Tối ưu hóa hàm tuyến tính trên tập hữu hiệu của bài toán quy hoạch đa mục tiêu,

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ LỆ HẰNG LÊ LỆ HẰNG TỐI ƯU HÓA HÀM TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU TOÁN TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN 2010B HÀ NỘI – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - LÊ LỆ HẰNG TỐI ƯU HÓA HÀM TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: TOÁN TIN Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TRẦN VIỆT DŨNG HÀ NỘI – 2012 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Trần Việt Dũng người tận tình nghiêm khắc dạy bảo để luận văn hoàn thành.Đồng thời, tác giả xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Trường Đại học Kinh tế Kỹ thuật Công nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu Cảm ơn thầy cô đồng nghiệp trao đổi tác giả kiến thức kinh nghiệm quý báu để giúp cho luận văn hoàn thiện Bên cạnh đó, quan tâm gia đình, bạn bè nguồn động viên thiếu để giúp tác giả hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Học viên : Lê Lệ Hằng Lớp : Toán Tin - Toán ứng dụng 2010 i MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii LỜI MỞ ĐẦU iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT v CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO 1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 1.1.1 Phát biểu toán 1.1.2 Cấu trúc tập nghiệm 1.1.3 Biểu diễn diện hữu hiệu thông qua tập mô tả 10 1.2 Bài toán tối ưu tập Pareto 12 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH 14 2.1 Phát biểu toán 14 2.2 Bài toán tương đương 14 2.3 Thuật toán giải toán song tuyến tính 18 2.4 Ví dụ minh họa 22 CHƯƠNG 3: THUẬT TOÁN SONG TUYẾN TÍNH GIẢI BÀI TOÁN (Q) 25 3.1 Cơ sở lý thuyết thuật toán 26 3.2 Thuật toán 28 3.3 Sự hội tụ 30 3.4 Ví dụ minh họa 31 KẾT LUẬN CHUNG 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 ii LỜI MỞ ĐẦU Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu toán tối ưu đồng thời p ≥ hàm mục tiêu tuyến tính , 〈 , 〉 , với tập lồi đa diện khác rỗng ∈ ∈ , = 1, … , , độc lập Đây toán có ý nghĩa quan trọng thực tế, đặc biệt lý thuyết định, kinh tế, tài chính, quản lý, công nghiệp, .Cho đến nay, nhiều tác giả đề xuất thuật toán để xác định toàn phần tập nghiệm hữu hiệu EP toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu, chẳng hạn xem [2], [3], [4], [6].Một toán quan trọng có liên quan chặt chẽ với toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu toán tối ưu tập Pareto, ký hiệu (Q) Đó toán tối ưu hàm thực f(x) tập nghiệm hữu hiệu EP toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu Việc giải toán giúp ta chọn nghiệm hữu hiệu tốt theo chuẩn mà không thiết phải xác định toàn tập EP Bài toán Philip đề xuất năm 1972 Đây toán khó thuộc lớp toán tối ưu toàn cục, tức nghiệm tối ưu địa phương chưa nghiệm tối ưu toàn cục Tuy nhiên, nhu cầu ứng dụng, toán (Q) thu hút quân tâm đặc biệt nhiều tác giả Nhiều thuật toán theo tiếp cận khác đề xuất để giải toán này, H.Benson [5], H.Benson Sayin [6] số tác giả khác, xem danh mục tài liệu tham khảo kèm theo.Mục đích luận văn trình bày thuật toán để giải toán tối ưu tập Pareto Nội dung luận văn trình bày ba chương  Chương "Bài toán tối ưu tập Pareto" Trình bày số khái niệm tính chất toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP) điểm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu, điều kiện hữu hiệu, cấu trúc tập nghiệm toán, biểu diễn diện hữu hiệu thông qua tập mô tả Tiếp đó, giới thiệu mô hình toán học toán tối ưu tập Pareto iii  Chương "Bài toán song tuyến tính" Trình bày số khái niệm, tính chất bản, dạng tương đương toán song tuyến tính thuật toán giải toán quy hoạch song tuyến tính theo phương pháp siêu phẳng cắt R.Horst H.Tuy [9] đề xuất  Chương "Thuật toán song tuyến tính giải toán (Q) " Trình bày sở lý thuyết thuật toán song tuyến tính để giải toán (Q) Nội dung chương dựa báo J.Jorge [11] đăng năm 2005 tạp chí Journal of Global Optimization Luận văn hoàn thành Viên Toán ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, hướng dẫn PGS TS Trần Việt Dũng Mặc dù cố gắng, song luận văn chắn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy cô đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2012 iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT R Tập số thực Rn Không gian Euclid n chiều ∈ Thuộc tập G ∉ Không thuộc tập G ∃ Tồn x ∄ Không tồn x ∀ Với x ∅ Tập rỗng ⊂ F tập thực tập A ⊆ F tập tập A tập A A≠B Tập A khác tập B ∩ Giao tập A B EP Tập tất nghiệm hữu hiệu toán (MLOP) Tập tất diện hữu hiệu toán (MOLP) 〈 , 〉 Tích vô hướng x y | | Giá trị tuyệt đối x Điểm tương đối tập A [ ( ) Nón pháp tuyến tập X điểm x0 , ] Đoạn thẳng nối hai điểm v1 v2 Bao a fin tập A v { ,… ( , ) } Nón sinh véc tơ c1, ck Hình tròn mở tâm a, bán kính  > intA Phần tương đối A xt Véc tơ chuyển vị véc tơ x At Ma trận chuyển vị ma trận A v.đ.k Viết tắt cụm từ "với điều kiện" (Q) Kí hiệu Bài toán tối ưu tập Pareto (LPx) Kí hiệu Bài toán quy hoạch tuyến tính (BLP) Kí hiệu Bài toán quy hoạch song tuyến tính (BLPT) Kí hiệu Bài toán tương đương với toán quy hoạch song tuyến tính (MOLP) Kí hiệu Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu vi Chương 1: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO Mục đích chương giới thiệu vài nét toán tối ưu tập Pareto mô hình toán học, nghiệm hữu hiệu, điều kiện hữu hiệu, cấu trúc tập nghiệm, biểu diễn diện hữu hiệu thông qua tập mô tả Nội dung Chương tham khảo [1], [2], [3], [4], [9] 1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 1.1.1 Phát biểu toán Thông thường, RP với p ≥ 2, người ta sử dụng thứ tự sau: Cho = ≥ ⟺ ≥ > ⇔ ≥ ≠ > , ,…., ⇔ ≥ , = ,…., , Ta nói: , ∀ = 1, … , , ∃ ∈ {1, , }: > ; ≫ ⇒ , ∀ = 1, … , Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu phát biểu sau: VMax Cx, với ∈ , Trong C ma trận mục tiêu cấp pxn, p ≥ với p hàng 1, … , ; ∈ ∈ (MOLP) ∈ , = tập lồi đa diện khác rỗng Theo định nghĩa, tập lồi đa diện giao số hữu hạn nửa không gian đóng Nói cách khác, tập lồi đa diện X tập nghiệm hệ hữu hạn bất đẳng thức tuyến tính Tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện Đinh nghia 1.1 Một điểm (MOLP) ∄ ∈ : ≥ ∈ gọi nghiệm hữu hiệu toán ≠ Nghiệm hữu hiệu gọi nghiệm tối ưu Pareto Ký hiệu: ◊ EP tập tất nghiệm hữu hiệu toán (MOLP) = ◊ = ,…, ∈ ≥ 0, = 1, … , Định lý sau cho phép ta tìm nghiệm hữu hiệu toán (MOLP) thông qua việc giải quy hoạch tuyến tính thông thường Định lý 1.1 | | Điểm ∈ nghiệm hữu hiệu toán (MOLP) ∈ tồn véc tơ ≫0) cho x0 nghiệm tối ưu tức ( toán quy hoạch tuyến tính vô hướng sau: {〈 , Cho ⊂ 〉, ∈ } Ký hiệu riA tập điểm tương đối A , tức ={ Trong ( ∈ |∃ ( , )∩ ⊂ } , ) hình tròn mở tâm a0, bán kính > affA bao affin tập A ⊂ Định nghĩa 1.2 Cho tập lồi khác rỗng Một tập lồi khác rỗng ⊆ gọi diện A đoạn thẳng nằm A có điểm tương đối ∈ , ∈ = nằm trọn F , nghĩa + (1 − ) , < < 1; ∈ , ∈ ⇒ ∈ , ∈ Hệ 1.1 Xét toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP) Cho tập F (tức ∈ ) F⊂ x0 nghiệm hữu hiệu ∈ diện tập lồi đa diện X điểm Định nghĩa 1.3 Một diện F diện hữu hiệu (efficient face) tất phần tử F nghiệm hữu hiệu toán (MOLP) Đặt = { ,…, }: = ∈ = , Thông thường, K gọi nón sinh { , … , Cho tập lồi khác rỗng ( ⊂ ), định nghĩa là: ≥ 0, = 1, … , } Nón pháp tuyến M ( ): = { ∈ |〈 , − ∈ 〉 ≤ 0, ∀ ∈ ký hiệu } V(Y0) = {Q0, Q1, Q2, Q3, Q4} Bước lặp 1: * Bằng thủ tục ''leo đồi'', ta tìm cặp đỉnh (x0,y0) ∈ V(X0)×V(Y0) thỏa mãn (2.3) với = , = = = Ta có α = f0(x0)-ε với ε = f0(x0) = F(x0,y0) = -10 suy α = -10 * Xây dựng lát cắt πXo(Y0) theo (2.4) Ta có, 1.5 0.5 − = 2 −2 = = − = 0 ) = 0.5 −2 ⇒ = −2 = =( , = Tính θ1, θ2 giá trị tối ưu hai toán sau: θ1: -12s0 + s1 – 2s2 v.đ.k: -1.5s0 + 1.5s1 -1.5s2 = -1 -8s0 + 2s1 + s2 ≤ 0, -8s0 + s1 + 2s2 ≤ 0, -5s0 + s1 + s2 ≤ 0, si ≥ θ2: -12s0 + s1 – 2s2 v.đ.k: -2s0 + 2s1 -2s2 = -1 2s1 + s2 ≤ 8, s1 + 2s2 ≤ 8, s1 + s2 ≤ 5, 23 0.5 si ≥ Giải hai toán ngôn ngữ lập trình Matlab, ta có θ1 = -8, θ2 = -6 Suy ( )= 1 , = [3 − 4.75] Tiếp tục thực thuật toán ta tính lát cắt ( ) là: 1 x − x ≥ 2.0 2.0 Đặt X1 = X0\∆Xo(Y1) ≠ ∅, biểu diễn phần gạch chéo Hình 2.1 Hình 2.2.và Y1=Y0, chuyển sang Bước lặp Bước lặp 2: Thực thuật toán tương tự Bước lặp 1, ta tính lát cắt ( ) là: − 4.44 + 1.45 ≥ Đặt X2 = X1\∆X1(Y2) ≠ ∅ Thuật toán dừng Vậy nghiệm tối ưu toán (x,y)=(P4, Q4), tương ứng có giá trị tối ưu F(P4,Q4) = -13 Trong chương này, ta tìm hiểu, phân tích trình bày chi tiết thủ tục quy hoạch tuyến tính đơn giản để giải toán quy hoạch song tuyến tính thông qua quy hoạch lõm Chương trình bày thuật toán song tuyến tính giải toán tối ưu tập Pareto 24 Chương 3: THUẬT TOÁN SONG TUYẾN TÍNH GIẢI BÀI TOÁN (Q) Xét toán tối ưu tập Pareto max vtx (Q) v.đ.k x ∈ Ep, v ∈ Rn Như trình bày Mục 1.1.2, cấu trúc tập nghiệm hữu hiệu EP toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (P) hợp diện hữu hiệu, diện hữu hiệu đa diện Do đó, diện hữu hiệu ∈ , toán (Q) trở thành toán quy hoạch tuyến tính - tối ưu hàm tuyến tính đa diện giải cách hiệu thuật toán kinh điển Vì thế, ta duyệt qua tất diện hữu hiệu tập để tìm giá trị tối ưu so sánh giá trị tối ưu để tìm giá trị tối ưu toán (Q) Tuy nhiên, việc đòi hỏi khối lượng tính toán lớn Ý tưởng thuật toán lựa chọn diện hữu hiệu thích hợp trình duyệt qua diện hữu hiệu tập Cụ thể là: bước đó, xác định mức α giá trị tối ưu vtx diện hữu hiệu xét Trong bước kế tiếp, ta chọn diện hữu hiệu để xét cho mức α tăng ngặt Lặp lại thủ tục không tìm diện hữu hiệu Khi đó, ta nhận giá trị tối ưu toán (Q) α Mục 3.1 trình bày chi tiết sở lý thuyết thuật toán giải toán (Q) Chi tiết thuật toán giới thiệu Mục 3.2 Một số ví dụ minh họa đưa Mục 3.3 25 3.1 Cơ sở lý thuyết thuật toán ⊆ = {1, … , }, ( ) diện hữu hiệu ứng với tập mô tả cực đại J' Cho mức α cho trước Như biết, theo định nghĩa tập mô tả, ta có ( )= ∈ = 0, ∀ ∈ ={ ∈ | − = 0, ≥ 0, = 0} Mệnh đề sau mối liên hệ diện F(J') mức α ≥ α hệ ∈ ( ) cho Mệnh đề 3.1 Tồn điểm − ≥1 − =0 ≥ 0, (3.1.1) = 0, ≥1 có nghiệm Chứng minh "⟹" Giả sử ( ̅ , ) nghiệm (3.1) Xét tập = Ta có = , ≥ 0, Vì ∈ ( ) ̅ ≥0 ≥ + > > "⟸” Lấy ∈ ( )để > Khi ta viết = , ≥ 0, = 0, ≥ Lấy ∈ (0,1) cho − ≥ Chọn ̅= = ≥ ⇒ ( ̅ , ) □ nghiệm (3.1) Vì ̅ ∈ ( ) nên max{ | ∈ ( )} ≥ > Do đó, Mệnh đề 3.1 đưa tiêu chí lựa chọn diện hữu hiệu F(J') mức α cho trước Cụ thể hơn, ta cần xác định tập J' cho diện hữu hiệu tương ứng F(J') chọn Theo Định lý 1.6, F(J') diện hữu hiệu hệ + + =0 > 0, ≥ 26 =0 (3.1.2) có nghiệm Nhận thấy xJ’ = sJ-J' = stx=0 Do kết hợp hệ (3.1.1) hệ (3.1.2) ta có toán sau stx (S) v.đ.k : λtC + utA + st = Ax – by = vtx – αy ≥1 x, s ≥ 0, λ ≥ e, y ≥ Định lý 3.1 Bài toán (S) toán bị chặn dưới, có giá trị tối ưu tồn diện hữu hiệu ∈ ∈ điểm cho > Chứng minh "⟹" Với giả thiết, tồn diện hữu hiệu F, theo Định lý 1.4 ∃ ⊆ = {1, … , } tập mô tả cực đại cho F=F(J') Vì ( ) ∈ , theo Định lý 1.6 hệ sau có nghiệm ( ̅, , ̅) + + =0 ≥0 (3.2) =0 Mặt khác, ∈ ( ) thỏa mãn > Theo mệnh đề 3.1 hệ (3.1) có nghiệm ( ̅, ) Vì vậy, ( ̅, , ̅, ̅ , ) nghiệm toán (S), thỏa mãn ̅ ̅= ̅ ̅ + ̅ ̅ "⟸" Với giả thiết, toán (S) bị chặn, có giá trị hàm mục tiêu tối ưu nên ta xét nghiệm tối ưu toán ( ̅, , ̅, ̅ , ) Đặt Định lý 1.6, ta có ( ) ∈ = { ∈ | ̅ > 0} Theo Vì ( ̅ , ) nghiệm hệ (3.1.1) nên Mệnh đề (3.1) tồn điểm ∈ ( ) cho > Từ suy điều phải □ chứng minh Nhận xét rằng, Định lý (3.1) tồn diện hữu hiệu lựa chọn, đồng thời đưa thủ tục để tìm diện (bằng cách xác định tập mô tả cực 27 đại = { ∈ | ̅ > 0}) Kết sử dụng để xây dựng thuật toán phần sau Định lý 3.2 Nếu Bài toán (S) bị chặn với giá trị tối ưu dương thực vtx ≤ , ∀ x ∈ EP Chứng minh Giả sử phản chứng, có tồn điểm ̅ ∈ cho ̅ > Từ ta tìm diện hữu hiệu F để chứa điểm ̅ Hay nói cách khác là:có thể tìm ∈ để ̅ ∈ Theo định lý 3.1 ta có toán (S) bị chặn với giá trị hàm mục tiêu không, điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy, Định lý 3.3 Giả thiết ̅ < □ ≠ ∅ Nếu Bài toán (S) không chấp nhận không tồn điểm x ∈ X cho vtx > α Chứng minh Vì tập nghiệm hữu hiệu toán (MOLP) ≠ ∅, áp dụng hệ 1.2 hệ sau có nghiệm + + =0 ≥ 0, ≥ Theo giả thiết, toán (S) vô nghiệm nên suy hệ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ − =0 − ≥1 (3.3) ≥0 ≥1 phải vô nghiệm Mặt khác, theo Mệnh đề 3.1 hệ (3.3) có nghiệm tồn điểm ∈ ( ) cho ≥ suy không tồn x ∈ X cho ≥ 3.2 Thuật toán Sau thuật toán giải toán (Q) Bước khởi tạo If EP = ∅ Then thuật toán dừng (Bài toán (Q) nghiệm chấp nhận được) Else 28 □ Đặt i=0 = , nghiệm hữu hiệu xuất phát Bước Giải toán song tuyến tính stx (Ti) v.đ.k λtC + utA + st Ax – by = 0, vtx – αiy ≥ 1, x,s ≥ 0, λ ≥ e, y ≥ Bước (Điều kiện dừng) If Bài toán (Ti) không chấp nhận bị chặn giá trị hàm mục tiêu dương thực Then Thuật toán dừng Khi đó, giá trị tối ưu Bài toán (Q) αi Else (Bài toán (Ti) bị chặn, với giá trị tối ưu 0) chuyển sang Bước Bước (Duyệt tiếp) Cho ( , , ̅, ̅, ) nghiệm tối ưu toán (Ti) Tập Ji = { j ∈ J|s̅ > 0} Giải toán (Qi) | ∈ ( )} max{ If Bài toán (Qi) không bị chặn Then thuật toán dừng Khi đó, Bài toán (Q) không bị chặn Else Gọi nghiệm tối ưu toán (Qi) đặt = Đặt i=i+1 quay lại Bước Nhận xét 3.1 ◊ Có nhiều thuật toán hiệu để tìm điểm hữu hiệu xuất phát , chẳng hạn ta dùng thuật toán Ecker Kouada đề xuất (1975) ◊ Ở Bước 1, ta sử dụng phương pháp nghiên cứu Chương để giải toán quy hoạch song tuyến tính (Ti) ◊ Ở Bước 3, ta phải giải toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc 29 3.3 Sự hội tụ Kết sau điểm cực biên chấp nhận được sinh việc giải toán (Q) cho giá trị hàm mục tiêu đơn điệu tăng Hơn nữa, thuật toán cần số hữu hạn vòng lặp để tìm nghiệm tối ưu toàn cục để kết luận toán (Q) không chấp nhận Một đặc điểm quan trọng thuật toán lần lặp tìm nghiệm chấp nhận toán cải tiến Mệnh đề 3.2 Thuật toán sinh giá trị hàm mục tiêu đơn điệu tăng cho toán (Q) Chứng minh Áp dụng Định lý 3.1 toán (Ti) xác định với giá trị hàm mục tiêu ( ) ∈ ∈ ∈ ( )sao cho ≥ Vì Bước ta tính αi+1 giá trị tối ưu toán (Qi)=max{ vtx|x∈ F(Ji)} suy αi+1>αi Bổ đề 3.1 Cho tập □ , ⊆ ℎ vtx|x∈F(J')} bị chặn với giá trị tối ưu ( ) ⊆ ( ) giả sử toán max{ Cho > số không đổi tùy ý Khi ta có hệ sau vô nghiệm − − ≥ 0, =0 ≥1 = 0, (3.4) ≥1 Dựa vào khẳng định trên, ta đưa định lý quan trọng để chứng minh tính hội tụ thuật toán Định lý 3.4 Nếu Ji tập mô tả sinh thuật toán Bước lặp i , không tồn J' ⊆ J cho diện hữu hiệu F(J' ⊆ F(Ji) xét bước lặp Chứng minh Xét tập J' ⊆ J thỏa mãn F(J') ⊆ F(Ji) Gọi αi mức xét toán song tuyến tính (Ti) Bước lặp i thuật toán 30 − Áp dụng Bổ đề 3.1, ta thấy với β ≥ αi, hệ =0 − ≥1 ≥ 0, nghiệm Do đó, theo Mệnh đề 3.1, không tồn > = 0, ≥1 ∈ ( ) cho tức không tồn diện hữu hiệu F(J') ứng với mức β ≥ αi Theo Mệnh đề 3.2, thuật toán sinh giá trị hàm mục tiêu đơn điệu tăng Điều suy không tồn J' cho F(J') chọn làm diện hữu hiệu bước □ Chứng minh Theo giả thiết F(J'') ⊆ F(J') , giả sử ngược lại hệ (3.4) có nghiệm Theo bổ đề 3.1 ∃ ∈ ( ) ⊆ F(J ) cho > ≥ , điều vô lý α nghiệm tối ưu toán (Qi) □ Như hệ trực tiếp từ Định lý 3.4, kết hợp với việc tập nghiệm Bài toán (P) có số hữu hạn diện hữu hiệu, ta chứng minh hội tụ thuật toán, thể qua hệ sau Hệ 3.1 Thuật toán dừng sau hữu hạn bước lặp Nếu ký hiệu tổng số điểm cực biên hữu hiệu toán (MOLP) trường hợp xấu nhất, số bước lặp thực thuật toán + Hệ 3.2 Nếu EP ≠∅, thuật toán tìm nghiệm tối ưu toàn cục xác cho toán (Q) kết luận toán (Q) không bị chặn Thật vậy, Bài toán (P) có hữu hạn diện hữu hiệu qua bước lặp, thuật toán tìm diện hữu hiệu cho giá trị hàm mục tiêu tăng thực nên toán (Q) không bị chặn, toán (Q) bị chặn với giá trị tối ưu xác định xác 3.4 Ví dụ minh họa Xét toán VMAX x:x ∈ X 31 tập X cho ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ ∈ 1 ⎛1 ∕⎜ 0 0⎞ ⎟ ⎝0 1⎠ ⎫ ⎛ ⎞⎪ ≦⎜ ⎟ ⎬ ⎪ ⎝1⎠⎭ Tập chấp nhận tập X xác định hình vẽ sau Rõ ràng tập nghiệm hữu hiệu EP cạnh nối hai đỉnh x2 =(3,2,1)t x3=(2,3,1)t Hơn nữa, tập điểm cực biên hữu hiệu {x2,x3} Như minh họa cho thuật toán, muốn cực tiểu hóa hàm mục tiêu toán (MOLP) tập hữu hiệu Ep Việc tương đương với giải toán (Q) đưa sau max {(-1,0,0)x|x ∈ EP} Chú ý rằng, giá trị hàm mục tiêu tối ưu toán gốc số nghiệm toán (Q) 32 Nhìn vào hình vẽ ta dễ nhận thấy rằng, giá trị cực đại –x1 tập X Tuy nhiên, giá trị hàm mục tiêu tối ưu toán (Q) -2 , đạt đỉnh x3 Với yêu cầu thuật toán, cần mô tả cho tập chấp nhận tập X dạng chuẩn Điều thực cách thêm biến phụ x4, x5, x6, x7 Vì ta có ma trận hệ số 1 0 ⎛1 0 0⎞ =⎜ ⎟, 0 ⎝0 0 1⎠ ⎛3⎞ = ⎜ ⎟, 0 0 0 = ⎝1⎠ 0 0 0 0 0 Hơn nữa, để thực thủ tục hình học cách trực giác hơn, tất nghiệm toán (Qi) bỏ qua giá trị biến phụ Sau bước thuật toán để giải toán Bước chuẩn bị: Bằng phương pháp Ecker - Kouada tính nghiệm hữu hiệu khởi tạo Đặt i = = = (3,2,1) , đỉnh x2 = −3 Vòng lặp Bước 1: Giải toán song tuyến tính T0, ta nhận thấy bị chặn với giá trị hàm mục tiêu tối ưu 0, có nghiệm tối ưu ( ̅ , , ̅ , ̅ , ), đó: ̅ = (1,1,1) , = (−1,0,0, −1) , ̅ = (0,0,0,1,0,0,1) , ̅ = (2,3,1,0,0,1,0) = Vì vậy, J0 = {4,7}, tập mô tả cực đại biểu diễn diện hai đỉnh x2 x3 Bây giải toán (Q0) = max{ vtx/x ∈ F(J0)} Ta tìm nghiệm tối ưu toán (Q0) x3 = (2,3,1)t, với giá trị tối ưu hàm mục tiêu α1 = -2 Đặt i=1 đến vòng lặp 33 Vòng lặp Bước Giải toán song tuyến tính T1 Trong trường hợp nhận thấy T1 bị chặn với giá trị tối ưu hàm mục tiêu Đặc biệt, nghiệm tối ưu toán T1 đươc cho ( ̅ , , ̅ , ̅ , ), đó: ( ̅ = (1,1,1) , = (−1,0,0, −1) , ̅ = (0,0,0,1,0,0,1) , ̅ = (1,3,1,1,2,0,0) , = Bước 2: Vì giá trị tối ưu hàm mục tiêu toán T1 dương thực nên thuật toán dừng Điểm cực trị x3 = (2,3,1)t nghiệm tối ưu toán (Q) với giá trị tối ưu hàm mục tiêu α1 = -2 34 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn tốt nghiệp trình bày: ◊ Các khái niệm kết liên quan đến toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP) điểm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu, điều kiện hữu hiệu, điều kiện tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm toán biểu diễn diện hữu hiệu thông qua tập mô tả ◊ Bài toán quy hoạch song tuyến tính (BLP) thuật toán mặt phẳng cắt để giải Bài toán (BLP) ◊ Mô hình toán học tính chất nghiệm tối ưu toán tối ưu tập Pareto (Q) , sở lý thuyết thuật toán song tuyến tính để giải Bài toán (Q) 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng việt Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình phương pháp tối ưu lý thuyết thuật toán, Nhà xuất Bách Khoa, Hà Nội Đinh Thế Lục (1998), Giáo trình tối ưu đa mục tiêu, Trung tâm Khoa học tự nhiên Công nghệ quốc gia, Viện Toán học, Hà Nội Tài liệu tiếng anh P.Armand (1993), '' Finding all maximal Efficient Faces in Multiobjective Linear Programming'', Mathematical Programming, Vol 61,pp 357 - 375 P.Armand and C.Malerert (1991), '' Determination of the Efficient in Multiobjective Linear Programming'', Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 70, pp.467 - 489 H.Benson (1984), Optimization over the Efficient Set, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 98, 562 - 580 H.Benson and Sayin (1994), Optimization over the Efficient Set : Four special Cases, Journal of Optimizition Theory and Applications, 80(1), - 18 J.Ecker and J.Song (1994), Optimizing a Linear Function over an Efficient Set, Journal of Optimization Theory and Applications, 83(3), 541 - 563 J.Evans and R.Steuer (1973), A revised Simplex Method for Linear Multiple Objective Programs, Mathematical Programming, 5, 54 -72 R.Horst and H.Tuy (1993), Global Optimiziation (Deteminsistis Approaches), 3rd Edition Springer 10 J.Jorge (2003), Maximal descriptor set characterizations of Efficient Faces in Multiobjective Linear Programming, Operations Research Letters, 31,124 - 128 36 11 J.Jorge (2005), A Bilinear Algorithm for Optimizing a Linear Function over the Efficient Set of a Multiple Objective Linear Programming, Journal of Global Optimization, 31, - 16 12 N.T.Bach Kim and D.T.Luc(2000), '' Normal Cones to a Polyhedral Convex Set and Generating Efficient Faces in Linear Multiobjective Programming'', Acta Mathematica Vietnamica, Vol 25 (1), pp 101 - 124 13 H.Konno (1976), A cutting - Plane Algorithm for Solving Bilinear Programs, Mathematical Programming, 11, 14 - 27 14 K.Murty (1985), Faces of a polyhedron, Mathematical Programming Study, 24, 30 - 42 15 J.Philip (1972), '' Algorithms for the Vector Maximization Problem'', Mathematical Programming, Vol 2, pp 207 - 229 16 R.Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press 37 ... Kí hiệu Bài toán tối ưu tập Pareto (LPx) Kí hiệu Bài toán quy hoạch tuyến tính (BLP) Kí hiệu Bài toán quy hoạch song tuyến tính (BLPT) Kí hiệu Bài toán tương đương với toán quy hoạch song tuyến. .. tuyến tính đa mục tiêu toán tối ưu tập Pareto, ký hiệu (Q) Đó toán tối ưu hàm thực f(x) tập nghiệm hữu hiệu EP toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu Việc giải toán giúp ta chọn nghiệm hữu hiệu tốt... tính (MOLP) Kí hiệu Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu vi Chương 1: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO Mục đích chương giới thiệu vài nét toán tối ưu tập Pareto mô hình toán học, nghiệm hữu