Số pi (ký hiệu π) là một hằng số toán học

S pi (ký hiu: ) l mt hng s toỏn hc S pi (ký hiu: ) l mt hng s toỏn hc cú giỏ tr bng t s gia chu vi ca mt ng trũn vi ng kớnh ca ng trũn ú Hng s ny cú giỏ tr xp x bng 3,14159265358979 Nú c biu din bng ch cỏi Hy Lp t gia th k 18 ln bờn ngoi gii khoa hc: mt s sỏch vit riờng v s ó c xut bn; cú c Ngy s pi; v bỏo thng t nhng tin v k lc tớnh toỏn ch s mi ca trờn trang nht Mt s ngi cũn c gng ghi nh giỏ tr ca vi chớnh xỏc ngy cng tng, t ti k lc trờn 67.000 ch s l mt s vụ t, ngha l nú khụng th c biu din chớnh xỏc di dng t s ca hai s nguyờn Núi cỏch khỏc, nú l mt s thp phõn vụ hn khụng tun hon Hn na, cũn l mt s siờu vit - tc l nú khụng phi l nghim ca bt kỡ a thc vi h s hu t no Tớnh siờu vit ca kộo theo s vụ nghim ca bi toỏn 1.1 cu phng Cỏc s biu din thp phõn ca dng nh xut hin theo mt th t ngu nhiờn, mc dự ngi ta cha tỡm c bng chng no cho tớnh ngu nhiờn ny i cng nh ngha Trong hng ngn nm, cỏc nh toỏn hc ó n lc m rng hiu bit ca ngi v s , ụi bng vic tớnh giỏ tr ca nú vi chớnh xỏc ngy cng cao Trc th k 15, cỏc nh toỏn hc nh Archimedes v Lu Huy ó s dng cỏc k thut hỡnh hc, da trờn a giỏc, c lng giỏ tr ca Bt u t th k 15, nhng thut toỏn mi da trờn chui vụ hn ó cỏch mng húa vic tớnh toỏn s , v c nhng nh toỏn hc nh Madhava ca Sangamagrama, Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, v Srinivasa Ramanujan s dng Trong th k 21, cỏc nh toỏn hc v cỏc nh khoa hc mỏy tớnh ó khỏm phỏ nhng cỏch tip cn mi kt hp vi sc mnh tớnh toỏn ngy cng cao - m rng kh nng biu din thp phõn ca s ti 1013 ch s[1] ỏng 10 nm 2014, k lc ny c nõng lờn 13.300.000.000.000 ch s bi mt nhúm nghiờn cu ly tờn l houkouonchi.[2] Cỏc ng dng khoa hc thụng thng yờu cu khụng quỏ 40 ch s ca , ú ng lc ca nhng tớnh toỏn ny ch yu l tham vng ca ngi mun t ti nhng k lc mi, nhng nhng tớnh toỏn ú cng c s dng kim tra cỏc siờu mỏy tớnh v cỏc thut toỏn tớnh nhõn vi chớnh xỏc cao Chu vi ca mt ng trũn ln hn khong ln so vi ng kỡnh Giỏ tr chớnh xỏc gi l s thụng thng c nh ngha l t s gia chu vi ca ng trũn C vi ng kớnh ca nú d [3] : = Do nh ngha ca liờn h vi ng trũn, ta cú th tỡm thy nú nhiu cụng thc lng giỏc v hỡnh hc, c bit l nhng cụng thc liờn quan ti ng trũn, ng elip, hoc hỡnh cu Nú cng xut hin cỏc cụng thc ca cỏc ngnh khoa hc khỏc, nh v tr hc, lý thuyt s, thng kờ, phõn dng, nhit ng lc hc, c hc v in t hc S cú mt rng khp ca s khin nú tr thnh mt nhng hng s toỏn hc c bit n nhiu nht, c bờn C d T s C/d l hng s, bt k kớch thc ca ng trũn Vớ d, nu mt ng trũn cú ng kớnh gp ụi ng kớnh ca mt ng trũn khỏc thỡ nú cng cú chu vi ln gp ụi, bo ton t s C/d nh ngha ny v khụng ph quỏt, bi vỡ nú ch ỳng hỡnh hc Euclid (phng) v khụng ỳng hỡnh hc phi Euclid (cong)[3] Vỡ lý ny, mt s nh toỏn hc a dựng nhng nh ngha khỏc v da trờn vi tớch phõn hoc lng giỏc khụng ph thuc vo ng trũn Mt nh ngha nh th l: bng hai ln s x dng, nh nht m vi nú cos(x) bng 0[3][4] 1.2 Tờn gi I CNG vo ú h thng dựng ch cỏi c hoc p[8] iu ny thay i Euler bt u dựng nú nm 1736 Vỡ Euler thng xuyờn trao i th t vi nhng nh toỏn hc khỏc trờn ton chõu u, vic s dng ký t Hy Lp ny lan rng nhanh chúng[8] Nm 1748, Euler s dng cun sỏch rt ph bin ca ụng, Introductio in analysin innitorum (Dn nhp Gii tớch vụ hn), ú ụng vit: " cho ngn gn chỳng ta s vit s ny l ; ngha l, bng mt na chu vi ca ng trũn bỏn kớnh bng 1".[9] Cỏch ký hiu ny k t ú c chp nhn rng rói phng Tõy[8] 1.3 Tớnh cht l mt s vụ t, cú ngha l nú khụng th c biu din di dng t s ca hai s nguyờn, nh 22/7 hay cỏc phõn s khỏc thng c dựng xp x [10] Vỡ l s vụ t, biu din thp phõn ca nú cú s ch s vụ hn, v nú khụng kt thỳc dng lp li vụ hn (vụ hn tun hon) cỏc ch s Cú nhiu cỏch chng minh l s vụ t; phng phỏp thng dựng l s dng phộp vi tớch phõn v phng phỏp chng minh bng phn chng Mc xp x húa bng s hu t (gi l vụ t, hay hng s Liouville-Roth) cha c xỏc nh chớnh xỏc; ngi ta c lng rng vụ t ca ln hn e hoc ln(2), nhng nh hn s Liouville.[11] Leonhard Euler ó ph bin cỏch dựng ch cỏi Hy Lp mt tỏc phm xut bn nm 1748 Nh toỏn hc u tiờn dựng vi nh ngha nh trờn l William Jones, cun "Synopsis Palmariorum Matheseos" (tm dch, Nhp mụn Toỏn hc mi) nm 1706[6] C th, ký t ln u tiờn xut hin cm t 1/2 Periphery ()" on bn v mt ng trũn vi bỏn kớnh bng Cú th ụng ó chn bi vỡ nú l ch cỏi u tiờn cỏch ký õm ting Hy lp ca t periphery (ngha l vin ngoi, cng tc l chu vi)[7] Jones vit rng cỏc phng trỡnh ca c ly t "bn vit cú sn ca John Machin thiờn ti", dn n phng oỏn rng Machin cú l ó s dng ký t Hy Lp ny trc Jones, nhiờn khụng cú bng chng trc tip v iu ny[8] Ngoi ra, ký t ó xut hin trc ú cỏc ký hiu hỡnh hc; chng hn, vo nm 1631 William Oughtred ó dựng nú biu din na chu vi ca hỡnh trũn[8] r= Ký hiu c cỏc nh toỏn hc s dng biu din t s gia chu vi ca mt ng trũn v ng kớnh ca nú l ch cỏi Hy Lp Ch cỏi ny c biu din bng t Latin pi[5] Khụng c nhm ln ký t in thng (hoc di dng ch khụng cú nột chõn ch ) vi ký t in hoa ( toỏn hc dựng biu din mt tớch dóy s hay dóy hm) Bi l mt s siờu vit, bi toỏn cu phng hỡnh trũn khụng th gii c vi s bc lm hu hn bng nhng cụng c c in l thc k v compa] l mt s siờu vit, tc l nú khụng phi l nghim ca bt c phng trỡnh i s vi h s hu t no, [12] x5 nh 120 x6 + x = Tớnh cht siờu vit ca cú hai h qu quan trng: th nht, khụng th c biu din bng t hp cỏc s hu t v cn bc n nh 31 [11] hay 10 hai, vỡ khụng cú s siờu vit no cú Sau Jones gii thiu ký hiu ny nm 1706, nú ó th c xỏc nh bng phộp dng hỡnh bng thc khụng c cỏc nh toỏn hc khỏc chp nhn; thay k v compa, nờn khụng th gii bi toỏn "cu phng 1.5 Giỏ tr gn ỳng hỡnh trũn" Núi cỏch khỏc, nu ch s dng compa v thc k thỡ khụng th xõy dng mt hỡnh vuụng m din tớch ca nú bng din tớch ca mt hỡnh trũn cho = + trc[13] Cu phng hỡnh trũn l mt nhng bi toỏn hỡnh hc quan trng thi c i[14] Mt s nh toỏn hc nghip d thi hin i cú lỳc tuyờn b h thnh cụng dự iu ny l khụng th[15] Cỏc ch s ca khụng cú mt quy lut rừ rng no v vt qua nhng kim th v tớnh ngu nhiờn thng kờ, ú cú kim th tớnh chun tc; mt s vụ hn c gi l 'chun tc' mi dóy s kh d (vi di bt kỡ) cú tn sut xut hin l nh nhau[16] Ngi ta cha th khng nh hoc bỏc b gi thuyt rng l 'chun tc'[16] K t mỏy vi tớnh i, ngi ta ó tớnh c s vi s lng ch s ln, thc hin cỏc phõn tớch thng kờ Yasumasa Kanada ó thc hin cỏc phõn tớch thng kờ chi tit v cỏc ch s thp phõn ca , v thy rng chỳng phự hp vi tớnh chun tc; chng hn, tn sut xut hin cỏc ch s t ti c s dng kim tra ý ngha thng kờ, v khụng tỡm thy bng chng v mt hỡnh mu no[17] Bt chp vic cỏc ch s ca ó vt qua cỏc bi kim tra v tớnh ngu nhiờn, dng nh cha nhng dóy s cú v cú quy lut i vi nhng ngi khụng phi nh toỏn hc, nh im Feynman, l mt dóy sỏu ch s liờn tip bt u t v trớ th 762 biu din thp phõn ca [18] 1 7+ 15+ 1+ 292+ 1+ 1+ 1+ Cht ct phõn s liờn tc ny bt kỡ im no s to nờn mt phõn s xp x vi ; hai phõn s nh vy (22/7 v 355/113) tng c s dng lch s tớnh gn ỳng hng s ny Cỏc s gn ỳng c sinh theo cỏch ny l c gi l 'xp x hu t tt nht'; ngha l, chỳng gn vi hn bt kỡ phõn s no khỏc cú mu s bng hoc nh hn[19] Mc du phõn s liờn tc n gin cho ( trờn) khụng th hin mt nguyờn tc no[20] , cỏc nh toỏn hc ó khỏm phỏ vi phõn s liờn tc tng quỏt (tng quỏt húa phõn s liờn tc thng dng chớnh tc) cú quy lut, chng hn[21] : = 1+ = 3+ 12 32 2+ 52 2+ 72 2+ 92 2+ 2+ 6+ 12 32 52 6+ 72 6+ 92 6+ 6+ Phõn s liờn tc 3+ 5+ 7+ Mt s giỏ tr gn ỳng ca bao gm: Dng phõn s: Cỏc giỏ tr xp x bao gm (theo th t chớnh xỏc tng dn) 22/7, 333/106, 355/113, 52163/16604, v 103993/33102[19] Dng thp phõn: 100 ch s thp phõn u ca l 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.[22] Dng nh phõn: Dng thp lc phõn:[23] Dng lc thp phõn: Xp x c s 60 ca s pi l 3:8:29:44:1 Hng s c biu din bc tranh khm bờn ngoi tũa nh khoa Toỏn i hc Cụng ngh Berlin Lch s 2.1 Thi C i Ging nh tt c cỏc s vụ t khỏc, khụng th c biu din bng mt phõn s thng; nhng mt khỏc, mi s vụ t, bao gm c , cú th c biu din bi mt chui vụ hn nhng phõn s lng vo nhau, c gi l phõn s liờn tc: 12 1+ 1.5 Giỏ tr gn ỳng 1.4 = Kim t thỏp Kheops Giza (xõy dng vo khong thi gian 2589-2566 tr.CN) c thit k vi chu vi khong 1760 cubit (1 cubit bng khong 0,5 một) v chiu cao khong 280 cubit Da vo t l 1760/280 6.2857, xp LCH S x bng 6.2832, mt s nh Ai Cp hc kt lun rng nhng nh xõy dng kim t thỏp ó bit n s v ch ý thit k kim t thỏp theo t l ng trũn[24] Tuy nhiờn nhiu ngi khụng ng tỡnh vi ý kin ny v khng nh mi quan h vi s n thun l mt s trựng hp, bi khụng cú bng chng cho thy nhng ngi xõy dng kim t thỏp ó bit n s , v kớch thc ca kim t thỏp cũn da trờn nhiu yu t khỏc[25] vi ca cỏc a giỏc ny, ụng chng minh rng 223/71 < < 22/7 (3,1408 < < 3,1429) Cú th chớnh cn trờn 22/7 ca phộp tớnh ó dn n vic nhiu ngi cho rng bng 22/7[34] Khong nm 150 CN, nh khoa hc Hy Lp-La Mó Ptolemaeus, b Almagest ca mỡnh, ó a giỏ tr bng 3,1416, cú l l ly li kt qu tớnh toỏn ca Archimedes hoc ca Apollonius x Pergaeus[35] Cỏc nh toỏn hc, bng cỏch s dng thut toỏn a giỏc, ó tớnh c ti ch s th 39 ca Nhng c lng sm nht v c tỡm thy Ai Cp vo nm 1630, mt k lc m n nm 1699 mi c phỏ v ch s th 71 c tớnh bng phng v Babylon cú niờn i t thiờn niờn k th trc Cụng [36] nguyờn, vi sai s tng i cựng vo c mt phn phỏp chui vụ hn trm Babylon, mt tm t sột cú niờn i khong 1900-1600 tr.CN ó ghi li mt phỏt biu hỡnh hc, ú ỏm ch c lng s bng 25/8 = 3,1250[26] Ai Cp, cun giy Rhind, cú niờn i khong 1650 tr.CN, bn ca mt bn cú t khong 1850 tr.CN, cú ghi mt cụng thc tớnh din tớch hỡnh trũn, ú gỏn cho giỏ tr ca bng (16/9)2 3,1605[26] n vo khong 600 nm trc Cụng nguyờn, b Kinh Shulba (vit bng ting Phn vi nhiu ni dung toỏn hc) ó cho s bng (9785/5568)2 3,088.[27] Vo nm 150 tr.CN hoc sm hn, cú ti liu ca n ỏnh giỏ bng 10 3,1622[28] Hai bi th Kinh thỏnh Hebrew (c vit gia th k v th k tr.CN) mụ t mt h nc dựng nghi l ti n Solomon cú ng kớnh 10 cubit v chu vi 30 cubit, bi th ng ý rng bng nu h cú hỡnh trũn[29][30] Hc gi ngi Do ỏi Rabbi Nehemiah gii thớch s sai khỏc nm dy ca h Cụng trỡnh v hỡnh hc ca ụng, Mishnat ha-Middot, vit vo khong nm 150 CN v coi bng 21/7[31] 2.2 Thi kỡ ca phộp xp x a giỏc Archimedes ó phỏt trin cỏch tip cn a giỏc tớnh toỏn s cú th c lng bng cỏch tớnh chu vi ca cỏc a giỏc ni tip v ngoi tip ng trũn ut toỏn cht ch u tiờn c ghi chộp tớnh giỏ tr ca l mt cỏch tip cn hỡnh hc s dng a giỏc, c phỏt minh vo khong nm 250 tr CN bi nh toỏn hc ngi Hy Lp Archimedes[32] ut toỏn a giỏc ca Archimedes thng tr sut hn 1000 nm, khin cho ụi c gi l hng s Archimedes[33] Archimedes ó tớnh toỏn cỏc gii hn trờn v di ca bng cỏch v hai a giỏc u cú cựng s cnh, mt ni tip v mt ngoi tip vi cựng mt hỡnh trũn, sau ú t t tng s cnh lờn gp ụi cho n t n a giỏc u 96 cnh Bng cỏch tớnh chu Trung Hoa c i, cỏc giỏ tr ca bao gm 3,1547 (khong nm th nht sau Cụng nguyờn), 10 (100 sau Cụng nguyờn, xp x 3,1623) v 142/45 (th k th 3, xp x 3,1556)[37] Vo khong nm 265, nh toỏn hc triu To Ngy tờn l Lu Huy ó phỏt minh thut toỏn lp da trờn a giỏc (thut toỏn Lu Huy) v s dng nú vi mt a giỏc 3072 cnh thu c giỏ tr ca bng 3,1416[38][39] Cng chớnh Lu Huy sau ú ó phỏt trin mt phng phỏp nhanh hn tớnh v thu c giỏ tr 3,14 vi mt a giỏc 96 cnh, bng cỏch li dng tớnh cht l hiu din tớch cỏc a giỏc liờn tip to nờn mt dóy cp s nhõn vi h s 4[38] Vo khong nm 480, mt nh toỏn hc Trung c khỏc l T Xung Chi ó tớnh toỏn 355/113, s dng thut toỏn Lu Huy cho a giỏc 12.288 cnh Vi giỏ tr chớnh xỏc by ch s thp phõn u tiờn, giỏ tr 3,141592920 l giỏ tr gn ỳng chớnh xỏc nht ca m ngi tớnh c sut hn 800 nm sau 2.3 Cỏc chui s vụ hn ú[40] Trong ú, nh thiờn ngi n Aryabhata s dng giỏ tr 3,1416 sỏch ryabhaya ca ụng (499 sau Cụng nguyờn)[41] Fibonacci vo khong nm 1220 ó tớnh giỏ tr 3,1418 bng mt phng phỏp a giỏc khỏc vi phng phỏp ca Archimedes[42] Vn ho ngi í Dante dng nh ó s dng giỏ tr ca l 3+ 2/10 3,14142[42] Nh thiờn Ba T Jamshd al-Ksh ó tỡm 16 ch s vo nm 1424 bng cỏch s dng a giỏc cú 3ì228 cnh[43][44] , xỏc lp mt k lc th gii mi tn ti c khong 180 nm[45] Nh toỏn hc Phỏp Franỗois Viốte vo nm 1579 tớnh c ch s bng mt a giỏc 3ì217 cnh[45] Nh toỏn hc x Vlaanderen Adriaan van Roomen t ti ch s 15 vo nm 1593[45] Nm 1596, nh toỏn hc ngi H Lan Ludolph van Ceulen t ti 20 ch s, mt k lc c chớnh ụng v sau ni rng lờn thnh 35 ch s (kt qu s c gi l s Ludolph ting c cho ti tn u th k 20)[46] Khoa hc gia ngi H Lan Willebrord Snellius t ti 34 ch s vo nm 1621[47] v nh thiờn hc ngi o Christoph Grienberger t ti 39 ch s vo nm 1630[48] , n l kt qu chớnh xỏc nht c tớnh th cụng bng thut toỏn s dng a giỏc 2.3 Cỏc chui s vụ hn Vic tớnh toỏn s c cỏch mng húa bi s phỏt trin k thut chui s vụ hn cỏc th k 16 v 17 Mt chui vụ hn l mt tng cỏc s hng ca mt dóy vụ hn[49] Chui vụ hn cho phộp cỏc nh toỏn hc tớnh toỏn vi chớnh xỏc ln hn nhiu chớnh xỏc t c t phng phỏp ca Archimedes v cỏc k thut hỡnh hc khỏc[49] Mc dự chui vụ hn c s dng cho s ni ting nht bi cỏc nh toỏn hc chõu u nh James Gregory v Gofried Leibniz, cỏch tip cn ny c khỏm phỏ ln u tiờn n vo gia nhng nm 1400 v 1500 CN[50] Bn ghi chộp u tiờn mụ t mt chui vụ hn cú th tớnh toỏn s nm mt bi th ting Phn ca nh thiờn n Nilakantha Somayaji Tantrasamgraha ca ụng, i khong nm 1500[51] Trong sỏch, chui ny c chộp li m khụng cú chng minh, nhng phộp chng minh ó c trỡnh by mt cụng trỡnh n sau ú, Yuktibh, Jyesthadeva biờn son vo khong nm 1530 Nilakantha quy chui ny l phỏt hin ca mt nh toỏn hc n trc ú, Madhava ca Sangamagrama, ngi sng khong nhng nm 1350-1425[51] Mt s chui vụ hn c mụ t, bao gm cỏc chui sin, tang, v cosin, ngy c bit di tờn chui Madhava hay chui Gregory-Leibniz[51] Madhava ó s dng nhng chui vụ hn ỏnh giỏ ti 11 ch s vo khong nm 1400, nhng k lc ny ó b ỏnh bi bi mt thut toỏn a giỏc ca Jamshd al-Ksh nm 1430[52] Isaac Newton ó s dng chui vụ hn tớnh toỏn ti 15 ch s, v sau vit mt lỏ th rng Tụi ly lm h thn k vi anh bao nhiờu s tụi ó thc hin cho nhng tinh toỏn ny[53] tớch vụ hn (thay vỡ mt tng vụ hn, ph bin hn phộp tớnh s ) c tỡm thy bi nh toỏn hc Phỏp Franỗois Viốte nm 1593[54] : 2+ 2+ 2 2+ = ì ì ì ããã 2 Dóy s vụ hn th hai chõu u ca John Wallis (1655) cng l mt tớch vụ hn na[54] Khỏm phỏ phộp vi tớch phõn, bi nh khoa hc Anh Isaac Newton v nh toỏn hc c Leibniz vo thp niờn 1660 ó dn ti s phỏt trin nhiu chui vụ hn ỏnh giỏ Chớnh Newton cng dựng mt chui arcsin tớnh mt xp x 15 ch s cho s vo khong nm 1665 hoc 1666, v v sau ny vit rng Tụi ly lm h thn k vi anh bao nhiờu s tụi ó thc hin cho nhng tinh toỏn ny, chng cú vic gỡ hn lm vo lỳc ú c"[53] chõu u, cụng thc Madhava c khỏm phỏ li bi nh toỏn hc Scotland James Gregory nm 1671, v bi Leibniz nm 1674[55][56] : arctan z = z z3 z5 z7 + + ããã Cụng thc ny, tc chui Gregory-Leibniz, tng Dóy s vụ hn u tiờn c khỏm phỏ chõu u l mt ng /4 ỏnh giỏ vi z = 1[56] Nm 1699, nh LCH S toỏn hc Anh Abraham Sharp s dng chui GregoryLeibniz tớnh ti 71 ch s, phỏ v k lc trc ú vi 4 4 39 ch s xỏc lp bi mt thut toỏn a giỏc[57] Chui = 3+ + +ã ã ã ì ì 4 ì ì 6 ì ì 8 ì ì 10 Gregory-Leibniz n gin, nhng nú hi t rt chm (cú ngha l, tim cn vi giỏ tr chớnh xỏc mt cỏch t Bng sau so sỏnh tc hi t ca hai chui ny: t qua tng s hng), ú ngi ta khụng dựng nú Sau s hng, tng ca chui Gregory-Leibniz nm cỏc phộp tớnh toỏn s hin i[58] sai s tuyt i c 0,2 ca , tng ca Nm 1706 John Machin s dng chui Gregory-Leibniz chui Nilakantha sai s ch c 0,002 Nh vy chui to nờn mt thut toỏn hi t nhanh hn nhiu[59] : Nilakantha hi t nhanh hn v hu dng hn vic tớnh toỏn s Nhng chui thm hi t cũn nhanh hn bao gm cỏc chui kiu Machin v chui 1 Chudnovsky, ú chui Chudnovsky to 14 ch = arctan arctan 239 s thp phõn ỳng cho mi s hng thờm vo[63] Machin ó t ti 100 ch s ca vi cụng thc ny[60] Cỏc nh toỏn hc khỏc to nờn nhng bin th ca nú, ngy c bit di tờn cỏc cụng thc kiu Machin, c dựng thit lp mt s k lc tip theo cho s ch s ca [60] Cỏc cụng thc kiu Machin trỡ l phng phỏp c bit n nhiu nht tớnh toỏn tin ti ngng ca k nguyờn mỏy tớnh, v chỳng ó to nờn cỏc k lc 250 nm, lờn n nh im vo mt phộp gn ỳng 620 ch s nm 1946 bi Daniel Ferguson - õy chớnh l kt qu cao nht m ngi tng t c m khụng cú s giỳp ca mt thit b tớnh toỏn no[61] Mt k lc ỏng chỳ ý c thit lp bi thiờn ti tớnh toỏn Zacharias Dase vo nm 1844 ụng 20 tui ễng ó s dng mt cụng thc kiu Machin tớnh toỏn 200 ch s ca u di s ch o ca nh toỏn hc c Carl Friedrich Gauss[62] Nh toỏn hc Anh William Shanks ni ting vỡ dnh 15 nm tớnh toỏn ti 707 ch s (hon thnh nm 1873), nhng v sau ngi ta tỡm thy mt li sai ch s th 528, kộo tt c nhng s ng sau sai theo[62] 2.3.1 Tc hi t 2.4 Tớnh vụ t v tớnh siờu vit Khụng phi tt c cỏc tin b toỏn hc liờn quan ti u nhm vo vic tng chớnh xỏc ca phộp xp x Khi Euler gii Bi toỏn Basel vo nm 1735, tỡm giỏ tr chớnh xỏc ca tng cỏc cn bc hai, ụng ó thit lp mt mi liờn h gia v cỏc s nguyờn t m v sau gúp phn vo s phỏt trin v nghiờn cu hm Riemann zeta[67] : 1 1 = + + + + ããã Nh khoa hc y S Johann Heinrich Lambert vo nm 1761 chng minh rng l s vụ t, cú ngha nú khụng bng t s ca bt kỡ hai s hu t no[10] Phộp chng minh ca Lambert khai thỏc mt biu din phõn s liờn tc ca hm tang [68] Nh toỏn hc Phỏp AdrienMarie Legendre vo nm 1794 chng t rng cng l s vụ t Nm 1882, nh toỏn hc c Ferdinand von Lindemann chng t rng l s siờu vit, xỏc nhn mt phng oỏn c c Legendre v Euler a trc ú[69] Mt s chui vụ hn cho hi t nhanh hn nhng chui khỏc Cho trc hai chui vụ hn cho , cỏc nh toỏn hc thụng thng s dng chui hi t nhanh hn 2.5 K nguyờn mỏy tớnh v cỏc thut toỏn lp bi nh th ng ngha vi vic gim c s lng [63] phộp tớnh cho bt kỡ chớnh xỏc yờu cu no Mt S phỏt trin ca mỏy tớnh vo gia th k 20 mt ln chui vụ hn cho l chui Gregory-Leibniz: [64] na ó cỏch mng húa cuc sn lựng nhng ch s ca Cỏc nh toỏn hc Hoa K l John Wrench v Levi Smith ó t ti 1120 ch s vo nm 1949 vi mt mỏy 4 4 4 + ããã = + + tớnh bn[70] S dng mt chui vụ hn arctang, mt 11 13 nhúm ng u bi George Reitwiesner v John von Khi cỏc s hng riờng l ca chui vụ hn ny c Neumann ó t c 2037 ch s vi mt phộp tớnh cng thờm vo tng, tng s tin gn hn dn dn ti ũi hi 70 gi lm vic ca mỏy tớnh ENIAC[71] K lc, , v - vi mt s lng s hng - nú s tin n luụn da vo cỏc chui arctang, liờn tc b phỏ v sau gn nh mong mun Nú hi t khỏ chm, sau 500 000 ú (7 480 ch s nm 1957, 10 000 ch s nm 1958, 100 s hng, nú ch sinh ch s chớnh xỏc ca [65] 000 nm 1961) cho n triu ch s t c vo [72] Mt chui vụ hn cho c cụng b bi Nilakantha nm 1973 vo th k 15 hi t nhanh hn nhiu chui Gregory- Hai tin b khỏc khong nm 1980 mt ln na tng tc kh nng tớnh toỏn s nht, khỏm phỏ Leibniz[66] : 2.6 ng lc tớnh toỏn s Mt thut toỏn lp (iterative algorithm) lp li mt phộp tớnh c trng, mi ln lp li s dng u t bc lp trc lm u vo ca nú, v sinh mt kt qu mi bc hi t v giỏ tr mong mun Cỏch tip cn ny thc ó c khỏm 160 nm trc ú bi Carl Friedrich Gauss, mt phng phỏp m ngy gi l phng phỏp AGM (arithmeticgeometric mean method, phng phỏp trung bỡnh hỡnh hc-i s) hay thut toỏn Gauss-Legendre[76] Vỡ c sa i bi Salamin v Brent, nú cng cũn c gi l thut toỏn Brent-Salamin John von Neumann tham gia vo nhúm nghiờn cu u tiờn s dng mt mỏy tớnh s, ENIAC, tớnh toỏn s Cỏc thut toỏn lp c s dng rng rói sau 1980 bi nú nhanh hn cỏc thut toỏn chui vụ hn: cỏc chui vụ hn thng tng s ch s chớnh xỏc dn dn mt cỏch cng thờm, cỏc thut toỏn lp li thng nhõn s ch s chớnh xỏc mi bc Vớ d, thut toỏn Brent-Salamin nhõn ụi s ch s mi ln lp Nm 1984, hai anh em ngi Canada John v Peter Borwein to nờn mt thut toỏn lp nhõn bn ln s ch s mi bc; v nm 1987, mt thut toỏn nhõn nm ln mi bc[77] Cỏc phng phỏp lp c s dng bi nh toỏn hc Nht Bn Yasumasa Kanada lp lờn mt s k lc gia 1995 v 2002[78] S hi t nhanh cú c kốm theo mt cỏi giỏ: cỏc thut toỏn lp ũi hi b nh nhiu hn ỏng k so vi cỏc chui vụ hn[78] ut toỏn lp Gauss-Legendre: Khi to S ch s thp phõn cỏc thut toỏn lp tớnh nhanh hn nhiu cỏc chui vụ hn; v th hai, s phỏt minh thut toỏn nhõn 2.6 nhanh cho phộp nhõn nhng s ln mt cỏch nhanh chúng[73] Nhng thut toỏn nh vy l c bit quan trng vic tớnh toỏn s thi hin i, bi hu ht thi gian hnh mỏy tớnh l dnh cho cỏc phộp nhõn[74] Chỳng bao gm thut toỏn Karatsuba, phộp nhõn Toom-Cook, v cỏc phng phỏp da trờn bin i Fourier[75] ng lc tớnh toỏn s 10 14 10 12 10 10 10 10 10 100 2000 TCN a0 =1 b0 = 12 t0 = 14 p0 =1 Lp n an+1 = an +b bn+1 = an bn tn+1 =tn pn (an an+1 )2 pn+1 =2pn Sau ú mt phộp c lng c tớnh t (an +bn )2 4tn Cỏc thut toỏn lp c cụng b mt cỏch c lp nm 1975-1976 bi nh vt lý Hoa K Eugene Salamin v nh khoa hc Australia Richard Brent[76] Cỏc thut toỏn ny chm dt s ph thuc vo cỏc chui vụ hn chớnh xỏc ca s Pi 250 TCN 480 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 Nm Khi cỏc nh toỏn hc khỏm phỏ nhng thut toỏn mi, v mỏy tớnh tr nờn sn dựng, s cỏc ch s c bit v tng nhanh chúng i vi hu ht cỏc tớnh toỏn s liờn quan ti , mt ớt ch s thụi ó cung cp chớnh xỏc cn thit Chng hn, theo Jửrg Arndt v Christoph Haenel, 39 ch s l thc hin cỏc tớnh toỏn v tr hc, bi õy l chớnh xỏc cn thit tớnh th tớch v tr hin bit vi chớnh xỏc c mt nguyờn t[79] Bt chp iu ny, nhiu ngi ó lm vic rt vt v tớnh toỏn ti hng nghỡn, hng triu v nhiu hn th cỏc ch s[80] N lc ny mt phn cú th quy cho s thỳc ộp ngi phỏ v cỏc k lc, v nhng thnh tớch nh th vi thng xut hin trờn trang nht bỏo trờn khp th gii[81][82] Chỳng cng cú nhng li ớch thc tin, nh l kim tra cỏc siờu mỏy tớnh, kim tra cỏc thut toỏn gii tớch s (bao gm cỏc thut toỏn nhõn LCH S chớnh xỏc cao); v a ht toỏn hc thun tỳy, chỳng cung cp d liu ỏnh giỏ tớnh ngu nhiờn cỏc ch s ca [83] (1)k (6k)!(13591409 + 545140134k) = 12 (3k)!(k!)3 6403203k+3/2 k=0 2.7 Cỏc chui hi t nhanh Nú sinh khong 14 ch s ca mi s hng[88] , v ó c dựng cho mt vi phộp tớnh lp k lc v , ú cú k lc vt mt t ch s nm 1989 bi anh em nh Chudnovsky Vo ngy 31 thỏng nm 2012[89] Fabrice Bellard ó lp k lc s dng cụng thc Chudnovsky tớnh ch s th 2,7 nghỡn t ca s [90] trc b Shigeru Kondo vt mt tớnh ch s th nghỡn t vo nm 2010[91] v sau ú l ch s th 10 nghỡn t ca vo nm 2011.[92] Nm 2006, nh toỏn hc Canada Simon Ploue ó s dng thut toỏn h thc nguyờn PSLQ (PSLQ: Partial Sum of Least Squares - tng riờng phn ca cỏc bỡnh phng cc tiu) to mt vi cụng thc mi cho , tuõn theo mu sau: k = ( ) a b c + + nk q n q 2n q 4n n=1 ú q l hng s Gelfond e , k l mt s l, v a, b, c l nhng s hu t m Ploue a vo[93] 2.8 Thut toỏn ming vũi Srinivasa Ramanujan, lm vic mt mỡnh n , ó to nờn nhiu chui s mi tớnh s Cỏc phộp tớnh s hin i khụng ch s dng nht thut toỏn lp Cỏc chui vụ hn mi c phỏt hin vo nhng thp niờn 1980 v 1990 cng hi t nhanh khụng kộm cỏc thut toỏn lp, nhng n gin hn v tn ớt b nh hn[78] Chỳng ó manh nha xut hin vo nm 1914, nh toỏn hc n Srinivasa Ramanujan cụng b hng chc cụng thc mi cho s , chỳng ỏng nh tớnh tao nhó, chiu sõu toỏn hc v s hi t nhanh[84] Mt cỏc cụng thc ca ụng, da trờn cỏc phng trỡnh module: 2 (4k)!(1103 + 26390k) = 9801 (k!)4 3964k k=0 Chui ny hi t nhanh hn rt nhiu hu ht mi chui arctang, bao gm c cụng thc Machin[85] Bill Gosper l ngi u tiờn s dng nú to nờn nhng tin b tớnh toỏn , lp nờn k lc 17 triu ch s vo nm 1985[86] Cỏc cụng thc ca Ramanujan bỏo trc cỏc thut toỏn hin i phỏt trin bi anh em nh Borwein v anh em nh Chudnovsky[87] ut toỏn Chudnovsky c phỏt trin vo nm 1987 l: Hai thut toỏn c khỏm phỏ vo nm 1995 ó m mt hng i mi cho nghiờn cu v s Chỳng gi l cỏc thut toỏn ming vũi (spigot algorithms) bi vỡ, ging nh nc nh git mt ming vũi, chỳng to tng ch s riờng l ca khụng c tỏi s dng sau ó c tớnh ra[94][95] iu ny i lp vi cỏc chui vụ hn hay nhng thut toỏn lp, l nhng thut toỏn lu gi v s dng tt c nhng ch s trung gian cho n kt qu cui cựng c to ra[94] Cỏc nh toỏn hc Hoa K Stan Wagon v Stanley Rabinowitz ó to nờn mt thut toỏn ming vũi n gin vo nm 1995[95][96][97] Tc ca nú l tng ng vi cỏc thut toỏn arctang, nhng khụng nhanh bng cỏc thut toỏn lp[96] Mt thut toỏn ming vũi khỏc, thut toỏn trớch xut ch s Bailey-Borwein-Ploue (BBP digit extraction algorithm), c phỏt hin vo nm 1995 bi Simon Ploue[98][99] : = ( ) 1 16i 8i + 8i + 8i + 8i + i=0 Cụng thc ny, khụng ging nhng cụng thc trc ú, cú th sinh bt kỡ ch s h thp lc phõn ca m khụng tớnh toỏn ti cỏc ch s ng trc nú[98] Cỏc ch s nh phõn hay bỏt phõn riờng r cú th trớch 3.1 Hỡnh hc v lng giỏc xut t cỏc ch s h thp lc phõn Cỏc bin th ca thut toỏn ny ó c phỏt hin, nhng cho ti cha tỡm thy thut toỏn trớch xut ch s no sinh nhanh chúng cỏc ch s thp phõn[100] Mt ng dng quan trng ca cỏc thut toỏn trớch xut ch s l hp thc húa nhng tuyờn b mi v k lc tớnh toỏn s : sau mt k lc c tuyờn b, cỏc kt qu thp phõn c chuyn sang h thp lc phõn, v sau ú mt thut toỏn trớch xut ch s c dựng tớnh toỏn mt s ngu nhiờn nhng ch s gn cui, nu chỳng phự hp, iu ny cung cp mt phng phỏp tin cy rng tớnh toỏn tng th l ỳng[92] Din tớch = r Gia nm 1998 v 2000, d ỏn tớnh toỏn phõn b PiHex Din tớch ng trũn = s dng cụng thc Bellard (mt bn chnh sa ca thut ì r toỏn BBP) tớnh toỏn bit th mt triu t(1015 ) ca , ó cho kt qu l 0[101] ỏng Chớn nm 2010, mt nhõn viờn ca Yahoo! ó s dng ng dng Hadoop ca cụng ty trờn mt ngn mỏy tớnh mt thi gian 23 ngy tớnh toỏn 256 bit ca v trớ bit triu t Din tớch ca mt ng trũn bng din tớch mu xỏm (2ì1015 )[102] Khụng th no tớnh c phn khim khuyt cũn li ca s c gng nhỡn xa hn, phn cũn li siờu nh y tin rt gn s mc dự khụng bao gi bng c Nu giỏ tr bng ng ngha vi vic núi rng mt s thc a/ = (a N), nh th ph nhn s tn ti ca mt ht bi v tr v ht bi ú cú th l ni m bn ang sng [[(a/ > (a N)]] Tuy nhiờn xột c nh ngha l t l gia chu vi v ng kớnh ca mt v mt tng i, to mt cỏi gỡ ú vi mc tng ng trũn i chớnh xỏc khoa hc, k thut hay nghiờn cu no ú dự l nh hng vt hay tõm thỡ nú Din tớch ca mt hỡnh trũn vi bỏn kớnh r l r2 c chp nhn nh hon thin v t ú cú th c tip tc phỏt trin tớch ca mt hỡnh cu vi bỏn kớnh r l 43 r3 i v phớa cõn bng 08:23, ngy 24 thỏng nm 2013 Din tớch mt cu vi bỏn kớnh r l 4r2 (UTC) S dng Do liờn h cht ch vi ng trũn, nú xut hin nhiu cụng thc thuc cỏc lnh vc hỡnh hc v lng giỏc, c bit l nhng cụng thc liờn quan ti ng trũn, hỡnh cu, hoc elip Mt s ngnh khoa hc khỏc cng cú cỏc cụng thc liờn quan ti , nh thng kờ, phõn dng, c hc, v tr hc, lý thuyt s, v in t hc xut hin cỏc tớch phõn xỏc nh mụ t chu vi, din tớch, hoc th tớch cỏc hỡnh to t ng trũn Chng hn, mt tớch phõn xỏc nh na din tớch ca mt ng trũn vi bỏn kớnh bng c cho bi[104] : x2 dx = 1 Trong cụng thc ny, hm 1x2 biu din na trờn ca ng trũn (cn thc l h qu ca nh lý Pythagoras), v tớch phõn tớnh din tớch gia na ng trũn v trc x Trong lng giỏc, cỏc hm lng giỏc liờn h vi cỏc gúc, v cỏc nh toỏn hc thng s dng radian nh mt n v o Mt khỏc, úng mt vai trũ quan xut hin nhng cụng thc v chu vi, din tớch trng cỏc gúc o bng radian, radian c v th tớch cỏc hỡnh hỡnh hc liờn quan ti ng trũn, nh ngha cho mt ng trũn chim mt gúc bng [105] , hoc núi cỏch khỏc, gúc 180 bng vi nh cỏc hỡnh elip, hỡnh cu, hỡnh nún, hỡnh xuyn Mt radian [103] radian, v = /180 radian[105] : vi cụng thc ph bin hn c s ú l 3.1 Hỡnh hc v lng giỏc Chu vi ca mt ng trũn vi bỏn kớnh r l 2r Cỏc hm lng giỏc ph bin thng cú chu kỡ l bi ca ; chng hn, sin v cosin cú chu k 2[106] , 10 S DNG mt ng trũn ni tip mt hỡnh vuụng, v t ngu nhiờn cỏc chm lờn hỡnh vuụng T l cỏc chm nm hỡnh trũn trờn tng s chm xp x bng /4 [109] Cỏc hm sin v cosin lp li vi chu kỡ ú vi bt kỡ gúc v bt kỡ s nguyờn k no, [106] sin(+2k) v cos =cos(+2k) 3.2 sin = Phng phỏp Monte Carlo tớnh gn ỳng rt chm so vi nhng phng phỏp khỏc Nm 1901 nh toỏn hc Italia Mario Lazzarini ó tung mt cõy kim 3048 ln thu c kt qu c lng bng 355/113[110] , mt thớ nghim nhm minh cho phng phỏp hn l n lc lp k lc v s Mụ phng trờn mỏy tớnh hin i cho phộp thc hin gieo ngu nhiờn nhanh hn nhiu cỏch tung kim bng tay nh vy, nhng nhỡn chung nú khụng bao gi c dựng tớnh ũi hi chớnh xỏc v tc [111] Phng phỏp Monte Carlo 3.3 S phc v gii tớch Kim Buon Cỏc cõy kim a v b c th ngu nhiờn Mi liờn h gia ly tha o ca s e vi cỏc im trờn ng trũn n v cú tõm gc ta ca mt phng phc c cho bi Cụng thc Euler Cỏc chm ngu nhiờn c t trờn mt hỡnh vuụng ni tip vi nú Phng phỏp Monte Carlo, da trờn phộp th ngu nhiờn, cú th dựng c lng s H phng phỏp Monte Carlo, dựng tớnh toỏn kt qu ca nhng phộp th ngu nhiờn nhiu ln, cú th dựng to nờn cỏc phộp xp x s [107] Kim Buon l mt k thut nh vy: nu mt cõy kim cú chiu di c th n ln lờn mt b mt trờn ú v cỏc ng thng song song cỏch t n v, v nu x ln s ú nú dng li ct qua mt vch (x > 0), thỡ ngi ta cú th tớnh gn ỳng da trờn phộp tớnh[108] : Bt k s phc z no u cú th biu din bng mt cp s thc Trong h ta cc, mt s (bỏn kớnh r) c dựng biu din khong cỏch t z ti gc ta ca mt phng phc v mt s khỏc (gúc ) biu din mt phộp quay ngc chiu kim ng h t tia dng ca trc thc ti z[112] : z = r ã (cos + i sin ) õy i2 = S xut hin thng xuyờn ca gii tớch phc liờn quan ti biu din hm m ca mt bin phc, c mụ t bng cụng thc Euler[113] : ei = cos + i sin 2n xt õy hng s e l c s ca lụgarit t nhiờn Cụng Mt phng phỏp Monte Carlo khỏc tớnh l v thc ny lp lờn mt mi liờn h gia ly tha o ca 3.4 Lý thuyt s v hm zeta Riemann 11 e v cỏc im trờn ng trũn n v cú tõm gc ca bỏn nguyờn, thỡ kt qu s cha , chng hn (1/2)= mt phng phc t = cụng thc Euler sinh v (5/2)= [120] Hm gamma cú th c s dng ng nht thc Euler, mt cụng thc c cỏc nh to mt phộp tớnh gn ỳng n! cho s n ln: toỏn hc ca ngi cha ng nm hng s toỏn hc n! 2n( ne )n cũn c gi l xp x Stirling[121] [113][114] quan trng nht : 3.4 Lý thuyt s v hm zeta Riemann ei + = Cú n s phc z khỏc tha z = , v chỳng c gi l nghim bc n ca n v"[115] Chỳng c cho bi cụng thc: n Hm zeta Riemann (s) c dựng nhiu lnh vc ca toỏn hc Khi tớnh cho s=2 , nú cú th vit li thnh (2) = e2ik/n (k = 0, 1, 2, , n 1) Cụng thc tớch phõn Cauchy chi phi cỏc hm gii tớch phc v thit lp mi quan h quan trng gia cỏc phộp tớch phõn v vi phõn, bao gm mt iu ỏng chỳ ý l giỏ tr ca mt hm phc mt úng hon toỏn c xỏc nh bi nhng giỏ tr min[116][117] : f (z0 ) = 2i f (z) dz z z0 S hin din ca fractal (phõn dng) 1 + + + ããã 2 Tỡm mt nghim n cho chui vụ hn ny l mt bi toỏn ni ting toỏn hc gi l bi toỏn Basel Leonhard Euler gii nú vo nm 1735 ụng ch nú bng 62 [67] Kt qu ca Euler dn n mt kt lun quan trng lý thuyt s l xỏc sut hai s ngu nhiờn nguyờn t cựng (ngha l khụng cú c chung no ngoi 1) bng 6/2 [122][123] Xỏc sut ny da trờn mt nhn xột rng bt kỡ s no chia ht cho mt s nguyờn t p l 1/p (chng hn, c by s nguyờn liờn tip thỡ cú mt s chia ht cho 7) Do ú xỏc sut hai s cựng chia ht bi s nguyờn t ny l 1/p2 , v xỏc sut ớt nht mt hai s khụng chia ht l 11/p2 i vi cỏc s nguyờn khỏc nhau, cỏc s kin cú th chia ht l c lp vi nhau; ú xỏc sut hai s nguyờn t cựng cho bi mt tớch ly trờn tt c cỏc s nguyờn t[124] : ) ( 1 = p p ( p 1 p2 )1 = 1+ 22 1 = = (2) + 312 + ã ã ã Xỏc sut ny cú th dựng cựng vi mt phng phỏp sinh s ngu nhiờn tớnh gn ỳng s dng cỏch tip cn Monte Carlo[125] 3.5 Vt lý Mc dự khụng phi l mt hng s vt lý, xut hin thng xuyờn cỏc phng trỡnh mụ t cỏc nguyờn lý c bn ca v tr, thng mi liờn h gia vi ng trũn v vi h ta cu Mt cụng thc n Mandelbrot c mt ngi M tờn l David Boll khỏm gin lnh vc c hc c in cho ta chu k dao phỏ vo nm 1991[118] ễng ó kim tra biu hin ca ng gn ỳng T ca mt lc n vi chiu di L, Mandelbrot gn vựng c" (0.75, 0) Xem xột dao ng vi biờn nh (g l gia tc trng trng trờn nhng im cú ta (0.75, ), tin ti 0, s ln b mt Trỏi t)[126] : t lp li hỡnh dng ca cho n phõn kỡ i vi im ú nhõn vi hi t v im (0.25, ) nh ca mt thung lng ln phớa phi ca Mandelbrot L cng biu hin tng t: s ln t lp li trc phõn T g kỡ nhõn vi cn bc hai ca tin ti [118][119] cú th tớnh c t Mandelbrot, bng cỏch tớnh s vũng lp cn thit trc im (0.75, ) phõn k Hm gamma m rng khỏi nim v giai tha - Mt nhng cụng thc ti quan trng ca c hc thụng thng ch c nh ngha cho cỏc s nguyờn - lng t l nguyờn lý bt nh Heisenberg ch rng sang mi s thc Nu hm gamma c tớnh cỏc s bt nh phộp o v trớ ca mt ht (x) v 12 ng lng (p) khụng th ng thi nh tựy ý cựng mt thi im ( õy h l hng s Planck)[127] : 2.5 S DNG Area=sqrt(pi) e^(-x^2) x p h 1.5 Trong ngnh v tr hc, xut hin mt cụng thc nn tng, ú l phng trỡnh trng Einstein to nờn c s ca thuyt tng i tng quỏt v mụ t tng tỏc c bn ca lc hp dn nh mt kt qu ca khụng-thi gian b un cong bi vt cht v nng lng[128] : 0.5 -0.5 Rik gik R + gik = -2 -1 8G c4 Tik Trong ú Rik l tenx cong Ricci, R l cong vụ hng, gik l tenx metric, l hng s v tr hc, G l hng s hp dn, c l tc ỏnh sỏng chõn khụng, v Tik l tenx ng sutnng lng Mt th Hm Gauss (x) = ex Vựng tụ mu gia hm s v trc x cú din tớch Din tớch di th ca ng cong phõn b chun c cho bi tớch phõn Gauss[132] : Trong lnh vc in t hc, nh lut Coulomb mụ t ex dx = in trng gia hai in tớch (q1 v q2 ) cỏch mt khong r (vi biu din cho hng s in mụi trong tớch phõn tng t i vi phõn b Cauchy l chõn khụng)[129] : |q1 q2 | F = 40 r2 Vic xp x bng gúp phn vo thi gian sng tng i lõu ca ortho-positronium (h lng t cú mt electron v mt positron nm trờn cựng mt qu o quay xung quanh mt tõm) Nghch o thi gian sng i vi bc thp nht hng s cu trỳc t vi c cho bi cụng thc[130] : = 99 m6 dx = x2 + 3.7 K thut v a cht hin din mt s cụng thc k thut cu trỳc, nh cụng thc tớnh cong vờnh Euler tỡm ra, cho ta bit ti trng theo trc ti a F m mt ct di, mnh cú di L, sut n hi E, v momen quỏn tớnh din tớch I cú th mang c m khụng b cong vờnh[133] : ú m l lng electron 3.6 Xỏc sut thng kờ Cỏc lnh vc xỏc sut v thng kờ s dng thng xuyờn phõn b chun nh mt mụ hỡnh n gin cho cỏc hin tng phc tp; chng hn cỏc nh khoa hc thụng thng gi nh rng cỏc sai s quan sỏt hu ht cỏc thớ nghim tuõn theo mt phõn b chun[131] c tỡm thy hm Gauss (l hm mt xỏc sut ca phõn b chun vi giỏ tr trung bỡnh v lch chun [132] : f (x) = 2 e(xà) /(2 ) F = EI L2 Lnh vc thy ng lc hc cng cha nh lut Stokes, cho phộp tớnh gn ỳng lc ma sỏt F tỏc dng lờn mt vt th nh dng cu bỏn kớnh R chuyn ng vi tc v mt cht lng vi nht ng [134] : F = 6Rv Bin i Fourier l mt phộp toỏn biu din thi gian nh mt hm ca tn s, c bit nh ph tn s ca nú Nú cú nhiu ng dng vt lý v k thut, c bit x lý tớn hiu[135] : 4.2 Trong húa i chỳng 13 phi biu din cỏc ch s ca , ting Anh gi l pilish Truyn th ngn Cadaeic Cadenza cha 3835 f() = f (x) e2ix dx ch s u tiờn ca theo cỏch ny[144] , v ton b cun sỏch Not a Wake cha 10 000 t, mi t biu din [145] Di cỏc iu kin lý tng (dc thoi u trờn mt nn mt ch s ca xúi mũn mt cỏch ng u), un khỳc ca mt sụng tin gn ti un khỳc (sinousity) l t s gia di thc v khong cỏch theo ng k gia thng 4.2 Trong húa i chỳng ngun v ca sụng Cỏc dũng chy nhanh hn dc cỏc cnh bờn ngoi ca ch un dũng sụng gõy nhiu xúi l hn dc cỏc cnh trong, ú y cỏc ch un xa hn, v gia tng s un vũng lp li tng th ca dũng sụng Tuy nhiờn, s un vũng quỏ mc dn ti mt s ch, dũng cun thnh mt ng vũng quanh, to nhng h cú hỡnh ch U (box-ow lake), lm gim un khỳc tng th S cõn bng gia hai nhõn t i lp ny khin cho dn ti un khỳc ca dũng sụng trung bỡnh gn bng [136][137] 4.1 Ngoi a ht khoa hc Ghi nh cỏc ch s Nhiu ngi ó c gng nh cng nhiu cng tt cỏc ch s ca , mt s luyn c gi l piphilology (kt hp t pi v philology tc ng hc)[138] Mt k thut ph bin l ghi nh mt cõu chuyn hay mt bi th, ú di cỏc t ng vi s cỏc ch s: t th nht cú ch cỏi, t th hai cú 1, t th ba cú 4, th t cú 1, th nm cú 4, v tip tc nh vy Mt nhng vớ d sm nht v bin phỏp h tr ghi nh ny c xut bi nh khoa hc Anh James Hopwood Jeans: How I want a drink, alcoholic of course, aer the heavy lectures involving quantum mechanics[138] Mt bi th (ting Anh: poem) dựng cho vic ghi nh ny ụi c gi l mt piem Ngoi ting Anh, cỏc bi th ghi nh cng c sỏng tỏc mt s ngụn ng khỏc[138] ; nh ting Vit, son gi Vụ Biờn trờn din n khoahocnet tng gii thiu bi Pi trng Tõn (ly Kiu ghi nh 50 ch s u tiờn, vi quy lut cú sa i mt chỳt c thự ting Vit[139] K lc v ghi nh cỏc ch s ca , c xỏc nhn bi Sỏch K lc Guinness, l 67 890 ch s, c L Siờu, mt ngi Trung c c thuc lũng 24 gi v phỳt vo ngy 20 thỏng 11 nm 2005[140][141] Nm 2006, mt k s Nht v hu tờn l Haraguchi Akira tuyờn b l ó c thuc lũng 100 000 ch s, nhng tuyờn b ny khụng c sỏch K lc Guinness kim chng[142] Nhng ngi lp nờn k lc v ghi nh cỏc ch s ca thng khụng da vo cỏc bi th, m s dng cỏc phng phỏp khỏc, nh nh cỏc khuụn dng s hay phng phỏp loci (ghi nh bng cỏch liờn h s vi v trớ)[143] Bỏnh Pi (ting Anh: Pi Pie) i hc Delft Cú l cú nh ngha n gin m li hin din khp cỏc lnh vc, nú c th hin húa i chỳng nhiu hn bt kỡ khỏi nim toỏn hc no khỏc Ti bo tng Palais de la Dộcouverte Paris cú mt cn phũng hỡnh trũn c gi l phũng pi trờn tng th hin 707 ch cỏi ca , di dng nhng ký t lm bng g gn vo trn vũm Cỏc ch s ny da trờn tớnh toỏn nm 1853 ca William Shanks cú cha mt li sai bt u t ch s th 528 Li ny c phỏt hin nm 1946 v c sa li vo nm 1949[146] e to the u, du / dx e to the x, dx Cosine, secant, tangent, sine 3.14159 Integral, radical, mu dv Slipstick, slide rule, MIT! GOOOOOO TECH! Li c v ca trng MIT[147] Nhiu trng hc nc M c hnh k nim Ngy s pi vo 14 thỏng (trong ngụn ng Anh-M, ngy ny vit l 3/14)[148] Ngy thỏng nm 2009, H vin Hoa K ó chớnh thc chn ngy 14 thỏng hng Mt vi tỏc gi s dng cỏc ch s ca thit lp nm l ngy s Pi nhm khuyn khớch hc sinh, giỏo nờn mt dng hn t mi, ú di t yờu cu viờn nghiờn cu toỏn hc.[149] v chui ch s ca nú 14 CH THCH THAM KHO thng c nhng ngi t xem mỡnh l lp d" s dng nhng trũ ựa ca nhúm nhng ngi a thớch toỏn hc v cụng ngh Mt vi li c v (trong thi u th thao, ngh) ca Hc vin Cụng ngh Massachuses (MIT) cng xut hin s 3,14159[147] Trong v bỏn u giỏ cỏc ti liu v bng phỏt minh cụng ngh cú giỏ tr ca on Nortel nm 2010, Google ó liờn tc t giỏ mt cỏch khỏc thng da trờn cỏc hng s toỏn hc v khoa hc, bao gm [150] Nhng ngi ng h mt hng s toỏn hc mi l tau (), bng ln , lp lun rng mt hng s da trờn t s gia chu vi ng trũn vi bỏn kớnh ca nú thay vỡ vi ng kớnh s cú tớnh t nhiờn hn v s n gin húa nhiu cụng thc[151][152] Trong nhng xut ca h, nh vic t chc k nim ngy 28 thỏng nh Ngy Tau c tng thut trờn truyn thụng, h khụng c cỏc sỏch v khoa hc phn ỏnh[153][154] Trong tiu thuyt Contact, Carl Sagan xut rng ng Sỏng to v tr ó chụn giu mt thụng ip n sõu cỏc ch s ca [155] Cỏc ch s ca cng c a vo li ca ca bi hỏt Pi album Aerial ca Kate Bush[156] Pi cng c dựng t tờn cho mt bi hỏt album "Horses and Grasses" phỏt hnh nm 2005 ca ban nhc M Hard 'n Phirm.[157][158] Nm 1897, nh toỏn hc nghip d Edwin J Goodwin ó n lc thuyt phc c quan lp phỏp bang Indiana (Hoa K) thụng qua D lut Indiana Pi, ú mụ t mt phng phỏp cu phng hỡnh trũn, v cha nhng ni dung gi thit nhng giỏ tr sai ca nh 3,2.[159] D lut ny ni danh nh mt n lc thit lp mt chõn lý khoa hc bng sc lnh lp phỏp D tho ó c H ngh vin Indiana thụng qua, nhng b ng ngh vin bỏc b[160] Trong Midnight thuc sờri Doctor Who, v Tin s chm trỏn vi c th Na ờm (Midnight Entity), k nhp xỏc mt s nhõn vt Nhõn vt Sky Silvestry b nhp xỏc ó bt chc kiu núi ca Tin s bng cỏch lp li khp s ti 30 ch s thp phõn[161] iu ny ũi hi cỏc din viờn David Tennant v Leslie Sharp hc chui s cú th nhc li nú Tiu thuyt ca Yann Martel xut bn nm 2001,[162] c dng thnh phim nm 2012[163] (Lý An o din) núi v nhõn vt chớnh tờn Pi cú th nh c rt nhiu ch s thp phõn ca Pi Trong uyn trng n V, mt tỏc phm ca nh Liờn Xụ Vladimir Lyovshin, Pi l mt nhõn vt cựng i vi S Khụng, thuyn trng n V v Hoa Tiờu cuc hi trỡnh Xem thờm Cỏc s vụ t v cỏc s c cho rng l s vụ t (3) S e Chỳ thớch tham kho [1] Notable Large Computations: Pi Alexander J Yee, cp nht 25/4/2012: k lc 10,000,000,000,050 ch s thp phõn c ghi cho Shigeru Kondo & Alexander Yee chy kt qu ny, cỏc ụng ó phi s dng mỏy tớnh x Intel Xeon X5680 @ 3.33 GHz - (12 nhõn vt lý, 24 siờu phõn lung), 96 GB DDR3 vi 1066 MHz, a cng 24 x TB v tớnh toỏn 371 ngy, t 10/10/2010 n 16/10/2011 Xem nh cu hỡnh mỏy tớnh ti õy [2] e rst scalable multi-threaded Pi-benchmark for multi-core systems Last updated: ngy thỏng nm 2015 [3] Arndt & Haenel 2006, tr [4] Rudin, Walter (1976) Principles of Mathematical Analysis McGraw-Hill ISBN 0-07-054235-X., p 183 [5] Holton, David; Mackridge, Peter (2004) Greek: an Essential Grammar of the Modern Language Routledge ISBN 0-415-23210-4., p xi [6] Arndt & Haenel 2006, tr 165 Mt bn tỏc phm ca Jones cú th tỡm thy Berggren, Borwein & Borwein 1997, tr 108109 [7] Xem Schepler 1950, tr 220: trc ú th k 17,William Oughtred ó s dng ký t biu din chu vi ca mt ng trũn [8] Arndt & Haenel 2006, tr 166 [9] Leonhard Euler Introductio in analysin innitorum tr 166 [10] Arndt & Haenel 2006, tr [11] Salikhov, V (2008) On the Irrationality Measure of pi Russian Mathematical Survey 53 (3): 570 Bibcode:2008RuMaS 63 570S doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543 [12] Mayer, Steve e Transcendence of Bn gc (PDF) lu tr 29/9/2000 Truy cp ngy thỏng 11 nm 2007 Kim tra giỏ tr ngy thỏng trong: |archivedate= (tr giỳp) [13] Posamentier & Lehmann 2004, tr 25 [14] Eymard & Lafon 1999, tr 129 [15] Beckmann 1989, tr 37 Schlager, Neil; Lauer, Josh (2001) Science and Its Times: Understanding the Social Signicance of Scientic Discovery Gale Group ISBN 0-7876-3933-8., p 185 [16] Arndt & Haenel 2006, tr 2223 Preuss, Paul (ngy 23 thỏng nm 2001) Are e Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold e Key Lawrence Berkeley National Laboratory Truy cp ngy 10 thỏng 11 nm 2007 [17] Arndt & Haenel 2006, tr 22, 2830 [18] Arndt & Haenel 2006, tr [19] Eymard & Lafon 1999, tr 78 15 [20] Sloanes A001203: Continued fraction for Pi, e On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS Foundation Khụi phc 12 thỏng nm 2012 [21] Lange, L J (thỏng nm 1999) An Elegant Continued Fraction for e American Mathematical Monthly 106 (5): 456458 JSTOR 2589152 doi:10.2307/2589152 [22] Arndt & Haenel 2006, tr 240 [23] Arndt & Haenel 2006, tr 242 [24] Chỳng ta cú th kt lun rng mc dự nhng ngi Ai Cp c i khụng nh ngha chớnh xỏc giỏ tr ca , trờn thc t h ó dựng nú"Verner, M (2003) e Pyramids: eir Archaeology and History., p 70 Petrie (1940) Wisdom of the Egyptians., p 30 Xem thờm Legon, J A R (1991) On Pyramid Dimensions and Proportions Discussions in Egyptology 20: 2534 Xem thờm Petrie, W M F (1925) Surveys of the Great Pyramids Nature Journal 116 (2930): 942942 Bibcode:1925Natur.116 942P doi:10.1038/116942a0 [25] Egyptologist: Rossi, Corinna, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press, 2004, pp 6070, 200, ISBN 978-0-521-82954-0 Skeptics: Shermer, Michael, e Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience, ABC-CLIO, 2002, pp 407408, ISBN 9781576076538 Xem thờm Fagan, Garre G., Archaeological Fantasies: How Pseudoarchaeology Misrepresents e Past and Misleads the Public, Routledge, 2006, ISBN 978-0-41530593-8 Mt danh sỏch cỏc cỏch gii thớch v hỡnh dng kim t thỏp khụng liờn quan ti cú th xem ti Roger Herz-Fischler (2000), e Shape of the Great Pyramid, Wilfrid Laurier University Press, tr 6777, 165166, ISBN 9780889203242 [26] Arndt & Haenel 2006, tr 167 [27] Arndt & Haenel 2006, tr 168169 [28] Arndt & Haenel 2006, tr 169 [29] ú l cỏc bi Cỏc nh vua 7:23 v Biờn niờn s 4:2; xem Arndt & Haenel 2006, tr 169, Schepler 1950, tr 165, vBeckmann 1989, tr 1416 [35] Arndt & Haenel 2006, tr 176 Boyer & Merzbach 1991, tr 168 [36] Arndt & Haenel 2006, tr 1516, 175, 184186, 205 Grienberger t c 39 ch s nm 1630; Sharp 71 ch s nm 1699 [37] Arndt & Haenel 2006, tr 176177 [38] Boyer & Merzbach 1991, tr 202 [39] Arndt & Haenel 2006, tr 177 [40] Arndt & Haenel 2006, tr 178 [41] Arndt & Haenel 2006, tr 179 [42] Arndt & Haenel 2006, tr 180 [43] Azarian, Mohammad K (2010) al-Risla al-muhtyya: A Summary (PDF) Missouri Journal of Mathematical Sciences 22 (2): 6485 [44] OConnor, John J.; Robertson, Edmund F (1999) Ghiyath al-Din Jamshid Masud al-Kashi MacTutor History of Mathematics archive Truy cp ngy 11 thỏng nm 2012 [45] Arndt & Haenel 2006, tr 182 [46] Arndt & Haenel 2006, tr 182183 [47] Arndt, Haenel & 2006 p183 [48] Grienbergerus, Christophorus (1630) Elementa Trigonometrica (PDF) (bng ting Latin) lu 1/2/2014 Kt qu ca ụng l 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199 [49] Arndt & Haenel 2006, tr 185191 [50] Roy 1990, tr 101102 Arndt & Haenel 2006, tr 185186 [51] Roy 1990, tr 101102 [52] Joseph 1991, tr 264 [53] Arndt & Haenel 2006, tr 188 Newton c Arndt trớch dn [30] Cỏc gi thit rng h cú hỡnh lc giỏc hoc cú mt vnh cong bao ngoi c a gii thớch chờnh lch vi giỏ tr thc khỏ ln XemBorwein, Jonathan M.; Bailey, David H (2008) Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st century (n bn 2) A K Peters ISBN 978-1-56881-442-1., pp 103, 136, 137 [54] Arndt & Haenel 2006, tr 187 [31] e Scientic & the Divine James A Arieti, Patrick A Wilson (2003) Rowman & Lileeld pp 910 ISBN 978-0-7425-1397-6 [58] Arndt & Haenel 2006, tr 156 [32] Arndt & Haenel 2006, tr 170 [60] Arndt & Haenel 2006, tr 7274 [33] Arndt & Haenel 2006, tr 175, 205 [61] Arndt & Haenel 2006, tr 192196, 205 [34] Arndt & Haenel 2006, tr 171 [62] Arndt & Haenel 2006, tr 194196 [55] Arndt & Haenel 2006, tr 188189 [56] Eymard & Lafon 1999, tr 5354 [57] Arndt & Haenel 2006, tr 189 [59] Arndt & Haenel 2006, tr 192193 16 CH THCH THAM KHO [63] Borwein, J M.; Borwein, P B (1988) Ramanujan and Pi Scientic American 256 (2): 112117 Bibcode:1988SciAm.258b.112B doi:10.1038/scienticamerican0288-112 Arndt & Haenel 2006, tr 1517, 7072, 104, 156, 192197, 201202 [83] Arndt & Haenel 2006, tr 18 [64] Arndt & Haenel 2006, tr 6972 [87] Arndt & Haenel 2006, tr 110111 [65] Borwein, J M.; Borwein, P B.; Dilcher, K (1989) Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions American Mathematical Monthly 96 (8): 681687 doi:10.2307/2324715 [88] Eymard & Lafon 1999, tr 254 [66] Arndt & Haenel 2006, tr 223, (cụng thc 16.10) Chỳ ý rng (n 1)n(n + 1) = n3 n Wells, David (1997) e Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Penguin tr 35 ISBN 978-0140-26149-3 [67] Posamentier & Lehmann 2004, tr 284 [68] Lambert, Johann, Mộmoire sur quelques propriộtộs remarquables des quantitộs transcendantes circulaires et logarithmiques, in li Berggren, Borwein & Borwein 1997, tr 129140 [69] Arndt & Haenel 2006, tr 196 [70] Arndt & Haenel 2006, tr 197 [71] Arndt & Haenel 2006, tr 197 Xem thờm Reitwiesner 1950 [72] Arndt & Haenel 2006, tr 197 [84] Arndt & Haenel 2006, tr 103104 [85] Arndt & Haenel 2006, tr 104 [86] Arndt & Haenel 2006, tr 104, 206 [89] Pi Computation Record [90] Arndt & Haenel 2006, tr 110111, 206 Bellard, Fabrice, Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer, 11 Feb 2010 [91] http://numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html [92] Round 10 Trillion Digits of Pi, Alexander J Yee & Shigeru Kondo trờn NumberWorld.org, Cp nht 22/10/2011 Truy cp 7/1/2013 [93] Ploue, Simon (thỏng nm 2006) Identities inspired by Ramanujans Notebooks (part 2) (PDF) Truy cp ngy 10 thỏng nm 2009 [94] Arndt & Haenel 2006, tr 7784 [95] Gibbons, Jeremy, Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi, 2005 Gibbons ó to mt phiờn bn ci tin ca thut toỏn Wagon [96] Arndt & Haenel 2006, tr 77 [75] Arndt & Haenel 2006, tr 132, 140 [97] Rabinowitz, Stanley; Wagon, Stan (thỏng nm 1995) A spigot algorithm for the digits of Pi American Mathematical Monthly 102 (3): 195203 doi:10.2307/2975006 Mt chng trỡnh mỏy tớnh ó c to thc hin thut toỏn Wagon vi ch 120 ký t ca phn mm [76] Arndt & Haenel 2006, tr 87 [98] Arndt & Haenel 2006, tr 117, 126128 [77] Arndt & Haenel 2006, tr 111 (5 times); pp 113114 (4 times) Xem Borwein & Borwein 1987 cú thờm chi tit v cỏc thut toỏn [99] Bailey, David H.; Borwein, Peter B.; and Ploue, Simon (thỏng nm 1997) On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants (PDF) Mathematics of Computation 66 (218): 903913 doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9 [73] Arndt & Haenel 2006, tr 1517 [74] Arndt & Haenel 2006, tr 131 [78] Bailey, David H (ngy 16 thỏng nm 2003) Some Background on Kanadas Recent Pi Calculation (PDF) [100] Arndt & Haenel 2006, tr 128 Ploue ó to mt thut Truy cp ngy 12 thỏng nm 2012 toỏn trớch xut ch s thp phõn, nhng nú chm hn cỏc tớnh toỏn y , trc tip tt c cỏc s ng trc [79] Arndt & Haenel 2006, tr 17 39 ch s ca l tớnh toỏn th tớch v tr ti nguyờn t gn nht. [101] Arndt & Haenel 2006, tr 20 Liờn quan ti cỏc ch s thờm vo bự cho sai s lm Bellards formula in: Bellard, Fabrice A new formula to trũn tớnh toỏn, Arndt kt lun rng mt vi trm compute the nth binary digit of pi Bn gc lu tr ngy ch s s ỏp ng bt k ng dng toỏn hc no 12 thỏng nm 2007 Truy cp ngy 27 thỏng 10 nm [80] Arndt & Haenel 2006, tr 1719 [81] Schudel, Ma (ngy 25 thỏng nm 2009) John W Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi e Washington Post tr B5 2007 [102] Palmer, Jason (ngy 16 thỏng nm 2010) Pi record smashed as team nds two-quadrillionth digit BBC News Truy cp ngy 26 thỏng nm 2011 [103] Bronshten & Semendiaev 1971, tr 200, 209 [82] e Big estion: How close have we come to knowing the precise value of pi? e Independent [104] Weisstein, Eric W., "Semicircle" t MathWorld Ngy thỏng nm 2010 Truy cp ngy 14 thỏng [105] Ayers 1964, tr 60 nm 2012 17 [106] Bronshten & Semendiaev 1971, tr 210211 [128] Yeo, Adrian, e pleasures of pi, e and other interesting numbers, World Scientic Pub., 2006, p 21, ISBN 978[107] Arndt & Haenel 2006, tr 39 981-270-078-0 Ehlers, Jỹrgen, Einsteins Field Equations and eir [108] Ramaley, J F (thỏng 10 nm 1969) Buons Noodle Physical Implications, Springer, 2000, p 7, ISBN 978-3Problem e American Mathematical Monthly 76 (8): 540-67073-5 916918 JSTOR 2317945 doi:10.2307/2317945 [109] Arndt & Haenel 2006, tr 3940 Posamentier & Lehmann 2004, tr 105 [129] Nave, C Rod (ngy 28 thỏng nm 2005) Coulombs Constant HyperPhysics Georgia State University Truy cp ngy thỏng 11 nm 2007 [110] Badger, Lee (thỏng nm 1994) Lazzarinis [130] C Itzykson, J-B Zuber, antum Field eory, Lucky Approximation of Mathematics Magazine McGraw-Hill, 1980 (Mathematical Association of America) 67 (2): 8391 JSTOR 2690682 doi:10.2307/2690682 [131] Feller, W An Introduction to Probability eory and Its Applications, Vol 1, Wiley, 1968, pp 174190 [111] Arndt & Haenel 2006, tr 43 Posamentier & Lehmann 2004, tr 105108 [132] Bronshten & Semendiaev 1971, tr 106107, 744, 748 [112] Ayers 1964, tr 100 [113] Bronshten & Semendiaev 1971, tr 592 [133] Low, Peter, Classical eory of Structures Based on the Dierential Equation, CUP Archive, 1971, pp 116118, ISBN 978-0-521-08089-7 [114] Maor, Eli, E: e Story of a Number, Princeton University [134] Batchelor, G K., An Introduction to Fluid Dynamics, Press, 2009, p 160, ISBN 978-0-691-14134-3 (ve most Cambridge University Press, 1967, p 233, ISBN 0-521important constants) 66396-2 [115] Weisstein, Eric W., "Roots of Unity" t MathWorld [135] Bracewell, R N., e Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07-116043-4 [116] Weisstein, Eric W., Cauchy Integral Formula, MathWorld [136] Hans-Henrik Stứlum (ngy 22 thỏng nm 1996) River Meandering as a Self-Organization Process Science [117] Joglekar, S D., Mathematical Physics, Universities Press, 271 (5256): 17101713 Bibcode:1996Sci271.1710S 2005, p 166, ISBN 978-81-7371-422-1 doi:10.1126/science.271.5256.1710 [118] Klebano, Aaron (2001) Pi in the Mandelbrot set (PDF) Fractals (4): 393402 [137] Posamentier & Lehmann 2004, tr 140141 doi:10.1142/S0218348X01000828 Truy cp ngy 14 [138] Arndt & Haenel 2006, tr 4445 thỏng nm 2012 [139] S Pi v nng (ụng cỏo bỏo chớ) Vụ Biờn [119] Peitgen, Heinz-Oo, Chaos and fractals: new frontiers thỏng nm 2012 Truy cp ngy 11 thỏng nm of science, Springer, 2004, pp 801803, ISBN 978-0-3872012 Kim tra giỏ tr ngy thỏng trong: |accessdate= 20229-7 (tr giỳp) [120] Bronshten & Semendiaev 1971, tr 191192 [121] Bronshten & Semendiaev 1971, tr 190 [122] Arndt & Haenel 2006, tr 4143 [140] Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi News Guangdong Ngy 28 thỏng 11 nm 2006 Truy cp ngy 27 thỏng 10 nm 2007 ễng c sai s th 67 891, ỏng l l li c l [123] nh lý ny c chng minh bi Ernesto Cesro nm [141] Most Pi Places Memorized, Guinness World Records 1881 Xem mt chng minh cht ch hn Hardy, G Truy cp ngy thỏng nm 2012 H., An Introduction to the eory of Numbers, Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, nh lý [142] Otake, Tomoko (ngy 17 thỏng 12 nm 2006) How can anyone remember 100,000 numbers? e Japan Times 332 Truy cp ngy 27 thỏng 10 nm 2007 [124] Ogilvy, C S.; Anderson, J T., Excursions in Number eory, Dover Publications Inc., 1988, pp 2935, ISBN [143] Raz, A.; Packard, M G (2009) A slice of pi: An exploratory neuroimaging study of digit encoding and 0-486-25778-9 retrieval in a superior memorist Neurocase 6: 112 [125] Arndt & Haenel 2006, tr 43 [144] Keith, Mike Cadaeic Cadenza Notes & Commentary [126] Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl, Truy cp ngy 29 thỏng nm 2009 Fundamentals of Physics, 5th Ed., John Wiley & Sons, :{|style="border: none; text-align: center;" |1997, p 381, ISBN 0-471-14854-7 |One||/||A||Poem||/||A||Raven||/||Midnights||so||dreary,||tired||and||weary, |- |3 ||.||1||4 || ||1||5 || ||9 ||2 ||6 ||5 ||3 ||5 [127] Imamura, James M (ngy 17 thỏng nm 2005) Heisenberg Uncertainty Principle University of [145] Keith, Michael; Diana Keith (ngy 17 thỏng nm 2010) Oregon Bn gc lu tr ngy 12 thỏng 10 nm 2007 Not A Wake: A dream embodying (pi)'s digits fully for Truy cp ngy thỏng nm 2007 10000 decimals Vinculum Press ISBN 978-0963009715 18 THAM KHO [146] Posamentier & Lehmann 2004, tr 118 Arndt & Haenel 2006, tr 50 [161] Midnight Entity, Tardis Index File accessed ngy 22 thỏng nm 2012 [147] MIT cheers Truy cp ngy 12 thỏng nm 2012 [162] ISBN 0547350651 [148] Great Pi Day Activities for Teachers Pi Day March 14, [163] Life of Pi 2008 [149] Supporting the designation of Pi Day, and for other purposes (ụng cỏo bỏo chớ) H vin Hoa K, Library of Congress 9*3*2009 Truy cp ngy 11 thỏng nm 2012 Kim tra giỏ tr ngy thỏng trong: |date=, |accessdate= (tr giỳp) [150] Googles strange bids for Nortel patents FinancialPost.com Reuters Ngy thỏng nm 2005 Truy cp ngy 16 thỏng nm 2011 [151] Abbo, Stephen (thỏng nm 2012) My Conversion to Tauism (PDF) Math Horizons 19 (4): 34 doi:10.4169/mathhorizons.19.4.34 [152] Palais, Robert (2001) Is Wrong! (PDF) e Mathematical Intelligencer 23 (3): 78 doi:10.1007/BF03026846 [153] Hartl, Michael e Tau Manifesto Truy cp ngy 28 thỏng nm 2012 [154] Palmer, Jason (ngy 28 thỏng nm 2011) 'Tau day' marked by opponents of maths constant pi BBC News Truy cp ngy 28 thỏng nm 2012 [155] Arndt & Haenel 2006, tr 14 Phn ny ca cõu chuyn b lc i kch bn chuyn th phim t tiu thuyt ny [156] Gill, Andy (ngy thỏng 11 nm 2005) Review of Aerial e Independent hu ht s tha t k ca nh toỏn hc b ỏm nh-ộp buc b mờ hoc bi Pi (th to nờn c hi c nghe Bush chm rói hỏt nhng khỳc di s c xem xột, di hng tỏ ch s) [157] Hard 'n Phirm (2005) Horses and Grasses Hard 'N Phirm (bng ting Anh) Bn gc lu tr ngy 10 thỏng 10 nm 2010 Kim tra giỏ tr ngy thỏng trong: |archivedate= (tr giỳp) [158] Hard 'n Phirm: Pi o din: Keith Schoeld [159] Edward J Goodwin (July 1894) adrature of the circle, American Mathematical Monthly, 1(7): 246-248 See: Purdue Agricultural Economics Reprinted in: Lennart Berggren, Jonathan Borwein, and Peter Borwein, Pi: A Source Book, 3rd ed (New York, New York: Springer-Verlag, 2004), page 230 See also: Edward J Goodwin (1895) "(A) e trisection of an angle; (B) Duplication of the cube, American Mathemtical Monthly, 2: 337 [160] Arndt & Haenel 2006, tr 211212 Posamentier & Lehmann 2004, tr 3637 Hallerberg, Arthur (thỏng nm 1977) Indianas squared circle Mathematics Magazine 50 (3): 136140 JSTOR 2689499 doi:10.2307/2689499 Tham kho Arndt, Jửrg; Haenel, Christoph (2006) Pi Unleashed Springer-Verlag ISBN 978-3-54066572-4 bn dch ting Anh ca Catriona v David Lischka Ayers, Frank (1964) Calculus McGraw-Hill ISBN 978-0-070-02653-7 Mathematics from the Birth of Numbers ca Jan Gullberg, ISBN 0-393-04002-X A History of Mathematical Notation ca Florian Cajori, ISBN 0-486-67766-4 Blatner, David (1999) e Joy of Pi Walker & Company ISBN 978-0-8027-7562-7 Borwein, Jonathan Michael v Borwein, Peter Benjamin, e Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions, SIAM Review, 26(1984) 351365 Borwein, Jonathan Michael, Borwein, Peter Benjamin, v Bailey, David H., Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi, e American Mathematical Monthly, 96(1989) 201219 Chudnovsky, David V v Chudnovsky, Gregory V., Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan, Ramanujan Revisited (G.E Andrews et al Eds), Academic Press, 1988, pp 375396, 468472 Cox, David A., e Arithmetic-Geometric Mean of Gauss, L' Ensignement Mathematique, 30(1984) 275330 Engels, Hermann, adrature of the Circle in Ancient Egypt, Historia Mathematica 4(1977) 137140 Euler, Leonhard, On the Use of the Discovered Fractions to Sum Innite Series, in Introduction to Analysis of the Innite Book I, dch t ting Latin sang ting Anh bi J D Blanton, Springer-Verlag, 1964, pp 137153 Heath, T L., e Works of Archimedes, Cambridge, 1897; in li e Works of Archimedes with e Method of Archimedes, Dover, 1953, pp 9198 19 Huygens, Christiaan, De Circuli Magnitudine Inventa, Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden 1724, pp 384388 Lay-Yong, Lam v Tian-Se, Ang, Circle Measurements in Ancient China, Historia Mathematica 13(1986) 325340 Lindemann, Ferdinand, Ueber die Zahl pi, Mathematische Annalen 20(1882) 213225 Matar, K Mukunda, v Rajagonal, C., On the Hindu adrature of the Circle (Ph lc ca K Balagangadharan) Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society 20(1944) 7782 Niven, Ivan, A Simple Proof that pi Is Irrational, Bulletin of the American Mathematical Society, 53:7 (July 1947), 507 Ramanujan, Srinivasa, Modular Equations and Approximations to pi, Journal of the Indian Mathematical Society, XLV, 1914, 350372 In li G.H Hardy, P.V Sehuigar, v B M Wilson (eds), Srinivasa Ramanujan: Collected Papers, 1962, pp 2329 Shanks, William, Contributions to Mathematics Comprising Chiey of the Rectication of the Circle to 607 Places of Decimals, 1853, pp ixvi, 10 Shanks, Daniel v Wrench, John William, Calculation of pi to 100,000 Decimals, Mathematics of Computation 16(1962) 7699 Trope, Johannes, Geschichte Der ElementarMathematik in Systematischer Darstellung (e history of elementary mathematics), BiblioBazaar, 2009 (in li), ISBN 978-1-113-08573-3 Viete, Francois, Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII F Viete, Opera Mathematica (in li), Georg Olms Verlag, 1970, pp 398401, 436 446 Borwein, Jonathan Michael, Borwein, Peter Benjamin, v Bailey, David H., Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi, e American Mathematical Monthly, 96(1989) 201219 Chudnovsky, David V v Chudnovsky, Gregory V., Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan, Ramanujan Revisited (G.E Andrews et al Eds), Academic Press, 1988, 375396, 468472 Cox, David A., e Arithmetic-Geometric Mean of Gauss, L' Ensignement Mathematique, 30(1984) 275330 Engels, Hermann, adrature of the Circle in Ancient Egypt, Historia Mathematica 4(1977) 137140 Euler, Leonhard, On the Use of the Discovered Fractions to Sum Innite Series, Introduction to Analysis of the Innite Book I, dch t ting Latin bi J D Blanton, SpringerVerlag, 1964, pp 137153 Heath, T L., e Works of Archimedes, Cambridge, 1897; in li e Works of Archimedes with e Method of Archimedes, Dover, 1953, pp 9198 Huygens, Christiaan, De Circuli Magnitudine Inventa, Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden 1724, pp 384388 Lay-Yong, Lam v Tian-Se, Ang, Circle Measurements in Ancient China, Historia Mathematica 13(1986) 325340 Wagon, Stan, Is Pi Normal?", e Mathematical Intelligencer, 7:3(1985) 6567 Lindemann, Ferdinand, Ueber die Zahl pi, Mathematische Annalen 20(1882) 213225 Wallis, John, Arithmetica Innitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum adratum, aliaque diciliora Matheseos Problemata, Oxford 16556 In li (pp 357478) ca Opera Mathematica, Oxford, 1693 Matar, K Mukunda, and Rajagonal, C., On the Hindu adrature of the Circle (Appendix by K Balagangadharan) Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society 20(1944) 7782 Zebrowski, Ernest, A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe, Rutgers Univ Press, 1999, ISBN 978-0-8135-2898-4 Borwein, Jonathan Michael v Borwein, Peter Benjamin, e Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions, SIAM Review, 26(1984) 351365 Ti liu c thờm Blatner, David (1999) e Joy of Pi Walker & Company ISBN 978-0-8027-7562-7 Niven, Ivan, A Simple Proof that pi Is Irrational, Bulletin of the American Mathematical Society, 53:7 (July 1947), 507 Ramanujan, Srinivasa, Modular Equations and Approximations to pi, Journal of the Indian Mathematical Society, XLV, 1914, 350372 In li G.H Hardy, P.V Sehuigar, v B M Wilson (eds), Srinivasa Ramanujan: Collected Papers, 1962, 2329 20 LIấN KT NGOI Shanks, William, Contributions to Mathematics Comprising Chiey of the Rectication of the Circle to 607 Places of Decimals, 1853, pp ixvi, 10 Shanks, Daniel v Wrench, John William, Calculation of pi to 100,000 Decimals, Mathematics of Computation 16(1962) 7699 Trope, Johannes, Geschichte Der ElementarMathematik in Systematischer Darstellung (e history of elementary mathematics), BiblioBazaar, 2009 (in li), ISBN 978-1-113-08573-3 Viete, Francois, Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII F Viete, Opera Mathematica (in li), Georg Olms Verlag, 1970, 398401, 436 446 Wagon, Stan, Is Pi Normal?", e Mathematical Intelligencer, 7:3(1985) 6567 Wallis, John, Arithmetica Innitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum adratum, aliaque diciliora Matheseos Problemata, Oxford 16556 In li (tr 357478) ca Opera Mathematica, Oxford, 1693 Zebrowski, Ernest, A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe, Rutgers Univ Press, 1999, ISBN 978-0-8135-2898-4 e Life of Pi: History and Computation Jonathan Michael Borwein, 21/6-17/7/2003 Liờn kt ngoi (ting Anh) Pi (mathematics) ti Encyclopổdia Britannica (ting Anh) Digits of Pi ti DMOZ Weisstein, Eric W., "Pi" t MathWorld Representations of Pi ti Wolfram Alpha Pi Search Engine tỡm kim t ch s ca , v e 2, D liu Pi ti PlanetMath, vi giy phộp s dng GFDL (ting Vit) Pi ti T in bỏch khoa Vit Nam Lch s s Pi - Phn 1 thỏng nm 2008, Lch s s Pi - Phn thỏng nm 2008, S Pi - Phn 3: Hn n s Pi thỏng nm 2008 v S Pi - Phn 4: Mt s cụng thc tớnh giỏ tr ca Pi 27 thỏng nm 2008 Lch s s Pi n diu k Vietsciences, Vừ Diu Hng, 13 thỏng nm 2006 21 10 10.1 Ngun, ngi úng gúp, v giy phộp cho bn v hỡnh nh Vn bn Pi Ngun: https://vi.wikipedia.org/wiki/Pi?oldid=26551944 Ngi úng gúp: DHN, MuDavid, Vinhtantran, Newone, Trungda, Escarbot, Vietuy, Handyhuy, SieBot, Qbot, AlleinStein, Magicknight94, Luckas-bot, achx, Nguyentrongphu, Porcupine, Xqbot, Trn Nam H 2001, DangTungDuong, Prenn, Hungda, Abcvn123, Earthandmoon, Tuankiet65, Tnt1984, DixonDBot, TuHan-Bot, Isaac Newton, EmausBot, Michel Djerzinski, CNBH, Khangdu, FoxBot, Cheers!, Nhoc maruko9x, ChuispastonBot, Milk Coee, WikitanvirBot, Ripchip Bot, Cheers!-bot, F~viwiki, Violetbonmua, MerlIwBot, AvicBot, AvocatoBot, enhitran, Alphama, Value, AlphamaBot, Lathanhvien, Android236, Addbot, OctraBot, Nongtinh3, CVQT, itxongkhoiAWB, Chanduongpro, Tuanminh01, AlphamaBot4, TuanminhBot, Leduyquang03, ẫn bc AWB, Tranngocnhatminh, Duyenxinhdep, Dangminhbk, Hungv8a5 v 29 ngi vụ danh 10.2 Hỡnh nh Tp_tin:1000_bi_c_bn.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/95/1000_b%C3%A0i_c%C6%A1_b%E1% BA%A3n.svg Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: File:Wikipedia-logo-v2.svg Ngh s u tiờn: is le: Prenn Tp_tin:Archimedes_pi.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Archimedes_pi.svg Giy phộp: CC-BYSA-3.0 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Leszek Krupinski (disputed, see File talk:Archimedes pi.svg) Tp_tin:Buffon_needle.gif Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f6/Buffon_needle.gif Giy phộp: CC BY 2.5 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Claudio Rocchini Tp_tin:Circle_Area_vi.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/06/Circle_Area_vi.svg Giy phộp: CC0 Ngi úng gúp: translated from Circle Area.svg Ngh s u tiờn: Circle Area.svg: Limaner Tp_tin:Commons-logo.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: is version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features (Former versions used to be slightly warped.) Ngh s u tiờn: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab Tp_tin:Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/Domenico-Fetti_ Archimedes_1620.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: http://archimedes2.mpiwg-berlin.mpg.de/archimedes_templates/ popup.htm Ngh s u tiờn: Domenico Fei Tp_tin:E\char"005E\relax{}(-x\char"005E\relax{}2).svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2f/E%5E% 28-x%5E2%29.svg Giy phộp: CC BY-SA 3.0 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Autopilot Tp_tin:Euler{}s_formula.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/71/Euler%27s_formula.svg Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: L nh phỏi sinh t Eulers formula.png: Ngh s u tiờn: Original: Gunther Derivative work: Wereon Tp_tin:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/39/ GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: http://www.newton.cam.ac.uk/art/portrait.html Ngh s u tiờn: is a copy of a painting by Sir Godfrey Kneller(1689) is copy was painted by Barrington Bramley Tp_tin:JohnvonNeumann-LosAlamos.gif Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/ JohnvonNeumann-LosAlamos.gif Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: http://www.lanl.gov/history/atomicbomb/images/ NeumannL.GIF (Archive copy at the Wayback Machine (archived on 11 March 2010)) Ngh s u tiờn: LANL Tp_tin:Leonhard_Euler.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/Leonhard_Euler.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Kunstmuseum Basel Ngh s u tiờn: Jakob Emanuel Handmann Tp_tin:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/Mandel_zoom_00_ mandelbrot_set.jpg Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Matheon2.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Matheon2.jpg Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to (own photo) Ngh s u tiờn: Holger Motzkau Tp_tin:PODY_barnstar.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/db/PODY_barnstar.png Giy phộp: LGPL Ngi úng gúp: PODY barnstar.svg and Fairytale bookmark golden.png Ngh s u tiờn: e Obento Musubi Tp_tin:Pi-unrolled-720.gif Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Pi-unrolled-720.gif Giy phộp: CC-BYSA-3.0 Ngi úng gúp: Edited version of Image:Pi-unrolled.gif Ngh s u tiờn: John Reid Tp_tin:Pi_30K.gif Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Pi_30K.gif Giy phộp: CC BY 3.0 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: nicoguaro Tp_tin:Pi_eq_C_over_d-vi.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Pi_eq_C_over_d-vi.png Giy phộp: CC BY-SA 3.0 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Beyoncetan, based on previous work by w:User:Papeschr 22 10 NGUN, NGI ểNG GểP, V GIY PHẫP CHO VN BN V HèNH NH Tp_tin:Pi_pie2.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Pi_pie2.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Pi_pie2.jpg Ngh s u tiờn: GJ Tp_tin:Record_pi_approximations_(vi).svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/Record_pi_ approximations_%28vi%29.svg Giy phộp: CC BY-SA 3.0 Ngi úng gúp: L nh phỏi sinh t Record pi approximations.svg: Ngh s u tiờn: Record_pi_approximations.svg: Nageh Tp_tin:Sine_cosine_one_period.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/71/Sine_cosine_one_period.svg Giy phộp: CC BY 3.0 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Geek3 Tp_tin:Squaring_the_circle.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Squaring_the_circle.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Pd-self image by Plynn9 Ngh s u tiờn: Original PNG by Plynn9; SVG by Alexei Kouprianov Tp_tin:Srinivasa_Ramanujan_-_OPC_-_1.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c1/Srinivasa_ Ramanujan_-_OPC_-_1.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: link Ngh s u tiờn: Khụng rừ 10.3 Giy phộp ni dung Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0 ... Nam Lch s s Pi - Phn 1 thỏng nm 2008, Lch s s Pi - Phn thỏng nm 2008, S Pi - Phn 3: Hn n s Pi thỏng nm 2008 v S Pi - Phn 4: Mt s cụng thc tớnh giỏ tr ca Pi 27 thỏng nm 2008 Lch s s Pi n diu k... HèNH NH Tp_tin :Pi_ pie2.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4 /Pi_ pie2.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Pi_ pie2.jpg Ngh s u tiờn: GJ Tp_tin:Record _pi_ approximations_(vi).svg... Weisstein, Eric W., "Pi" t MathWorld Representations of Pi ti Wolfram Alpha Pi Search Engine tỡm kim t ch s ca , v e 2, D liu Pi ti PlanetMath, vi giy phộp s dng GFDL (ting Vit) Pi ti T in bỏch