SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU NĂM HỌC: 2015-2016 MƠN TỐN: KHỐI 10 Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Câu I.(7 điểm) Giải phương trình sau: 9( x + − 3x − 2) = x + Giải hệ phương trình sau: x + y − xy = x + + y + = Câu II.(3 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx + 2m − ( P) đường thẳng (d ) y = x + Với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B cho ∆OAB vuông O (Với O gốc toạ độ) Câu III.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có H trực tâm, đường cao BB ' = 5, CC ' = , góc Cµ > 900 · cos CBB ' = Tính diện tích tam giác ABC Câu IV.(5,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-7;-2), B(-3;2) Tìm điểm M tia đối · · tia Ox cho tam giác ABM thoả mãn MAB + MBA = 900 Trong Oxy cho hình thang ABCD vng A, D; D(2;2) CD = 2AB Gọi H hình chiếu vng góc D lên AC; I giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M ( 22 14 ; ) trung điểm HC Hãy xác định toạ độ điểm I biết điểm B thuộc 5 đường thẳng ∆: x - 2y + = Câu IV.(2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thoả mãn: a + b2 + c = abc Chứng minh rằng: a + b + c ≥ abc ……….Hết……… Học sinh không sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thich thêm ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN LỚP 10 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 (Đáp án gồm 03 trang) Câu Nội dung Câu I 7,0 điểm 1) 3,0 đ 9( x + − 3x − 2) = x + (1) (1) ⇔ 9( ⇔ x+3 x + + 3x − ĐK: x ≥ Điểm 0.5 ) = x+3 0.5 x + + 3x − = 1.0 ⇔ ( x + − 5) + ( 3x − − 4) = ⇔ ( x − 6)( 0.5 + )=0 4x +1 + 3x − + ⇔ x=6 Vậy phương trình có nghiệm x =6 2) 4,0 đ x + y − xy = (1) x + + y + = (2) ĐK: x, y > (2) ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) + xy+ = 14 Từ (1) đặt (3) xy = t (t >0), suy ra: x + y = + t Thay vào (3) ta có: t + t + = 11 − t ( ĐK: < t < 11) 1.0 0.5 0.5 ⇔ 3t2 +26t – 105 = 1.0 t = 35 ⇔ t=− (L) 0.5 xy = ⇔ x = y = Vậy hệ có nghiệm: x = y =3 x + y = Với t = 3, ta có: Câu II 0.5 điểm Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x2 - (2m+1)x + 2m - = (1) 0.5 0.5 (d) cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, 0.5 2 suy điều kiện là: ∆ = 4m − 4m + 17 = (2 m − 1) + 16 > 0∀m ∈ R x1 + x2 = 2m + (2) x1.x2 = 2m − Gọi x1, x2 hai nghiệm (1), theo định lý Viet ta có: 0.5 Tọa độ điểm A(x1; x1 + 3) B(x2; x2 + 3) uuur uuur OA = ( x1; x1 + 3); OB = ( x2 ; x2 + 3) uuur uuur Do ∆OAB vuông O, nên: OA.OB = ⇔ x1 x2 + 3( x1 + x2 ) + = (3) Lấy (2) thay vào (3) ta có: 10m +4 = ⇔ m = − Câu III 0.5 0.5 0.5 10 3,0 điểm A C’ C B · cos CBB '= BC = B’ H 0.5 2 ⇒ sin C = ,cosC = − 5 1.0 BB ' CC' = , suy ra: sin B = = ,cosB = · BC 5 cos CBB ' Do đó: sinA = sinB.cosC + cos B.sin C = Vậy S = 5 ⇒ AB = BB ' 25 = sin A 25 AB.CC ' = 2 Câu IV 5,0 điểm 1) 2,0 · · Từ giả thiết MAB + MBA = 900 , suy tam giác BMA vuông M (*) uuur uuur Gọi M(m;0) (với m < 0), MA = (−7 − m; −2); MB = (−3 − m; 2) 1.0 0.5 0.5 0.5 điểm uuur uuur m = −5 − 42 Từ (*) suy ra: MA.MB = ⇒ m + 10m − 17 = ⇔ m = −5 + 42(l ) Vậy: M( −5 − 42 ) 2) điểm B A H I E M C D Gọi E trung điểm DH, suy ABME hình bình hành nên ME ⊥ AD Vậy E trự tâm ∆ADM ⇒ AE ⊥ DM mà AE // MB nên DM ⊥ BM uuuur 0.5 Suy b =4, nên B(4;4) 0.5 uuur uur 0.5 10 10 ; ) 3 0.5 (a + b + c) Ta có: a + b + c ≥ (1) 0.5 (a + b + c ) Theo đề bài, ta có: a + b + c = abc Vậy (1) ⇔ abc ≥ (2) Áp dụng BĐT Cau chy: a + b + c ≥ 3 abc 27 abc abc (3) ⇒ (a + b + c) ≥ 27 abc = 27 (a + b + c) abc = abc (a + b + c ) Từ (2) (3) suy ra: (a + b + c) ≥ 4 abc Suy ra: a + b + c ≥ 0.5 Do CD = 2AB ⇒ DI = 2.IB ⇒ I ( Vậy điểm I ( điểm 1.0 12 uuuur 42 − 10b 14 − 5b ; ); BM = ( ; ) 5 5 uuuur uuuur Do BM ⊥ DM nên DM BM = ⇒ 12(42 − 10b) + 4(14 − 5b) = Do B thuộc ∆ nên toạ độ B(2b-4;b) DM = ( Câu V 1.0 10 10 ; ) 3 2 2 Hết ( Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác cho điểm tối đa) 0.5 0.5 0.5 ...ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN LỚP 10 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 (Đáp án gồm 03 trang) Câu Nội dung Câu I 7,0 điểm 1) 3,0 đ 9(... 42 − 10b 14 − 5b ; ); BM = ( ; ) 5 5 uuuur uuuur Do BM ⊥ DM nên DM BM = ⇒ 12(42 − 10b) + 4(14 − 5b) = Do B thuộc ∆ nên toạ độ B(2b-4;b) DM = ( Câu V 1.0 10 10 ; ) 3 2 2 Hết ( Chú ý: Nếu học sinh. .. nên DM ⊥ BM uuuur 0.5 Suy b =4, nên B(4;4) 0.5 uuur uur 0.5 10 10 ; ) 3 0.5 (a + b + c) Ta có: a + b + c ≥ (1) 0.5 (a + b + c ) Theo đề bài, ta có: a + b + c = abc Vậy (1) ⇔ abc ≥ (2) Áp dụng