ⇒ θ∗ (α) + θ∗ (γ) = θ∗ (β) + θ∗ (δ) Vì θ∗ (λ) = θ∗ (δ) Γ [/] {0} giản ước nên θ∗ (α) = [/] {0} ⇒ ϕ (0/ ≡) = [/] {0} Vậy ϕ N− đồng cấu Ta dễ dàng kiểm tra tính ϕ Vậy mệnh đề chứng minh Chú ý: Nếu A Λ− nửa môđun phải, B Λ− nửa môđun trái Γ N− nửa môđun giản ước được, với ánh xạ Λ− cân : θ : A × B → Γ tồn N− đồng cấu ϕ : ϕ : A⊗Λ B → Γ [/] {0} a ⊗ b → θ (a, b) với ∀a ∈ A, ∀b ∈ B Mệnh đề 2.21: Cho Λ nửa vành có đơn vị, A Λ− nửa môđun phải, B Λ− nửa môđun trái Γ N− nửa môđun giản ước Khi tồn đẳng cấu tắc Γ N− môđun : ρ : Hom (A⊗Λ B, Γ) → HomΛ (A, Hom(B, Γ)) Chứng minh: Nếu ϕ N− đồng cấu từ A⊗Λ B, Γ vào Λ, cho ϕ∗ ánh xạ : 13 ϕ∗ : A → Hom(B, Γ) a → ϕ∗ (a) : b → ϕ (a ⊗ b) Khi ϕ∗ Λ− đồng cấu Λ− nửa môđun phải ⇒ ϕ∗ ∈ HomΛ (A, Hom(B, Γ)) Cho ρ : Hom (A⊗Λ B, Γ) → HomΛ (A, Hom(B, Γ)) ϕ → ϕ∗ * Chứng minh ρ đồng cấu : ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ Hom (A⊗Λ B, Γ), ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, ∀r ∈ Λ: ρ [(ϕ1 + ϕ2 ) (a, b)] = ϕ∗ (ϕ1 + ϕ2 ) (a, b) = ϕ1 (a ⊗ b) + ϕ2 (a ⊗ b) = ϕ1 ∗ (a) + ϕ2 ∗ (a) = ρ [(ϕ1 ) (a, b)] + ρ [(ϕ2 ) (a, b)] ρ [(ϕ1 r) (a, b)] = ϕ∗ (ϕ1 r) (a, b) = (ϕ1 r) (a ⊗ b) = (rϕ1 ) (a ⊗ b) = r(ϕ1 (a ⊗ b)) = rϕ1 ∗ (a) = rρ [(ϕ1 ) (a, b)] ⇒    ρ (ϕ1 + ϕ2 ) = ρ (ϕ1 ) + ρ (ϕ2 )   ρ(ϕ1 r) = rρ (ϕ1 ) * Chứng minh ρ đơn ánh : Giả sử ρ (ϕ) = ρ (ϕ ) ⇒ ϕ∗ = ϕ ∗ ⇒ ϕ (a ⊗ b) = ϕ (a ⊗ b) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ⇒ϕ=ϕ 14 * Chứng minh ρ toàn ánh : Cho ψ Λ− đồng cấu : A → Hom(B, Γ) θ : A × B → Γ cho θ (a, b) = ψ (a) (b) Khi θ Λ− cân : ∀a, a ∈ A, ∀b, b ∈ B, ∀r ∈ Λ : θ (a + a , b) = ψ (a + a ) (b) = (ψ (a) + ψ (a )) (b) = ψ (a) (b) + ψ (a ) (b) = θ (a, b) + θ(a , b) θ (a, b + b ) = ψ (a) (b + b ) = ψ (a) (b) + ψ (a) (b ) = θ (a, b) + θ(a, b ) θ (ar, b) = ψ (ar) (b) = (rψ (a)) (b) = rθ (a, b) Theo Mệnh đề 2.20, tồn đồng cấu : ϕ : A⊗Λ B → Γ a ⊗ b → θ (a, b) Theo định nghĩa ta có : ψ (a) (b) = θ (a, b) = ϕ (a ⊗ b) = ϕ∗ (a) (b) ⇒ ψ = ϕ∗ Vậy ψ ∈ Hom (A, Hom (B, Γ)) tồn ϕ ∈ Hom (A⊗Λ B, Γ) cho ρ (ϕ) = ϕ∗ = ψ nên ρ toàn ánh Vậy ρ N− đẳng cấu Mệnh đề 2.22: Nếu M Λ− nửa môđun trái Λ⊗Λ M đẳng cấu vào M [/] {0} 15 Chứng minh: Cho ánh xạ: θ : Λ × M → M [/] {0} (r, m) → θ(r, m) Khi θ Λ− cân nên theo Mệnh đề 2.20 tồn N− đồng cấu : ϕ : Λ⊗Λ M → M [/] {0} r ⊗ m → θ(r, m) Thật vậy, ϕ Λ− đồng cấu Λ− nửa môđun trái Mặt khác ta có ánh xạ: ψ : M [/] {0} → Λ⊗Λ M m [/] {0} → ⊗ m Ta dễ dàng kiểm tra ánh xạ định nghĩa tốt Λ− đồng cấu Vì ψϕ (r ⊗ m) = ψ (rm) [/] {0} = ⊗ (rm) = (1r) ⊗ m = r ⊗ m ϕψ (m [/] {0}) = ϕ (1 ⊗ m) = θ (1, m) = (1m) [/] {0} = m [/] {0} với ∀r ∈ Λ ∀m ∈ M ⇒ ϕ vừa đơn ánh vừa toàn ánh Vậy ϕ Λ− đẳng cấu 16 Chương MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG Với Λ− nửa môđun trái A, ta thiết lập : ∆(A) = { x, x , x ∈ A} định nghĩa quan hệ tương đẳng ρ (∆ (A)) A liên kết với ∆ (A) : aρ (∆ (A)) a ⇔ a + x = a + x ∀x ∈ A Khi Λ− nửa môđun trái c(A) =: A/ρ (∆ (A)) giản ước Cho Λ− đồng cấu f : A → B, ta có Λ− đồng cấu c(f): c(A) → c(B), định nghĩa : c(f ) ([a]) = [f (a)] Bài Nếu A Λ− nửa môđun trái giản ước f : A → B Λ− đồng cấu, chứng minh : (i) f i-chính quy ⇔ c(f) i-chính quy (ii) Nếu f k-chính quy suy c(f) k-chính quy (iii) Nếu f quy suy c(f) quy Giải: (i) (⇒) : Giả sử f i-chính quy, ta chứng minh c(f) i-chính quy tức chứng minh : Im c (f ) = c (f ) (c (A)) (⊆) : ∀y/ρ (∆ (B)) ∈ Im c (f ), ∃x1 /ρ (∆ (A)) , x2 /ρ (∆ (A)) ∈ c (A) cho : ⇒ y/ρ (∆ (B))+f (x1 ) /ρ (∆ (A)) = f (x1 ) /ρ (∆ (A))+f (x2 ) /ρ (∆ (A)) 17 Vì B giản ước nên c(B) giản ước được, y/ρ (∆ (B)) = f (x2 ) /ρ (∆ (A)) ⇒ y/ρ (∆ (B)) ∈ c (f ) (c (A)) Vậy Im c (f ) ⊆ c (f ) (c (A)) (1) (⊇): ∀y/ρ (∆ (B)) ∈ c (f ) (c (A)), ∃x/ρ (∆ (A)) ∈ c (A) cho y/ρ (∆ (B)) = f (x) /ρ (∆ (A)) ⇒ y = f (x) Mà f i-chính quy nên Im (f ) = f (A) ⇒ y ∈ Im (f ) Suy ∃x1 , x2 ∈ A cho : y + f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ y/ρ (∆ (B)) + f (x1 ) /ρ (∆ (A)) = f (x2 ) /ρ (∆ (A)) ⇒ y/ρ (∆ (B)) ∈ Im c (f ) ⇒ c (f ) (c (A)) ⊆ Im c (f ) (2) Vậy từ (1) (2) suy : Im c (f ) = c (f ) (c (A)) hay c(f) i-chính quy (⇐): Giả sử c(f) i-chính quy ta chứng minh f i-chính quy tức chứng minh : Im (f ) = f (A) (⊆): ∀y ∈ Im (f ), ∃x1 , x2 ∈ A cho : y + f (x1 ) = f (x1 ) + f (x2 ) Vì B giản ước nên y = f (x2 ) ∈ B, y ∈ f (A) Từ ta có Im (f ) ⊆ f (A) (3) (⊇) : ∀y ∈ f (A), ∃a ∈ A cho : y = f (a) ⇒ y/ρ (∆ (B)) = f (a) /ρ (∆ (B)) ⇒ y/ρ (∆ (B)) ∈ c (f ) (c (A)) Mà c(f) i-chính quy nên Im c (f ) = c (f ) (c (A)) ⇒ y/ρ (∆ (B)) ∈ Im c (f ) ⇒ ∃x1 /ρ (∆ (A)) , x2 /ρ (∆ (A)) ∈ c (A) cho : 18 y/ρ (∆ (B)) + f (x1 ) /ρ (∆ (A)) = f (x2 ) /ρ (∆ (A)) ⇒ y + f (x1 ) = f (x2 ) với x1 , x2 ∈ A ⇒ f (A) ⊆ Im (f ) (4) Từ (3) (4) suy Im (f ) = f (A) hay f i-chính quy (ii) Giả sử f k-chính quy ta chứng minh : c(f) k-chính quy Thật vậy, f k-chính quy nên ∃a1 , a2 ∈ A : f (a1 ) = f (a2 ), lúc ∃k1 , k2 ∈ K er (f ) cho : a1 + k1 = a2 + k2 Từ ta suy : a1 , a2 ∈ A nên a1 /ρ (∆ (A)) , a2 /ρ (∆ (A)) ∈ c (A) f (a1 ) = f (a2 ) suy f (a1 ) /ρ (∆ (B)) = f (a2 ) /ρ (∆ (B)) k1 , k2 ∈ K er (f ) nên    f (k1 ) = ⇒    f (k1 ) /ρ (∆ (B)) =   f (k2 ) /ρ (∆ (B)) =   f (k2 ) = ⇒ k1 /ρ (∆ (A)) , k2 /ρ (∆ (A)) ∈ K er (c (f )) Và : a1 + k1 = a2 + k2 suy : a1 /ρ (∆ (A)) + k1 /ρ (∆ (A)) = a2 /ρ (∆ (A)) + k2 /ρ (∆ (A)) Vậy ∃a1 /ρ (∆ (A)) , a2 /ρ (∆ (A)) ∈ c (A) : f (a1 ) /ρ (∆ (B)) = f (a2 ) /ρ (∆ (B)) ∃k1 /ρ (∆ (A)) , k2 /ρ (∆ (A)) ∈ K er (c (f )) cho : a1 /ρ (∆ (A)) + k1 /ρ (∆ (A)) = a2 /ρ (∆ (A)) + k2 /ρ (∆ (A)) Vì c(f) k-chính quy (iii) Giả sử f quy ta chứng minh c(f) quy Vì f quy nên f vừa i-chính quy vừa k-chính quy Theo câu (i) (ii) ta vừa chứng minh ta suy c(f) vừa i-chính quy vừa k-chính quy Vậy c(f) quy 19 Bài f g Cho dãy khớp Λ− nửa môđun trái : A → B → C (*) C giản ước Chứng minh dãy sau khớp : c(f ) c(g) c(A) → c(B) → c(C) (**) Giải: Muốn chứng minh dãy (**) khớp ta chứng minh Im c(f) = Ker c(g) (⊆): ∀b/ρ (∆ (B)) ∈ Im c(f ) ⇒ a/ρ (∆ (A)) ∈ c (A) : b/ρ (∆ (B)) = c (f ) (a/ρ (∆ (A))) = f (a) /ρ (∆ (B)) Ta có : c (g) (b/ρ (∆ (B))) = c (g) (f (a) /ρ (∆ (B))) = gf (a) /ρ (∆ (C)) Do (*) khớp nên gf = Suy gf (a) = ⇒ gf (a) /ρ (∆ (C)) = 0/ρ (∆ (C)) ⇒ b/ρ (∆ (B)) ∈ K er c (g) ⇒ Im c(f ) ⊆ K er c(g) (1) (⊇): ∀b/ρ (∆ (B)) ∈ K er c(g) ⇒ c (g) (b/ρ (∆ (B))) = 0/ρ (∆ (C)) ⇒ g (b) /ρ (∆ (C)) = 0/ρ (∆ (C)) ⇒ ∃c ∈ C : g(b) + c = c Do C giản ước nên suy g(b) = Hay b ∈ K er g Do (*) khớp nên Im f = K er g Suy b ∈ Im f ⇒ ∃a ∈ A : b = f (a) ⇒ b/ρ (∆ (B)) = f (a) /ρ (∆ (B)) ∈ Im c(f ) ⇒ K er c(g) ⊆ Im c(f ) (2) 20 Từ (1) (2) ta suy Im c(f ) = K er c(g) Vậy dãy (**) dãy khớp 21 KẾT LUẬN Qua thời gian học tập, tìm hiểu nghiên cứu Lý thuyết nửa vành nửa môđun, tiểu luận hoàn thành đạt kết sau : - Tìm hiểu cách đầy đủ chi tiết đặc trưng, tính chất nửa vành có đơn vị, nửa môđun, đồng cấu nửa môđun, tính chất nửa môđun giản ước - Trình bày tương đối chi tiết cách xây dựng Tích tenxơ nửa mô đun tính chất Trong khuôn khổ tiểu luận hạn chế mặt thời gian trình độ nên chắn tránh khỏi thiếu sót Mặc dù thân thật cố gắng song nhiều sai sót, mong nhận lời góp ý quý báu quý thầy cô bạn để tiểu luận hoàn thiện Một lần nữa, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn bạn học viên Huế, ngày 02 tháng 11 năm 2014 Học viên Hoàng Thị Kiều My 22 Tài liệu tham khảo [1] GS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến, Giáo trình A theory of semirings and semimodules, NXB Đại học Huế, 2010 [2] GS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến, GS.TS Lê văn Thuyết, Foundations of Modern Algebra, NXB Giáo Dục, Hà Nội, 2001 23 ... nửa môđun trái : A → B → C (*) C giản ước Chứng minh dãy sau khớp : c(f ) c(g) c(A) → c(B) → c(C) (**) Giải: Muốn chứng minh dãy (**) khớp ta chứng minh Im c(f) = Ker c(g) (⊆): ∀b/ρ (∆ (B)) ∈ Im... ánh cân ta định nghĩa Λ− đồng cấu : ϕ : M → HomN (N, Γ) m → (ϕ(m))(n) = θ(m, n) Chứng minh: (⇒) : Chứng minh θ ánh xạ cân : ∀m, m ∈ M, ∀n, n ∈ N, ∀r ∈ Λ : θ(m + m , n) = (ϕ(m + m ))(n) = (ϕ(m)... ) + ρ (ϕ2 )   ρ(ϕ1 r) = rρ (ϕ1 ) * Chứng minh ρ đơn ánh : Giả sử ρ (ϕ) = ρ (ϕ ) ⇒ ϕ∗ = ϕ ∗ ⇒ ϕ (a ⊗ b) = ϕ (a ⊗ b) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ⇒ϕ=ϕ 14 * Chứng minh ρ toàn ánh : Cho ψ Λ− đồng cấu : A → Hom(B,