Sáng kiến kinh nghiệm SKKN về một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến tích phân

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH PHÂN" A ĐẶT VẤN ĐỀ Theo A.A.Stoliar: Dạy toán dạy hoạt động toán học(A.A.Stoliar 1969 tr.5) Ở trường phổ thông, học sinh giải toán hình thức chủ yếu hoạt động toán học Các toán trường phổ thông phương tiện có hiệu thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hoàn thành kĩ năng, kĩ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học toán trường phổ thông Toán học môn học nghiên cứu “ hình số” Môn toán chia thành nhiều phân môn nhỏ : đại số, hình học, giải tích… Trong giải tích ngành toán học nghiên cứu khái niệm, tính chất giới h¹n, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Các yếu tố nghiên cứu giải tích thường mang tính chất “động” “tĩnh” Vì tổ chức có hiệu việc dạy giải toán giải tích trường THPT khó khăn Qua tài liệu giáo dục toán học, qua thực tiễn sư phạm, qua trình quan sát nhận thấy : học sinh lúng túng, gặp nhiều khó khăn sai lầm đứng trước toán giải tích nói chung toán nguyên hàm, tích phân ứng dụng nói riêng Trên thực tế dạy toán giải tích lớp 12, chương : Nguyên hàm, tích phân ứng dụng, phát lúng túng, sai lầm học sinh giải toán liên quan đến tích phân Những khó khăn, sai lầm học sinh thể trình làm tập, làm kiểm tra, thi Tôi nhận thấy để em tự tin gặp toán liên quan đến tích phân, để em có hứng thú giải toán tích phân, phải giúp em tháo gỡ khó khăn, sai lầm Bên cạnh đó, đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi đại học – cao đẳng hàng năm toán liên quan đến tích phân thiếu Với lý đây, chọn đề tài nghiên cứu : “Một số sai lầm thường gặp giải toán liên quan đến tích phân” Đúng Polya viết : “Con người phải biết học sai lầm thiếu sót mình.” B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Thực trạng Khi dạy chương III “ Nguyên hàm, tích phân ứng dụng ”(Giải tích 12), nhận thấy học sinh thường gặp khó khăn, sai lầm sau: - Tính tích phân máy móc: Không để ý hàm số cần tính tích phân có nguyên hàm đoạn lấy tích phân không, phép biến đổi hàm số, biến số có tương đương không - Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân - Không nắm vững phương pháp đổi biến số; phương pháp tích phân phần - Không nắm vững công thức vận dụng công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay II.Các giải pháp sáng kiến Khi phát khó khăn, sai lầm mà học sinh gặp phải, thực số giải pháp sau : Hệ thống kiến thức mà học sinh chưa nắm vững Phân tích khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lý - Chọn hệ thống ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lý - Chỉ sai lầm dễ mắc phải Rèn luyện kĩ năng, tư duy, phương pháp - Kĩ : lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải toán - Tư : Phân tích, so sánh, tổng hợp - Phương pháp : phương pháp giải toán Đổi phương pháp dạy học Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đơn vị kiến thức, đối tượng học sinh: vấn đáp gợi mở, thuyết trình… - Sử dụng phương tiện dạy học : bảng phụ, phiếu học tập, giáo án điện tử… Đổi kiểm tra, đánh giá Kiểm tra: Kết hợp tự luận, vấn đáp, trắc nghiệm khách quan nhiều mức độ nhận thức - Đánh giá: Giáo viên đánh giá học sinh, học sinh đánh giá học sinh Phân dạng tập phương pháp giải Phân tập phương pháp giải theo chủ đề : toán tính tích phân (Tích phân hàm số đa thức, tích phân hàm phân thức hữu tỷ, tích phân hàm vô tỷ, hàm số siêu việt, hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm số lượng giác…).Bài toán tính diện tích( Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị, hình phẳng giới hạn đồ thị, hình phẳng giới hạn đồ thị, hình phẳng giới hạn đồ thị) Bài toán tính thể tích khối tròn xoay( quay quanh Ox, quay quanh Oy) Mỗi dạng tập đưa phương pháp giải, hệ thống ví dụ, tập tương tự, tập nâng cao - Sau ví dụ minh họa có nhận xét, củng cố khái quát( phát triển ) toán III Những khó khăn, sai lầm phổ biến học sinh THPT trình giải toán tích phân Học sinh thường gặp khó khăn, sai lầm sau giải toán liên quan đến tích phân ứng dụng Sai lầm vận dụng định nghĩa tích phân Ví dụ 1: Tính tích phân I =  x  1 dx *Học sinh trình bày sau : I=  x  1 dx   d x  1  x  1  x 1  1   2 *Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y  x  12 không xác định x =  [0 ;2] nên hàm số không liên tục [0 ;2].Do không tồn tích phân *Như cần ghi nhớ : b Tích phân I =  f x dx tồn hàm số y = f(x) liên tục [a;b] Khi hàm số liên a tục ta vận dụng phương pháp học dể tính tích phân Còn không kết luận tích phân không tồn Đa số học sinh cho đề yêu cầu tính tích phân mặc định tồn phép tính tích phân Sai lầm vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân Ví dụ 2: Tính tích phân I =  3x  1 dx *Học sinh trình bày sau : 1 I =  3x  1 dx  3x  1  15 *Nguyên nhân sai lầm :học sinh vận dụng công thức bảng nguyên hàm :  x n dx  x n 1  C n 1 Mà lẽ phải vận dụng công thức :  u n u ' dx  n 1 u C n 1 *Lời giải : 1 d 3 x  1  3x  1 Ta có : I =  3x  1 dx   3x  1 3 1  0 15 12 Sai lầm biến đổi hàm số Ví dụ : Tính tích phân I =  x  x  4dx *Học sinh trình bày sau : I=  x  x  4dx   0    x    x  22 dx   x  2dx   x  *Nguyên nhân sai lầm : Phép biến đổi : x  22  x  , x  0;3 không tương đương *Lời giải : I   2     x  22 dx   x  dx   2  x dx   x  2dx   x  x 0  2  x2     x      2 *Học sinh cần ghi nhớ : b Do :  b 2n f 2n x dx   a 2n f 2n x   f x  , n   * f  x  dx , ta xét dấu f(x) [a;b] a  Ví dụ : Tính tích phân I =   sin x dx *Học sinh trình bày sau :    cos x  sin x  I    sin x dx    sin x cos x dx   0 sin x  cos x    dx   cos x  sin x dx  0  11  *Nguyên nhân sai lầm : Phép biến đổi : cos x  sin x 2  cos x  sin x , x  0;   không tương đương *Lời giải :  I  cos x  sin x  3  dx   cos x  sin x dx   cos x  sin x dx  sin x  cos x  3  sin x  cos x   3   cos x  sin x dx 3  2 1 Sai lầm dùng công thức SGK hành Ví dụ : Tính tích phân I = x 1 dx  4x  *Học sinh trình bày sau : dx  arctan x  2   x   1 I           4 *Nguyên nhân sai lầm : Học sinh dùng công thức SGK hành:  x  1dx  arctan x  C *Lời giải : Đặt   x   tan t  dx   tan t dt Đổi cận : x 1 t    x2t 0 Khi : I  1  tan t dt   tan  2 t 1  dt  t       4 *Học sinh cần ý tích phân hàm số : y   x  x 2  a ta đặt : x  x0  a tan t Sai lầm vận dụng phương pháp đổi biến số Ví dụ : Tính tích phân I =   2x  4x dx *Học sinh trình bày sau : Đặt u   x  u   x  dx   5u u  u2  I  du      12  6  udu 67 *Nguyên nhân sai lầm : Học sinh đổi biến không đổi cận *Lời giải : Đặt u   x  u   x  dx  Đổi cận : udu x2u 3 x6u 5  5u u  u2  du      12  Khi : I   Ví dụ : Tính tích phân I =  x3  1 x2 128 12 dx *Học sinh trình bày sau : Đặt x  sin t  dx  costdt x0t 0 Đổi cận : x 1  t  arcsin 4 arcsin  sin Khi : I  arcsin tdt   cos3 t  cos t  d cos t    cos t      ar sin Học sinh lúng túng không tính kết số lẻ *Nguyên nhân sai lầm : Khi hàm số cần tính tích phân có chứa a  x học sinh thường sử dụng cách đặt x = asint x = acost Tuy nhiên giáo viên cần ý em đổi biến số theo cách đặt thông thường u  a  x *Lời giải : Đặt u   x  u   x  xdx  udu x   u 1 Đổi cận : x Khi : I  15 u  4 15  u3  u  du    u      15  33 15  192 Sai lầm vận dụng phương pháp tích phân phần  Ví dụ : Tính tích phân I =  x sin xdx *Học sinh trình bày sau : Đặt u  x u '    ' v  sin x v   cos x  I   x cos x  2   cos xdx  *Nguyên nhân sai lầm : Học sinh hiểu sai chất phép đặt công thức lấy tích phân phần *Lời giải : Đặt u  x du  dx   dv  sin xdx v   cos x   Khi : I   x cos x 2   cos xdx  sin x  1 Sai lầm sử dụng sai công thức tính diện tích hình phẳng Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : trục hoành y  x  1; x = 2; trục tung *Học sinh trình bày sau  x3  S   x  dx    x       (đvdt) *Nguyên nhân sai lầm : Công thức tính diện tích giới hạn y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a ; x = b b : S   f x  dx Do đó, tính S phải xét dấu f(x) [a ;b] a *Lời giải : 2  x3  S   x  dx    x dx   x  dx   x     0      x3     x     (đvdt) Sai lầm xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích Ví dụ 10 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y  x ; y = x – trục hoành *Học sinh trình bày sau : Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị : x  x   x  x  6  x   x  13 x  36    x  9 S x  x  dx      x2  x  x  dx   x   x  3   91 (đvdt) *Nguyên nhân sai lầm : - Phép biến đổi x   x  x  6  x2 không tương đương - Hình phẳng mà học sinh xác định giới hạn hai đồ thị y  x ; y = x – (miền AOB) miền cần tính miền AOC *Lời giải : Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị : + 6  x  x 6x  x4  x  6  x  10 x 0 x0 + + 6 x0 x6 Khi :  x2     x     x dx   6  x dx  x S  22 (đvdt) Sai lầm vận dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay Ví dụ 11 : Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng sau quay quanh Oy : y = lnx ; y = ; x = ; x = *Học sinh trình bày sau : Ta có : y  ln x  x  e y  VOy e2y    e dy   2y   e  e2  (đvtt) *Nguyên nhân sai lầm : Học sinh mắc phải hai sai lầm nghiêm trọng sau : d + Trong công thức VOy    x dy cận giá trị biến y, học sinh chưa đổi c cận + Thể tích khối tròn xoay tạo thành hiệu thể tích hai khối tròn xoay đường cong y = lnx đường x = quay quanh Oy [0;ln2] *Lời giải : Ta có : y  ln x  x  e y Đổi cận : x 1 y  x   y  ln y y=lnx ln2 11 o  VOy    2 ln 2   e y dy   (4 y  x e2y ) ln     ln   3  2 (đvtt) IV Bài tập đề nghị 1.Tính tích phân sau :  a  2 x  3 dx b,   tan x  cot x  2dx  c,   sin x dx d,  x3 1 x dx 2.: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số : a, y  x ; y  3x  10; y  (miền x > 0) b, y  x ; y   x  3.Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng sau quay quanh Ox , Oy : a, y  x ; x  ; trục tung trục hoành b, y = lnx; x = e ;trục Ox V Hiệu sáng kiến đem lại Năm học 2012 – 2013 phân công giảng dạy hai lớp 12C8 12C10 năm học đề tài nghiên cứu áp dụng, trải nghiệm thực tế Học sinh gặp phải khó khăn định việc giải dạng toán tích phân nêu Chẳng hạn với tập : Tính tích phân I =  x  1 dx Với lớp 12C8: Sau học xong định nghĩa tích phân đưa ví dụ để học sinh tự làm Rồi từ kết toán phân tích tỉ mỉ, cho học sinh nhận xét để đưa ghi nhớ cuối 12 Với lớp 12C10: Tôi hướng dẫn, phân tích sai lầm thường gặp làm tập tích phân, sau đưa ví dụ để học sinh áp dụng Kết thu sau : Lớp Sĩ số HS giải HS giải sai HS không 12C8 40 8(20%) 25(62,5%) 7(17,5%) 35(83,3%) 5(12%) 2(4,7%) 12C10 42 giải Kết cho thấy điểm lớp thực nghiệm 12C10 cao so với lớp đối chứng 12C8 Qua nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy thấy kết đạt khả quan Thời gian cuối năm dạy ôn tập, hệ thống lại kiến thức nghiên cứu sai lầm thường mắc phải kiến thức, kĩ năng, tư làm cho học sinh số tập ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học – cao đẳng kết thu khả quan Chẳng hạn :  Bài : Tính tích phân I =  x1  cos x dx (Trích đề thi tốt nghiệp năm 2009) Kết thu sau : Lớp Sĩ số HS giải HS giải sai HS không 12C8 40 36(90%) 3(7,5%) 1(2,5%) 35(83,3%) 6(14,3%) 1(2,4%) 12C10 42 giải Bài :Cho hình phẳng H giới hạn đường: y = x ln x, y = 0, x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox (Trích đề thi đại học khối B năm 2007 ) Kết thu sau : 13 Lớp Sĩ số HS giải HS giải sai HS không 12C8 40 32(80%) 6(15%) 2(5%) 33(78,5%) 5(12%) 4(9,5%) 12C10 42 C giải KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Đề tài nghiên cứu phân tích số khó khăn, sai lầm thường gặp học sinh giải toán liên quan đến tích phân Với lượng kiến thức định nguyên hàm, tích phân ứng dụng học sinh có nhìn sâu sắc sai lầm mắc phải giải toán Từ rút kinh nghiệm phương pháp giải toán cho Bài viết cung cấp tới thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo.Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng thực tiễn góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán Bản thân giáo viên trực tiếp dạy lớp 12 chưa nhiều, song với thực tế lớp sâu nghiên cứu đề tài Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy thu kết đáng khích lệ, em không tự tin giải toán liên quan đến tích phân mà có phần hứng thú với loại toán Kính mong hội đồng khoa học, bạn đồng nghiệp em học sinh có nhiều góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, áp dụng rộng rãi trường THPT Hiện thư viện trường THPT Hoằng Hóa có số lượng chất lượng sách tham khảo hạn chế Kính mong ban giám hiệu quan tâm nhiều đến tài liệu học tập ôn thi cho em, quan tâm đến công tác nghiên cứu khoa học giáo viên để góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường 14 [...]... số HS giải đúng HS giải sai HS không được 12C8 40 32(80%) 6(15%) 2(5%) 33(78,5%) 5(12%) 4(9,5%) 12C10 42 C giải KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Đề tài nghiên cứu của tôi đã phân tích được một số khó khăn, sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các bài toán liên quan đến tích phân Với lượng kiến thức nhất định về nguyên hàm, tích phân và ứng dụng học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm mắc phải khi. .. kết quả của bài toán tôi phân tích tỉ mỉ, cho học sinh nhận xét để đưa ra ghi nhớ cuối cùng 12 Với lớp 12C10: Tôi hướng dẫn, phân tích những sai lầm thường gặp khi làm các bài tập tích phân, sau đó tôi đưa ra các ví dụ trên để học sinh áp dụng Kết quả thu được như sau : Lớp Sĩ số HS giải đúng HS giải sai HS không được 12C8 40 8(20%) 25(62,5%) 7(17,5%) 35(83,3%) 5(12%) 2(4,7%) 12C10 42 giải Kết quả... cho thấy điểm của lớp thực nghiệm 12C10 cao hơn so với lớp đối chứng 12C8 Qua nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào thực tiễn giảng dạy tôi thấy kết quả đạt được là rất khả quan Thời gian cuối năm khi dạy ôn tập, tôi hệ thống lại kiến thức cơ bản cũng như nghiên cứu những sai lầm thường mắc phải trong kiến thức, kĩ năng, tư duy làm bài và cho học sinh một số bài tập ôn thi tốt nghiệp,... Ox V Hiệu quả do sáng kiến đem lại Năm học 2012 – 2013 tôi được phân công giảng dạy hai lớp 12C8 và 12C10 và năm học này đề tài nghiên cứu của tôi được áp dụng, trải nghiệm thực tế Học sinh cũng gặp phải những khó khăn nhất định trong việc giải các dạng toán tích phân đã nêu 2 Chẳng hạn với bài tập : Tính tích phân I = 1  x  1 2 dx 0 Với lớp 12C8: Sau khi học xong định nghĩa tích phân tôi đưa ra... khi giải toán Từ đó rút ra những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho mình Bài viết này của tôi cung cấp tới các thầy cô giáo và các em học sinh như là một tài liệu tham khảo .Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng thực tiễn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán Bản thân tôi là giáo viên trực tiếp dạy lớp 12 chưa nhiều, song với thực tế trên lớp tôi đã đi sâu nghiên cứu đề tài này Khi áp... thu được kết quả đáng khích lệ, các em không chỉ tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan đến tích phân mà còn có phần hứng thú với loại toán này Kính mong hội đồng khoa học, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh có nhiều góp ý, bổ sung để đề tài này được hoàn thiện hơn, được áp dụng rộng rãi hơn trong các trường THPT Hiện nay thư viện trường THPT Hoằng Hóa 2 có số lượng và chất lượng sách tham... được rất khả quan Chẳng hạn :  Bài 1 : Tính tích phân I =  x1  cos x dx (Trích đề thi tốt nghiệp năm 2009) 0 Kết quả thu được như sau : Lớp Sĩ số HS giải đúng HS giải sai HS không được 12C8 40 36(90%) 3(7,5%) 1(2,5%) 35(83,3%) 6(14,3%) 1(2,4%) 12C10 42 giải Bài 2 :Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = x ln x, y = 0, x = e Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục... 4 ln 2   3  2 (đvtt) IV Bài tập đề nghị 1.Tính các tích phân sau :  2 a 3 1  2 x  3 2 dx b, 1   tan 2 x  cot 2 x  2dx 6  c,  7 1  sin 2 x dx d, 0  0 x3 1 x 2 dx 2.: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số : a, y  x 2 ; y  3x  10; y  1 (miền x > 0) b, y  x 2 ; y  2  2 x  2 3.Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng sau quay quanh Ox , Oy : a, y  x 2 ;... 2 1   e 2 4  e2  (đvtt) *Nguyên nhân của sai lầm : Học sinh đã mắc phải hai sai lầm nghiêm trọng sau : d + Trong công thức VOy    x 2 dy thì cận là các giá trị của biến y, ở đây học sinh chưa đổi c cận + Thể tích khối tròn xoay tạo thành là hiệu thể tích của hai khối tròn xoay do đường cong y = lnx và đường x = 2 quay quanh Oy trên [0;ln2] *Lời giải đúng : Ta có : y  ln x  x  e y Đổi cận...x 0 x0 + + 6 x0 x6 Khi đó : 4  x2     6 x  0   2  6 2 3 x dx   6  x dx  x 3 4 S 0 4 9 4  22 (đvdt) 3 9 Sai lầm khi vận dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay Ví dụ 11 : Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng sau quay quanh Oy : y = lnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2 *Học sinh đã trình bày như sau : Ta có : y  ... hàng năm toán liên quan đến tích phân thiếu Với lý đây, chọn đề tài nghiên cứu : Một số sai lầm thường gặp giải toán liên quan đến tích phân Đúng Polya viết : “Con người phải biết học sai lầm thiếu... cứu phân tích số khó khăn, sai lầm thường gặp học sinh giải toán liên quan đến tích phân Với lượng kiến thức định nguyên hàm, tích phân ứng dụng học sinh có nhìn sâu sắc sai lầm mắc phải giải toán. .. phát triển ) toán III Những khó khăn, sai lầm phổ biến học sinh THPT trình giải toán tích phân Học sinh thường gặp khó khăn, sai lầm sau giải toán liên quan đến tích phân ứng dụng Sai lầm vận dụng