phuongtrinhmonge ampere

24 241 0
phuongtrinhmonge ampere

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Phương trình mongeampere phức trên đa tạp compact kaler la luan van thac si cua thac si Le Nhat Nguyen duoi su huong dan cua Tien si Nguyen Van Dong duoc hoan thanh vao thang 10 nam 2014 va duoc bao ve vao ngay 10 thang 11 nam 2014. Tai buoi bao ve luan van gom co: Pho giao su tien si Nguyen Anh Tuan, Pho giao su Tien Si Nguyen Bich Huy, Pho giao su Tien si Le Hoan Hoa, Giao su tien si Dang Duc Trong

1 PHNG TRèNH MONGE-AMPERE PHC TRấN A TP COMPACT KAHLER Xột mt a compact Kahler n-chiu w= M trang b dng c bn: i hkj dzk d z j k, j (h ) kj Theo nh ngha ca mt a Kahler dw= dng v dVn = n w n! Dng th tớch liờn kt vi metric Hec-mit c cho bi Ta s nghiờn cu phng trỡnh Monge-Ampere: ( + dd ) c j ú l mt ma trn Hec-mit xỏc nh l hm cha bit cho khụng õm cho trc f L1 ( M ) n = f n (3.1) + dd c l dng ( 1,1) khụng õm Mt hm c chun húa bi iu kin: ũ f w = ũw n M n M nh lý Stokes S chun húa ny cn thit cho s tn ti ca nghim f Khi l hm trn, dng phng trỡnh (3.1) cú ý ngha hỡnh hc nh sau: f wn Cho dng th tớch trờn M ta cn tỡm mt mờ tric Kahler (c biu din bi w+ dd cj dng c bn ) sinh dng th tớch ny Hn na, ta cú phng trỡnh (3.1) phỏt sinh cho mt dng (1,1) úng t biu din lp Chern ca M (trong hỡnh hc vi phõn cỏc lp Chern cú th c biu din nh l cỏc a thc cỏc h s ca mt dng cong) v ta mun tỡm mt dng Kahler dng cong Ricci ca w' w' ) v w' t = Ricci (w') t cho ( l thuc cựng mt lp Chern vi t E Calabi phng oỏn rng iu ny cú th xy ễng cng ó chng minh c tớnh nht ca w' , tng ng vi kt qu nghim ca (3.1) sai khỏc mt hng s Phng oỏn ca Calabi ó c chng minh bi S.T Yau nh lý sau nh lý Yau Cho lp Holder f > 0, f C k ( M ) , k C k +1, ( M ) vi bt kỡ , ú tn ti mt nghim ca (3.1) thuc ( X , r ), ( Y , d ) (Cho liờn tc f : X đY l cỏc khụng gian mờ tric, mt hm a- Holder nu tn ti cỏc hng s thc khụng õm C, , cho d ( f ( x ) , f ( y ) ) C ( ( x, y ) ) Lipschitz Nu a =0 Lp Holder c gi l x, y ẻ X vi mi Nu a =1 f ta núi tha iu kin thỡ f l hm b chn C k , ( ) ú W l mt m ca X v k l mt s nguyờn bao gm cỏc hm trờn cú o hm n cp k v cú cỏc o hm riờng cp k l liờn tc a- Holder vi < 1.) Trong chng ny ta s m rng phn tn ti nghim ca kt qu ny 1.1 M u M Ta s lm vic vi mt a compact Kahler ũw =1 vi mt dng c bn n thit M p Kớ hiu l chun wj = w+ dd cj th vit: v gi hm liờn tc w- (hoc núi tt l hm PSH ( ) l hm w l hm p [ 1, ] w v gi ngn gn ta cú - a iu hũa di nu hd) Tp tt c cỏc hm w -a iu hũa di kớ Nu mt m j vi j wj hiu l Lp ( M ) w M tn ti mt hm th v v v = dd cj tha thỡ vi v +j -a iu hũa di, hm l mt hm a iu hũa di Do ú, cỏc tớnh cht ca hm a iu hũa di nh B Hartog hoc nh lý núi rng s hi t yu dn n s hi t Vi Borel Eè M p Lloc cng ỳng vi hm w -a iu hũa di ta cú th nh ngha dung lng: cap ( E ) = sup n : PSH ( ) ,0 E Ta xột hai ph m hu hn mi gi li ngt Vs { Vs } , { V 's } , s = 1, 2, N tn ti vs PSH ( Vs ) vi ca M dd c vs = w cho v V 's è Vs vs = trờn v ảVs Cho Kè M mt compact ta nh ngha K s = K ầV 's cap ' ( K ) = cap ( K s , Vs ) s sỏnh c vi i ca K , ú Ta s chng minh rng cap ( K ,V ) cap ( K ) so kớ hiu dung lng tng i vi V Ta bit: n n cap ( K ,V ) := sup ( dd cu ) , u PSH ( V ) , u 0, u trờn K = ( dd cu K* ,V ) K K u*K ,V u K ,V õy l chớnh quy húa na liờn tc trờn ca s Vi cú th tỡm trờn V 's c nht j s = u K s ,Vs - vs s PSH ( ) C vi cựng ni khỏc trờn lõn cn ca M Ks (M) cho tt c cỏc cho s Chỳ ý rng hm ny l ys = s Ly j s - w trờn bờn ngoi bng Ks v j s =0 trờn ảVs Vs v max ( s , s ) trờn -a iu hũa di v bng Ks n ( s + ( ) n ns = n dd cu *K s ,Vs Ks Ks Do ú: cap ( K ) cap ( K s ) n cap ( K s ,Vs ) Theo nh ngha: cap ( K ) ( C1 + 1) n cap ( K ,V ) s s s ) Ta j s Ê - 3d< 0, d< Vs n , v bng dj s - d Vỡ vy: n s = Ks Khi ú = n cap ( K s ,Vs ) trờn mt ú C1 chn cho vs - C1 vi bt kỡ s Tht vy, gi s PSH ( ) vi - 0 j vi >0 j c gi l hi t theo dung lng n : lim cap B 1.1.1 Nu M PSH ( ) v ( { t} ) = l dng j ( 1,1) cho trc ta cú th tỡm mt hm trn dd c trờn B 1.1.2 Gi s M liờn tc trờn tha M cho dd c < < + v g L1 ( M ) v , PSH ( ) tha món: n g n , n g n thỡ (3.2) k n k g n Chng minh Mnh cú tớnh a phng nờn nú tng ng vi: Vi mi u, v PSH ( B ) C ( B ) B ( l mt qu cu Ên ) tha món: thỡ ( dd u ) n c ( dd u ) ( dd v ) c ta cú k c nk n gdV , ú g L1 ( B ) g >0 u, v Vi hm trn gdV , ( dd c v ) gdV v thỡ bt ng thc trờn l bt ng thc ma trn quen A đ log det1/ n A bit c suy t tớnh lừm ca ỏnh x xỏc nh trờn cỏc ma trn u, v ẻ C1,1 Hecmit xỏc nh dng Nu dd c u, dd c v thỡ cú th c lng tng im hu khp ni v vỡ th mnh cng ỳng trng hp ny Tip theo ta s chng minh mnh vi trờn B g L2 ( B ) g v tin n fj u cho gj Cho L2 ( B ) hj v v u trờn Ta cú th tỡm B l mt dóy cỏc hm a iu hũa di, dng f j , hj C nh hai dóy cỏc hm trn trờn B u j , v j PSH ( B ) C1,1 ( B ) tha bi toỏn Dirichlet vi phng trỡnh Monge-Ampere: ( dd u ) ( dd v ) c n = g j dV , u j = f j trờn B n = g j dV , v j = h j trờn B j c j uj Do vj v ln lt tin u n v khng nh i vi hm thuc lp ( dd u ) ( dd v ) c k c u v C1,1 nk v Do ú ta cú th ỏp dng nh lý hi t dn n: = lim ( dd cu j ) ( dd cv j ) k j lim g j dV = gdV j nk gj g Trong trng hp tng quỏt ta ly dóy tng vi g j L2 ( B ) v lp li chng minh trờn gii bi toỏn Dirichlet thớch hp Bõy gi s hi t ca dóy xp x l khụng u, nhng dóy l gim da vo nguyờn lý so sỏnh Vỡ th nh lớ hi t c ỏp dng trng hp ny 1.2 Nguyờn lý so sỏnh Bõy gi ta s chng minh nguyờn lý so sỏnh cho toỏn t Monge-Ampere trờn a compact Kahler nh lý Nu y v l M -a iu hũa di trờn = { < } thỡ vi ta cú: n n , Chng minh u tiờn gi s t = max ( + t , ) , t > v biờn ca Khi ú gn vi ảW l trn t: t = + t ta cú nh ngha dũng (úng): k n Tt = ữ( dd ct ) nk k =1 k n v t T = limt đ0 Tt Do nh lý Stokes: = dd n c t t Tt + n = = Vỡ t c t t n Tt + n = n ta ỏp dng nh lý hi t: nt n c Do ú i vi hm th c d T + d m ta c ũ cw n y W = lim ũ cwjnt Ê liminf ũ wjnt t đ0 t đ0 W W Vỡ th: ũw n y W Ê lim inf ũ wjnt = ũ wjn tđ0 W W , y j v ta hon thnh chng minh vi trng hp hm trn Bõy gi gi s v l liờn tc v chỳng tha gi thit b sung: dd c ( 1) , dd c ( 1) vi >0 no ú Sau ú, ỏp dng B 1.1.1, ta cú th tỡm hai dóy hm j j hũa di t >0 ca (3.3) v ln lt hi t u n v s nguyờn dng ( t, j ) j0 cho v Cho mt compact K ( t , j ) = { j < j t} vi -a iu K j > j0 ta tỡm v biờn l trn (s dng nh lý Sard) f :Ă n đĂ m (nh lý Sard: Cho l hm thuc lp f v X l cỏc im ti hn ca f cú hng nh hn m ( l cỏc im Ck xẻ Ă k max{n - m +1,1} vi n ti ú ma trn Jacobi ca f (X ) ) Khi ú nh cú o Lebesgue bng Ă m M,N Tng quỏt kt qu cng ỳng cho cỏc ỏnh x gia cỏc a kh vi f :N đM chiu ln lt l m,n Tp cỏc im ti hn ca mt hm thuc lp cú Ck bao df : TN đ TM gm cỏc im ti ú vi phõn k max{n m + 1,1} cú hng nh hn m Nu f (X ) thỡ nh (nh l ca cú o 0) p dng phn õu tiờn ca chng minh v nh lý hi t ta c: lim inf n j K Vột cn ( t , j ) n j lim inf j ( t , j ) n j n bi cỏc compact ta c bt ng thc mong mun trng hp ny Vic cũn li l thoỏt gi thit b sung Chỳ ý rng vi cỏc hm y j - a iu hũa di nh compact , K = { < } tj cỏc hm v xột d> ty v v tha (3.3) vi t ( 0,1) t ( 0,1) d> c nh v no ú C nh sau: K ( , t ) = < t Do chng minh trờn v nh lý hi t ta cú: n lim inf K t ( , t ) tn liminf t ( , t ) tn n Mt ln na hon thnh chng minh ta ch cn xột mt dóy vột cn cỏc compact ca W 1.3 c lng LƠ Xột mt h cỏc hm: 10 F ( A, h ) = { f L1 ( M ) : f 0, f n = 1, f M F ( x) = ú Ax h ( x 1/n ) , vi A>0 n F ( cap ( E ) ) E E M} vi bt kỡ Borel h:Ă v hm chp nhn c + [ 1, ) Mc ớch chớnh ca ta l chng minh tn ti nghim liờn tc ca phng trỡnh (3.1) vi f F ( A, h ) B 1.3.1.Cho { S < } h u tiờn ta chng minh mt s gi thit b sung: v l cỏc hm w -a iu hũa di trờn l khỏc rng Gi s rng vi mt s dng A M 0Ê y Ê C vi v v mt hm chp nhn c tha bt ng thc sau: F ( x) = n F ( cap ( K ) ) K vi compact tựy ý K , vi Khi ú vi D , (3.4) ta cú: D ( a ( S + D) ) , ú: a ( s ) := cap ( U ( s ) ) , U ( s ) := { s < } , 1/ n ( s ) = c ( n ) A ( + C ) x h ( x ) dx + h 1/ n ( s 1/ n ) s1/ n 1/ n Chng minh Vi s [ S , S + D] , t: 11 b( s) = n U ( s) u tiờn ta chng minh bt ng thc: t n a ( s ) b ( s + t + Ct ) Tht vy, ly PSH ( ) t s j s j thỡ nh ngha ca sj c bit, iu ny ỳng cho vi mi tựy 12 S nguyờn N c chn l s ln nht tha sN Ê S + D Khi ú: a ( S + D ) lim+ da ( t ) t sN (Ngc li ta cú rng vi sN +1 Ê S + D t ( sN , S + D ) ) T bt ng thc cui cựng, gi thit v (3.5) dn n ta cú: ( n 1/ n S + Dt ữ a ( t ) b ( S + D ) Aa ( S + D ) h a ( S + D ) 1+ C ( Ada ( t ) h a ( S + D ) 1/ n ) ) Do ú: S + D sN ( Ad ) Bõy gi ta c lng t := s- s' 1+C sN - S 1/ n Xột hai s ( (1 + C )h 1/ n a ( S + D ) S

Ngày đăng: 15/07/2017, 23:25

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER

    • 1.1. Mở đầu

    • 1.2. Nguyên lý so sánh

    • 1.3. Ước lượng

    • 1.4. Sự duy nhất và ổn định của nghiệm

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan