phương pháp montecarlo

17 523 0
phương pháp montecarlo

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài 3: Mô Monte Carlo Under construction Giới thiệu ● ● ● ● ● Monte Carlo (MC) phương pháp dùng số ngẫu nhiên để lấy mẫu (sampling) tập hợp Thuật ngữ “Monte Carlo” sử dụng lần đầu Metropolis (Los Alamos, 1947) Tính tích phân phương pháp ngẫu nhiên Tính số Pi phương pháp ngẫu nhiên (1901) Phương pháp Metropolis (1953): cho phép lấy mẫu theo tập hợp thống kê cho trước Hiện MC coi phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu hệ phức hợp Tính số  Monte Carlo ● Gieo ngẫu nhiên với phân bố N hit ≈ N trails −1/2 sai số ~ N trails Tính tích phân Monte Carlo ● Phương pháp tổng quát tính tích phân cách lấy trung bình từ lần thử f ( x) x2 F =∫ f  x dx x1 x2 F =∫ x1 ● f  x  x dx  x F x1 chọn  số ngẫu nhiên khoảng (x1,x2) với phân bố (x) cho trước, ta có: 〈 〉 f  F=  trials x2 ● Với (x) phân bố đều:  x=  x 2−x  x 1≤ x≤x N trails  x 2− x  F= f  i  ∑ N trials i=1 ● Tuy nhiên, số trường hợp cách lấy mẫu theo phân bố không hiệu Ví dụ tích phân cấu hình tập hợp tắc: Z NVT =∫ d Γ e −E ( Γ)/k B T Lấy mẫu quan trọng ● ● Là cách lấy mẫu theo phân bố (khác phân bố đều) cho tập trung vào miền có đóng góp đáng kể tích phân Trong tập hợp tắc: 〈 A〉 NVT =∫ d  A  NVT   −1 ρ NVT (Γ)=Z NVT e ● − E (Γ)/ k B T Nếu ta lấy mẫu theo phân bố = NVT thì: 〈 A〉 NVT =〈 A〉trails “Instead of choosing configurations randomly, then weighting them with exp(−E/kT), we choose configurations with a probability exp(−E/kT) and weight them evenly.” — Metropolis et al Metropolis, N.; Rosenbluth, A.W.; Rosenbluth, M.N.; Teller, A.H.; Teller, E (1953) "Equations of State Calculations by Fast Computing Machines" Journal of Chemical Physics 21 (6): 1087–1092 Chuỗi Markov ● Phương pháp lấy mẫu Monte Carlo cho ta chuỗi trạng thái vi mô ngẫu nhiên:  1,  2,  ,  n−1 ,  n , ● Chuỗi Markov: xác suất lựa chọn trạng thái phụ thuộc vào trạng thái trước (stochastic process with no memory) ● Xác suất chuyển trạng thái ● Bảo toàn xác suất chuyển: k β α =1 ∑ β α→β : k β α k α α =1− ∑ k β α β≠α Phương trình chủ ● Chuỗi Markov tuân theo phương trình chủ (Master equation): d pα = ∑ (k αβ p β−k βα p α ) dt β≠α p kβα ● xác suất tìm thấy hệ trạng thái  xác suất chuyển trạng thái từ  sang  Phương trình chủ dạng rời rạc phương trình Fokker-Planck (trong lý thuyết trình nhiễu loạn) Điều kiện cân chi tiết ● Khi t tiến tới vô cùng, để tồn trạng thái cân bằng: t  ∞ : p = p eq  d p eq  =0 dt ● Điều xảy có điều kiện cân chi tiết: eq eq k αβ p β =k β α p α Detailed balance condition ● Thông thường Monte Carlo k β α =k ● k k a βα s βα a βα k s βα xác suất chuyển tiên nghiệm (a priori) xác suất chấp nhận chuyển đổi Monte Carlo yêu cầu xác suất chuyển tiên nghiệm phải (không ưu tiên chiều chuyển nào): a a k β α =k α β (tương tự tiên đề xác suất tiên nghiệm Vật lý thống kê: trạng thái vi mô có xác suất tiên nghiệm nhau) Phương pháp Metropolis ● Cho phép chọn xác suất chuyển trạng thái cho điều kiện cân chi tiết thỏa mãn: ● eq  p ≥ p eq  s βα k =1 ● eq eq p  p   eq pβ s k β α = eq pα p k = p s αβ s eq α eq β k αβ =1 ● Trường hợp tập hợp tắc, ta có phân bố Boltzmann: eq  p = suy Nếu Nếu −E  /k B T e Z NVT p eq  E ≤E  E E  p eq  eq  p = =e e Z NVT − E  − E  / k B T s βα k =1 s βα −E  / k B T s αβ k =e −( E β−E α)/ k B T k =e −( E α −E β)/ k B T s k αβ =1 ● Thuật toán Metropolis: Giả sử lượng trạng thái E, lượng trạng thái E' ● ● E ' ≤ E : chấp nhận trạng thái E ' > E : chấp nhận với xác suất – ● ● gieo số ngẫu nhiên  khoảng [0,1) ξ< k : chấp nhận trạng thái ξ⩾k : không chấp nhận trạng không chấp nhận chấp nhận ξ chấp nhận k =e −( E ' −E )/ k B T e ΔE −Δ E / k B T Phương pháp lấy mẫu Barker ● ● Metropolis phương pháp đảm bảo điều kiện cân chi tiết Phương pháp lấy mẫu Barker (1965): eq s k β α= pβ eq α eq β (p +p ) Thực hành ● Dùng phương pháp Monte Carlo, tính tích phân: π A=∫ sin( x)dx ● Dùng phương pháp Metropolis tạo tập hợp số ngẫu nhiên theo phân bố: p( x)= sin ( x) ● x∈[0, π] Làm tương tự sử dụng phương pháp lấy mẫu Barker Bài tập nhà ● Viết chương trình mô Monte Carlo cho hệ khí nằm trọng trường − p( z)∼e mgz kT Xét hộp khí kích thước LxLxL Chọn L=100, m=1, g=1, k=1 Tạo trạng thái vi mô cho N hạt: ● Phân bố tọa độ: p(z) ~ exp(-mgz/kT) ● Phân bố xung lượng: Maxwell-Boltzmann z ... / k B T Phương pháp lấy mẫu Barker ● ● Metropolis phương pháp đảm bảo điều kiện cân chi tiết Phương pháp lấy mẫu Barker (1965): eq s k β α= pβ eq α eq β (p +p ) Thực hành ● Dùng phương pháp Monte... (MC) phương pháp dùng số ngẫu nhiên để lấy mẫu (sampling) tập hợp Thuật ngữ “Monte Carlo” sử dụng lần đầu Metropolis (Los Alamos, 1947) Tính tích phân phương pháp ngẫu nhiên Tính số Pi phương pháp. .. nhiên Tính số Pi phương pháp ngẫu nhiên (1901) Phương pháp Metropolis (1953): cho phép lấy mẫu theo tập hợp thống kê cho trước Hiện MC coi phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu hệ phức hợp Tính số

Ngày đăng: 22/05/2017, 17:09

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Slide 1

  • Slide 2

  • Slide 3

  • Slide 4

  • Slide 5

  • Slide 6

  • Slide 7

  • Slide 8

  • Slide 9

  • Slide 10

  • Slide 11

  • Slide 12

  • Slide 13

  • Slide 14

  • Slide 15

  • Slide 16

  • Slide 17

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan