chuyên đề toán: Phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN I. LỜI NÓI ĐẦU Phân tích đa thức thành nhân tử là một phần quan trọng cả về mặt kiến thức lẫn kĩ năng thực hiện đối với học sinh bậc THCS. Nội dung này được giới thiệu trong chương trình Toán lớp 8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của chương trình. Vì nó được vận dụng rất nhiều ở các chương sau, trong các phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, giải phương trình, bất phương trình. Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần này không nhiều nên đa số học sinh còn lúng túng và đối với học sinh khá giỏi thì còn rất nhiều vấn đề của kiến thức chưa được đề cập tới . Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề trong chương trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng như nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan, tìm được lời giải hay và ngắn gọn cho một bài toán. Nhưng nhiều lúc việc phân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, nhất là trong trường hợp các đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp. Với nội dung và cách trình bày trên, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu hướng dẫn đối với học sinh THCS mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn trong việc giảng dạy ở các trường THCS sau này.

Phần I lời nói đầu Phân tích đa thức thành nhân tử phần quan trọng mặt kiến thức lẫn kĩ thực học sinh bậc THCS Nội dung đợc giới thiệu chơng trình Toán lớp coi nội dung nòng cốt chơng trình Vì đợc vận dụng nhiều chơng sau, phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, giải phơng trình, bất phơng trình Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần không nhiều nên đa số học sinh lúng túng học sinh giỏi nhiều vấn đề kiến thức cha đợc đề cập tới Đặc biệt kỹ phân tích đa thức thành phân tử kỹ quan trọng, nắm vững thành thạo kỹ học sinh có khả giải đ ợc nhiều vấn đề chơng trình Đại số lớp lớp nh nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan, tìm đợc lời giải hay ngắn gọn cho toán Nhng nhiều lúc việc phân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, tr ờng hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp Với nội dung cách trình bày trên, hy vọng đề tài không tài liệu h ớng dẫn học sinh THCS mà tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn việc giảng dạy trờng THCS sau Phần II NộI DUNG Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức có bậc nhỏ Ví dụ: a) x2 xy + x y =(x y)(x + 1) b) x + x4 + = (x + x + 1)(x x + 1) Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp khác nhau, nhng thờng sử dụng số phơng pháp thông dụng nh sau: - Đặt nhân tử chung - Sử dụng đẳng thức đáng nhớ - Nhóm hạng tử - Tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử - Thêm bớt hạng tử Trừ số trờng hợp toán đơn giản, nhiều toán toán phức tạp, có bậc cao ta phải vận dụng tổng hợp phơng pháp cách linh hoạt để giải Phơng pháp đặt nhân tử chung a) Phơng pháp : + Trớc hết, ta tìm nhân tử chung có mặt tất hạng tử đa thức + Phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Đa nhân tử chung dấu ngoặc Các hạng tử dấu ngoặc thơng phép chia hạng tử đa thức cho nhân tử chung b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) A = 5x 2y 10xy Ta thấy hạng tử đa thức chứa thừa số chung 5xy, ta có A = 5x y 10xy = 5xy.x 5xy.2y = 5xy(x - 2y) 2) B = 2x(3y 7z) + 6y(7z 3y) Đổi dấu hạng tử 6y(7z 3y) = - 6y(3y 7z), ta có thừa số (3y 7z) chung : B = 2x(3y 7z) + 6y(7z 3y) = 2x(3y 7z) - 6y(3y - 7z) = (3y 7z)( 2x 6y) = (3y 7z).2(x 3y) = 2(3y 7z)(x 3y) Khai thác toán: Nếu ý đến hạng tử biểu thức cách đặt thừa số chung , ta giải toán tơng tự nh sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức Q = (x + 2z)(3x + 5x 2y) (7x 3x 2y)(2z + x) Bài toán 1.2: Phân tích đa thức P = 3a(b 2c) (a 4)(2c b 2) Phơng pháp dùng đẳng thức a) Phơng pháp: Để áp dụng phơng pháp này, ta cần biến đổi hạng tử để làm xuất đẳng thức (nếu có thể) Sau dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b) Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) 2) nh sau: 2 1 1 D=x x+ = x 2.x + ữ = x ữ 2 E = 9(x + 5) (x + 7) = [3(x + 5)] (x + 7) = [3(x+5) + x +7][3(x+5) (x+7)] = (4x + 22)(2x + 8) = 4(2x + 11)(x + 4) Khai thác toán: Bằng cách dùng đẳng thức đáng nhớ , ta giải toán tơng tự Bài toán 1.1: Phân tích đa thức Bài toán 1.2: Phân tích đa thức 3) Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử: a)Phơng pháp: x 81y 25 N = x y6 + (x + x2 y2 + y4 ) M= Sử dụng tính chất giao hoán tính chất kết hợp phép cộng đơn thức, ta kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm Trong nhóm này, ta áp dụng liên tiếp phơng pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức để tiếp tục phân tích Lu ý: Thờng ta có nhiều cách nhóm hạng tử khác b)Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 xy + x y * Cách 1: Nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng tử thứ t ta có : x2 xy + x y = (x2 xy) + (x y) = x(x y) + (x y) =(x y)(x + 1) * Cách 2: Nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ t, ta có : x2 xy + x y = (x2 + x) (xy + y) = x(x + 1) y(x + 1) = (x + 1)(x y) Khai thác toán: Nếu ý đến phơng pháp nhóm hạng tử, ta giải toán tơng tự nh sau: Bài toán : Phân tích đa thức E = 3x3 75x + 6x 150 Phơng pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử a) Phơng pháp: Có số đa thức nhân tử chung dạng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử khó Vì ta nên tách hạng tử thành hai nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung để phân tích tiếp b) Ví dụ: Phân tích: x2 6x + Nhận xét: Đa thức không chứa thừa số chung Không có dạng đẳng thức đáng nhớ, nhóm số hạng Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều số hạng sau nhóm hạng tử lại với cách phù hợp: Cách 1: Tách số hạng thứ hai x2 6x + = x2 2x 4x + = x(x 2) 4( x 2) = (x )(x 4) Cách 2: Tách số hạng thứ x2 - 6x + = x2 6x + = (x 3)2 = ( x 1)(x + 1) = (x 4)( x 2) Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm nh sau: + Tìm tích ac + Phân tích tích ac thành tích thừa số nguyên cách + Chọn hai thừa số có tổng b Khi hạng tử bx đợc tách thành hạng tử bậc Ví dụ 2: 4x2 4x Ta có tích: ac = 4.( 3) = 12 Phân tích : 12 = 1.12 = 1.( 12) = 2.6 = 3.4 = 3.( 4) Chọn thừa số có tổng : (6) 4x2 4x = 4x2 + 2x 6x = 2x(2x + 1) 3(2x + 1) = (2x + 1)(2x 3) Khai thác toán: Bằng phơng pháp tách hạng tử (chủ yếu hạng tử tự hạng tử bậc thấp), ta giải toán tơng tự nh sau: Bài toán : Phân tích đa thức H = x 21x + 38 Phơng pháp thêm bớt hạng tử a) Phơng pháp : Thêm bớt hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử có dạng đẳng thức dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung để tiếp tục phân tích Thông thờng hay đa dạng đẳng thức đáng nhớ sau thêm bớt b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) a3 + b3 + c3 3abc Ta thêm bớt 3a2b +3ab2 sau nhóm để phân tích tiếp a3 + b3 + c3 3abc = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 (a + b)c + c2 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 ac bc + c2 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab ac bc) 2) x5 Ta thêm bớt x sau dùng phơng pháp nhóm: x5 = x x + x = (x5 x) + (x 1) = x(x4 1) + ( x 1) = x(x2 1)(x2 + 1) + (x - 1) = x(x +1)(x 1)(x2 + 1) + ( x 1) = (x 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1] Khai thác toán: Bằng phơng pháp thêm bớt hạng tử, ta giải toán tơng tự nh sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức M = x4 + 4y Bài toán 1.2: Phân tích đa thức N = x4 + x2 + Phối hợp ph ơng pháp a) Phơng pháp: Để phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phơng pháp, ta nên ý chọn phơng pháp theo thứ tự u tiên nh sau : b) Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) 2x2 + 4x + 2y2 2) 2a2 12ab + 18b2 3) 5x3z 10x2z 5xz3 5xy2z + 5xz + 10xyz2 Giải: 1) Ta thấy hạng tử có thừa số chung, ta đặt thừa số chung tiếp tục phân tích đa thức ngoặc: 2x2 + 4x + 2y2 = 2(x2 + 2x + y2) Đặt nhân tử chung 2 = [(x + 2x + 1) y ] Nhóm hạng tử thích hợp đa thức ngoặc = 2[(x + 1)2 y2] Xuất đẳng thức = 2(x + y)(x + + y) Dùng đẳng thức Nh thứ tự u tiên là: Đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm hạng tử Vậy 2x2 + 4x + 2y2 = 2(x + y)(x + + y) 2) 2a2 12ab + 18b2 Cách giải tơng tự câu a) : 2a 12ab + 18b2 = 2(a2 6ab + 9b2) = 2(a 3b)2 3) 5x3z 10x2z 5xz3 - 5xy2z + 5xz + 10xyz2 = 5xz(x2 2x z2 y2 + + 2yz) = 5xz[ (x2 2x + 1) (y2 2yz + z2)] = 5xz[(x 1)2 (y z)2] = 5xz(x y + z)(x + y z) Khai thác toán: Bằng phơng pháp phối hợp phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, ta giải toán tơng tự nh sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức I = 3n 12n + 27 3m Bài toán 1.2: Phân tích đa thức K = 3x3y 6x2y 3xy3 6axy2 3a2xy + 3xy Bài toán 1.3: Phân tích đa thức L = 7a c + 14a c 7ac + 28c + 7ac 28 Phần III KếT LUậN Phân tích đa thức thành nhân tử nội dung kiến thức mà học sinh đợc học với thời lợng không nhiều chơng trình đại số nhng lại đợc ứng dụng rộng rãi xuyên suốt chơng trình học tập em, học sinh thờng xuyên phải sử dụng đến kỹ việc xây dựng số nội dung kiến thức sau việc giải toán Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ xảo phân tích đa thức thành nhân tử Qua , giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác , lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức Trong đề tài đề cập đến đa thức ẩn chủ yếu Các tập đa đề tài dừng mức ví dụ minh hoạ, ch a phải hệ thống tập vận dụng đầy đủ kiến thức đa ra.Ngoài có số tập tổng hợp tập nâng cao nhằm vận dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải  ... nhiều chơng trình đ i số nhng l i đợc ứng dụng rộng r i xuyên suốt chơng trình học tập em, học sinh thờng xuyên ph i sử dụng đến kỹ việc xây dựng số n i dung ki n thức sau việc gi i toán Các phơng... 3xy B i toán 1.3: Phân tích đa thức L = 7a c + 14a c 7ac + 28c + 7ac 28 Phần III KếT LUậN Phân tích đa thức thành nhân tử n i dung ki n thức mà học sinh đợc học v i th i lợng không nhiều chơng... phán đoán, tổng hợp ki n thức Trong đề t i đề cập đến đa thức ẩn chủ yếu Các tập đa đề t i dừng mức ví dụ minh hoạ, ch a ph i hệ thống tập vận dụng đầy đủ ki n thức đa ra.Ngo i có số tập tổng hợp