Sáng Kiến kinh nghiệm PT lượng giác

Sáng Kiến kinh nghiệm PT lượng giác Sáng Kiến kinh nghiệm PT lượng giác Sáng Kiến kinh nghiệm PT lượng giác Sáng Kiến kinh nghiệm PT lượng giác Sáng Kiến kinh nghiệm PT lượng giác Sáng Kiến kinh nghiệm PT lượng giác Sáng Kiến kinh nghiệm PT lượng giác

SỞ GD VÀ ĐT TUYÊN QUANG TRƯỜNG THPT ATK TÂN TRÀO - CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phương pháp giúp học sinh làm tốt số toán giải phương trình lượng giác Sơ lược lý lịch - Họ tên: Phạm Ngọc Chiến - Sinh ngày: 19/12/1983 - Giới tính: Nam - Dân tộc: Kinh - Quê quán: Xã Yên Nghĩa, huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định - Chỗ nay: TND Tân Phúc , thị trấn Sơn Dương, huyện Sơn Dương, tỉnh Tuyên Quang - Đơn vị công tác: Tổ Toán – Lý, trường THPT ATK Tân Trào - Nhiệm vụ phân công: Giảng dạy môn Toán lớp B1, B2, B3, môn Tự chọn Toán lớp từ B1 đến B7 Phó Tổ trưởng chuyên môn tổ Toán – Lý UV Ban thường vụ Đoàn trường, Chủ tịch Hội liên hiệp niên trường THPT ATK Tân Trào Mô tả ý tưởng a Thực tế, nguyên nhân Trong trình giảng dạy môn Toán trường THPT, chuyên đề phương trình lượng giác chuyên đề hay lý thú mà thường xuyên có mặt kỳ thi Cao đẳng, Đại học Trong chuyên đề phương trình lượng giác việc sử dụng kết hợp công thức lượng giác phương pháp giải phương trình để giải toán hiệu thông qua mà lời giải đơn giản hơn, thu kết nhanh chóng Với ý nghĩ giới thiệu việc sử dụng số phương pháp vào giải số phương trình lượng giác thường gặp b Ý tưởng Xuất phát từ thực tế giảng dạy chương trình THPT, đứng trước toán có nhiều phương pháp giải khác song phương pháp giải tương đối có hiệu việc sử dụng phương trình lượng giác để giải Chuyên đề áp dụng cho học sinh trung bình trường THPT Nhằm mục đích củng cố kiến thức nâng cao, mở rộng hiểu biết cho học sinh giúp em hiểu sâu sắc phương trình lượng giác Qua giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện phương pháp giải phương trình lượng giác rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh Nội dụng a Cơ sở lí luận Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toán môn học quan trọng Môn toán có tiềm khai thác góp phần phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện phát triển thao tác tư phẩm chất tư Trong trình giải toán nhà trường kỳ thi, chuyên đề phương trình lượng giác chuyên đề hay lý thú mà thường xuyên có mặt kỳ thi vào ĐH, CĐ THCN Đứng trước toán có nhiều cách giải khác song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị độc đáo việc không dễ thông qua mà thu kết nhanh chóng Vì khai thác phương pháp giải phương trình lượng giác vào việc giải toán đem lại kết nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo học sinh b Đối tượng Chuyện đề dùng để giảng dạy cho học sinh học tập nhà trường sở để ôn thi ĐH, CĐ sau c Nội dung I.CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1.Các đẳng thức lượng giác sin x + cos x = 1 + tan x = cos x 1 + cot x = sin x tan x.cot x = 2.Công thức cộng cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y tan x + tan y − tan x tan y tan x − tan y tan ( x − y ) = + tan x tan y tan ( x + y ) = 3.Công thức nhân đôi sin x = 2sin x cos x cos x = cos x − sin x = cos x − = − 2sin x tan x tan x = − tan x 4.Công thức nhân ba cos x = cos3 x − 3cos x sin 3x = 3sin x − 4sin x ( − tan x ) tan x tan 3x = Hạ bậc − tan x 1 ( − cos x ) ; cos x = ( + cos x ) 2 − cos x + cos x tan x = ; cot x = + cos x − cos x 1 sin x = ( 3sin x − sin x ) ;cos x = ( 3cos x + cos x ) 4 3sin x − sin x 3cos x + cos x tan x = ;cot x = 3cos x + cos 3x 3sin x − sin x sin x = 5.Công thức biến đổi tích thành tổng cos ( x + y ) + cos ( x − y )  2 sin x sin y = cos ( x − y ) − cos ( x + y )  sin x cos y = sin ( x + y ) + sin ( x − y )  cos x sin y = sin ( x + y ) − sin ( x − y )  cos x cos y = 6.Công thức biến đổi tổng thành tích  x+ y  x− y cos x + cos y = cos  ÷cos  ÷      x+ y   x− y  cos x − cos y = −2sin  ÷sin  ÷      x+ y  x− y sin x + sin y = 2sin  ÷cos  ÷      x+ y  x− y sin x − sin y = cos  ÷sin  ÷     sin( x + y) cos x cos y sin( x − y ) tan x − tan y = cos x cos y sin( x + y ) cot x + cot y = sin x sin y sin( x − y ) cot x − cot y = sin x sin y 7.Công thức sin x ± cos x π π   sin x + cos x = sin x  x + ÷ = cos  x − ÷ 4 4   π π   sin x − cos x = sin x  x − ÷ = − cos  x + ÷ 4 4   tan x + tan y = x 8.Công thức sin x, cos x, tan x theo tan = t sin x = 2t 1− t 2t ;cos x = ; tan x = 2 1+ t 1+ t 1− t2 9.Bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt 00 / sinx cosx tanx cotx || 300 / 3 π 450 / π 2 2 2 1 10.Mối quan hệ góc đặc biệt a.Hai góc đối nhau: x − x sin( − x) = − sin x cos(− x) = cos x tan(− x) = − tan x cot(− x ) = − cot x b.Hai góc bù nhau: x π − x sin(π − x) = sin x cos(π − x) = − cos x tan(π − x) = − tan x cot(π − x) = − cot x 600 / π 900 / π 1800 / π 0 −1 || || π c.Hai góc phụ nhau: x − x π sin( − x) = cos x π cos( − x) = sin x π tan( − x) = cot x π cot( − x) = tan x 2 d.Hai góc π : x π + x sin(π + x ) = − sin x cos(π + x) = − cos x tan(π + x) = tan x cot(π + x) = cot x e.Hai góc π sin( + x) = − cos x π cos( + x) = sin x π tan( + x) = − cot x π cot( + x) = − tan x π π : x + x 2 II.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.PT lượng giác a.Phương trình dạng sin f ( x) = a *.Phương pháp -Nếu a > Phương trình vô nghiệm -Nếu a ≤ Khi ta có Nếu a sin góc đặc biệt  f ( x) = α + k 2π sin f ( x ) = a ⇔ sin f ( x) = sin α ⇔  ;k ∈Z  f ( x ) = π − α + k 2π Nếu a không sin góc đặc biệt  f ( x) = arcsin a + k 2π sin f ( x) = a ⇔  ;k ∈Z  f ( x) = π − arcsin a + k 2π  f ( x) = g ( x ) + k 2π ;k ∈Z Trường hợp: sin f ( x) = sin g ( x) ⇔   f ( x) = π − g ( x ) + k 2π Nếu phương trình có đơn vị độ  f ( x) = α + k 3600 sin f ( x ) = a ⇔ sin f ( x) = sin α ⇔  ;k ∈Z 0  f ( x) = 180 − α + k 360 *.Ví dụ: Giải phương trình sau sin x = sin(2 x − 1) = −1 sin x = sin( x − 300 ) − = 2sin x + = π  sin  x − ÷− = 4  2sin(3 x + 2) − = π  sin x = sin  x − ÷ 3  π π   sin  x − ÷+ sin  x + ÷ = 4 3   π  sin( x − π ) − cos  x + ÷ = 6  sin x − 2sin x = sin(7 x + 450 ) + cos(90 − x) = b.Phương trình dạng cos f ( x) = a *.Phương pháp -Nếu a > Phương trình vô nghiệm -Nếu a ≤ Khi ta có Nếu a cosin góc đặc biệt  f ( x ) = α + k 2π cos f ( x) = a ⇔ cos f ( x) = cos α ⇔  ;k ∈Z  f ( x) = −α + k 2π Nếu a không cosin góc đặc biệt  f ( x ) = arc cos a + k 2π cos f ( x ) = a ⇔  ;k ∈Z  f ( x) = − arc cos a + k 2π  f ( x) = g ( x) + k 2π ;k ∈ Z Trường hợp: cos f ( x) = cos g ( x) ⇔   f ( x) = − g ( x) + k 2π Nếu phương trình có đơn vị độ  f ( x) = α + k 3600 sin f ( x) = a ⇔ cos f ( x) = cos α ⇔  ;k ∈Z 0  f ( x) = −α + k 360 *.Ví dụ: Giải phương trình sau cos x = cos(2 x − 1) = −1 cos x = cos( x − 300 ) − = sin x = cos x cos x + = π  cos  x − ÷− = 4  cos(3 x + 2) − = π  cos x = cos  x − ÷ 3  π π   cos  x − ÷+ sin  x + ÷ = 4 4   π  cos( x − π ) − sin  x + ÷ = 6  sin x − cos x = cos(7 x + 450 ) + sin(900 − x) = c.Phương trình dạng tan f ( x) = a *.Phương pháp Điều kiện: cos f ( x) ≠ ⇔ f ( x) ≠ π + kπ , k ∈ Z Nếu a tang góc đặc biệt tan f ( x) = a ⇔ tan f ( x) = tan α ⇔ f ( x) = α + kπ ; k ∈ Z Nếu a không tang góc đặc biệt tan f ( x) = a ⇔ f ( x ) = arctan a + kπ ; k ∈ Z Trường hợp: tan f ( x) = tan g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) + kπ ; k ∈ Z Nếu phương trình có đơn vị độ tan f ( x) = a ⇔ tan f ( x) = tan α ⇔ f ( x) = α + k180 ; k ∈ Z *.Ví dụ: Giải phương trình sau tan x = tan(5 x − 1) = −1 tan x = tan( x − 300 ) − = tan x = cot x tan x + = π  tan  x − ÷− = 4  tan(3 x − 2) − = π  tan x = tan  x − ÷ 3  π  tan ( x − π ) + cot  x − ÷ = 3  π  tan( x − π ) − cot  x + ÷ = 6  tan(7 x + 450 ) + tan(900 − x) = d.Phương trình dạng cot f ( x) = a *.Phương pháp Điều kiện: sin f ( x) ≠ ⇔ f ( x) ≠ kπ , k ∈ Z Nếu a cotang góc đặc biệt cot f ( x) = a ⇔ cot f ( x) = cot α ⇔ f ( x) = α + kπ ; k ∈ Z Nếu a không cotang góc đặc biệt cot f ( x) = a ⇔ f ( x) = arc cot a + kπ ; k ∈ Z Trường hợp: cot f ( x) = cot g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) + kπ ; k ∈ Z Nếu phương trình có đơn vị độ cot f ( x ) = a ⇔ cot f ( x) = cot α ⇔ f ( x) = α + k1800 ; k ∈ Z *.Ví dụ: Giải phương trình sau cot x = cot(2 x − 1) = −1 cot x = cot( x − 300 ) − = cot 3x = cot x cot x + = π  cot  x − ÷− = 4  cot(3x − 2) − = π  cot x = tan  x − ÷ 3  π  cot ( x − π ) + cot  x − ÷ = 3  π  cot( x − π ) − tan  x + ÷ = 6  0 cot(7 x + 45 ) + cot(90 − x) = 2.Phương trình bậc hai hàm số lượng giác a.Phương trình dạng: a sin f ( x) + b sin f ( x) + c = a cos f ( x) + b cos f ( x) + c = *.Phương pháp  sin f ( x) = t ; t ≤ 1(*) Đặt  cos f ( x) = t Khi phương trình có dạng: at + bt + c = Giải phương trình tìm nghiệm t0 ≤ thay vào (*) tìm nghiệm x *.Ví dụ: Giải phương trình sau 2sin x − sin x − = cos 3x − cos x = cos x + sin x + cos x + = 4sin 2 x + 8cos x − = sin 3x − 2sin x − = b.Phương trình dạng: a tan f ( x) + b tan f ( x ) + c = a cot f ( x ) + b cot f ( x) + c = *.Phương pháp π  tan f ( x) = t , f ( x) ≠ + kπ  (*) Đặt   cot f ( x) = t , f ( x) ≠ kπ Khi phương trình có dạng: at + bt + c = Giải phương trình tìm nghiệm t0 thay vào (*) tìm nghiệm x *.Ví dụ: Giải phương trình sau tan x − tan x − = cot x − cot x = tan x − tan x − = cot x − cot x + = − tan x − = cos x tan x + 5cot x − = 3.Phương trình bậc sin x cos x a.Phương trình dạng: a sin x + b cos x = c *.Phương pháp: Cách 1: Chia hai vế cho a b (giả sử chia cho a) ta có: b c b b a sin x + b cos x = c ⇔ sin x + cos x = với tang góc đặc biệt tan α = a a a a c sin α c c PT ⇔ sin x + tan α cos x = ⇔ sin x + cos x = ⇔ sin x cos α + cos x sin α = cos α a cos α a a c ⇔ sin ( x + α ) = cos α Giải PT theo dạng PT a Cách 2: Chia hai vế cho a + b ta có: a sin x + b cos x = c ⇔ Đặt a a2 + b2 = sin α , ⇔ cos ( x − α ) = c a a + b2 b sin x + a + b2 b a2 + b2 cos x = c a + b2 = cos α ta có: PT ⇔ sin α sin x + cos α cos x = Giải PT theo dạng PT a + b2 x 2t 1− t2 , cos x = ;(*) Cách Đặt tan = t ⇒ sin x = 1+ t2 1+ t2 Khi phương trình có dạng ( ) 2at b − t + = c ⇔ 2at + b − bt = c + ct ⇔ ( b + c ) t − 2at + c − b = 2 1+ t 1+ t Giải phương trình tìm nghiệm t0 thay vào (*) tìm nghiệm x b.Ví dụ: Giải phương trình sau sin x + cos x = 3sin x − cos x = − sin x − 3cos x = 2sin x − 3cos x = −2 2 ( sin x + cos x ) cos x = + cos x ( + ) sin x + ( − ) cos x = sin x − cos x = sin x + cos x = −1 c a + b2 4.Phương trình bậc hai sinx cosx a.Phương trình dạng a sin x + b sin x cos x + c cos x = d *.Phương pháp a sin x + b sin x cos x + c cos x = d ( ⇔ a sin x + b sin x cos x + c cos x = d sin x + cos x ) ⇔ ( a − d ) sin x + b sin x cos x + ( c − d ) cos x = TH1 cos x = thay vào PT xem có nghiệm không TH2 cos x ≠ chia hai vế phương trình cho cos x ta có ( a − d ) sin x + b sin x cos x + ( c − d ) cos x = sin x sin x cos x ⇔ (a−d) +b +( c−d) = cos x cos x ⇔ ( a − d ) tan x + b tan x + ( c − d ) = Quy giải phương trình bậc hai hàm số tan x Chú ý: Thay xét cosx ta xét sinx b.Ví dụ: Giải phương trình sau cos x + 6sin x cos x = + sin x − 3sin x cos x − = 2sin x + sin x cos x − cos x + = sin x + cos x = cos x sin x − 6sin x cos x + cos x = −2 5.Phương trình đối xứng sinx cosx a.Phương trình dạng a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = *.Phương pháp Đặt sin x + cos x = t , t ≤ ⇒ sin x cos x = t −1 Khi phương trình có dạng t −1 + c = ⇔ bt + 2at + 2c − b = Giải phương trình tìm nghiệm t0 , t0 ≤ at + b π  Suy sin x + cos x = t0 ⇔ cos  x − ÷ = t0 giải PT theo dạng PT 4  b.Phương trình dạng a ( sin x − cos x ) + b sin x cos x + c = *.Phương pháp 1− t2 Đặt sin x − cos x = t, t ≤ ⇒ sin x cos x = Khi phương trình có dạng 1− t2 + c = ⇔ bt − 2at − 2c − b = Giải phương trình tìm nghiệm t0 , t0 ≤ at + b π  Suy sin x − cos x = t0 ⇔ cos  x + ÷ = t0 giải PT theo dạng PT  4 c.Ví dụ: Giải phương trình sau sin x + cos x − 2sin x cos x + = + tan x = 2 sin x ( sin x + cos x ) + sin x + = ( sin x − cos x ) + sin x cos x + = sin x − cos x = 6.Phương trình đối xứng tanx cotx 2 a.Phương trình dạng: a ( tan x + cot x ) + b ( tan x + cot x ) + c = *.Phương pháp   x ≠ kπ π  sin x ≠  ⇔ ⇔ x ≠ k ,k ∈Z Điều kiện:  π cos x ≠  x ≠ + kπ  2 Đặt tan x + cot x = t , t ≥ ⇒ tan x + cot x = t − Khi phương trình có dạng a ( t − ) + bt + c = ⇔ at + bt + c − 2a = Giải phương trình tìm nghiệm t0 , t0 ≥ Khi ta chọn hai hướng giải sau 2 = t0 ⇔ tan x − t0 tan x + = (PT bậc hai theo tanx) tan x 2 b.Phương trình dạng: a ( tan x + cot x ) + b ( tan x − cot x ) + c = H1: Ta có tan x + *.Phương pháp   x ≠ kπ π  sin x ≠  ⇔ ⇔ x ≠ k ,k ∈Z Điều kiện:  π cos x ≠  x ≠ + kπ  Đặt tan x + cot x = t ⇒ tan x + cot x = t + 2 Khi phương trình có dạng a ( t + ) + bt + c = ⇔ at + bt + c + 2a = Giải phương trình tìm nghiệm t0 Khi ta chọn hai hướng giải sau Ta có tan x − = t0 ⇔ tan x − t0 tan x − = (PT bậc hai theo tanx) tan x c.Ví dụ: Giải phương trình sau ( tan x + ) tan x + ( cot x + ) cot x + 14 = tan x + cot x − ( tan x + cot x ) − = Kết đạt Đề tài thực giảng dạy tham gia dạy trường THPT lớp 11 Trong trình học đề tài này, học sinh thực thấy tự tin gặp toán phương trình lượng giác, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Có khoảng 50% học sinh tự giải phương trình lượng giác trở lên, tăng so với trước 20% Khả tiếp tục phát huy, mở rộng sáng kiến thực Bài toán nói chung đa dạng phong phú Mỗi toán lại có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sáng tạo Do học sinh cần có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan Minh Thanh, ngày 30 tháng năm 2012 NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN Phạm Ngọc Chiến XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Minh Thanh, ngày … tháng … năm 2012 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Thạch Văn Bắc ... + x) = − tan x π π : x + x 2 II.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 .PT lượng giác a.Phương trình dạng sin f ( x) = a *.Phương pháp -Nếu a > Phương trình vô nghiệm -Nếu a ≤ Khi ta có Nếu a sin góc đặc... hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Có khoảng 50% học sinh tự giải phương trình lượng giác trở lên, tăng so với trước 20% Khả tiếp tục phát huy, mở rộng sáng kiến. .. dụng cho học sinh trung bình trường THPT Nhằm mục đích củng cố kiến thức nâng cao, mở rộng hiểu biết cho học sinh giúp em hiểu sâu sắc phương trình lượng giác Qua giúp học sinh có điều kiện hoàn