Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một phần kiến thức quan trọng thường xuyên là câu hỏi dùng để phân loại học sinh khá, giỏi trong đề thi. Đây là một chủ đề đã có rất nhiều bài viết, tuy nhiên tác giả vẫn quyết định viết chủ đề này như một món quà tặng cho các em học sinh lớp 10. Các bài trong tài liệu được phân bài theo chương trình trong sách giáo khoa hiện hành rất thuận tiện cho bạn đọc và đặc biệt là các em học sinh đang học phần này tham khảo. Trong tài liệu tác giả có đưa ra các ví dụ minh họa ở các mức độ khác nhau kèm với đó là các bài tập đề nghị có hướng dẫn giải một số bài tập khó; đồng thời tác giả đưa ra 50 bài tập trắc nghiệm không đáp án để bạn đọc làm quen với các bài tập trắc nghiệm.

MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ Phương pháp tọa độ mặt phẳng Thanh Hoá, tháng 04, năm 2017 Lời nói đầu Phương pháp tọa độ mặt phẳng phần kiến thức quan trọng thường xuyên câu hỏi dùng để phân loại học sinh khá, giỏi đề thi Đây chủ đề có nhiều viết, nhiên tác giả định viết chủ đề quà tặng cho em học sinh lớp 10 Các tài liệu phân theo chương trình sách giáo khoa hành thuận tiện cho bạn đọc đặc biệt em học sinh học phần tham khảo! Trong tài liệu tác giả có đưa ví dụ minh họa mức độ khác kèm với tập đề nghị có hướng dẫn giải số tập khó; đồng thời tác giả đưa 50 tập trắc nghiệm không đáp án để bạn đọc làm quen với cac tập trắc nghiệm! Mặc dù trình biên soạn tác giả cố gắng để viết hoàn thiện Tuy nhiên chắn có câu, từ làm bạn đọc thấy không hợp lý Tác giả mong nhận góp ý từ phía bạn đọc để viết hoàn thiện Mọi góp ý từ phía bạn đọc xin gửi cho tác giả qua hòm thư điện tử: hoang.hoanglap@gmail.com, mạng xã hội Facebook: www.facebook.com.hoang.gd.7 ĐT: 0936.407.353 Qúy thầy cô cần mua file word xin vui lòng liên hệ cho tác giả theo địa trên! Thanh Hoá, ngày 15, tháng 04, năm 2017 Nguyễn Bá Hoàng Phương pháp tọa độ mặt phẳng Bài Viết phương trình đường thẳng I Nội dung kiến thức Một số kiến thức vectơ toạ độ:  Giá vecto đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ  Cho hai điểm A, B AB  ( xB  xA ; yB  y A ), AB  AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB xM    xA  xB y  yB ; yM  A 2 x x x y  yB  yC Nếu G trọng tâm tam giác ABC xG  A B C ; yG  A 3 u.v  u v cos(u, v), u  v u.v  0;0  (u, v)  180 Vectơ phương đường thẳng: Vectơ u gọi vectơ phương đường thẳng d có giá song song trùng với đường thẳng d Vectơ pháp tuyến đường thẳng: Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng d có giá vuông góc với đường thẳng d Phương trình tham số đường thẳng: Đường thẳng d có vectơ phương u  (a; b)  x  x0  at , t tham số qua điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình tham số là:   y  y0  bt Phương trình tắc đoạn thẳng: Đường thẳng d có vectơ phương u  (a; b) qua điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình tham số là: x  x0 y  y0  , ý phương trình a b tắc đoạn thẳng viết ab  Phương trình tổng quát đường thẳng:  Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n  (a; b) qua điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình tổng quát là: a( x  x0 )  b( y  y0 )   Cho đường thẳng d : ax  by  c   Nếu đường thẳng d ' song song với đường thẳng d phương trình đường thẳng d ' có dạng ax  by  c '   Nếu đường thẳng d '' vuông góc với đường thẳng d phương trình đường thẳng d '' có dạng bx  ay  c ''  Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Đường thẳng d qua hai điểm A(a;0), B(0; b) với x y    a b Phương trình đường thẳng theo hệ số góc:  Đường thẳng d có hệ số góc k qua điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình theo hệ số góc ab  có phương trình là: là: y  k ( x  x0 )  y0 , ý đường thẳng song song với trục tung không viết   phương trình theo hệ số góc Góc đường thẳng d trục Ox: Đường thẳng d cắt trục Ox M, Mt tia nằm phía trục Ox xMt   góc đường thẳng d trục Ox ta cần lưu ý tan   k Đường thẳng d có hệ số góc k có vectơ t y O  M x phương u  (1; k ) vectơ pháp tuyến v  (k ; 1)  Cho đường thẳng d có hệ số góc k đường thẳng d ' có hệ số góc k ' nếu:  d  d ' k.k '  1  d // d ' k  k ' Lưu ý: Khi đề yêu cầu viết phương trình đường thẳng mà không nói ta viết phương trình tổng quát d : ax  by  c  10 Vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng  d ' : a ' x  b ' y  c '  Để xét vị trí tương đối d d ' ta xét số nghiệm hệ phương trình sau: ax  by  c  (I)  a ' x  b ' y  c '   Hệ (I) có nghiệm d d ' cắt  Hệ (I) vô nghiệm d d ' song song với  Hệ (I) có vô số nghiệm d d ' trùng Nếu a ' b ' c '  thì: a b   d d ' cắt a' b' a b c    d d ' song song với a' b' c' a b c    d d ' trùng a' b' c' II Ví dụ minh hoạ Ví dụ Cho hai điểm M (1; 2), N (2;3) a Tìm vecto phương vecto pháp tuyến đường thẳng MN; b Viết phương trình tắc, tham số đường thẳng MN Lời giải a Ta có vecto MN vectơ phương đường thẳng MN nên : uMN  (2  (1);3  2)  uMN  (3;1) Vectơ pháp tuyến đường thẳng MN ta lấy nMN  (1;3) b Do đường thẳng MN qua M (1; 2) có vectơ phương uMN  (3;1) nên ta có :  x   (1)t x   t  Phương trình tham số đường thẳng MN :   y   2t  y   2t x  (1) y  x 1 y     3 Phương trình tắc đường thẳng MN :  x   2t Ví dụ Cho đường thẳng  có phương trình tham số:   y  3  t a Viết phương trình tổng quát ; b Viết phương trình tắc đường thẳng d qua điểm M (2;3) song song với ; c Viết phương trình tổng quát đường thẳng l qua điểm N (4; 2) vuông góc với  Lời giải a Đường thẳng  có vectơ phương u  (2; 1) nên có vectơ pháp tuyến n  (1; 2) Chọn tham số t  ta có điểm A(1; 3) nằm  Phương trình tổng quát đường thẳng  : 1.( x  1)  2. y  (3)   x  y   b Do đường thẳng d song song với  nên đường thẳng d có vectơ phương ud  (2; 1) Phương trình tắc đường thẳng d : x 2 y 3  1 c Đường thẳng l vuông góc với  nên có vectơ pháp tuyến nl  (2; 1) Phương trình tổng quát đường thẳng l : 2( x  4)  1( y  2)   x  y   Ví dụ Cho tam giác ABC với A(1;2), B(2;3), C(4;6) a Viết phương trình đường trung tuyến tam giác kẻ từ B; b Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC Lời giải 3  a Gọi D trung điểm AC, ta có toạ độ điểm D : D   ;  2  3    Ta có BD    2;      ;1 nên vectơ pháp tuyến đường 2    thẳng BD : nBD  (2;1) Phương trình đường thẳng BD : 2( x  2)  1( y  3)   x  y   b Gọi H trực tâm tam giác ABC Ta có BC  (2;3) vectơ pháp tuyến đường thẳng AH nên đường thẳng AH có phương trình : 2( x  1)  3( y  2)   2x  y   Ta có AC  (5; 4) vectơ pháp tuyến đường thẳng BH nên đường thẳng BH có phương trình : 5( x  2)  4( y  3)   5x  y  22  Suy toạ độ điểm H nghiệm hệ phương trình sau : 2 x  y    50 24   H   ;     5 x  y  22  Ví dụ Cho tam giác ABC có đỉnh C (2; 4) trọng tâm G(0; 4) Hãy viết phương trình đường thẳng AB biết M (2; 2) trung điểm cạnh BC Lời giải Vì M (2; 2) trung điểm cạnh BC nên ta có:  xB  (2) 2   x  2.2     B  B(6;8)   yB  2.2    yB  (4)    Vì G trọng tâm tam giác ABC nên AG  2GM 0  xA  2(2  0)  x  4   A  A(4;8) 4  y A  2(2  4)  yA  Ta có: AB  (10;0) nên vectơ pháp tuyến đường thẳng AB là: nAB  (0;1) Phương trình đường thẳng AB là: 0( x  4)  1( y  8)  y   Ví dụ Cho đường thẳng d có hệ số góc 3 A(1; 2) nằm d a Lập phương trình tham số đường thẳng d; b Lập phương trình tổng quát đường thẳng d Lời giải a Đường thẳng d có hệ số góc 3 nên có vectơ phương (1; 3) Đường thẳng d qua điểm A(1; 2) có vectơ phương (1; 3) nên có phương trình tham x  1 t số :   y   3t b Đường thẳng d có hệ số góc 3 nên có vectơ pháp tuyến (3;1) Đường thẳng d qua điểm A(1; 2) có vectơ pháp tuyến (3;1) nên có phương trình tổng quát : 3( x  1)  1( y  2)   3x  y   Ví dụ Hãy viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua A(2; 5) tạo với trục Ox góc  Lời giải Hệ số góc đường thẳng d k  tan 60  Phương trình đường thẳng d : y  3 ( x  2)   3x  y  15  Ví dụ Cho đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A, B Biết A(1;0) BAO  45 Hãy viết phương trình đường thẳng d Lời giải Gọi  góc đường thẳng d trục Ox y Trường hợp : d BAO    180    180  45  135 Suy hệ số góc đường thẳng d là: k  tan135  1 Đường thẳng d có hệ số góc k  1 qua A(1;0) nên B  có phương trình là: y  1( x  1)   x  y   O Trường hợp : BAO      45 Suy hệ số góc đường thẳng d : k  tan 45  Đường thẳng d có hệ số góc k  qua A(1; 2) nên có phương trình đường thẳng d : y y  1( x  1)   x  y   x A(1;0) d  O A(1;0) x B Ví dụ Đường thẳng d qua M (1; 5) cắt trục Ox, Oy A, B cho OA  2OB Hãy viết phương trình đường thẳng d Lời giải Cách : Sử dụng phương trình đường thẳng dạng hệ số góc Gọi  góc đường thẳng d trục Ox OB  Do tam giác OAB vuông O nên ta có: tan BAO  OA Trường hợp : 1 BAO    180  tan    Đường thẳng d có hệ số góc  qua M (1; 5) nên 2 có phương trình : y   ( x  1)   x  y  11  Trường hợp : 1 BAO    tan   Đường thẳng d có hệ số góc qua M (1; 5) nên có phương 2 trình : y  ( x  1)   x  y   Cách : Sử dụng phương trình đoạn chắn Giả sử A(a;0), B(0; b); ab  phương trình đường thẳng AB là: x y    bx  ay  ab  (1) a b  a  2b Do OA  2OB nên a  b    a  2b Trường hợp : Nếu a  2b ta có (1)  bx  2by  2b2   x  y  2b  (2) Do M (1; 5) nằm d nên 1  2.(5)  2b   2b  11 Thay vào (2) ta phương trình đường thẳng d là: x  y  11  Trường hợp : Nếu a  2b ta có (1)  bx  2by  2b2   x  y  2b  (3) Do M (1; 5) nằm đường thẳng d nên 1  2.(5)  2b   2b  9 Thay vào (3) ta phương trình đường thẳng d là: x  y   Ví dụ Hãy lập phương trình đường thẳng qua M (2;1) cắt trục Ox, Oy A, B cho diện tích tam giác OAB Lời giải Giả sử d đường thẳng cần lập phương trình Gọi y A(a;0), B(0; b) giao điểm đường thẳng d với d trục Ox, Oy x y    a b Do điểm M (2;1) nằm đường thẳng d nên: B(0; b) Ta có phương trình đường thẳng d là: x A(a;0) O     a  2b  ab  (1) a b  ab  Ta có: SABC   OA.OB   a b   ab     ab  8   b  a  b a   Trường hợp : Nếu ab  thay vào (1) ta có:    b   2b   (b  2)  a  b    b x y Suy phương trình đường thẳng d là:     x  y   Trường hợp : Nếu ab  8 thay vào (1) ta có:  a     b  2   a   b  b  2  a       b    a     2b   b  4b   a    b    b  b  2  Do phương trình đường thẳng d là: 1   x    2  y    1   x    2  y   2 2 Ví dụ 10 Cho hai điểm M (3;1) I (2; 2) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt trục Ox, Oy A B cho tam giác IAB cân I Lời giải Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A(a;0), B(0; b), ab  x y   Do d qua M (3;1) nên   (1) a b a b a b Gọi N trung điểm AB N  ;  Vì tam giác ABC cân I nên IN  AB 2 2  a4 b4 2 ; Do đó: IN AB     (a; b)   4a  a  b  4b  2   Phương trình đường thẳng d có dạng:  a  b  (a  b)(b  a  4)   a  b     b  2  a  Trường hợp : a  b thay vào (1) ta có: b b x y 1 x  y   Suy phương trình đường thẳng d là:  2 Trường hợp : a  b  thay vào (1) ta có: b   a  (tho¶ m·n)    3b  b   b  4b  b2    b4 b b  2  a  (lo¹i) x y    x  3y   Ví dụ 11 Cho đường thẳng d : y  x  1, viết phương trình đường thẳng d ' qua điểm B điểm đối xứng điểm A(0; 5) qua đường thẳng d song song với đường thẳng y  3x  Với a  6, b  ta có phương trình đường thẳng d là: Lời giải Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d nên ta có: k AB  1  k AB   1 Phương trình đường thẳng AB là: y   ( x  0)   y   x  2 Vì A B đối xứng qua đường thẳng d nên trung điểm N chúng giao điểm hai đường thẳng d AB  y  2x 1   12 19  Suy toạ độ điểm N nghiệm hệ phương trình:   N   ;   5 y   x 5     24 13  Từ ta tính A   ;   5  Đường thẳng d ' song song với đường thẳng y  3x  nên kd '  3 24  13  Phương trình đường thẳng d ' là: y  3  x     y  3x  17   10 I Kiến thức cần nhớ Định nghĩa đường elip  Cho hai điểm cố định F1 F2 cho F1F2  2c (c  0) số 2a (a  c) Đường elip ( E ) tập hợp điểm M cho MF1  MF2  2a ( E )  M : MF1  MF2  2a  Hai điểm F1 , F2 tiêu điểm elip  Khoảng cách 2c tiêu cự elip Phương trình tắc elip  Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm F1 (c;0) F2 (c;0) với c  phương y P B2 Q trình tắc elip nhận F1 , F2 làm  x2 y   A1 F1 x O A2 F2 a b2 2 Trong đó: b  a  c Elip ( E ) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng nhận gốc toạ độ làm tâm đối S R B1 xứng Elip (E) cắt trục toạ độ điểm A1 (a;0), A2 (a;0), B1 (0; b), B2 (0; b) gọi đỉnh elip Đoạn thẳng A1 A2  2a gọi trục lớn  Đoạn thẳng B1B2  2b gọi trục nhỏ  Các đường thẳng x  a, y  b cắt đôi P, Q, R, S tạo thành hình chữ nhật sở elip (E) Tâm sai elip tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn, kí hiệu e xác định c sau: e  (do c  a nên e  1) a tiêu đểm là: ( E ) :    II Ví dụ minh hoạ 25 Ví dụ Tìm toạ độ tiêu điểm, đỉnh, độ dài trục lớn, trục nhỏ elip có phương trình sau: x2 y   1; 49 25 b x  y  16 a Lời giải a Ta có : a  49  a  7; b  25  b  2 Do a  b nên c2  a  b2  49  25  24  c       Toạ độ tiêu điểm : F1 2 6;0 , F2 6;0  Toạ độ đỉnh : A1 (7;0), A2 (7;0), B1 (0; 5), B2 (0;5)  Độ dài trục lớn : 2a  14  Độ dài trục nhỏ : 2b  10 x2 y   16 16 Suy : a   a  2; b   b  b Ta có : x  y  16  Do a  b nên c  a  b   16 20  c 9    2  ;0  , F2  ;0  Toạ độ tiêu điểm : F1   3      4  4  Toạ độ đỉnh : A1 (2;0), A2 (2;0), B1  0;   , B2  0;  3  3   Độ dài trục lớn : 2a   Độ dài trục bé : 2b  Ví dụ Viết phương trình tắc elip trường hợp sau: a Tâm O, tiêu điểm (3;0), đỉnh (5;0); b Có tiêu cự 8, tỉ số c  a Lời giải a Ta có : a  5  5, c   b  a  c  25   16  b  2 Suy phương trình tắc elip : x2 y  1 25 16 b Tiêu cự 2c   c  c Tỉ số :   a  2c  a Suy : b  a  c  64  16  26 Suy phương trình tắc elip : x2 y  1 64 48 Ví dụ Lập phương trình tắc elip trường hợp sau:  3 a Elip qua điểm M (0;1) N 1;  ;    3 b Elip có tiêu điểm F1  3;0 điểm M 1; nằm elip       Lời giải x2 y   a b2 1  b  b  Do elip qua điểm M N nên ta có :      a   a 4b a Phương trình tắc elip có dạng x2 y Suy phương trình tắc elip :  1 b Phương trình tắc elip có dạng   x2 y   a b2 Vì elip có tiêu điểm F1  3;0 nên c   a  b2  (1)  3 Lại có M 1;   ( E )    (2) a 4b   Thay (1) vào (2) ta được:    4b4  5b2    b2   a  b  4b Suy phương trình tắc elip là: x2 y  1  x  7cos t Ví dụ Cho điểm M ( x; y) di động có toạ độ thoả mãn  với t tham số thay đổi Chứng  y  4sin t minh M di động elip Lời giải  x2 x  cos t  cos t  x  7cos t  x2 y  49      Ta có :  49 16  y  4sin t  y  sin t  y  sin t  16  Như điểm M di động elip có phương trình : x2 y  1 49 16 Ví dụ Cho elip x  y  36 điểm M (1;1) viết phương trình đường thẳng d qua M cắt elip cho hai điểm A B cho M trung điểm AB Lời giải Xét đường thẳng d qua điểm M (1;1) có hệ số góc k 27 Phương trình đường thẳng d : y  k ( x  1)  Hoành độ hai điểm A B nghiệm phương trình : x  9 k ( x  1)  1  36  (9k  4) x  18k (1  k ) x  9(1  k )  36  (1) MA  MB phương trình (1) có hai nghiệm xA , xB cho : xA  xB 18k (1  k )  xM    18k  18k  18k   k   2 2(9k  4) Suy phương trình đường thẳng d : y   ( x  1)  x  y  13  III Bài tập đề nghị 53 Lập phương trình tắc elip biết rằng: 28 a A(0; 2) đỉnh F (1;0) tiêu điểm elip; b F1 (7;0) tiêu điểm elip elip qua M (2;12); c Phương trình cạnh hình chữ nhật sở x  4, y  3;     d Elip qua hai điểm M 4; , N 2; 3 x2 54 Tìm điểm elip ( E ) :  y  a Điểm nhìn hai tiêu điểm góc vuông; b Điểm nhìn hai tiêu điểm góc 60o x2 y 55 Cho elip (E) có phương trình   Xác định m để đường thẳng d : x  m ( E ) có điểm chung  x  7cos t 56 Cho điểm M ( x; y) di động có toạ độ thoả mãn  với t tham số Chứng minh  y  5sin t M di động elip 57 Cho elip ( E ) : x  25 y  225 a Tìm toạ độ tiêu điểm elip; b Tìm điểm M nằm elip cho M nhìn hai hai tiêu điểm góc vuông c x2 y 58 Cho elip ( E ) :   (0  b  a) Tính tỉ số trường hợp sau: a a b a Trục lớn ba lần trục nhỏ; b Đỉnh trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm góc vuông; c Khoảng cách đỉnh trục nhỏ đỉnh trục lớn tiêu cự 59 Cho elip ( E ) : x  y  16  1 a Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M 1;  có vectơ pháp tuyến n  (1;2);  2 b Tìm toạ độ giao điểm A B đường thẳng d elip ( E ) Chứng minh MA  MB Bài tập trắc nghiệm không đáp án 29 Cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(1;2), B(3;1), C (5;4) Phương trình sau phương trình đường cao tam giác vẽ từ A A x  y   0; B 3x  y   0; C 5x  y   0; D 3x  y   Cho tam giác ABC với đỉnh A(1;1), B(4;7), C(3; 2), M trung điểm đoạn thẳng AB Viết phương trình tham số đường thẳng CM x   t x   t x   t  x   3t A  B  C  D   y  2  4t;  y  2  4t;  y   2t;  y  2  4t 5  t Cho phương trình tham số đường thẳng d :  9  2t Trong phương trình sau, phương trình phương trình tổng quát d? A x  y   0; B x  y   0; C x  y   0; D x  y   Đường thẳng qua điểm M (1;0) song song với đường thẳng d : x  y   có phương trình tổng quát là: A x  y   0; B x  y   0; C x  y   0; D x  y   Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát 3x  y  2006  Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A d có vectơ pháp tuyến n  (3;5); B d có vectơ phương u  (5; 3); C d có hệ số góc k  ; D d song song với đường thẳng 3x  y  Bán kính đường tròn tâm I (0; 2) tiếp xúc với đường thẳng d : 3x  y  23  là: A 15; B 5; C ; D Cho hai đường thẳng d1 : x  y   m  0, d2 : (m  3) x  y  2m   Tìm m để hai đường thẳng cho song óng với A m  1; B M  1; C M  2; D m  Cho hai đường thẳng d1 : x  y   0, d2 : x  y   Tìm số đo góc hai đường thẳng cho A 30o ; B 60o ; D 45o ; D 90o Cho hai đường thẳng d1 : x  y   0, d2 : y  10 Tìm số đo góc hai đường thẳng cho A 45o ; B 30o ; C 88o 57 '52''; D 1o13'8'' 10 Khoảng cách từ điểm M (0;3) đến đường thẳng d : x cos   y sin   3(2  sin  )  là: A 6; B 6; C 3sin  ; D sin   cos  11 Phương trình sau phương trình đường tròn? A x2  y  x  y   0; B x2  y  10 x  y   0; C x2  y  x  y  20  0; D x2  y  x  y  12  12 Cho đường tròn (C ) : x2  y  x  y  20  Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A (C) có tâm qua I (1; 2); B (C) có bán kính R  5; C (C) qua M (2; 2); D (C) không qua A(1;1) 13 Phương trình tiếp tuyến điểm M (3; 4) với đường tròn (C ) : x2  y  x  y   là: A x  y   0; B x  y   0; C x  y   0; D x  y   30 14 Cho đường tròn (C ) : x  y  x  y  đường thẳng  : x  y   Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A  qua tâm O (C); B  cắt (C) hai điểm; C  tiếp xúc với (C); D  điểm chung với (C) 2 15 Cho đường tròn (C ) : x  y  x  y   Tìm tâm I bán kính R đường tròn cho A I (1;1), R  1; 1 1 B I  ;   , R  ; 2 2  1 C I   ;  , R  D I (1; 1), R  ;  2 16 Cho phương trình x2  y  2(m  2) x  4my  19m   0, tìm m để phương trình cho phương trình đường tròn m   m  2 A  m  2; B 2  m  1; C  D   m  2;  m  17 Đường thẳng d : x  y  m  tiếp xúc với đường tròn (C ) : x  y  khi: A m  3; B m  5; C m  1; D m  18 Cho hai điểm A(1;1), B(7;5) Viết phương trình đường tròn đường kính AB A x2  y  8x  y  12  0; B x2  y  8x  y  12  0; C x2  y  8x  y  12  0; D x2  y  8x  y  12  19 Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A(0; 2), B(2;0), C (2;0) A x  y  8; B x2  y  x   0; C x2  y  x   0; D x2  y   20 Cho điểm M (0;4) đường tròn (C ) : x2  y  8x  y  21  Tìm phát biểu phát biểu sau: A M nằm (C); B M nằm (C); C M nằm (C); D M trùng với tâm (C) 2 x y   mệnh đề: 21 Cho elip ( E ) : 25 (I) (E) có tiêu điểm F1 (4;0), F2 (4;0); c  ; a (III) (E) có đỉnh A1 (5;0); (IV) (E) có độ dài trục nhỏ Các mệnh đề sai là: A (I) (II); B (II) (III); C (I) (III); D (IV) (I) 22 Phương trình tắc elip có hai đỉnh (3;0),(3;0) hai tiêu điểm (1;0),(1;0) là: (II) (E) có tỉ số x2 y x2 y x2 y x2 y B C D   1;   1;   1;   9 9 23 Cho ( E ) : x  y  1, tìm mệnh đề mệnh đề sau: (I) ( E ) có trục lớn 1; (II) ( E ) có trục nhỏ 4; A  3 (III) (E) có tiêu điểm F1  0;  ;   31 (IV) (E) có tiêu cự A (I); B (II) (IV); C (I) (III); D (IV) 2 x y 24 Dây cung elip ( E ) :   (0  b  a) vuông góc với trục lớn tiêu điểm có độ dài là: a b 2 2c 2b 2a a2 A B C D ; ; ; a a c c c 12 25 Một elip có trục lớ 26, tỉ số  Tính trục nhỏ elip a 13 A 5; B 10; C 12; D 24 2 26 Cho elip ( E ) : x  y  36 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A (E) có trục lớn 6; B (E) có trục nhỏ 4; c  a 27 Khi cho t thay đổi, điểm M (5cos t;4sin t ) di động đường sau đây? A Elip; B Đường thẳng; C Đường tròn; D Nửa đường tròn 2 x y 28 Cho elip ( E ) :   (0  b  a) Gọi F1 , F2 hai tiêu điểm elip Cho M (0; b) Tính giá a b trị biểu thức MF1.MF2  OM C (E) có tiêu cự A c ; 5; B 2a ; D (E) có tỉ số C 2b ; D a  b2 x2 y   đường thẳng d : y   Tích khoảng cách từ hai tiêu điểm 16 elip đến đường thẳng d A 16; B 9; C 81; D 30 Cho e  (4;1), f  (1;4) Tìm n để hai vectơ a  ne  f b  i  j tạo với góc 29 Cho elip ( E ) : 45o A n  1; B n  4; C n  5; D Tất câu sai 31 Cho ba điểm M (1; 2), N (3;2), P(4; 1) Tìm điểm E Ox cho EM  EN  EP đạt giá trị nhỏ A Không tồn E; B E (3;7); C E (2;0); D E (1;0) 32 Cho tam giác ABC với A(4;1), B(2;4), C (2; 2) Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC 1  A  ;1 ; B (10;11); C (2;5); D (3;1) 2  33 Cho A(1;3), B(1;1), C(2;4) Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  8 3 7  5 A  ;  ; B  ;  ; C   ;   ; D (6;4)  3 2 2  2 34 Cho A(4;1), B(2;4), C(2; 2) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  1   1    A   ;  ; B   ;1 ; C  ;2  ; D   ;4   2   2    35 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M (2; 4) cắt trục Ox A, cắt trục Oy B cho tam giác OAB vuông cân A x  y   0; B x  y   0; C x  y   0; D x  y   36 Cho A(4;5), B(6; 1), C(1;1) Phương trình ba đường trung tuyến tam giác ABC là: A 8x  17 y  32  0; B x  y   0; 32 C 10 x  13 y  25  0; D 3x  y   37 Cho tam giác ABC có AB : x  y 1  0, BC : x  y   0, CA : 5x  y   Viết phương trình đường cao tam giác kẻ từ đỉnh B 37 A x  y   0; B x  y   0; C x  y  ; D x  y   30 38 Hãy xác định toạ độ điểm P đường thẳng d có phương trình x  y   cho P cách hai điểm A(0;4) B(4; 9) A Không tồn điểm P; B P(5; 7);  133 169  C P  ; ;  18 18   29 69  D P  ;   18 18   x   2t 39 Cho điểm A(0;1) đường thẳng d :  Tìm khẳng định khẳng định sau: y  3t A Không tồn điểm M d cho AM  5; B Tồn điểm M d cho AM  5;  24  C Tồn hai điểm M d cho AM  5, (4;4)   ;   ; 5  D Tất câu sai 40 Hình chiếu vuông góc điểm M (3; 2) xuống đường thẳng d : 5x  12 y  10  là:  262 250   262   262 250  A  B  C  D Đáp án khác ; ;0  ; ; ; ;  169 169   169   169 169  41 Cho ba điểm A(3;0), B(5;4), P(10;2) Viết phương trình đường thẳng qua P cách A, B A x  y  26   3x  y  34  0; B x  y  14   y   0; C 3x  y  36   x  10  0; D x  y  14   y   42 Cho hai đường thẳng d1 : x  y   d2 : 3x  y   Viết phương trình đường thẳng d qua điểm P(3;1) cắt d1 , d A, B cho đường thẳng d tạo với d1 d tam giác cân có đáy AB A Không tồn đường thẳng d; B d : x  y   0; C d : x  y   0; D Đáp án khác 43 Cho ba điểm A(4; 1), B(3;2), C (1;6) Tính góc hai đường thẳng AB, AC A ( AB, AC )  32o ; B ( AB, AC )  40o ; C ( AB, AC )  43o36'; D ( AB, AC )  18o 44 Cho ba điểm A(3; 7), B(9; 5), C (5;9) Viết phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC A 3x  y   0; B x  y  13  0; C x  y   0;     D  2 x   y   24  45 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;1) tạo với đường thẳng x  y   góc 45o A 5x  y    5x  y 1  0; C x  y    x  y   0; B x  y    3x  y   0; D x  y    3x  y   46 Đường thẳng qua M (1;1) cắt elip ( E ) : x  y  36 hai điểm M1, M cho MM1  MM có phương trình là: A x  y   0; B 16 x  15 y  100  0; 33 C x  y  13  0; D x  y   47 Cho điểm M (2;3) Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục toạ độ A, B cho tam giác ABM vuông cân M A x   0; B x  y  13  0; C x  y  13  0; D Đáp án khác 4 2 48 Cho ba điểm A(2; 4), B  ;  , C (6;0) Phát biểu đường tròn nội tiếp tam giác ABC 3 3 A Tâm I (3; 1), bán kính R  3; B Tâm I (2;1), bán kính R  3; C Tâm I (3; 1), bán kính R  2; D Tâm I (0;1), bán kính R  49 Cho tam giác ABC có A(1;2), B(2;0), C(3;1) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  11 13   11 14   12 13   11 13  A   ;   ; B   ;   ; C   ;   ; D   ;    14   15   14   15  50 Cho elip có phương trình 16 x2  25 y  100 Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elip có hoành độ đến tiêu điểm A 3; B 5; C 2; D 34 HƯỚNG DẪN GIẢI Phương pháp tọa độ mặt phẳng 35  1     a Gọi M trung điểm AB M   ;    ;   2 2  1   5 Suy ra: CM    3;      ;    nCM  (1; 1) 2   2 Phương trình đường thẳng CM là: 1( x  3)  1( y  6)   x  y   b Ta có BC  (4; 2)  nBC  (1; 2)  BC :1( x  3)  2( y  6)   x  y   Phương trình đường thẳng AH là: 4( x  2)  2( y  3)   x  y   x  y    23 11  Toạ độ điểm H nghiệm hệ phương trình:   A  ;   5 2 x  y   Dễ thấy hệ số góc k   Trường hợp : với k   ta có phương trình đường thẳng cần tìm là: y   ( x  1)   x  y   Trường hợp : với k  ta có phương trình đường thẳng cần tìm là: y  ( x  1)   x  y   x x x y  yB  yC Sau tìm toạ độ điểm C Hướng dẫn : Chú ý xG  A B C ; yG  A 3 bạn đọc dễ dàng tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác Dễ thấy đường trung trực qua điểm M vuông góc với đường thẳng NP Ta có: NP  (2  4;  1)  (2;3) Phương trình đường trung trực tam giác qua M là: 2( x  1)  3( y  0)   x  y   Hai đường lại xin để lại cho bạn đọc Đường thẳng cần tìm có phương trình : x  y    x  y  x x x y  yB  yC  G(1; 2) Ta có : xG  A B C ; yG  A 3 Hệ số góc k   Trường hợp : với k   ta có phương trình đường thẳng cần tìm là: y   ( x  1)   x  y   Trường hợp : với k  ta có phương trình đường thẳng cần tìm là: y  ( x  1)   x  y   Ta có: ABO  60o  BAO  120ο Gọi  góc tạo đường thẳng d trục Ox, ta xét trường hợp sau đây: Trường hợp :   BAO  120o  k  tan120o   36 1  Phương trình đường thẳng d là: y    x     3x  y   3  2  Trường hợp :   BAO  120o    60o  k  tan 60o  1  Phương trình đường thẳng d là: y   x     3x  y   3  2  Do A  d nên A( xA ; xA  4) Ta có: AB.nd   (1  xA ;6  xA ).(1;2)    xA  12  xA   xA  13  13 46   A   ;  5  Phần lại tác giả xin bạn đọc Bạn đọc tự giải 10 Bạn đọc tự giải 11 HD: Điểm C giao điểm trung tuyến CM đường thẳng AC Điểm M giao điểm AB CM, sau tìm toạ độ điểm M tìm toạ độ điểm C từ viết phương trình đường thẳng BC 12 HD: Ta tìm toạ độ hai đỉnh giao điểm hai đường trung tuyến với cạnh cho Tìm toạ độ trọng tâm tam giác suy toạ độ đỉnh lại 13 Bạn đọc tự giải 14 Bạn đọc tự giải 15 Bạn đọc tự giải 16 Toạ độ điểm G nghiệm hệ phương trình: 2 x  y    7  G   ;     3 x  y   31 2   AG  ( xK  2; yK  3)   ;   K   ;  23 3   Gọi B( xB ; xB  1) suy C (3  xB ;7  xB ) K trung điểm BC Vì C nằm đường thẳng x  y   nên ta có: (3  xB )  (7  xB )    xB  Phần giải tiếp xin bạn đọc 17 Bạn đọc tự giải x y 18 Giả sử M (m;0), N (0; n) với m, n  Phương trình đường thẳng d là:   m n 3m Do n  nên m  Vì đường thẳng d qua điểm Q nên    n  m n m2 3m  (m  2)     Ta có: OM  ON  m  n  m  m2 m2  m   m  m   Đẳng thức xảy :   m n   n   m2  Ta có: AK  Phương trình đường thẳng d : x y  1 2 3 19 Bạn đọc tự giải 20 Gọi A(a;0), B(0; b) với a, b  Phương trình đường thẳng d 37 x y   a b Do đường thẳng d qua điểm M nên ta có:   a b Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Ta có: OA  3OB  a  3b  a.3b  OA  3OB  3ab Mà ta có: 3   1  ab  12 a b a b ab Suy ra: OA  3OB  3.12  OA  3OB  12  a  3b  a  x y 3 Đẳng thức xảy khi:     d :    d : x  3y   b  a b 3  a  b  Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars 1 3 1  Ta có: OA  3OB  a  3b  (a  3b)      a  3b   OA  3OB  12 a b  a b   a : a  3b : b a  Đẳng thức xảy khi:    d : x  3y   b  3  1  a b 21 Xét tam giác OAB vuông O ta có: 1   với H chân đường cao hạ 2 OA OB OH từ O xuống cạnh AB tam giác OAB 1  Để nhỏ nhỏ nhất, tức 2 OA OB OH OH lớn Mà OH lớn H M trùng Như đường thẳng d nhận OM  (4;3) làm vectơ pháp tuyến Suy phương trình đường thẳng cần tìm d : x  y  25  22 Bạn đọc tự giải 23 Bạn đọc tự giải 24 HD: Vì M nằm d nên M (2 yM ; yM ) từ ta tính khoảng cách từ M tới d1 lần khoảng cách từ M đến d ĐS: M1 (22; 11), M (2;1) 25 ĐS: x  y  11   x  y   26 Bạn đọc tự giải 27 Bạn đọc tự giải 28 Bạn đọc tự giải 29 Bạn đọc tự giải 30 Bạn đọc tự giải 38 2 6 31 HD: AB : x  y    B  ;  5 5 4 7 Vì C  d nên C (2 yC  2; yC ); AB  BC  AB  BC  C1  ;  , C2  0;1 7 5  43 27  32 C (7;3), C2   ;    11 11  33 Bạn đọc tự giải 34 Bạn đọc tự giải 35 HD: Cách viết phương trình cạnh tam giác sau tì mối quan hệ chúng với đường thẳng d đưa kết luận Cách quan hệ cách thay toạ độ ba điểm A, B, C vào đường thẳng d 36 HD: Cách dùng công hức Herron Cách SOBC  d (0, BC ).BC 37 HD: Điểm đối xứng A qua đường phân giác góc B nằm BC, điểm đối xứng A qua đường phân giác góc C nằm BC 38 HD: Tính góc đường phân giác cạnh để xác định xem hai đường phân giác đường đường cần tìm 39 Bạn đọc tự giải 40 Bạn đọc tự giải  IA  Ox 41 HD: Cách gọi I tâm đường tròn  Cách gọi I tâm đường tròn M  IA  IB  IA  Ox trung điểm AB  Cách gọi I tâm đường tròn I nằm đường trung trực  IM  AB AB nằm đường thẳng qua A vuông góc với Ox 42 Gọi I trung điểm đường tròn IA  IB  d ( I , d : x  y   0) 43 Bạn đọc tự giải 44 Bạn đọc tự giải 45 a Gọi I (a; b) ta có: d ( I , Ox)  d ( I , Oy)  IA  b  a  (2  a)  (4  b)  a  (2  a)  (4  a)  a  10  I (10;10)  (C ) : ( x  10)  ( y  10)  10  a  12a  20    2  a   I (2; 2)  (C ) : ( x  2)  ( y  2)  10 46 Bạn đọc tự giải 47 Bạn đọc tự giải 48 a Hai đường tròn tiếp xúc với IJ  R1  R2 b Hai đường tròn tiếp xúc với IJ  R1  R2 39 ... nói đầu Phương pháp tọa độ mặt phẳng phần kiến thức quan trọng thường xuyên câu hỏi dùng để phân loại học sinh khá, giỏi đề thi Đây chủ đề có nhiều viết, nhiên tác giả định viết chủ đề quà tặng... ngày 15, tháng 04, năm 2017 Nguyễn Bá Hoàng Phương pháp tọa độ mặt phẳng Bài Viết phương trình đường thẳng I Nội dung kiến thức Một số kiến thức vectơ toạ độ:  Giá vecto đường thẳng qua điểm đầu... tiêu cự elip Phương trình tắc elip  Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm F1 (c;0) F2 (c;0) với c  phương y P B2 Q trình tắc elip nhận F1 , F2 làm  x2 y   A1 F1 x O A2 F2 a b2 2 Trong đó: b 