Sáng kiến kinh nghiệm SKKN một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến tích phân

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH PHÂN" A ĐẶT VẤN ĐỀ Theo A.A.Stoliar: Dạy toán dạy hoạt động toán học(A.A.Stoliar 1969 tr.5) Ở trƣờng phổ thông, học sinh giải toán hình thức chủ yếu hoạt động toán học Các toán trƣờng phổ thông phƣơng tiện có hiệu thay đƣợc việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hoàn thành kĩ năng, kĩ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học toán trƣờng phổ thông Toán học môn học nghiên cứu “ hình số” Môn toán đƣợc chia thành nhiều phân môn nhỏ : đại số, hình học, giải tích… Trong giải tích ngành toán học nghiên cứu khái niệm, tính chất giới h¹n, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Các yếu tố đƣợc nghiên cứu giải tích thƣờng mang tính chất “động” “tĩnh” Vì tổ chức có hiệu việc dạy giải toán giải tích trƣờng THPT khó khăn Qua tài liệu giáo dục toán học, qua thực tiễn sƣ phạm, qua trình quan sát nhận thấy : học sinh lúng túng, gặp nhiều khó khăn sai lầm đứng trƣớc toán giải tích nói chung toán nguyên hàm, tích phân ứng dụng nói riêng Trên thực tế dạy toán giải tích lớp 12, chƣơng : Nguyên hàm, tích phân ứng dụng, phát lúng túng, sai lầm học sinh giải toán liên quan đến tích phân Những khó khăn, sai lầm học sinh đƣợc thể trình làm tập, làm kiểm tra, thi Tôi nhận thấy để em tự tin gặp toán liên quan đến tích phân, để em có hứng thú giải toán tích phân, phải giúp em tháo gỡ khó khăn, sai lầm Bên cạnh đó, đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi đại học – cao đẳng hàng năm toán liên quan đến tích phân thiếu Với lý đây, chọn đề tài nghiên cứu : “Một số sai lầm thường gặp giải toán liên quan đến tích phân” Đúng nhƣ Polya viết : “Con ngƣời phải biết học sai lầm thiếu sót mình.” B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Thực trạng Khi dạy chƣơng III “ Nguyên hàm, tích phân ứng dụng ”(Giải tích 12), nhận thấy học sinh thƣờng gặp khó khăn, sai lầm sau: - Tính tích phân máy móc: Không để ý hàm số cần tính tích phân có nguyên hàm đoạn lấy tích phân không, phép biến đổi hàm số, biến số có tƣơng đƣơng không - Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân - Không nắm vững phƣơng pháp đổi biến số; phƣơng pháp tích phân phần - Không nắm vững công thức vận dụng công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay II.Các giải pháp sáng kiến Khi phát khó khăn, sai lầm mà học sinh gặp phải, thực số giải pháp nhƣ sau : Hệ thống kiến thức mà học sinh chưa nắm vững - Phân tích khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm đƣợc chất khái niệm, định nghĩa, định lý - Chọn hệ thống ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lý - Chỉ sai lầm dễ mắc phải Rèn luyện kĩ năng, tư duy, phương pháp - Kĩ : lập luận vấn đề, chọn phƣơng án phù hợp để giải toán - Tƣ : Phân tích, so sánh, tổng hợp - Phƣơng pháp : phƣơng pháp giải toán Đổi phương pháp dạy học - Sử dụng phƣơng pháp dạy học phù hợp với đơn vị kiến thức, đối tƣợng học sinh: vấn đáp gợi mở, thuyết trình… - Sử dụng phƣơng tiện dạy học : bảng phụ, phiếu học tập, giáo án điện tử… Đổi kiểm tra, đánh giá - Kiểm tra: Kết hợp tự luận, vấn đáp, trắc nghiệm khách quan nhiều mức độ nhận thức - Đánh giá: Giáo viên đánh giá học sinh, học sinh đánh giá học sinh Phân dạng tập phương pháp giải - Phân tập phƣơng pháp giải theo chủ đề : toán tính tích phân (Tích phân hàm số đa thức, tích phân hàm phân thức hữu tỷ, tích phân hàm vô tỷ, hàm số siêu việt, hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm số lƣợng giác…).Bài toán tính diện tích( Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị, hình phẳng giới hạn đồ thị, hình phẳng giới hạn đồ thị, hình phẳng giới hạn đồ thị) Bài toán tính thể tích khối tròn xoay( quay quanh Ox, quay quanh Oy) - Mỗi dạng tập đƣa phƣơng pháp giải, hệ thống ví dụ, tập tƣơng tự, tập nâng cao - Sau ví dụ minh họa có nhận xét, củng cố khái quát( phát triển ) toán III Những khó khăn, sai lầm phổ biến học sinh THPT trình giải toán tích phân Học sinh thƣờng gặp khó khăn, sai lầm sau giải toán liên quan đến tích phân ứng dụng Sai lầm vận dụng định nghĩa tích phân Ví dụ 1: Tính tích phân I =  x  1 dx *Học sinh trình bày nhƣ sau : I=  x  1 dx   0 d x  1 x  12  x 1  1   2 *Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y  x  12 không xác định x =  [0 ;2] nên hàm số không liên tục [0 ;2].Do không tồn tích phân *Nhƣ cần ghi nhớ : b Tích phân I =  f x dx tồn hàm số y = f(x) liên tục [a;b] Khi hàm số liên a tục ta vận dụng phƣơng pháp học dể tính tích phân Còn không kết luận tích phân không tồn Đa số học sinh cho đề yêu cầu tính tích phân mặc định tồn phép tính tích phân Sai lầm vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân Ví dụ 2: Tính tích phân I =  3x  1 dx *Học sinh trình bày nhƣ sau : 1 I =  3x  1 dx  3x  1  15 *Nguyên nhân sai lầm :học sinh vận dụng công thức bảng nguyên hàm :  x n dx  x n 1  C n 1 Mà lẽ phải vận dụng công thức :  u n u ' dx  n 1 u C n 1 *Lời giải : 1 d 3 x  1  3x  1 Ta có : I =  3x  1 dx   3x  1 3 1  0 15 12 Sai lầm biến đổi hàm số Ví dụ : Tính tích phân I =  x  x  4dx *Học sinh trình bày nhƣ sau : I=  x  x  4dx   0 x  2  x2  dx   x  2dx    x    3  *Nguyên nhân sai lầm : Phép biến đổi : x  22  x  , x  0;3 không tƣơng đƣơng *Lời giải : 10  I   x cos x  2   cos xdx  *Nguyên nhân sai lầm : Học sinh hiểu sai chất phép đặt công thức lấy tích phân phần *Lời giải : Đặt u  x du  dx   dv  sin xdx v   cos x  Khi : I   x cos x  2   cos xdx  sin x  1 Sai lầm sử dụng sai công thức tính diện tích hình phẳng Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng : y  x  1; x = 2; trục tung trục hoành *Học sinh trình bày nhƣ sau  x3  S   x  dx    x       (đvdt) 16 *Nguyên nhân sai lầm : Công thức tính diện tích giới hạn y = f(x), trục hoành hai đƣờng thẳng x = a ; x = b b : S   f x  dx Do đó, tính S phải xét dấu f(x) [a ;b] a *Lời giải :  x3  S   x  dx    x dx   x  dx   x     0 2      x3     x     (đvdt) Sai lầm xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích Ví dụ 10 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng : y  x ; y = x – trục hoành *Học sinh trình bày nhƣ sau : Phƣơng trình hoành độ giao điểm hai đồ thị : 17 x  x   x  x  6  x   x  13 x  36    x  9 S x  x  dx      x2  x  x  dx   x   x  3   91 (đvdt) *Nguyên nhân sai lầm : - Phép biến đổi x   x  x  6  x2 không tƣơng đƣơng - Hình phẳng mà học sinh xác định giới hạn hai đồ thị y  x ; y = x – (miền AOB) miền cần tính miền AOC 18 *Lời giải : Phƣơng trình hoành độ giao điểm đồ thị : 6  x  x 6x  x4  x  6  x  + x 0 x0 + + 6 x0 x6 Khi : S x dx   6  x dx  x  x2     x     22 (đvdt) Sai lầm vận dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay Ví dụ 11 : Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng sau quay quanh Oy : y = lnx ; y = ; x = ; x = *Học sinh trình bày nhƣ sau : Ta có : y  ln x  x  e y 19  VOy    e y dy   e2y 2   e  e2  (đvtt) *Nguyên nhân sai lầm : Học sinh mắc phải hai sai lầm nghiêm trọng sau : d + Trong công thức VOy    x dy cận giá trị biến y, học sinh chƣa đổi c cận + Thể tích khối tròn xoay tạo thành hiệu thể tích hai khối tròn xoay đƣờng cong y = lnx đƣờng x = quay quanh Oy [0;ln2] *Lời giải : Ta có : y  ln x  x  e y Đổi cận : x 1 y  x   y  ln y 20 y=lnx ln2 o  VOy    2 ln 2   e y dy   (4 y  x e2y ) ln     ln   3  2 (đvtt) IV Bài tập đề nghị 1.Tính tích phân sau :  a  2 x  3 dx b,   tan x  cot x  2dx 21  c,   sin x dx d,  x3 1 x2 dx 2.: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số : a, y  x ; y  3x  10; y  (miền x > 0) b, y  x ; y   x  3.Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng sau quay quanh Ox , Oy : a, y  x ; x  ; trục tung trục hoành b, y = lnx; x = e ;trục Ox V Hiệu sáng kiến đem lại Năm học 2012 – 2013 đƣợc phân công giảng dạy hai lớp 12C8 12C10 năm học đề tài nghiên cứu đƣợc áp dụng, trải nghiệm thực tế Học sinh gặp phải khó khăn định việc giải dạng toán tích phân nêu 22 Chẳng hạn với tập : Tính tích phân I =  x  1 dx Với lớp 12C8: Sau học xong định nghĩa tích phân đƣa ví dụ để học sinh tự làm Rồi từ kết toán phân tích tỉ mỉ, cho học sinh nhận xét để đƣa ghi nhớ cuối Với lớp 12C10: Tôi hƣớng dẫn, phân tích sai lầm thƣờng gặp làm tập tích phân, sau đƣa ví dụ để học sinh áp dụng Kết thu đƣợc nhƣ sau : Lớp Sĩ số HS giải HS giải sai HS không giải đƣợc 12C8 40 12C10 42 8(20%) 25(62,5%) 7(17,5%) 35(83,3%) 5(12%) 2(4,7%) Kết cho thấy điểm lớp thực nghiệm 12C10 cao so với lớp đối chứng 12C8 23 Qua nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy thấy kết đạt đƣợc khả quan Thời gian cuối năm dạy ôn tập, hệ thống lại kiến thức nhƣ nghiên cứu sai lầm thƣờng mắc phải kiến thức, kĩ năng, tƣ làm cho học sinh số tập ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học – cao đẳng kết thu đƣợc khả quan Chẳng hạn :  Bài : Tính tích phân I =  x1  cos x dx (Trích đề thi tốt nghiệp năm 2009) Kết thu đƣợc nhƣ sau : Lớp Sĩ số HS giải HS giải sai HS không giải đƣợc 12C8 40 36(90%) 3(7,5%) 1(2,5%) 24 12C10 42 35(83,3%) 6(14,3%) 1(2,4%) Bài :Cho hình phẳng H giới hạn đƣờng: y = x ln x, y = 0, x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox (Trích đề thi đại học khối B năm 2007 ) Kết thu đƣợc nhƣ sau : Lớp Sĩ số HS giải HS giải sai HS không giải đƣợc 12C8 40 12C10 42 32(80%) 6(15%) 2(5%) 33(78,5%) 5(12%) 4(9,5%) C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Đề tài nghiên cứu phân tích đƣợc số khó khăn, sai lầm thƣờng gặp học sinh giải toán liên quan đến tích phân Với lƣợng kiến thức định 25 nguyên hàm, tích phân ứng dụng học sinh có nhìn sâu sắc sai lầm mắc phải giải toán Từ rút kinh nghiệm phƣơng pháp giải toán cho Bài viết cung cấp tới thầy cô giáo em học sinh nhƣ tài liệu tham khảo.Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng thực tiễn góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học toán Bản thân giáo viên trực tiếp dạy lớp 12 chƣa nhiều, song với thực tế lớp sâu nghiên cứu đề tài Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy thu đƣợc kết đáng khích lệ, em không tự tin giải toán liên quan đến tích phân mà có phần hứng thú với loại toán Kính mong hội đồng khoa học, bạn đồng nghiệp em học sinh có nhiều góp ý, bổ sung để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn, đƣợc áp dụng rộng rãi trƣờng THPT Hiện thƣ viện trƣờng THPT Hoằng Hóa có số lƣợng chất lƣợng sách tham khảo hạn chế Kính mong ban giám hiệu quan tâm nhiều đến tài liệu học tập 26 ôn thi cho em, nhƣ quan tâm đến công tác nghiên cứu khoa học giáo viên để góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học nhà trƣờng 27 XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 20 THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ 2013 tháng 05 năm Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung ngƣời khác Đình Thị Mai 28 29 30 [...]... Lớp Sĩ số HS giải đúng HS giải sai HS không giải đƣợc 12C8 40 12C10 42 32(80%) 6(15%) 2(5%) 33(78,5%) 5(12%) 4(9,5%) C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Đề tài nghiên cứu của tôi đã phân tích đƣợc một số khó khăn, sai lầm thƣờng gặp của học sinh khi giải các bài toán liên quan đến tích phân Với lƣợng kiến thức nhất định về 25 nguyên hàm, tích phân và ứng dụng học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm mắc... ra ví dụ trên để học sinh tự làm Rồi từ kết quả của bài toán tôi phân tích tỉ mỉ, cho học sinh nhận xét để đƣa ra ghi nhớ cuối cùng Với lớp 12C10: Tôi hƣớng dẫn, phân tích những sai lầm thƣờng gặp khi làm các bài tập tích phân, sau đó tôi đƣa ra các ví dụ trên để học sinh áp dụng Kết quả thu đƣợc nhƣ sau : Lớp Sĩ số HS giải đúng HS giải sai HS không giải đƣợc 12C8 40 12C10 42 8(20%) 25(62,5%) 7(17,5%)... phải khi giải toán Từ đó rút ra những kinh nghiệm và phƣơng pháp giải toán cho mình Bài viết này của tôi cung cấp tới các thầy cô giáo và các em học sinh nhƣ là một tài liệu tham khảo .Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng thực tiễn góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học toán Bản thân tôi là giáo viên trực tiếp dạy lớp 12 chƣa nhiều, song với thực tế trên lớp tôi đã đi sâu nghiên cứu đề tài này Khi. .. V Hiệu quả do sáng kiến đem lại Năm học 2012 – 2013 tôi đƣợc phân công giảng dạy hai lớp 12C8 và 12C10 và năm học này đề tài nghiên cứu của tôi đƣợc áp dụng, trải nghiệm thực tế Học sinh cũng gặp phải những khó khăn nhất định trong việc giải các dạng toán tích phân đã nêu 22 2 Chẳng hạn với bài tập : Tính tích phân I = 1  x  1 2 dx 0 Với lớp 12C8: Sau khi học xong định nghĩa tích phân tôi đƣa ra... thu đƣợc kết quả đáng khích lệ, các em không chỉ tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan đến tích phân mà còn có phần hứng thú với loại toán này Kính mong hội đồng khoa học, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh có nhiều góp ý, bổ sung để đề tài này đƣợc hoàn thiện hơn, đƣợc áp dụng rộng rãi hơn trong các trƣờng THPT Hiện nay thƣ viện trƣờng THPT Hoằng Hóa 2 có số lƣợng và chất lƣợng sách tham... cho thấy điểm của lớp thực nghiệm 12C10 cao hơn so với lớp đối chứng 12C8 23 Qua nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào thực tiễn giảng dạy tôi thấy kết quả đạt đƣợc là rất khả quan Thời gian cuối năm khi dạy ôn tập, tôi hệ thống lại kiến thức cơ bản cũng nhƣ nghiên cứu những sai lầm thƣờng mắc phải trong kiến thức, kĩ năng, tƣ duy làm bài và cho học sinh một số bài tập ôn thi tốt nghiệp,... rất khả quan Chẳng hạn :  Bài 1 : Tính tích phân I =  x1  cos x dx (Trích đề thi tốt nghiệp năm 2009) 0 Kết quả thu đƣợc nhƣ sau : Lớp Sĩ số HS giải đúng HS giải sai HS không giải đƣợc 12C8 40 36(90%) 3(7,5%) 1(2,5%) 24 12C10 42 35(83,3%) 6(14,3%) 1(2,4%) Bài 2 :Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đƣờng: y = x ln x, y = 0, x = e Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục... 1 2  15 4 1  2 33 15  3 192 6 Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần  2 Ví dụ 8 : Tính tích phân I =  x sin xdx 0 *Học sinh đã trình bày nhƣ sau : Đặt u  x u '  1   ' v  sin x v   cos x 15  I   x cos x  2 0 2   cos xdx  1 0 *Nguyên nhân của sai lầm : Học sinh hiểu sai bản chất phép đặt trong công thức lấy tích phân từng phần *Lời giải đúng : Đặt u  x du  dx... lúng túng không tính ra đƣợc kết quả vì số lẻ *Nguyên nhân của sai lầm : 14 Khi hàm số cần tính tích phân có chứa a2  x2 học sinh thƣờng sử dụng cách đặt x = asint hoặc x = acost Tuy nhiên giáo viên cần chú ý các em có thể đổi biến số theo cách đặt thông thƣờng u  a2  x2 *Lời giải đúng : Đặt u  1  x 2  u 2  1  x 2  xdx  udu x  0  u 1 Đổi cận : x Khi đó : I  1 15 u  4 4 15 4  u3 ...   cos x  Khi đó : I   x cos x  2 0 2   cos xdx  sin x  2 0 1 0 7 Sai lầm khi sử dụng sai công thức tính diện tích hình phẳng Ví dụ 9 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng : y  x 2  1; x = 2; trục tung và trục hoành *Học sinh đã trình bày nhƣ sau 2  x3  S   x 2  1 dx    x   3  0   2 0  2 (đvdt) 3 16 *Nguyên nhân của sai lầm : Công thức tính diện tích giới hạn ... nghiên cứu phân tích đƣợc số khó khăn, sai lầm thƣờng gặp học sinh giải toán liên quan đến tích phân Với lƣợng kiến thức định 25 nguyên hàm, tích phân ứng dụng học sinh có nhìn sâu sắc sai lầm mắc... THPT trình giải toán tích phân Học sinh thƣờng gặp khó khăn, sai lầm sau giải toán liên quan đến tích phân ứng dụng Sai lầm vận dụng định nghĩa tích phân Ví dụ 1: Tính tích phân I =  x  1 dx... khăn, sai lầm Bên cạnh đó, đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi đại học – cao đẳng hàng năm toán liên quan đến tích phân thiếu Với lý đây, chọn đề tài nghiên cứu : Một số sai lầm thường gặp giải toán liên