Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ (LV thạc sĩ)

Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ (LV thạc sĩ)Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ (LV thạc sĩ)Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ (LV thạc sĩ)Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ (LV thạc sĩ)Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ (LV thạc sĩ)Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ (LV thạc sĩ)Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ (LV thạc sĩ)Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ (LV thạc sĩ)Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ (LV thạc sĩ)Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ (LV thạc sĩ)

S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC ** NGUYN V TRUNG BI TON MOTZ V MT S PHNG PHP TèM NGHIM XP X LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: TON NG DNG Mó s: 60 46 01.12 Ngi hng dn TS V VINH QUANG THI NGUYấN NM 2016 MC LC Mc lc Li cam oan Li cm n Cỏc ký hiu M u Chng Cỏc kin thc c bn 1.1 Khụng gian Sobolev k (W) p (W) 1.1.1 Khụng gian C 1.1.2 Khụng gian L 1.1.3 Khụng gian W 1, p (W) ( ) 1.1.4 Khụng gian H W v khỏi nim vt ca hm 11 1.1.5 Khụng gian Sobolev vi ch s õm H - - (W) v H (ả W) 12 1.2 Phng trỡnh elliptic 12 1.2.1 Khỏi nim nghim yu ca phng trỡnh 13 1.2.2 Phỏt biu cỏc bi toỏn biờn 14 1.3 Kin thc v cỏc s lp c bn 16 1.3.1 Lc lp hai lp 16 1.3.2 Lc dng, cỏc nh lý c bn v s hi t ca phng phỏp lp 17 1.4 Phng phỏp sai phõn 17 1.5 Gii thiu th vin RC2009 20 1.5.1 Bi toỏn biờn Dirichlet 20 1.5.2 Bi toỏn biờn Neumann 22 Chng Bi toỏn Motz v cỏc phng phỏp tỡm nghim xp x 27 2.1 Gii thiu bi toỏn Motz 27 2.2 Mt s phng phỏp khai trin thụng qua cỏc h hm riờng 28 2.2.1 Phng phỏp BAMs 28 2.2.2 Phng phỏp GFIFs 30 2.2.3 Kt qu s dng cỏc phng phỏp BAMs 32 2.3 Phng phỏp lp tỡm nghim xp x 32 Chng Mt s kt qu thc nghim vi bi toỏn Motz 41 3.1 Kt qu i vi cỏc phng phỏp khai trin 41 3.1.1 Phng phỏp BAMs 41 3.1.2 Kt qu s dng phng phỏp GFIFs 42 3.2 ng dng ca phng phỏp chia i vi bi toỏn Motz 45 3.3 M rng phng phỏp chia trng hp tng quỏt 49 Phn kt lun 54 Ti liu tham kho 55 Phn ph lc 56 LI CAM OAN Tụi xin cam oan rng ni dung trỡnh by lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin lun ny ó c cm n v cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc Thỏi nguyờn, Thỏng 12 nm 2015 Ngi vit lun Nguyn V Trung Xỏc nhn ca trng khoa chuyờn mụn Xỏc nhn ca ngi hng dn khoa hc TS Nguyn Th Thu Thy TS V Vinh Quang LI CM N hon thnh c lun mt cỏch hon chnh, tụi luụn nhn c s hng dn v giỳp nhit tỡnh ca TS V Vinh Quang - Trng i hc Cụng Ngh Thụng Tin v Truyn Thụng Tụi xin chõn thnh by t lũng bit n sõu sc n thy v xin gi li tri õn nht ca tụi i vi nhng iu thy ó dnh cho tụi Tụi xin chõn thnh cm n ban lónh o phũng sau i hc, quý thy cụ ging dy lp cao hc toỏn K7C (2014-2016) Trng i hc Khoa Hc i hc Thỏi Nguyờn ó tn tỡnh truyn t nhng kin thc quý bỏu cng nh to iu kin cho tụi hon thnh khúa hc Tụi xin gi li cm n chõn thnh nht ti gia ỡnh, bn bố, nhng ngi ó luụn ng viờn, h tr v to mi iu kin cho tụi sut quỏ trỡnh hc v thc hin lun Xin trõn trng cm n! Thỏi nguyờn, thỏng 12 nm 2015 Ngi vit lun Nguyn V Trung CC Kí HIU W Min gii ni khụng gian Ă Ă Khụng gian Euclide n chiu n n ảW Biờn trn Lipschitz C k (W) Khụng gian cỏc hm cú o hm cp k liờn tc L2 (W) Khụng gian cỏc hm o c bỡnh phng kh tớch W 1, p (W) Khụng gian Sobolev vi ch s p H (ả W) Khụng gian Sobolev vi ch s 1/2 H 01 (W) Khụng gian cỏc hm cú vt bng khụng trờn ả W H - (W) Khụng gian i ngu vi H W - H (ả W) ì V ( ) Khụng gian i ngu vi Chun xỏc nh trờn khụng gian V ()ì Tớch vụ hng xỏc nh trờn khụng gian V C (W) Hng s Poincare V M U Mt s bi toỏn c hc cỏc mụi trng liờn tc nh cỏc bi toỏn nghiờn cu v lý thuyt dao ng qua mụ hỡnh húa u a v cỏc bi toỏn biờn cho phng trỡnh elliptic cp hai Trong trng hp mụi trng l thun nht v iu kin biờn bỡnh thng thỡ vic tỡm nghim ca bi toỏn cú th c thc hin thụng qua cỏc phng phỏp gii tớch nh cỏc phng phỏp tỏch bin, phng phỏp hm Green hoc cỏc phng phỏp tỡm nghim xp x nh cỏc phng phỏp sai phõn hay phng phỏp phn t hu hn Tuy nhiờn iu kin biờn ca bi toỏn l hn hp mnh tc l trờn mt on biờn trn tn ti loi iu kin biờn dng hm (Dirichlet) v dng o hm (Neumann) thỡ thc t im giao gia loi iu kin ny thng xy cỏc hin tng góy nt vt liu Cỏc im giao ny ngi ta thng gi l cỏc im k d Trong trng hp tn ti cỏc im k d thỡ cỏc phng phỏp k trờn khụng th thc hin c gii quyt cỏc bi toỏn ny, ngi ta thng nghiờn cu theo hng sau õy: Xõy dng cỏc h hm riờng trc giao xung quanh lõn cn ca im k d di dng ta cc v t ú tỡm nghim xp x ca bi toỏn di dng khai trin tng hu hn ca cỏc h hm riờng T ú bi toỏn a v vic xỏc nh cỏc h s ca khai trin thụng qua vic gii cỏc h i s tuyn tớnh S dng cỏc s lp chuyn bi toỏn cú cha im k d v cỏc bi toỏn khụng cha im k d T ú ỏp dng cỏc phng phỏp sai phõn gii quyt cỏc bi toỏn qua ú xõy dng nghim ca bi toỏn gc ban u Xut phỏt t phõn tớch ú, mc tiờu nghiờn cu chớnh ca lun l tỡm hiu v mt mụ hỡnh bi toỏn Motz, õy l mụ hỡnh bi toỏn elliptic cp hai cú cha im k d mu mc, thng s dng test cỏc phng phỏp xp x trờn th gii, nghiờn cu c s ca phng phỏp khai trin tỡm nghim xp x ca bi toỏn Motz, ng thi nghiờn cu c s ca phng phỏp lp chuyn bi toỏn Motz v hai bi toỏn elliptic cp hai, s dng phng phỏp sai phõn xỏc nh nghim ca bi toỏn gc So sỏnh kt qu thc nghim ca hai phng phỏp Cỏc kt qu thc nghim c thc hin trờn mỏy tớnh in t Ni dung chớnh ca lun l tin hnh tỡm hiu nghiờn cu c s lý thuyt ca cỏc phng phỏp tỡm nghim xp x ca bi toỏn biờn elliptic cp hai phc hoc iu kin biờn phc tp, c bit bng phng phỏp xỏc nh nghim xp x thụng qua cỏc h hm mu dng ta cc xung quanh cỏc im k d, so sỏnh vi phng phỏp chia v lp trỡnh tớnh toỏn th nghim trờn nn ngụn ng Matlab Lun cu trỳc gm chng: Chng 1: a mt s kin thc c bn v khụng gian hm v lý thuyt v phng trỡnh elliptic, lý thuyt v cỏc s lp C s phng phỏp chia v lý thuyt sai phõn Chng 2: Trỡnh by mụ hỡnh ca bi toỏn Motz v cỏc phng phỏp tỡm nghim xp x Chng 3: Mt s kt qu thc nghim i vi bi toỏn Motz Lun ny c hon thnh di s hng dn tn tỡnh ca TS V Vinh Quang, em xin by t lũng bit n chõn thnh ca mỡnh i vi thy Em xin chõn thnh cm n cỏc thy, cụ giỏo trng i Hc Khoa Hc - i Hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn Hc ó tham gia ging dy, giỳp em sut quỏ trỡnh hc nõng cao trỡnh kin thc Tuy nhiờn vỡ iu kin thi gian v kh nng cú hn nờn lun khụng th trỏnh nhng thiu sút Em kớnh mong cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn úng gúp ý kin ti c hon thin hn CHNG CC KIN THC C BN Ni dung chng ca lun trỡnh by mt s kin thc c bn v cỏc khụng gian hm, lý thuyt v cỏc s lp v phng trỡnh eliiptic cp 2, lý thuyt v phng phỏp sai phõn õy l cỏc kin thc nn tng, l c s cho vin trỡnh by cỏc ni dung chng v chng ca lun Cỏc kin thc c tham kho cỏc ti liu [4, 5, 7, 8] 1.1 Khụng gian Sobolev 1.1.1 Khụng gian C k (W) Gi s W l mt b chn khụng gian Euclid n chiu Ă n v W l bao úng ca W Ta kớ hiu C k (W), (k = 0,1, ) l cỏc hm cú o hm n cp k k c k W, liờn tc W Ta a vo C k (W) chun u ( C k (W) Trong ú a = a 1, a , , a n = max D a u (x ) a Êk xẻ W ) c gi l a ch s vect vi cỏc ta nguyờn khụng õm, a = a + a + + a n : a D u= ả a + + a n u a1 an n ả x ả x S hi t theo chun ó cho l s hi t u W ca cỏc hm v tt c o hm ca chỳng n cp k Rừ rng C khụng gian Banach k (W) vi chun ó cho l 1.1.2 Khụng gian L p (W) Gi s W l mt Ă n v p l mt s thc dng Ta kớ hiu Lp (W) l lp cỏc hm o c f xỏc nh trờn W cho: ũ f (x ) p dx < Ơ (*) W L p (W) ta ng nht cỏc hm bng hu khp trờn W Nh vy cỏc phn t ca L (W) l cỏc lp tng ng cỏc hm o c tha (*) v p hai hm tng ng nu chỳng bng hu khp trờn W Vỡ : p f (x ) + g (x ) Ê nờn rừ rng L Ta a vo L p p ( f (x ) + g (x ) p ) p pử ổ Ê 2p ỗỗ f (x ) + g (x ) ữ ữ ữ, ố ứ (W) l mt khụng gian vect (W) phim hm c xỏc nh bi: p u 1.1.3 Khụng gian W 1, p p ỡù ỹ p ùù p ù = ũ u (x ) dx ý ùù W ùù ợ ỵ (W) 1.1.3.1 nh ngha Cho W l mt Ă n ( ) c gi l kh tớch a Hm u x () phng W nu u x l mt hm W v vi mi x ẻ W u tn () ti mt lõn cn w ca x u x kh tớch w 47 ỡù D u ( k ) = 0, (x , y ) ẻ W1, ùù ùù u ( k ) = 0, - Ê x Ê 0, y = 0, ùù ùù ả u ( k ) ùù = 0, x = 0, Ê y Ê 1, ả x ùù ả u ( k ) ùù = 0, - Ê x Ê 0, y = 1, ùù ả y ùù ả u (k ) ùù = g(k ) , (x , y ) ẻ G ùùợ ả x (k ) Bc 2: Gii bi toỏn xỏc nh u W2 ỡù D u (k ) = 0, (x , y ) ẻ W2, ùù ùù u (k ) = 500, x = 1, Ê y Ê 1, ùù ả u 2(k ) ùù = 0, Ê x Ê 1, y = 0, y = 1, ùù ả y ùù u (k ) = u (k ) , (x , y ) ẻ G ùợ Bc 3: Hiu chnh giỏ tr g g ( k + 1) = (1 - t )g (k ) (k ) trờn biờn ả u 2(k ) + t ảx , (x,y) ẻ G kim tra chớnh xỏc ca phng phỏp lp, chỳng tụi s dng phng phỏp li vi s li M x N = 64 x 64 Chuyn cỏc bi toỏn vi phõn v cỏc bi toỏn sai phõn tng ng Sau ú s dng thut toỏn thu gn lng tớnh toỏn xỏc nh nghim xp x trờn tng nỳt li Trong quỏ trỡnh tớnh toỏn, chỳng tụi ó s dng cỏc hm tng ng th vin RC2009 [2] Kt qu v tc v chớnh xỏc ca bi toỏn c cho Bng 3.1 v th nghim bi toỏn Motz c cho bi Hỡnh 3.2 ( k + 1) Trong Bng 3.4 err = max u ij - uij(k ) , K l s bc lp tng ng 48 Bng 3.4: Kt qu thc nghim i vi bi toỏn Motz Thut toỏn Thut toỏn t K err t K err 0.1 150 7.10-8 0.1 150 1.10-8 0.2 62 7.10-11 0.2 57 8.10-11 0.3 32 5.10-11 0.3 29 9.10-11 0.4 26 6.10-11 0.4 17 5.10-11 0.5 34 5.10-11 0.5 17 5.10-11 0.6 45 6.10-11 0.6 24 9.10-11 0.7 63 7.10-11 0.7 36 7.10-11 0.8 97 9.10-11 0.8 58 7.10-11 0.9 150 1.10-8 0.9 120 9.10-11 Hỡnh 3.2: Nghim ca bi toỏn Motz vi phng phỏp chia 49 Nhn xột: Qua kt qu thc nghim, chỳng ta thy: + Cỏc thut toỏn l hi t tt, tham s la chn ti u l khong 0.4-0.5 + Thut toỏn th hai cú tc hi t tt hn thut toỏn th nht 3.3 M rng phng phỏp chia trng hp tng quỏt Xột bi toỏn tng quỏt: ỡù D u = f , (x , y ) ẻ W= (- a, c ) (0, b), ùù ùù ả u ùù = g1, x = - a, Ê y Ê b, ả x ùù ùù u = g3 , - a Ê x Ê 0, y = 0, ùù ảu ùù = g5 , Ê x Ê c, y = 0, ùù ả y ùù ả u = g4 , - a Ê x Ê c, y = b, ùù ả y ùù ùù u = g , x = c, Ê y Ê b ùợ y ả u / ả y = g4 ả u / ả y = g41 u = g2 ả u / ả y = g1 G -a u = g3 ả u / ả y = g5 a x Hỡnh 3.3 õy chớnh l s m rng ca bi toỏn Motz trng hp iu kin biờn bt k, im (0,0) l im k d Cú th thy rng trng hp ny, vic ỏp dng cỏc phng phỏp BAMS v GFIFs l khụng thc hin c vỡ khụng th xõy dng c h hm c lp tuyn tớnh Tuy nhiờn chỳng ta 50 cú th s dng phng phỏp chia xỏc nh nghim xp x ca bi toỏn theo thut toỏn sau õy Thut toỏn th nht Bc 1: Xỏc nh nghim W2 ỡù ùù ùù ùù ùù ù ùù ùù ùù ùù ùù ợ D u 2( k ) = f , (x , y ) ẻ W2 , u 2( k ) = g2 , x = c, Ê y Ê b, ả u 2( k ) = g5 , Ê x Ê c, y = 0, = g4 , ảy u 2( k ) = g( k ) , Ê x Ê c, y = b, ảx ả u 2( k ) (x , y ) ẻ G Bc 2: Xỏc nh nghim W1 ỡù D u (k ) = f , x ẻ W1, ùù ùù ả u (k ) ùù = g4 , - a Ê x Ê 0, y = b, ùù ả y ùù u (k ) = g , - a Ê x Ê 0, y = 0, ùù ả u (k ) ùù = g1, x = - a, Ê y Ê b, ùù ả x ùù ả u (k ) ả u (k ) ùù = , x ẻ G ùùợ ả x ảx Bc 3: Hiu chnh g(k + 1) = (1 - t )g(k ) + t u1(k ), (x,y) ẻ G 51 Thut toỏn th hai Cho W= W1 ẩ W2 bi biờn G = g= ả u1 ảx G {x = 0, Ê y Ê b} Kớ hiu Xut phỏt g(0) = , " k = 0,1, 2, thc hin thut toỏn Bc 1: Xỏc nh nghim W1 ỡù D u (k ) = f , x ẻ W1, ùù ùù ả u (k ) ùù = g1, Ê y Ê b, x = - a, ùù ả x ùù u (k ) = g , y = 0, - a Ê x Ê 0, (k ) ùù ả u ùù = g4 , - a Ê x Ê 0, y = b, ùù ả y ùù ả u (k ) ùù = g(k ) , x ẻ G ùùợ ả x Bc 2: Xỏc nh nghim W2 ỡù ùù ùù ùù ùù ù ùù ùù ùù ùù ùù ùợ D u 2( k ) = f , ả u 2( k ) = g5 , ảy (k ) u 21 = g2 , ả u 2( k ) = g4 , ảy u 2( k ) = u 1( k ) , x ẻ W2 , Ê x Ê c, y = 0, x = c, Ê y Ê b, Ê x Ê c, y = b, x ẻ G Bc 3: Hiu chnh g ( k + 1) = (1 - t )g (k ) + t ả u 2(k ) ảx , Sau õy l cỏc kt qu thc nghim i vi cỏc hm: (x,y) ẻ G 52 f = x2 + y2 g1 = (x + 1)e - y g3 = - (x + x )e - y g2 = e y g4 = cos x e - y g5 = sin x e y c a Bng 3.5 v Hỡnh 3.4 (a=1, b=1, c=1) Bng 3.5: S liu thc hin trng hp tng quỏt Thut toỏn Thut toỏn t K err t K err 0.1 117 10-10 0.1 150 10-8 0.2 50 10-10 0.2 57 8.10-11 0.3 28 10-10 0.3 29 9.10-11 0.4 17 2.10-11 0.4 17 5.10-11 0.5 21 5.10-11 0.5 17 5.10-11 0.6 30 6.10-11 0.6 24 9.10-11 0.7 44 7.10-11 0.7 36 7.10-11 0.8 71 10-10 0.8 58 7.10-11 0.9 148 10-10 0.9 120 5.10-11 Nhn xột: Qua kt qu thc nghim, chỳng ta cng thy trng hp tng quỏt + Cỏc thut toỏn hi t, tham s la chn ti u l khong 0.4-0.5 + Thut toỏn th hai cú tc hi t tt hn thut toỏn th nht + Trong thc t, ti cỏc im k d phõn cỏch gia cỏc loi iu kin biờn) thng xy cỏc vt t góy vi giỏ tr o hm tin Ơ , bng tớnh toỏn s ta thy gi tr ca o hm c mụ t hỡnh 3.4 ó phn ỏnh ỳng tớnh cht c hc ca bi toỏn 53 Hỡnh 3.4: Dỏng iu o hm ti im k d 54 PHN KT LUN Lun ó cp n mụ hỡnh toỏn hc ca bi toỏn Motz, mt mụ hỡnh c bn toỏn hc tớnh toỏn Cỏc kt qu chớnh ca lun gm cú: + Nghiờn cu mụ hỡnh toỏn hc ca bi toỏn Motz, trỡnh by c s toỏn hc ca phng phỏp BAMS, cỏc kt qu thc nghim i vi bi toỏn Motz + Nghiờn cu c s ca phng phỏp chia gii bi toỏn biờn elliptic cp hai vi iu kin biờn giỏn on mnh, s hi t ca cỏc phng phỏp + Da trờn kt qu ca thut toỏn chia i vi bi toỏn biờn elliptic vi iu kin biờn giỏn on mnh, lun ó a s lp xỏc nh nghim xp x ca bi toỏn Motz + Trờn c s ca th vin RC2009, tin hnh lp trỡnh xỏc nh nghim s ca bi toỏn, ỏnh giỏ v tc hi t v chớnh xỏc ca s lp Hng phỏt trin ca lun l nghiờn cu mt s mụ hỡnh c hc khỏc cú cỏc h iu kin biờn dng hn hp mnh i vi phng trỡnh cp hai v cp bn 55 TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] ng Quang , V Vinh Quang (2006), Phng phỏp chia gii bi toỏn biờn hn hp mnh, Tp Tin hc v iu khin hc, T.22, s.4:307 - 318 [2] V Vinh Quang, Trng H Hi, Nguyn Th Tuyn (2010), Xõy dng b chng trỡnh RC2009 gii mt s bi toỏn biờn elliptic vi h s hng, Tp Khoa hc v Cụng ngh i hc Thỏi Nguyờn, T.69(07), tr.56 - 63 Ting Anh [3] Arad M., Yosibash Z., Ben-Dor G., Yakhot A., Computinh Flux Intensity Factors by a Boundary method for Elliptic Equations with Singularities, Preprint Submitted to Elsevier Science 14 October 2005 [4] Dang Q A., Vu V Q (2012), A domain decomposition method for strongly mixed boundary value problems for the Poisson equation, In book: Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes (Proc 4th Inter Conf on HPSC, 2009, Hanoi, Vietnam), Springer [5] Funaro D., Quarteroni A., Zanolli P (1998), " An iterative procedure with interface relaxation for domain decomposition method", SIAM J Number Anal 25(6), pp 1213 - 1236 [6] Li C Z., Chan L Y., Georgiov C G., Xenophontos C, Special Boundary Approximation Methods For Laplace Equation problems with Boundary Singularities Applications to the Motz Problem, Comput and Mathematics with Applications 2006, 51: 115 - 142 [7] Marchuk G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York [8] Samarskij A and Nikolaev E.(1989), Numerical methods for Grid Equations, vol 2, Birkhauser, basel [9] Saito N and Fujita H (2001), Operator Theoretical Analysis to Domain Decomposition Methods, 12th Int Conf on Domain Decomposition Methods, 63-70, www.ddm.org/DDI 2/saito.pdf 56 PHN PH LC Chng trỡnh mụ t thut toỏn th nht Trng hp tng quỏt function motz_1=bai_toan_motz_1(n,teta); clc a=1;b=1;cc=0;bb=0;k1=1;k2=1; count=-1; epxilon=10^(-10);ss=10; N=2^n; M=N;M1=M;N1=N;M2=M;N2=N;l1=a;l2=b;n1=n;n2=n;h1=l1/M;h2=l2/N; p1=1;p2=M+1;p3=2*M+1;q1=1;q2=N+1;q3=2*N+1; %buoc lap - Gia tri ban dau csi=0,eta=0;phi1=0;phi2=0 for j=0:N; eta(j+1)=0;%khoi tao gia tri lap tren bien chia mien cho bai toan Delta v=f end; for i=0:2*M; for j=0:N; luu(i+1,j+1)=0; end; end; thoigian=cputime; while and(countepxilon); % Giai bai toan voi u2 x10=0;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M2; for j=0:N2; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=f(x1,x2); end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N2; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=eta(j+1); b2(j+1)=g4(x10+a,x2); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M2; x1=x10+a; b3(i+1)=g5(x1,x20); b4(i+1)=g6(x1,x20+b); end; u2=u0011(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,M2,N2,n2,p2,p3,q1,q2); 57 % Giai bai toan voi u1 x10=-1;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M1; for j=0:N1; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=f(x1,x2); % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai aa1=u2(p2,q1);aa2=u2(p2,q1+1);aa3=u2(p2,q1+2);u2_h=aa3-3*aa2+3*aa1; bb1=u2(p2,q2);bb2=u2(p2,q2-1);bb3=u2(p2,q2-2);u2h=bb3-3*bb2+3*bb1; for j=0:N2; ph01(j+1)=-phi(1,j+1); end; for j=0:N; if j==0; du2(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2_h2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j+1))+h1/2*ph01(j+1); else if j==N; du2(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2h2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j-1))+h1/2*ph01(j+1); else du2(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2(p2,q1+j-1)2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j+1))+h1/2*ph01(j+1);%Dao ham u2 end; end; end; for j=0:N1; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=g1(x10,x2); b2(j+1)=du2(j+1); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M1; x1=x10+i*h1; b3(i+1)=g2(x1,x20); b4(i+1)=g3(x1,x20+b); end; u1=u1101(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,N1,M1,n1,p1,p2,q1,q2); for j=0:N; eta(j+1)=teta*eta(j+1)+(1-teta)*u1(p2,j+1); end; count=count+1; for i=0:2*M; 58 for j=0:N; if i