GIAI PHUONG TRINH VO TY

Một số phơng pháp giảI phơng trình vô tỉ 1.Phơng pháp đánh giá Ví dụ 1: Giải phơng trình 3x + x + + x + 10 x + 14 = 2x x2 Giải: Vế trái : 2 ( x + 1) + + ( x + 1) + + = Vế phải : 2x x2 = (x+1)2 Vậy pt có nghiệm khi: vế trái = vế phải = x+ = x = -1 Ví dụ 2: Giải phơng trình x + x + = Giải : + Điều kiện : x -1 Ta thấy x = nghiệm phơng trình Với x > x > ; x + >2 nên vế trái phơng trình lớn Với -1 x < x < ; x + < nên vế trái phơng trình nhỏ Vậy x = nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình: 4x + x + =-16x2-8x+1 (1) Giải ĐK: x (*) 4 Ta có ( 4x + 4x + ) = x + (3 x)(1 + x) + + x = + (3 x)(1 + x) x + + x (2) Lại có : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2 (3) Từ (2) (3) ta có: x + + x = x + (3 x)(1 + x) + + x = (1) 16 x x + = 16 x + x + = (3 x )(1 + x) = x = x = 1 x = x= (thoả mãn(*)) x = Vậy phơng trình cho có nghiệm x = Luyện tập Giải phơng trình sau: 1) x + x + x + = x x 2) x x + + x = 2 Phơng pháp đặt ẩn phụ VD1:Giải phuơng trình: + x + x + (1 + x )(8 x ) = Giải C1: ĐK: x Đặt t = + x + x (đk t 0) t = + x + x + (1 + x)(8 x) t2 (1 + x)(8 x) = t2 Khi phơng trình cho trở thành: t + =3 t + 2t 15 = t = t = Với t=3, ta có: 1+ x + x = + x + x + (1 + x )(8 x ) = (1 + x)(8 x) = x = x = (thoả mãn (*)) Vậy phơng trình cho có nghiệm là:x1=-1 x2=8 C2: ĐK: x u = + x ( u, v ) v = x u = + x u2 + v2 = v = x u + v = Ta có hệ phơng trình: u + v + uv = Đặt uv 2uv = uv u + v = (u + v) 2uv = 2(u + v) + uv = uv = uv(uv 20) = uv = 20 uv uv u + v = u + v = uv = u + v = uv = 20 (loại) u + v = u + v = u = Với ta có: uv = v = u = + x = x=8 +) v = x = u = + x = x =1 +): v = x = u = v = Vậy phơng trình cho có nghiệm: x1=1 x2=8 VD 2: Giải phơng trình ( x 1) x + = x + x + Giải Phơng trình cho tơng đơng với phơng trình: (4 x 1) x + = 2( x + 1) + x (1) Đặt t = x + (đk t >1), phơng trình (1) trở thành: (4x-1)t=2t2+2x-1 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2) Coi (2) phơng trình bậc hai ẩn t, phơng trình (2) có: = (4 x 1) 8(2 x 1) = (4 x 3) 0, x R Phơng trình (2) ẩn t có nghiệm là: t1=2x-1 t2= (loại) Với t1=2x-1, ta có: x x x + = 2x 2 x + = ( x ) x x = x x = x= x = Vậy phơng trình cho có nghiệm là: x = Lu ý : phơng trình giải theo cách đa phơng tích VD3: Giải phơng trình x + x = Giải ĐK: x (*) u = x Đặt , v0 v = x u = x u3 + v2 = v = x Khi ta có hệ phơng trình: u + v = u + (1 u ) = u + v = u + u 2u = u = u = u = 2 x = x=2 Với u=1, ta có: x = x = x = Với u=-2, ta có: x = x = x = 10 Với u=0, ta có: Vậy phơng trình cho có ba nghiệm là:x=1,x=2,x=10 Ví dụ 4: Giải phơng trình: 2x2 + 3x + x + 3x + = 33 (*) Giải: * 2x2 + 3x +9 + x + 3x + - 42 = Đặt y = 27 x + x + (y > 2x + 3x +9 = x + ữ + > 0) 2 Ta có y2 + y 42 = (y ) ( y + ) = y1 = ; y2 = -7 (Loại) Suy x + 3x + = 2x2 + 3x 27 = (x 3)(x + ) = x1 = ; x2 = - Luyện tập Giải phơng trình sau: 1) x + x + = 2) ( x 3)( x + 1) + 4(( x 3) x +1 = x3 3) x 3x + + x 3x + = 3 Phơng pháp biến đổi tơng đơng Dạng phơng trình: Dạng 1: Dạng 2: g ( x) f ( x ) = g ( x) f ( x) = g ( x) g ( x) f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x ) VD1: Giải phơng trình: x + x = 2x Giải x + ĐK: x x (*) x Với đk(*) phơng trình cho tơng đơng với phơng trình: 2x + x = x + x + x + (1 x)(1 x) = x + (1 x)(1 x) = x + x + (1 x)(1 x) = (2 x + 1) x x x=0 x + x = x = x = (thoả mãn (*)) Vậy phơng trình có nghiệm x=0 VD2:Giải phơng trình x 1+ x x x = Giải Ta có: x 1+ x x x = x + x +1 x x +1 = ( x + 1) - ( x 1) =1 x +1 x +1 x2 = x = x = x x = ( x 1) x = x +1 x 1 x2 = x2= x = 4 Vậy phơng trình cho có nghiệm là: x = Giải phơng trình sau: 1) + x x = 2) x( x 1) + x( x + 2) = x 3) x + x + + x = x + Luyện tập Phơng pháp điều kiện cần đủ VD1:tìm m để phơng trình sau có nghiệm x + x+5 = m Giải: Điều kiện cần: Nhận thấy phơng trình có nghiệm x0 (-1-x0 ) nghiệm phơng trình Do để phơng trình có nghiệm x = x = x x0 = m=3 2 vào phơng trình cho ta đợc: Thay Điều kiện đủ: Với m = phơng trình cho trở thành: x + x+5 =3 x x + ( x + x + ) = 18 x x x + (4 x)( x + 5) + x + = 18 x x x 2 (4 x)( x + 5) = 4( x)( x + 5) = 81 x + x + = x x= x = Vậy với m = phơng trình cho có nghiệm Lu ý: phơng trình giải phơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số