Phép biến đổi laplace (1)

Phép biến đổi Laplace Mục lục Phép biến đổi Laplace 1.1 Lịch sử 1.2 Định nghĩa 1.2.1 Biến đổi Laplace hai phía 1.2.2 Biến đổi Laplace ngược 1.3 Tính chất hàm gốc 1.4 Tính chất biến đổi Laplace 1.4.1 Biến đổi Laplace phép đạo hàm hàm 1.4.2 Liên hệ với biến đổi khác 1.5 Bảng biến đổi Laplace 1.6 Trở kháng sơ đồ mạch điện tương đương mạch miền s 1.7 Ứng dụng tính chất định lý biến đổi Laplace 1.7.1 Giải phương trình vi phân 1.7.2 Tổng trở Z(s) tụ điện cuộn cảm 1.7.3 Hàm truyền 1.7.4 Phương pháp khai triển thừa số riêng phần 1.7.5 Tổng hợp hàm sin, cos hàm mũ 1.7.6 Sự trễ pha 1.8 Xem thêm 1.9 am khảo 1.10 Liên kết Lôgarit tự nhiên 2.1 Lịch sử 2.2 Nguồn gốc thuật ngữ logarit tự nhiên 2.3 Những định nghĩa 2.4 Tính chất 2.5 Logarit tự nhiên giải tích 2.6 Giá trị số 2.6.1 Độ xác cao 2.7 Xem thêm 2.8 am khảo 2.9 Liên kết i ii MỤC LỤC 2.10 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 10 2.10.1 Văn 10 2.10.2 Hình ảnh 10 2.10.3 Giấy phép nội dung 10 Chương Phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace biến đổi tích phân hàm số f (t) từ miền thời gian sang miền tần số phức F (s) Biến đổi Laplace với biến đổi Fourier hai biến đổi hữu ích thường sử dụng giải toán vật lý a biến đổi Laplace, phép toán giải tích phức tạp đạo hàm, tích phân đơn giản hóa thành phép tính đại số (giống cách mà hàm logarit chuyển phép toán nhân số thành phép cộng logarit chúng) Vì đặc biệt hữu ích giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình thường xuất toán vật lý, phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, hệ học Bởi qua biến đổi Laplace phương trình chuyển thành phương trình đại số đơn giản Giải nghiệm hàm ảnh không gian p, dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc không gian thực t Laplace nhận phương pháp Joseph Fourier chuỗi Fourier để giải phương trình khuếch tán áp dụng vùng không gian giới hạn 1.2 Định nghĩa Phép biến đổi Laplace cách tiếp cận miền tần số cho tín hiệu thời gian liên tục hệ thống có ổn định hay không ổn định Phép biến đổi Laplace hàm số f (t), định nghĩa cho tất số thực t ≥ 0, hàm số F(s), Đó biến đổi đơn phương định nghĩa bởi: ∫∞ L{f (t)} = F (s) = f (t)e−st dt 0− Trong s biến số phức cho s = σ + jω , s miền tần số có đơn vị nghịch đảo giây (second) s−1 1.1 Lịch sử Giới hạn 0− rõ thời điểm bắt đầu trước t = , dùng giới hạn thấp 0− để lấy tận gốc hàm số f (t) thời điểm t = Từ năm 1744, Leonhard Euler đưa tích phân ∫ ∫ z = X(x)eax dx z = X(x)xA dx 1.2.1 Biến đổi Laplace hai phía để giải phương trình vi phân Joseph Louis Lagrange, người ngưỡng mộ Euler, nghiên cứu cách tính tích phân hàm mật độ xác suất, ông đưa biểu thức tích phân ∫ X(x)eax ax dx Một nói “biến đổi Laplace” mà không ý thêm gì, thường ta nói đến biến đổi phía Biến đổi Laplace định nghĩa biến đổi Laplace hai phía cách mở rộng giới hạn tích phân đến âm vô cực ∫ Những dạng tích phân thu hút ý F (s) = L {f (t)} = ∞ f (t)e−st dt −∞ Laplace vào năm 1782 ông tiếp tục công trình Nếu vậy, biến đổi Laplace phía đơn giản trở Euler sử dụng phép tính tích phân để giải phương thành trường hợp đặc biệt biến đổi Laplace hai trình Năm 1785, vượt khỏi giới hạn giải phía, xác định cách lấy hàm chuyển đổi nhân phương trình phương pháp tích phân, ông bắt hàm bước nhảy Heaviside với đưa biến đổi mà sau trở nên phổ biến Ông sử dụng tích phân ∫ s x Φ (s)dx 1.2.2 Biến đổi Laplace ngược - tương tự với biến đổi Mellin, để biến đổi phương trình sai phân để tìm lời giải cho phương trình biến đổi Biến đổi Laplace ngược giúp tìm lại hàm gốc Với cách tương tự vậy, ông suy tính chất f(t) từ hàm ảnh F(s) Biến đổi Laplace ngược định biến đổi Laplace nghĩa tích phân sau CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE L−1 {F (s)} = f (t) = 2πi ∫ 1.4.1 Biến đổi Laplace phép đạo hàm hàm γ+i∞ est F (s)ds ường dùng phép tính vi phân biến đổi Laplace để tìm dạng đạo hàm hàm Ta thu Nhưng thông thường dùng đến tích phân từ biểu thức biến đổi Laplace sau: để tính hàm gốc mà dùng bảng “các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng” có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t) ∫ γ−i∞ +∞ L {f (t)} = 1.3 Tính chất hàm gốc hợp hàm f biến số thực t cho tích phân ∫Tập ∞ f (t)e−st dt hội tụ với số phức p gọi lớp hàm gốc Trong ∫ ∞khi tập hợp giá trị p cho tích phân f (t)e−st dt tồn gọi miền hội tụ (hay miền qui tụ) Ta chứng minh lớp hàm gốc phải thỏa mãn tính chất sau e−st f (t) dt 0− [ ]+∞ ∫ +∞ −st f (t)e−st e f ′ (t)dt = − −s −s 0− 0− [ ] f (0) = − + L {f ′ (t)} , −s s { } df = s · L {f (t)} − f (0), L dt Trong trường hợp bên, ta có { df dt } ∫ +∞ e−st f (t) dt = s · L{f (t)} • f(t) = 0, với t < L • Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục với đạo hàm cấp đủ lớn toàn trục t, trừ số hữu hạn điểm gián đoạn loại 1.4.2 Liên hệ với biến đổi khác =s −∞ Biến đổi Fourier • Khi t → +∞ hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức tồn số s>0 M>0 cho |f (t)| ≤ Biến đổi Fourier liên tục tương đương với giá trị M est , ∀t > Khi sₒ = inf {s} gọi số biến đổi Laplace hai bên với argument số phức s = iω tăng hàm f (Tức hàm f(t) không tăng hay s = 2πf i nhanh hàm est để đảm bảo tích phân Laplace hội tụ) F (ω) = F {f (t)} 1.4 Tính chất biến đổi Laplace = L {f (t)} |s=iω = F (s)|s=iω ∫ +∞ = • Cho hàm f(t) g(t), hàm ảnh tương ứng F(s) G(s): f (t) = L−1 {F (s)} g(t) = L−1 {G(s)} • Sau bảng tính chất biến đổi Laplace: • Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn) + f (0 ) = lims→∞ sF (s) −∞ e−ıωt f (t) dt Chú ý biểu thức không tính đến hệ số tỉ lệ √12π , điều tính đến định nghĩa biến đổi Fourier Mối quan hệ biến đổi Laplace biến đổi Fourier thường dùng để xác định quang phổ tần số tín hiệu hay hệ thống động lực học (dynamic system) Biến đổi Mellin Biến đổi Mellin phép nghịch đảo liên hệ với biến đổi Laplace hai bên cách thay đổi biến Trong biến đổi Mellin • Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn) ∫ G(s) = M {g(θ)} = f (∞) = lims→0 sF (s) , nửa mặt phẳng (Re.s > so) -t ∞ θs g(θ) dθ θ Ta đặt θ = e , ta thu biến đổi Laplace hai bên 1.5 BẢNG CÁC BIẾN ĐỔI LAPLACE Biến đổi Z Mối quan hệ Biến đổi Z biến đổi Laplace tín hiệu thử lý Từ biến đổi Laplace ban đầu xem trường tưởng cách thay hợp đặc biệt biến đổi hai bên, từ biến đổi hai bên xem tổng hai biến đổi bên, def sT điểm khác biệt riêng biến đổi Laplace, Fourier, z = e , với T = 1/fs chu kỳ (đơn vị Mellin, Z liên quan biến đổi đối giây), fs tần số (đơn vị hertz) với biến đổi tích phân đặt def ∑∞ ∆T (t) = n=0 δ(t − nT ) xung lực thử (còn gọi lực Dirac) def xq (t) = x(t)∆T (t) = x(t) = ∞ ∑ x(nT )δ(t − nT ) = n=0 ∑∞ n=0 ∞ ∑ δ(t − nT ) biểu diễn liên tục thời gian (continuous-time) def x(t) x[n] = x(nT ) biểu diễn rời rạc x(t) Biến đổi Laplace tín hiệu thử x(t) ∫ = ∫∞ 0− ∞ ∞∑ 0− n=0 = ∞ ∑ = ∞ ∑ ∫ ∞ x[n] 0− δ(t − nT )e−st dt x[n]e−nsT n=0 Đây định nghĩa xác biến đổi Z hàm x[n] X(z) = • Biến đổi Laplace tổng tổng biến đổi Laplace số hạng L {f (t) + g(t)} = L {f (t)} + L {g(t)} • Biến đổi Laplace bội số hàm bội số nhân cho biến đổi Laplace hàm xq (t)e−st dt x[n]δ(t − nT )e−st dt n=0 Vì biến đổi Laplace toán tử tuyến tính nên x[n]δ(t − nT ) n=0 Xq (s) = 1.5 Bảng biến đổi Laplace ∑∞ n=0 x[n]z −n (thay z ← esT ) L {af (t)} = aL {f (t)} Tính đơn ánh biến đổi Laplace t số không âm, hàm miền thời gian bảng bội hàm bậc thang Heaviside u(t) • Bảng cung cấp biến đổi Laplace hàm chung biến 1.6 Trở kháng sơ đồ mạch điện tương đương mạch miền s So sánh phương trình cuối ta thấy mối liên hệ biến đổi Z biến đổi Laplace tín hiệu thử Biến đổi Laplace sử dụng để biến đổi yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang mạch miền s Xq (s) = X(z) z=e sT Mối quan hệ dòng áp miền s yếu tố mạch điện RLC VR (s) = R.I(s) Biến đổi Borel VL (s) = s.L.I(s) − L.Io Dạng tích phân biến đổi Borel có liên hệ với biến đổi Laplace; thật sự, có số nhầm lẫn cho chúng tương tự Biến đổi Borel tổng quát tạo biến đổi Laplace cho hàm hàm mũ VC (s) = s.C I(s) + Vo s Chú ý: điện trở R, mạch miền t mạch miền s giống Riêng cuộn cảm L tụ điện C cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu cuộn cảm áp ban đầu tụ điện) CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ˜ (s)} = L−1 N (t) = L−1 {N { No s+λ } 1.7.2 Tổng trở Z(s) tụ điện cuộn cảm Ví dụ dựa vào lý thuyết giải tích mạch điện (electrical circuit) an hệ dòng áp phần tử RLC miền thời gian t iR (t) = Bảng so sánh mạch miền t mạch miền s 1.7 Ứng dụng tính chất định lý biến đổi Laplace VR (t) R C (t) iC (t) = C dVdt VL (t) = L diLdt(t) Với i(t) lượng điện tích chạy qua thành phần RLC đơn vị thời gian V(t) điện áp đầu thành phần RLC, hàm theo thời gian t Biến đổi Laplace sử dụng nhiều kỹ thuật Dùng biến đổi Laplace để chuyển sang miền s vật lý học Việc tính toán chuyển sang không gian Laplace nhằm chuyển phép nhân chập phép nhân VR (s) = R.I)(s) thông thường, ta giải vấn đề VL (s) = s.L.I(s) − L.Io phương pháp đại số VC (s) = sC I(s) + Vso Biến đổi Laplace sử dụng để giải phương trình vi phân ứng dụng rộng rãi kỹ thuật điện Với I(s) = Li(t) , V (s) = Lv(t) (electrical engineering) Phương pháp sử dụng biến đổi Io = i(0) : dòng điện ban đầu chạy qua cuộn cảm L Laplace để giải phương trình vi phân phát triển Vo = VC (0) : điện áp ban đầu qua tụ điện C kỹ sư người Anh Oliver Heaviside Tổng trở Z(s) định nghĩa tỷ số áp V Những ví dụ sử dụng hệ đơn vị SI dòng i điều kiện ban đầu 1.7.1 Giải phương trình vi phân Bài toán vật lý hạt nhân nguyên tử Z(s) = V (s) I(s) Vo =0 Từ ta suy tổng trở thành phần RLC Phương trình biểu diễn phân rã phóng xạ chất đồng vị phóng xạ ZR (s) = R dN dt = −λN (1) N=N(t): số nguyên tử lại không bị phân rã thời điểm t(s) ZC (s) = λ : số phân rã 1.7.3 Hàm truyền Ta sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình Từ (1) ta có dN dt ZL (s) = s.L sC Sự liên hệ miền thời gian t miền tần số biểu diễn thông qua bảng sau: + λN = Chú ý ký hiệu * miền thời gian phép ực biến đổi Laplace cho hai vế phương nhân chập trình Xét hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với ( ) ˜ (s) − No + λN ˜ (s) = sN h(t) = Ae−αt cos(ωd t − ϕd ) (1) ˜ (s) = L{N (t)} ωd t − ϕd ≥ Với N No = N (0) ≤ ϕd ≤ 2π : trễ pha Giải phương trình ta có ˜ (s) = No N Ta biến đổi (1) s+λ h(t) = Ae−αt cos [ωd (t − td )] · u(t − td ) Cuối ta thực biến đổi ngược để chuyển Với td = ωϕdd : thời gian trễ hệ u(t) hàm bước miền t nhảy Heviside 1.8 XEM THÊM 1.7.5 Tổng hợp hàm sin, cos hàm mũ s+β (s+α)2 +ω Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace X(s) = Ta tìm hàm ngược X(s) cách thêm bớt số vào tử số X(s) = s+α (s+α)2 +ω + β−α (s+α)2 +ω Dựa vào định lý dịch chuyển ta có { } β−α s x(t) = e−αt L−1 s2 +ω + s2 +ω = e−αt L−1 Hàm truyền H(s) suy cách dùng biến đổi Laplace hàm h(t) (s+α) H(s) = L{h(t)} = Ae−std (s+α) +ω d (s+α) = Ae−std (s2 +2αs+α )+ω d = (s+α) Ae−std (s2 +2αs+ω 0) với ω0 = √ α2 + ωd2 tần số cộng hưởng hệ(rad/s) { s + s2 + ω [ { = e−αt L−1 s s2 + ω ( β−α ω } ( + )( β−α ω ω s2 + ω ) L−1 { )} ω s2 + ω Cuối cùng, dùng biến đổi Laplace hàm [ sin cos,( ta )thu ] x(t) e−αt cos (ωt)u(t) + β−α sin (ωt)u(t) ω [ ( ) ] x(t) = e−αt cos (ωt) + β−α sin (ωt) u(t) ω cho = 1.7.6 Sự trễ pha Phương pháp khai triển thừa số Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace cos ϕ riêng phần X(s) = s sinsϕ+ω +ω 1.7.4 Xét hệ tuyến tính bất biến với thời gian hàm truyền H(s) = Suy X(s) = (s+α)(s+β) h(t) = L−1 {H(s)} : biến đổi Laplace ngược hàm truyền H(s) s sin ϕ s2 +ω ( = (sin ϕ) + ω cos ϕ s2 +ω s s2 + ω ) ( + (cos ϕ) ω s2 + ω ) Để thực biến đổi Laplace ngược, ta bắt đầu khai triển H(s) cách sử dụng phương pháp khai triển ực biến đổi ngược cho X(s), ta có riêng phần Áp dụng hệ thức lượng tam giác P R H(s) = (s+α)(s+β) = (s+α) + (s+β) (trigonometric identity) a sin ωt + b cos ωt = √ a2 + b2 · sin (ωt + arctan(b/a)) P, R số chưa biết Để tìm số ta dùng đồng thức Ta suy s+α s+β = P (s+β)+R(s+α) (s+α)(s+β) Tương tự ta nhận { } sin ϕ L−1 s cossϕ−ω = cos (ωt + ϕ) +ω Từ suy P = (s+β) = (β−α) = (α−β) s=−α R= 1.8 Xem thêm (s+α) s=−β = ay vào H(s) ta tìm ( ) ( 1 H(s) = β−α · (s+α) − −1 (β−α) (s+β) = −P ) Cuối sử dụng tính chất bảng biến đổi Laplace, ta thực biến đổi Laplace ngược cho hàm H(s) ( −αt ) e − e−βt h(t) = L−1 {H(s)} = β−α • Pierre-Simon Laplace • Biến đổi Fourier • Analog signal processing • Laplace transform equations applied to differential }] CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.9 Tham khảo 1.10 Liên kết • Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr • Tables of Integral Transforms at EqWorld: e World of Mathematical Equations • Laplace Transform Module by John H Mathews • Good explanations of the initial and final value theorems • Laplace and Heaviside at Interactive maths • Laplace Transform Table and Examples at Vibrationdata • Laplace Transform Electronic Design Cookbook at Syscomp Chương Lôgarit tự nhiên ln(xy) = ln(x) + ln(y) Do đó, hàm số logarit hàm số đơn điệu từ tập số thực dương phép nhân vào tập số thực phép cộng Được miêu tả: -2 ln : R+ → R Logarit định nghĩa cho số dương khác 1, không số e; nhiên, logarit số khác khác hàm số nhân liên tục từ logarit tự nhiên thường định nghĩa thuật ngữ sau Logarit sử dụng để tính phương trình có số mũ biến số Ví dụ, Logarit sử dụng để tính chu kì bán rã, số phân rã, thời gian chưa biết vấn đề phân rã chứa mũ Logarit quan trọng nhiều lĩnh vực toán học khoa học sử dụng tài để giải vấn đề liên quan đến lãi suất kép -4 -6 Đồ thị hàm số logarit tự nhiên Logarit tự nhiên (còn gọi logarit Nêpe) logarit số e nhà toán học John Napier sáng tạo Ký hiệu là: ln(x), logₑ(x) viết log(x) Logarit tự nhiên số x bậc số e để số e lũy thừa lên 2.1 Lịch sử x Tức ln(x)=a ea =x Ví dụ, ln(7,389) e2 =7.389… Trong logarit tự nhiên e Người đề cập đến logarit tự nhiên Nicholas logarit tự nhiên Mercator tác phẩm Logarithmotechnia công Logarit tự nhiên xác định với số thực a (trừ số bố vào năm 1668, giáo viên toán John Speidell 0) vùng đồ thị y=1/x từ đến a Sự đơn giản biên soạn logarit tự nhiên Ban đầu định nghĩa sánh với công thức khác kéo theo gọi logarit hyperbol, tương ứng với diện logarit tự nhiên, dẫn đến thuật ngữ “tự nhiên” Định tích hyperbol Nó gọi nghĩa mở rộng đến số phức, giải thích logarit Nêpe, ý nghĩa ban đầu thuật ngữ khác Hàm số logarit tự nhiên, coi hàm số có nghĩa biến thực, hàm số hàm mũ Điều dẫn đến đồng nhất: 2.2 Nguồn gốc thuật ngữ logarit tự nhiên eln(x) = x x > Ban đầu, logarit tự nhiên coi logarit số 10, số “tự nhiên” số e Nhưng theo toán học, số ln(e ) = x 10 ý nghĩa đặc biệt Ứng dụng văn Như tất logarit, logarit tự nhiên biến nhân thành hóa - làm sở cho nhiều hệ thống đánh số xã hội, có cộng: khả phát sinh từ đặc trưng ngón tay x CHƯƠNG LÔGARIT TỰ NHIÊN người Các văn hóa khác dựa hệ thống số Số e sau định nghĩa số thực để ln đếm họ cho lựa chọn chẳng hạn 5, 8, 12, 20, (a) = 60 Ngoài ra, hàm số mũ định nghĩa cách Logₑ logarit tự nhiên bắt nguồn sử dụng chuỗi vô hạn, logarit tự nhiên nghĩa xuất thường xuyên toán học Ví dụ xem hàm ngược nó, tức là, ln hàm số cho xét vấn đề phân biệt hàm lôgarit: eln(x) = x Vì phạm vi hàm mũ đối số thực tất số thực dương hàm số mũ hàm tăng, nên hàm log xác định cho tất cảsố ( ) d d 1 d dương x logb (x) = ln x = ln x = dx dx ln(b) ln(b) dx x ln(b) Nếu số b e, đạo hàm đơn giản 1/x, x=1 đạo hàm Một hướng khác cho logarit số e logarit tự nhiên định nghĩa dễ dàng thuật ngữ tích phân đơn giản hay dãy Taylor điều lại không logarit khác 2.4 Tính chất • ln(1) = • ln(−1) = iπ • ln(x) < ln(y) Những chiều hướng sau tự nhiên ứng dụng tính toán Như ví dụ sau, có số dãy số đơn giản liên quan đến logarit tự nhiên Pietro Mengoli Nicholas Mercator gọi logarithmus naturalis vài thập kỷ trước Isaac Newton Gofried Leibniz phát triển phép tính • h 1+h for 00 Cho ln(x) vào x>1, giá trị x gần 1, tốc độ hội tụ nhanh Những đồng kết hợp với logarit tự nhiên đẩy lên để khai thác điều này: Kỹ thuật sử dụng trước máy tính, cách tham khảo bảng số thực thao tác 2.6.1 Độ xác cao Để tính logarit tự nhiên với nhiều chữ số xác, hướng tiếp cận dãy số Taylor hiệu hội tụ chậm Vì vậy, nhà toán học thay hướng sử dụng phương pháp Newton để đảo ngược hàm mũ để có hội tụ dãy nhanh Cách tính khác cho kết có độ xác cao công thức: ln x ≈ π − m ln 2M (1, 4/s) với M dãy truy hồi trung bình cộng trung bình nhân 4/s và: s = x 2m > 2p/2 , 2.9 Liên kết • Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BeerExplained 10 CHƯƠNG LÔGARIT TỰ NHIÊN 2.10 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 2.10.1 Văn • Phép biến đổi Laplace Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A9p_bi%E1%BA%BFn_%C4%91%E1%BB%95i_Laplace?oldid= 26618897 Người đóng góp: DHN, Mekong Bluesman, JAnDbot, Rungbachduong, TXiKiBoT, Synthebot, SieBot, Qbot, TranSyHuy, MelancholieBot, Luckas-bot, Pq, Xqbot, Dinhxuanduyet, TuHan-Bot, EmausBot, RedBot, JackieBot, AlphamaBot, Addbot, Tuanminh01, TuanminhBot, Shinigami.dance, Youandme410 người vô danh • Lôgarit tự nhiên Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/L%C3%B4garit_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn?oldid=26578603 Người đóng góp: VolkovBot, Ptbotgourou, Tnt1984, TuHan-Bot, Cheers!-bot, MerlIwBot, Le Cam Van, GrouchoBot, Alphama, Makecat-bot, AlphamaBot, Hugopako, AlphamaBot2, Addbot, Jimmy Jefferson, Tuanminh01, TuanminhBot, Trantrongnhan100YHbot, Huỳnh Nhân-thập 11 người vô danh 2.10.2 Hình ảnh • Tập_tin:LTI.png Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f5/LTI.png Giấy phép: Public domain Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ? • Tập_tin:Log-pole-x.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/55/Log-pole-x.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: own work (based on raster image uploaded on polish wiki.) Nghệ sĩ đầu tiên: Wojciech Muła • Tập_tin:Log.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Log.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: en wikipedia, uploaded by Elmextube who claims to be the author Nghệ sĩ đầu tiên: Elmextube • Tập_tin:Question_book-new.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Question_book-new.svg Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Chuyển từ en.wikipedia sang Commons Created from scratch in Adobe Illustrator Based on Image: Question book.png created by User:Equazcion Nghệ sĩ đầu tiên: Tkgd2007 • Tập_tin:S-domain_circuit_equivalents.png Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/S-domain_circuit_ equivalents.png Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Made and uploaded by the author Nghệ sĩ đầu tiên: Fresheneesz 2.10.3 Giấy phép nội dung • Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0 ... 10 Chương Phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace biến đổi tích phân hàm số f (t) từ miền thời gian sang miền tần số phức F (s) Biến đổi Laplace với biến đổi Fourier hai biến đổi hữu ích thường... g(θ) dθ θ Ta đặt θ = e , ta thu biến đổi Laplace hai bên 1.5 BẢNG CÁC BIẾN ĐỔI LAPLACE Biến đổi Z Mối quan hệ Biến đổi Z biến đổi Laplace tín hiệu thử lý Từ biến đổi Laplace ban đầu xem trường tưởng... Biến đổi Laplace ngược định biến đổi Laplace nghĩa tích phân sau CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE L−1 {F (s)} = f (t) = 2πi ∫ 1.4.1 Biến đổi Laplace phép đạo hàm hàm γ+i∞ est F (s)ds ường dùng phép