CHUYÊN đề tổ hợp CHUẨN

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ NGUYÊN LÍ CỰC HẠN TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 1. Lý do viết đề tài Nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn là hai nguyên lí có nội dung khá đơn giản, song nó lại là một công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học. Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực lại có thể áp dụng rộng rãi trong việc chứng minh các bài toán tổ hợp, số học, đại số… Nó là công cụ tạo nên nhiều kết quả đẹp trong hình học và là một trong những phương pháp tiếp cận bài toán rất độc đáo. Đặc biệt là đối với các bài toán dành cho học sinh giỏi . Việc sử dụng hai nguyên lí đó không chỉ tạo nên những kết quả đẹp khi giải quyết những bài toán chứng minh trong đại số, lý thuyết số mà cả ở hình học. Vì vậy chuyên đề « Nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn trong giải toán hình học tổ hợp » là một chuyên đề rất thiết thực khai thác vào một phương pháp giải toán hình học mà chưa được nhắc tới nhiều. Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp tôi thấy rằng học sinh thường mất điểm khi không giải được các bài tập tổ hợp. Nhiều học sinh cho rằng đó là bài tập mà các em thường không giải được, do tính chất đặc thù của loại toán mang tính tư duy và trừu tượng cao. Vì vậy học sinh thường mất nhiều thời gian hoặc không làm được loại bài này. Qua nhiều năm dạy đội tuyển học sinh giỏi (HSG) tôi rất trăn trở và suy nghĩ mình phải làm thế nào để học sinh yêu thích giải các bài tập bài tập tổ hợp hơn. Vì nếu các em có phương pháp giải các bài tập đó một cách thành thạo thì việc tư duy và thuật toán để giải các loại bài tập khác sẽ nhanh nhẹn hơn, giúp các em có thể đạt được kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Do vậy tôi mạnh dạn viết chuyên đề “Sử dụng nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn trong các bài toán tổ hợp”. Nhằm giúp các em có cách nhìn tổng quát và những suy nghĩ để mở rộng các kiến thức đã học từ những bài toán đơn giản đã học ở lớp 6. Từ đó các em tự vận dụng và phát triển tư duy với các bài tập tương tự, tổng quát và liên hệ một cách lôgic với các dạng toán đã học.

Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp Stt DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Từ viết tắt Từ viết đầy đủ BGH Ban giám hiệu THCS trung học sở BĐT Bất đẳng thức HSG học sinh giỏi GV giáo viên BDHSG Bồi dưỡng học sinh giỏi GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ GV: Trần Thị Phi Nga Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp MỤC LỤC PHẦN I - PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Đối tượng,phạm vi phương pháp nghiên cứu Cơ sở lí thuyết thực trạng vấn đề PHẦN II - QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN PHẦN III – NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Chương I - Nguyên lý cực hạn ứng dụng Chương II - Nguyên lí Dirichlet ứng dụng Chương III - Một số dạng toán hình học tổ hợp thường gặp – Dạng tô màu bảng vuông – Dạng sử dụng đa giác bao - Dạng sử dụng PP chứng minh quy nạp – Quy tắc đếm Chương IV - Một số dạng tổng hợp khác Bài tập tổ hợp tự làm PHẦN IV – KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU PHẦN V - PHẦN KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 4 GV: Trần Thị Phi Nga Trường THCS Vĩnh Yên 15 24 24 26 27 29 35 45 50 53 54 Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp PHẦN MỞ ĐẦU Lý viết đề tài Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn hai nguyên lí có nội dung đơn giản, song lại công cụ hiệu dùng để chứng minh nhiều kết sâu sắc toán học Nó có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực lại áp dụng rộng rãi việc chứng minh toán tổ hợp, số học, đại số… Nó công cụ tạo nên nhiều kết đẹp hình học phương pháp tiếp cận toán độc đáo Đặc biệt toán dành cho học sinh giỏi Việc sử dụng hai nguyên lí không tạo nên kết đẹp giải toán chứng minh đại số, lý thuyết số mà hình học Vì chuyên đề « Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp » chuyên đề thiết thực khai thác vào phương pháp giải toán hình học mà chưa nhắc tới nhiều Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp thấy học sinh thường điểm không giải tập tổ hợp Nhiều học sinh cho tập mà em thường không giải được, tính chất đặc thù loại toán mang tính tư trừu tượng cao Vì học sinh thường nhiều thời gian không làm loại Qua nhiều năm dạy đội tuyển học sinh giỏi (HSG) trăn trở suy nghĩ phải làm để học sinh yêu thích giải tập tập tổ hợp Vì em có phương pháp giải tập cách thành thạo việc tư thuật toán để giải loại tập khác nhanh nhẹn hơn, giúp em đạt kết cao kỳ thi học sinh giỏi cấp Do mạnh dạn viết chuyên đề “Sử dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn toán tổ hợp” Nhằm giúp em có cách nhìn tổng quát suy nghĩ để mở rộng kiến thức học từ toán đơn giản học lớp Từ em tự vận dụng phát triển tư với tập tương tự, tổng quát liên hệ cách lô-gic với dạng toán học Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, với cách làm thấy học sinh bắt đầu yêu thích tập tổ hợp, chuyên đề tập tổ hợp lôi học sinh học tập say mê Từ thấy kỳ thi học sinh giỏi làm tập tổ hợp có niềm tin chất lượng đội tuyển nâng lên Đối với em học sinh, dạng toán tổ hợp (Suy luận lôgic) tiếp xúc từ chương trình BDHSG Tiểu học Xong chương trình lồng ghép cách nhẹ nhàng BDHSG, học lớp học trước, kỹ vận dụng để giải loại em chưa đạt hiệu cao Trong trình giảng dạy BDHSG trường THCS chúng tôi, nhận thấy dạng toán tổ hợp loại xuất thường xuyên đề thi HSG lớp học hay cấp học Tuy nhiên, tiếp xúc với dạng HS thường ngại ngần khó xuất phát để làm Xuất phát từ thực trạng chọn đề tài “Sử GV: Trần Thị Phi Nga Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn toán tổ hợp” cho chuyên đề Mục đích nghiên cứu Trong chuyên đề trước hết nhằm củng cố cho học sinh lý thuyết nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn Cung cấp cho học sinh số toán cụ thể cách tổng quát hóa dạng thông qua ví dụ Giúp cho học sinh có kĩ phân loại phương pháp làm loại cụ thể ấy.Từ rèn cho học sinh tư linh hoạt, sáng tạo giải toán Học sinh thấy vai trò ứng dụng rộng rãi nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn Cũng thông qua đề tài nhằm giúp học sinh có thói quen tìm tòi học toán sáng tạo giải toán.Từ tạo cho học sinh có phương pháp học tập đắn, biến học (kiến thức thầy) thành thân, nắm bắt nó, vận dụng nó, phát triển hướng Qua giúp em tạo niềm tin, hưng phấn, hứng thú say mê học môn toán học Sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh Đối tượng, phạm vi phương pháp nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Học sinh giỏi lớp 6, 7, 8, học sinh luyện thi THPT chuyên - Phạm vi nghiên cứu: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn Các tập nâng cao nguyên lí Dirchlet nguyên lí cực hạn chương trình trung học sở - Phương pháp nghiên cứu: +) Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình phương pháp dạy học toán, tài liệu có liên quan đến nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn ứng dụng +) Phương pháp điều tra Tìm hiểu thực trạng dạy chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên đồng thời tìm hiểu kết học tập học sinh nhằm xác định tính phổ biến nguyên nhân để chuẩn bị cho bước nghiên cứu +) Phương pháp thảo luận Trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm giảng dạy kĩ thuật vận dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn +) Phương pháp quan sát Thông qua tiết dự thao giảng bồi dưỡng học sinh giỏi đồng nghiệp để quan sát trực tiếp tình hình học sinh tiếp thu cách khai thác xây dựng bất đẳng thức phụ giáo viên +) Phương pháp kiểm tra đánh giá GV: Trần Thị Phi Nga Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp Khi thực chuyên đề khảo sát so sánh kết đánh giá học sinh qua giai đoạn để đánh giá hiệu chuyên đề 4) Cở sở ly luận thực trạng vấn đề: - Cơ sở lý luận vấn đề nghiên cứu: Khi gặp toán nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn thường liên quan nhiều đến đối tượng tập hợp hữu hạn Vì lẽ đó, toán mang mang đặc trưng rõ nét toán học rời rạc Khi giải toán tổ hợp vấn đề xác định dạng phương pháp làm cho dạng Từ HS áp dụng cho cụ thể cách linh hoạt với suy luận hợp lý để giải toán - Thực trạng vấn đề nghiên cứu chuyên đề Trong chương trình toán trung học sở nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn không học chương trình học khóa Tuy nhiên kỳ thi, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn lại đề cập đến nhiều toán hay khó, đòi hỏi học sinh phải thực linh hoạt, sáng tạo có kỹ sử dụng thành thạo suy luận gải loại toán Trong đề thi HSG, loại tổ hợp khó học sinh Nó khó biến đổi, khó suy luận mà đa dạng dạng phong phú nội dung Từ thực tế bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, nhận thấy toán tổ hợp mà cụ thể nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn đa dạng dạng bài, phong phú nội dung mà dạng toán khó, gây không khó khăn cho học sinh Vậy vấn đề đặt phải để tìm biện pháp khắc phục thực trạng giúp giáo viên có tài liệu tham khảo phù hợp đặc biệt giúp học sinh hết lúng túng tự tin gặp toán tổ hợp Tôi mạnh dạn đưa vấn đề buổi sinh hoạt tổ chuyên môn tổ Toán để đồng nghiệp thảo luận đưa hướng giải GV: Trần Thị Phi Nga Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp PHẦN II: QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN Xuất phát từ thực trạng nhằm đáp ứng yêu cầu hiệu công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tìm hiểu, nghiên cứu áp dụng chuyên đề vào thực tế công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Quá trình nghiên cứu chuyên đề chia thành ba giai đoạn nghiên cứu sau: Giai đoạn 1: Phân dạng xây dựng phương pháp Giai đoạn 2: Xây dựng, hệ thống, chứng minh áp dụng toán tổ hợp Giai đoạn 3: Luyện đề dạng tổ hợp tổng hợp Củng cố phương pháp làm Giai đoạn 1: Phân dạng xây dựng phương pháp +) Mục đích: Nhằm thu thập thông tin tài liệu, giáo viên, học sinh với vấn đề nghiên cứu +) Thời gian: Từ tháng 09 đến tháng 11 năm 2012 +) Cách tiến hành: Bước 1: Đọc nghiên cứu tài liệu toán tổ hợp Bước 2: Thực dự bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên bồi dưỡng học sinh dạng toán tổ hợp nào? Bước 3: Thảo luận, trao đổi với đồng nghiệp cách dạy vận dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn để xây dựng phương pháp giảng dạy giải Bước 4: Kiểm tra vận dụng học sinh +) Kết giai đoạn Về tài liệu: Có nhiều tài liệu viết nội dụng này, có tài liệu viết chi tiết với số lượng Chủ yếu tài liệu đưa tập nêu cách chứng minh Với giáo viên: Thông qua dự thăm lớp nhận thấy số lượng giáo viên giảng dạy cho học sinh dạng toán tổ hợp theo chuyên đề Hầu hết giáo viên đưa toán cách giải cụ thể toán không theo hệ thống toán Với học sinh: Còn lúng túng gặp toán tổ hợp Do kết giải tập học sinh dạng toán chưa tốt Đặc biệt có học sinh có sáng tạo khai thác toán Tôi tiến hành khảo sát tổng số 25 học sinh giỏi thu kết cụ thể sau: Giỏi Khá Trung bình yếu 17 Bảng Giai đoạn 2: Luyện đề dạng tổ hợp tổng hợp Củng cố phương pháp làm +) Mục đích: Nhằm cung cấp cho giáo viên, học sinh hệ thống số dạng phương pháp giải loại Rèn tư sáng tạo, linh hoạt vận dụng khai thác kiến thức toán học cho học sinh GV: Trần Thị Phi Nga Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp +) Thời gian: Từ tháng 12 năm 2012 đến tháng năm 2013 +) Cách tiến hành: Sưu tầm nghiên cứu số toán có nội dung phù hợp với mục đích chuyên đề nghiên cứu +) Kết giai đoạn Tôi tiến hành khảo sát tổng số 25 học sinh giỏi thu kết cụ thể sau: Giỏi Khá Trung bình yếu 12 GV: Trần Thị Phi Nga Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp PHẦN III: NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ CHƯƠNG I: NGUYÊN LÝ CỰC HẠN VÀ ỨNG DỤNG A- Lý thuyết chung • Nguyên lí cực hạn có dạng đơn giản sau: Nguyên lí 1: Trong tập hợp hữu hạn khác rỗng số thực luôn chọn số bé số lớn Nguyên lí 2: Trong tập hợp khác rỗng số tự nhiên luôn chọn số bé Nguyên lí dùng để giải toán mà tập hợp có đối tượng phải xét tồn đối tượng có GTLN, GTNN theo nghĩa Nguyên lí cực hạn thường sử dụng kết hợp với phương pháp khác đặc biệt phương pháp phản chứng Nguyên lí vận dụng trường hợp tập giá trị cần khảo sát tập hữu hạn (Nguyên lí 1) vô hạn tồn GTLN GTNN (Nguyên lí 2) Để vận dụng nguyên lí cực hạn giải tập hình học tổ hợp, người ta thường dùng lược đồ chung để giải tập sau: - Đưa toán xét dạng sử dụng nguyên lí nguyên lí để chứng tỏ tất giá trị cần khảo sát toán có GTLN GTNN - Xét toán tương ứng nhận GTNN GTLN - Chỉ mâu thuẫn đưa giá trị lớn nhỏ GTLN GTNN mà ta khảo sát Theo nguyên lí PP phản chứng ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 1: Chứng minh bốn đường tròn có đường kính bốn cạnh tứ giác lồi phủ kín tứ giác cho GIẢI : Lấy M điểm tùy ý tứ giác lồi Có hai khả xảy 1) Nếu M nằm đường biên tứ giác lồi, tức M nằm cạnh tứ giác ABCD Khi M nằm đường tròn có đường kính cạnh Trong trường hợp kết luận toán hiển nhiên 2) Nếu M nằm bên tứ giác lồi ABCD Khi ta có ∠ AMB + ∠ BMC + ∠ CMD + ∠ DMA = 3600 Theo nguyên lý cực hạn tồn max { ∠AMB, ∠BNC , ∠CMD, ∠DMA} = ∠BMC Khi ∠ BMC ≥ 900 (1) Từ (1) suy M nằm nằm đường tròn đường kính BC Vậy dĩ nhiên M bị phủ đường tròn Như M điểm tùy ý tứ giác ABCD, ta suy bốn hình tròn phủ kín tứ giác lồi cho Đó điều phải chứng minh GV: Trần Thị Phi Nga Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp Ví dụ 2: Cho ABC tam giác nhọn Lấy điểm P tam giác Chứng minh khoảng cách lớn khoảng cách từ P tới ba đỉnh A, B, C tam giác không nhỏ hai lần khoảng cách bé khoảng cách từ P tới ba cạnh tam giác GIẢI: Gọi A1 , B1 , C1 tương ứng hình chiếu P xuống BC, AC, AB Ta có ∠APC1 + ∠C1PB + ∠BPA1 + ∠A1PC + ∠CPB1 + ∠B1PA = 3600 ( 1) Theo nguyên lý cực hạn, tồn max { ∠APC1 , ∠C1 PB, ∠BPA1 , ∠A1PC , ∠CPB1 , ∠B1PA} Không giảm tổng quát, cho : max { ∠APC1 , ∠C1 PB, ∠BPA1 , ∠A1PC , ∠CPB1 , ∠B1PA} = ∠BPA1 (2) Từ (1) (2) dễ dàng suy ∠ BPA1 ≥ 600 (3) PA1 ≤ hay PB ≥ 2PA1 (4) Từ (4) suy PB max { PA, PB, PC } ≥ PB ≥ PA1 ≥ { PA1 , PB1 , PC1} Đó điều pcm Từ (3) ta đến cos∠BPA1 = Ví dụ 3: Trên mặt phẳng có số điểm có tinh chất với hai điểm hệ điểm tìm điểm thứ ba số điểm thẳng hàng với chúng Chứng minh tất điểm hệ điểm thẳng hàng GIẢI: Giả sử kết luận toán không đúng, tức điểm cho không thẳng hàng Xét tập hợp sau A = { h / h > h khoảng cách từ điểm đường thẳng nối hai điểm hệ } Do giả thiết phản chứng nên A ≠ Ø Mặt khác, A tập hợp có hữu hạn phần tử ( có số hữu hạn điểm cho) Theo nguyên lý cực hạn, tồn mọt giá trị nhỏ h* Giả sử h* khoảng cách từ điểm M xuống đường thẳng qua B,C ( Ở M,B, C thuộc vào số điểm cho) Gọi ∆ đường thẳng nối B, C Do M∉∆ ( h* > 0), nên theo giả thiết tồn điểm D∈∆ Kẻ MH ⊥ ∆, MH = d* Rõ ràng ba điểm B, C, D phải có hai điểm phía so với H Không làm giảm tính tổng quát, ta cho C, D nằm phía với H C nằm đoạn HD, Kẻ HE ⊥ MD CF ⊥ MD Rõ ràng ta có : CF < HE < MH Nói cách khác CF < d* Chú ý cho C,M,D nằm điểm cho, nên CF ∈ A Do CF < d* Điều mâu thuẫn với định nghĩa d* Vậy giả thiết phản chứng sai, tức tất điểm cho phải thẳng hàng Đó đpcm GV: Trần Thị Phi Nga Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp Ví dụ 4: Trên mặt phẳng cho số hữu hạn điểm không nằm đường thẳng Chứng minh tồn ba điểm cho đường tròn qua ba điểm không chứa điểm bên GIẢI: Vì số điểm cho hữu hạn chúng không nằm đường thẳng, nên lấy bao lồi hệ điểm, ta đa giác Giả sử đa giác lồi A1 A2 Ap Như điểm lại cho phải nằm bao lồi Gọi Ak , Ak +1 hai đỉnh liên tiếp của đa giác lồi( nghĩa xét cạnh tùy ý Ak Ak +1 ) Khi điểm cho nằm nửa mặt phẳng xác định Ak Ak +1 Từ giả thiết suy tập hợp điểm cho không thuộc Ak Ak +1 khác rỗng Vì theo nguyên lý cực hạn, tồn C cho ∠Ak CAk +1 = max∠Ak A1 Ak +1 , giá trị lớn lấy theo i = 1, n mà i ≠ k, i ≠ k + 1( gải sử A1 , A2 , An hệ hữu hạn điểm cho trước) Khi đường tròn ngoại tiếp tam giác CAk Ak +1 đường tròn cần tìm Ví dụ 5: Bên hình vuông cạnh cho n điểm cho ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn môt tam giác có đỉnh điểm cho diện tích S thỏa mãn đẳng thức S < GIẢI: n−2 Xét bao lồi n điểm nằm bên hình vuông Vì ba điểm thẳng hàng, nên bao lồi đa giác lồi có k đỉnh( k ≤ n), điểm cho đỉnh đa giác lồi, nằm hẳn bên đa giác lồi Chỉ có hai khả xảy Nếu k = n Khi số đường chéo xuất phát từ A1 đa giác bao lồi tạo thành cạnh đa giác ( n – 2) tam giác Gọi S diện tích tam giác nhỏ (n-2) tam giác Vì tổng diện tích (n-2) tam giác nhỏ 1(chú ý diện tích hình vuông chứa chọn ( n-2) tam giác này), suy S < n−2 Nếu k < n Khi bên đa giác bao lồi A1 A2 Ak có (n-k) điểm Ak+1, Ak+2, , An Nối Ak+1 với đỉnh A1; A2; Ak Khi có k tam giác Ak+1A1A2, Ak+1A2A3 ; ; Ak+1AkA1 GV: Trần Thị Phi Nga 10 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp ⇒a1 − a100 = a1 − a2 + a2 − a3 + + a99 − a100 = 99 ( a1 − a2 ) ⇒ a1 − a100 = 99 ( a1 − a2 ) ⇒3 = 99.3 Điều không xảy suy d = 150 không thỏa mãn Ta xây dựng trường hợp cho d = 149 sau: a1 = 0, a2 = 2, ak = ak −1 + với k = 2,3,…,52; a53 = a52 − 2, ak = ak −1 − 3, k = 54,55,…,100 Khi hiệu lớn a53 − a1 = 149 Các số a2 , a3 ,…, a53 có dạng + 3t , số a54 , a55 ,…, a100 có dạng 147 − 3k Rõ ràng không tồn k , t cho + 3t = 147 − 3k ⇔ ( k + l ) = 145 ( k , t ∈¢ ) Suy điều phải chứng minh Ví dụ 8: Một số tự nhiên dương gọi số “Đẹp”, hợp số không chia hết cho 2, 3, 5, Hỏi có tất số tự nhiên “Đẹp” nhỏ 2014 Lời giải: Số “Đẹp” hợp số, không chia hết cho 2,3,5,7, nên phải tích số nguyên tố lớn 10 Do 133 =2197> 2014, 432 = 1849 < 472 = 2209 , nên số cần tìm có dạng a ×b a ×b ×c với a,b, c số nguyên tố a< 47 Xét số “Đẹp” dạng a ×b với 11 ≤ a ≤ b , a,b số nguyên tố : Với a=11 11 ≤ b ≤ 181 , có 38 số Với a=13 13 ≤ b ≤ 151 , có 31 số Với a=17 17 ≤ b ≤ 113 , có 24 số Với a=19 19 ≤ b ≤ 103 , có 20 số Với a=23 23 ≤ b ≤ 83 , có 15 số Với a=29 29 ≤ b ≤ 67 , có 10 số Với a=31 31 ≤ b ≤ 61 , có số Với a=37 37 ≤ b ≤ 53 , có số Với a=41 41 ≤ b ≤ 47 , có số Với a=43 b=43, có số Xét số “Đẹp” dạng a ×b ×c với 11 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 13 , a,b,c số nguyên tố Có số có dạng là: 11.11.11=1331; 11.11.13=1573 ; 11.13.13=1859 Suy số số “Đẹp” cần tìm S = 38+31+24+20+15+10+8+5+3+1+3 = 158 số Ví dụ 9: Trong hộp có 2014 viên sỏi Có hai người tham gia trò chơi, người phải bốc 11 viên sỏi nhiều 20 viên sỏi Người bốc viên sỏi cuối thua Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc người thắng GIẢI: Để đảm bảo thắng cuộc, nước cuối người bốc sỏi phải để lại hộp 11 viên sỏi Ở nước trước phải để lại hộp: 11 + (20 + 11) = 42 viên sỏi GV: Trần Thị Phi Nga 40 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp Suy người bốc sỏi phải đảm bảo hộp lúc 11 + 31k viên sỏi Ta có (2014 − 11) : 31 = 64 dư 19 Như người bốc sỏi lần thứ phải bốc 19 viên Tiếp theo, đối phương bốc k viên sỏi ( k = 1, 2, , 20 ) người bốc sỏi phải bốc 31 − k viên sỏi, cuối để lại 11 viên sỏi cho đối phương Ví dụ 10: Có điền hay không 100 số gồm 10 số -2, 10 số -1, 30 số 0, 40 số 1, 10 số vào ô bảng 10 × 10 (mỗi ô điền số gọi số hàng i tính từ lên cột j tính từ trái sang phải aij) cho thỏa mãn hai điều kiện: i) Tổng số hàng, cột m; ii) Tổng số aij bảng thỏa mãn i  j  5m Không điền Thật vậy, giả sử trái lại, điền số thỏa mãn Khi m = ×[ 10.(−2) + 10.( −1) + 30.0 + 40.1 + 10.2 ] = số lẻ 10 Ta chia ô bảng thành loại: - Loại gồm ô hàng lẻ, cột lẻ - Loại gồm ô hàng lẻ, cột chẵn - Loại gồm ô hàng chẵn, cột lẻ - Loại gồm ô hàng chẵn, cột chẵn Kí hiệu Sk tổng tương ứng tất ô loại k Khi S1 + S2 tổng số tất hàng lẻ, nên S1 + S2 = 5m S2 + S4 tổng số tất cột chẵn, nên S2 + S4 = 5m Loại loại gồm ô mà i - j chẵn, S1 + S4 = 5m Suy 2(S1 + S2 + S4) = 15m (1) Do m lẻ, nên VP(1) lẻ Mà VT(1) chẵn: vô lí Do điều giả sử sai Vậy điền số thỏa mãn Ví dụ 11: Có 40 học sinh lớp đứng thành vòng tròn quay mặt vào tâm đường tròn để tham gia trò chơi đếm số sau: Mỗi học sinh đếm dãy số tuần hoàn 1,2,1,2,1,2….lần lượt theo chiều kim đồng hồ học sinh A(lớp trưởng) Nếu học sinh đếm số phải rời khỏi vòng tròn Việc đếm tiếp tục học sinh - Học sinh coi thắng B học sinh giỏi Toán, B tìm vị trí đứng để người thắng Hỏi B đứng vị trí theo chiều kim đồng hồ kể từ A? GIẢI: Xét trường hợp lớp có 32 học sinh lớp trưởng vị trí thứ thắng Như vậy, để B người thắng B phải đứng vị trí thứ sau loại (40 – 32) = người GV: Trần Thị Phi Nga 41 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp Hay B phải đứng vị trí x + = 17 theo chiều kim đồng hồ kể từ vị trí lớp trưởng A (GV yêu cầu HS tổng quát hóa toán với n HS lớp Nếu lớp có 2k HS B có hội thắng ko?) Ví dụ 12: Cho m máy tính n máy in ( m> n) sợi dây cáp nối máy tính máy in Tại thời điểm máy tính điều khiển máy in người lại máy in in cho máy tính Hỏi phải dùng sợi dây cáp để n máy tính đồng thời in ? GIẢI: Ta xét cách nối thoả mãn đề sau: Với n máy tính máy nối với máy in; với (m-n) máy tính lại, máy nối với tất n máy in Số dây cáp cần dùng cách nối là: S = n + n(m–n) = n (m-n +1) Ta chứng minh số dây cáp S < n (m-n+1) không thoả mãn điều kiện đầu bài.Thật vậy, S < n (m-n+1) nên có máy in x nối với không (m-n) máy tính Suy có m máy tính mà số máy nối với máy in x , nghĩa máy tính đồng thời in Tóm lại số sợi dây cáp cần phải dùng S= n(m-n+1) Ví dụ 13: Có học sinh A, B, C, D, E trải qua kỳ thi kết xếp hạng đánh số từ tới Người ta dự đoán kết thi xếp theo thứ tự A, B, C, D, E Thế lại học sinh đạt kết vị trí dự đoán hai học sinh đạt kết kề (thứ tự gần nhau) dự đoán Ví dụ hai học sinh C vàD không đạt kết tương ứng 1,2 hay2,3 hay3,4 hay 4,5 Một dự đoán khác cho thứ tự xếp hạng D, A, E, C, B Kết sau thi, có học sinh đạt vị trí dự đoán có hai cặp học sinh khác xếp thứ tự kề dự đoán Hãy xác định kết xếp hạng học sinh GIẢI: Ta bắt đầu tự dự đoán thứ hai Theo dự đoán này, cặp học sinh khác DA EC, DC CB hay AE CB Cũng theo dự đoán đó, có hai học sinh đạt vị trí dự đùoán Do vậy, thứ tự xếp hạng khả sau: DABEC (1) DACBE (2) EDACB (3) AEDCB (4) GV: Trần Thị Phi Nga 42 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp Đến , ta xét kết hợp với dự đoán ban đầu Kết (1) xảy AB rơi vị trí liên tiếp dự đoán ban đầu Kết (2) không xảy C xếp vị trí dự đoán ban đầu Cũng kết (4) không xảy A lại xếp vị trí dự đoán ban đầu Tóm lại: E, D, A, C, B xếp theo thứ tự tương ứng từ đến 5, kết sau kỳ thi Ví dụ 14: Cho 40 số nguyên dương a1 , a2 , , a19 b1 , b2 , , b21 thoả mãn: ≤ a1 < a2 < < a19 ≤ 200 ≤ b1 < b2 < < b21 ≤ 200 Chứng minh tồn số ai, aj, bk, bp ( ≤ 19,1 ≤ k, p ≤ 21) cho:  < a j  bk < bp   a j − = bp − bk GIẢI: Xét tổng có dạng: +bj Có tất 19x21 =399 tổng Các tổng nhận giá trị từ đến 400 +) Các tổng nhận đủ 399 giá trị từ đến 400 ⇒ a1 = b1 = 1, a19 = b21 = 200 ⇒ đpcm +) Các tổng không nhận đủ 399 giá trị từ đến 400 ⇒ có hai tổng ⇒ đpcm Ví dụ 15: A B tiến hành trò chơi với 2001 hạt đậu A trước luân phiên Một nước lần lấy khỏi đống hạt đậu 1, hay hạt Người nước cuối (hết đậu đống), người thắng Vậy người có chiến thuật để chiến thắng chiến thuật sao? GIẢI: A chiến thắng A tiến hành sau : Nước đầu tiên, A lấy hạt , nước A lấy 4-x hạt, với x số hạt B lấy nước trước Thật vậy, sau A đầu tiên, lại 2000 hạt đậu Tiếp theo, sau lần B A đi, đống đậu lạisố hạt bội số Do vậy, cuối lại hạt Bấy đến B A nước cuối hạt: A thắng Ví dụ 16: Có người đấu cờ với Hãy xác định kết tất trận đấu biết người chơi lần với người số điểm người nhận khác Ngoài ra: a) Người xếp thứ không hoà trận b) Người xếp thứ nhì không thua trận c) Người xếp thứ tư không thắng trận Hướng dẫn: Theo điều kiện ta thấy người xếp thứ thắng người xếp thứ ba, thứ tư, thứ năm tất điễm Còn người thứ nhì thắng người xếp GV: Trần Thị Phi Nga 43 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp thứ Người thứ nhì hoà trận đấu với người xếp thứ ba, thứ tư, thứ năm nhận 2,5 điểm Những người lại nhận số điểm lớn 2; 1; 5; Ta chứng minh họ nhận Thật vậy, có người nên họ chơi tất 10 trận nhận tất 10 điểm Nhưng người xếp thứ thứ nhì nhận 5,5 điểm nên ba người lại nhận 4,5 điểm Mặt khác: + 1,5 +1 = 4,5 nên họ nhận Như vậy, người thứ tư không thắng trận nên hoà với người xếp thứ ba thứ năm Còn lại người thứ ba thắng người thứ năm Ví dụ 17: Trong tranh giải vô địch Quốc gia bóng đá có 20 đội tham gia Số nhỏ trận đấu để đội tìm đội chơi với nhau? GIẢI: Ta chia 20 đội thành nhóm, nhóm 10 đội đội cùng1 nhóm thi đấu với Rõ ràng cách xếp thoả mãn điều kiện toán tất có 90 trận đấu Ta chứng minh điều kiện toán thoả mãn số trận đấu lớn 90 Giả sử ngược lại, ta tìm đôi A đấu số trận k ≤ Ta ký hiệu đội đấu với A X Các đội không đấu với A Y: X= k, Y = 19 –k Dĩ nhiên đội Y đấu với không hai đội thuộc Y A đội mà đội chơi với Giả sử X có P cặp không chơi với Do đội Y phải đấu với đội P cặp X đội X có mặt không (k -1) cặp số P cặp (X có tất k đội) Vì đội X Y 19 − k k −1 19 − k Mặt khác: k ≤ nên P ≥ P Như vậy: thay trận đội k −1 đấu số trận bé = X đấu với đội Y trận đấu cần thiết giảm Như số trận đấu cần phải tiến hành là: k ( k − 1) + ( 19 − k ) ( 18 − k ) = k − 18k + 9.19 = ( k − ) + 90 ≥ 90 Vậy số trận đấu cần phải tiến hành 90 GV: Trần Thị Phi Nga 44 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp BÀI TẬP TỔ HỢP TỰ LÀM Bài Lát bàn cờ x 21 quân trimino kích thước x Hỏi ô trống lại ô ? Bài Cho n số nguyên dương lớn hay Kí hiệu A = {1, 2, …, n} Tập B tập A gọi tập "tốt" B khác rỗng trung bình cộng phần tử B số nguyên Gọi T n số tập tốt tập A Chứng minh Tn – n số chẵn Bài Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ ô vuông đơn vị vị trí hàng thứ m cột thứ n Gọi S(m;n) số hình chữ nhật tạo hay nhiều ô vuông đơn vị bàn cờ cho ô trùng với vị trí ô bị xóa bỏ ban đầu Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn S(m;n) Bài Ba nhóm đường thẳng song song chia mặt phẳng thành N miền Hỏi số đường thẳng nhóm để N > 2011 HD:Giả sử số đường thẳng nhóm p, q, r chứng minh số miền tạo thành không vượt quá: pq + qr + rp + p + q + r + Ý tưởng là: p đường thẳng song song chia mặt phẳng thành p+1 phần Khi kẻ thêm đường thẳng không song song với p đường thẳng tạo thêm p+1 phần Như thế, sau kẻ q đường thẳng số phần (p+1)(q+1) Cuối cùng, có họ p + q đường thẳng, kẻ thêm đường thẳng họ thứ cắt hai họ nhiều p+q điểm, tạo p+q+1 miền Suy số miền tối đa (p+1)(q+1) + r(p+q+1) Bài Cho điểm nguyên mặt phẳng tọa độ, điểm thẳng hàng Chứng minh ta chọn điểm thỏa mãn diện tích tam giác tạo chúng số chẵn Bài Ta có 15 thẻ đánh số 1, 2, …, 15 Có cách chọn số (ít 1) thẻ cho tất số viết thẻ lớn số thẻ chọn Bài Trên đường thẳng nằm ngang, cho 2005 điểm đánh dấu trắng đen Với điểm, xác định tổng tất điểm trắng bên phải điểm đen bên trái Biết rằng, 2005 tổng có số xuất số lẻ lần Hãy tìm tất giá trị có số Bài 8: Cho số nguyên n ≥ Chứng minh họ gồm n-1+1 tập hợp không rỗng phân biệt tập hợp {1, 2,…, n} tìm ba tập hợp mà chúng hợp hai tập hợp lại Bài 9: Trong mặt phẳng cho 2011 điểm cho với ba điểm số điểm ta tìm hai điểm để đoạn thẳng tạo thành có độ dài bé Chứng minh tồn hình tròn bán kính chứa không 1006 điểm cho Bài 10 Cho n điểm mặt phẳng, ba điểm thẳng hàng, biết ba điểm n điểm cho tạo thành tam giác có diện tích GV: Trần Thị Phi Nga 45 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp không lớn Chứng minh phủ tất n điểm cho tam giác có diện tích không lớn Xét tam giác ABC có diện tích lớn vẽ tam giác DEF tam giác nhận tam giác ABC tam giác trung bình Khi DEF tam giác cần tìm Bài 11 Có n đội bóng thi đấu vòng tròn lượt Hãy lập lịch thi đấu gồm n-1 vòng đấu cho vòng, đội thi đấu nhiều trận Bài 12 Cho 2n+1 máy tính Hai máy tính nối với sợi dây Chứng minh tô máy tính sợi dây 2n+1 màu cho: i) Các máy tính tô màu khác ii) Các sợi dây xuất phát từ máy tính tô màu khác iii) Hai máy tính sợi dây nối chúng tô màu khác Xếp máy tính lên đỉnh 2n+1 giác A1A2…A2n+1 tô màu 1, 2, …, 2n+1 Với i, Nối đường kính OA i tô tất cạnh đường chéo vuông góc với OAi màu i Ta phép tô thỏa mãn điều kiện Bài 13: Có 6n+4 nhà toán học tham dự hội nghị, có 2n+1 buổi thảo luận Mỗi buổi thảo luận có bàn tròn cho người ngồi n bàn tròn cho người ngồi Biết người không ngồi cạnh đối diện lần a Hỏi thực không với n=1? b Hỏi thực không với n>1? Bài 14 Trong đường tròn đơn vị có điểm cho khoảng cách hai điểm chúng lớn Chứng minh kẻ hai đường kính vuông góc đường tròn cho góc 1/4 có điểm cho Bài 15 Số nguyên dương A cách viết thập phân gọi số kỳ quặc tổng A số thu từ A cách viết theo thứ tự ngược lại số có tất chữ số lẻ Hãy tìm số số kỳ quặc có chữ số Bài 16 Có ba lớp học A, B, C, lớp có 30 học sinh Biết học sinh quen với 31 học sinh khác lớp Chứng minh tồn ba học sinh a, b, c thuộc lớp A, B, C cho họ đôi quen Chọn học sinh có số bạn quen nhiều lớp khác Giả sử số bạn quen lớn k Giả sử học sinh a lớp A a quen với k học sinh lớp B Do a quen với 31 học sinh a ≤ 30 nên a quen với học sinh C, giả sử c Theo định nghĩa k, c quen không k học sinh A, c quen với 31-k học sinh B Vì tổng số người quen a c B k + 31-k = 31 nên a c phải có người quen chung B Gỉa sử b a, b, c học sinh cần tìm Bài 17 Phủ bàn cờ x 21 quân trimino x Hỏi ô trống lại ô nào? GV: Trần Thị Phi Nga 46 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp HD: Gọi ε số cho ε2 + ε + = ta có ε3 = Đánh số cột hàng theo thứ từ từ trái sang phải, từ lên 1, 2, …, Ta điền vào ô (i, j) số εi+j Khi dễ thấy tổng số ô mà quân trimino x phủ Như vậy, phủ bàn cờ x 21 quân domino tổng số ô bị phủ Suy số lại tổng tất số ghi Ta có tổng số ghi 8  i  j  i+ j i+ j ε = ε = ∑ ∑∑  ∑ ε ÷ ∑ ε ÷ = (ε + ε ) = 1≤i , j ≤8 i =1 j =1  i =1   j =1  Suy số ô lại phải số Nếu (i, j) ô lại từ suy i + j chia hết cho Làm tương tự ô (i, j) ghi số εi-j ta thu i – j chia hết cho Suy i j chia hết cho Như (i, j) cặp (3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6) Dễ dàng cách phủ cho TH (do tính đối xứng, cần cho trường hợp) Bài 18 Xét số tự nhiên n ≥ Bắt đầu số 1, 2, …, 2n-1, 2n ta thực phép biến đổi sau: Chọn số a, b cho a – b ≥ 2, xóa hai số thay hai số a – 1, b + 1; với số thu được, ta lại thực phép biến đổi tương tự, a) Chứng minh sau số lần thực phép biến đổi trên, ta phải đạt đến trạng thái dừng, tức thực phép biến đổi b) Gọi k số phép biến đổi cần thực để đạt đến trạng thái dừng Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ k Bài 19 Một ngũ giác lồi có tất góc cạnh số hữu tỷ Chứng minh ngũ giác ngũ giác Bài 20 Hai người A B chơi trò chơi Ban đầu bàn có 100 viên kẹo Hai người thay phiên bốc kẹo, lần bốc k viên với k ∈ {1, 2, 6} Hỏi người có chiến thuật thắng, người trước hay người sau? Bài 21 a) Trên bảng có số 2010 Hai người A B luân phiên thực trò chơi sau: Mỗi lần thực hiện, cho phép xoá số N có bảng thay N-1 [N/2] Ai thu số trước thắng Hỏi người có chiến thuật thắng, người trước hay người sau b) Cùng câu hỏi với luật chơi thay đổi sau: Mỗi lần thực hiện, cho phép xoá số N có bảng thay N-1 [(N+1)/2] Bài 22 Hình tròn đường kính thành thành 10 ô Ban đầu ô có viên bi Mỗi lần thực hiện, cho phép chọn viên bi di chuyển chúng sang ô bên cạnh, viên theo chiều kim đồng hồ viên ngược chiều kim đồng hồ Hỏi sau số hữu hạn lần thực hiện, ta chuyển tất viên bi ô không? HD: Ta tô màu ô hai màu đen trắng xen kẽ Gọi S tổng số viên bi nằm ô đen trạng thái ban đầu ta có S = Nếu giả sử ngược lại ta GV: Trần Thị Phi Nga 47 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp đưa viên bi ô trạng thái cuối này, ta có S = (nếu ta dồn viên bi ô trắng) S = 10 (nếu ta dồn viên bi ô đen) Bây ta thu điều mâu thuẫn ta chứng minh qua lần thực tính chẵn lẻ S không thay đổi, tức ban đầu S số lẻ qua lần thực hiện, S số lẻ (và 10) Nếu nhận xét ô đen trắng xen kẽ điều mà cần chứng minh hiển nhiên xin dành phép chứng minh chi tiết cho bạn đọc Bài 23 Có 2n người xếp thành hàng dọc Hỏi có cách chọn số người (ít 1) từ 2n người này, cho hai người đứng kề chọn Hai người đứng kề hai người có số thứ tự liên tiếp hàng dọc có số thứ tự hai hàng Gọi Sn số cách chọn số người từ 2n người xếp thành hàng dọc T n số cách chọn số người từ 2n-1 người xếp thành hàng dọc, khuyết chỗ đầu hàng Ta có S1 = 2, T1 = 1 Hình Sn với n = Hình Tn với n = Xét 2n người xếp thành hàng dọc (như hình 1) Ta xét cách chọn thoả mãn điều kiện đầu Xảy khả sau : 1) Người vị trí số chọn : Khi người vị trí số số không chọn  Có Tn-1 + cách chọn (+1 bổ sung cách chọn « không chọn » ) 2) Người vị trí số chọn : Tương tự, có Tn-1 + cách chọn 3) Cả hai người vị trí số số không chọn: Có S n-1 cách chọn Vậy ta có Sn = Sn-1 + 2Tn-1+ (1) Xét 2n-1 người xếp thành hàng dọc (như hình 2) Ta xét cách chọn thoả mãn điều kiện đầu Xảy khả sau : 1) Người vị trí số chọn : Khi người vị trí số không chọn  có Tn-1 + cách chọn 2) Người vị trí số không chọn : có Sn-1 cách chọn Vậy ta có Tn = Sn-1 + Tn-1 + (2) Từ (1) ta suy 2Tn-1 = Sn – Sn-1 – 2, 2Tn = Sn+1 – Sn – Thay vào (2), ta GV: Trần Thị Phi Nga 48 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp Sn+1 – Sn – = 2Sn-1+ Sn – Sn-1 – + Sn+1 = 2Sn + Sn-1 + Từ dễ dàng tìm Sn = (1 + ) n +1 + (1 − ) n +1 − 2 Bài 24 Tìm số tất n số (x1, x2, …, xn) cho (i) xi = ± với i = 1, 2, …, n (ii) ≤ x1 + x2 + … + xr < với r = 1, 2, …, n-1 ; (iii) x1 + x2 + … + xn = Bài 25 Trong nhóm gồm 2n+1 người với n người tồn người khác n người quen với tất họ Chứng minh nhóm người có người quen với tất người HD: Ta chứng minh nhóm người có nhóm n+1 người đôi quen (gọi nhóm A) Từ đó, xét n người lại Theo giả thiết, có người nhóm A quen với n người Suy người quen với tất người Để chứng minh khẳng định tồn nhóm A, ta giả sử k kích thước (số người) lớn nhóm người đôi quen Ta cần chứng minh k ≥ n+1 Giả sử ngược lại k ≤ n Theo giả thiết,tồn người số người lại quen với k người Bổ sung người vào nhóm, ta nhóm gồm k+1 người đôi quen Mâu thuẫn với điều giả sử k lớn Bài 26 Trong đa giác lồi có chứa không m 2+1 điểm nguyên Chứng minh đa giác lồi tìm m+1 điểm nguyên nằm đường thẳng Bài 27 Chứng minh người bất kỳ, có người đôi quen nhau, có người đôi không quen Bài 28 Chọn 69 số nguyên dương từ tập hợp E = {1, 2, …, 100} Chứng minh tồn số a < b < c < d số chọn cho a + b + c = d Kết luận toán không ta thay 69 68? HD: Giả sử số a1 < a2 < … < a69 Xét tập hợp A = {a2+a3, a2+a4, …., a2+a69}, B = {a3 – a1, …, a69 – a1} | A | = | B | = 67 Do a69 – a2 ≥ 67 nên ta suy a ≤ a69 – 67 ≤ 100 – 67 = 33 Suy a + a69 ≤ 133 Ngoài a3 – a1 ≥ Do số lớn A B nên ta có A, B ⊂ {2, 3, …., 133} = C Vì | C | = 132 < 134 = |A| + |B| nên từ ta suy A ∩ B ≠ ∅ Suy tồn i, j ≥ cho a2 + = aj – a1 Rõ ràng i < j ta có a1 + a2 + = aj Dựa vào cách Lời giải trên, 68 số mà không tìm số thỏa mãn bài, là: 33, 34, …, 100 GV: Trần Thị Phi Nga 49 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp Do tổng ba số nhỏ số 33 + 34 + 35 = 102 > 100 số lớn nên không tồn ba số a, b, c, d cho a + b + c = d Bài 29 Trong nhóm n người có người đôi quen người quen nhiều nửa số người nhóm Tìm số số ba người đôi quen Bài 30 Các số 1, 2, …, n viết bảng Mỗi phút, học sinh lên bảng, chọn hai số x y, xóa chúng viết lên bảng số 2x + 2y Quá trình tiếp diễn bảng lại số Chứng minh số không nhỏ 4n3 Bài 31 Cho tập hợp A gồm số nguyên dương có tính chất sau (i) A = 1, max A = 100 (ii) Với a thuộc A, a > tồn b, c thuộc A (b không thiết khác c) cho a = b + c Tìm GTNN | A | Bài 32 Trong hệ thống tuyến xe buýt thành phố, hai tuyến có chung bến, tuyến có bến Chứng minh phân bến thành hai nhóm cho tuyến xe buýt có bến thuộc hai nhóm Bài 33 Trong giải cờ vua có 40 kỳ thủ Có tổng cộng 80 ván đấu, hai kỳ thủ đấu với nhiều lần Tìm số nguyên dương n lớn cho trường hợp, ta tìm n kỳ thủ chưa đấu với Bài 34 Trò chơi lô-tô Lotoland tổ chức sau: Người chơi chọn số khác từ số 1, 2, 3, …, 36 Sau người ta bốc ngẫu nhiên số từ số 1, 2, 3, …, 36 Vé không chứa số số vừa bốc vé thắng Lời giải Chứng minh tồn cách mua vé để đảm bảo có vé thắng vé nói chung không đủ để đảm bảo điều Bài 35 Bàn cờ 12 x 12 tô màu đen trắng bình thường Mỗi lần thực ta sơn lại hai ô cạnh theo quy tắc: đen thành xanh, xanh thành trắng, trắng thành đen Hỏi ta cần phải dùng tối thiểu bước để sơn bàn cờ thành màu đen trắng ngược với bàn cờ ban đầu? GV: Trần Thị Phi Nga 50 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp PHẦN IV: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Qua nghiên cứu giai đoạn chuyên đề thu hệ thống tập có sáng tạo vận dụng chứng minh khai thác toán tổ hợp Từ kết nghiên cứu trí Ban giám hiệu, tổ khoa học tự nhiên Chuyên đề nghiên cứu thông qua tổ áp dụng trường *) Giai đoạn 3: Luyện đề dạng tổ hợp tổng hợp Củng cố phương pháp làm +) Mục đích: Nhằm nâng cao hiệu bồi dưỡng học sinh giỏi bồi dưỡng học sinh thi vào trung học phổ thông chuyên Trao đổi kinh nghiệm, lấy ý kiến đóng góp từ đồng nghiệp để bổ sung hoàn thiện phát triển chuyên đề +) Thời gian: Từ tháng năm 2013 đến tháng năm 2013 +) Cách tiến hành: Thông qua sinh hoạt chuyên môn báo cáo trước tổ, cụm Trao đổi thảo luận lấy ý kiến đóng góp đồng nghiệp Áp dụng trực tiếp vào công tác bồi bưỡng học sinh giỏi +) Kết giai đoạn Sau thông qua chuyên đề trước tổ tiến hành xin ý kiến đóng góp nhận xét đồng nghiệp nhận 100% giáo viên tán thành cách nghiên cứu Trong trình áp dụng chuyên đề tiến hành khảo sát với đối tượng 25 học sinh giỏi Qua kết khảo sát thu số học sinh biết vận dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn phụ tăng lên rõ rệt, có em bước đầu sáng tạo tổng quát hóa phương pháp dạng tổ hợp Kết cụ thể là: Giỏi Khá Trung bình yếu 10 B3 +) Phân tích kết Từ kết điều tra khẳng định rằng: Qua chuyên đề em học sinh biết cách trình bày, suy luận, khái quát hóa cho loại toán tổ hợp Học sinh phát triển tư kỹ sáng tạo toán học Học sinh tự tin gặp toán hay khó toán rời rạc Hình thành phương pháp tìm Lời giải toán, tư linh hoạt, phương pháp học toán cách sáng tạo Giúp cho học sinh giỏi hình thành kỹ Lời giải toán mà giúp em rèn luyện thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc GV: Trần Thị Phi Nga 51 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp biệt hoá Hình thành em cách học sáng tạo, qua giúp em có phương pháp tự học, tự nghiên cứu phát triển khả tìm tòi, sáng tạo cho học sinh Hơn giáo viên thấy có lao động nghiêm túc, khoa học có hiệu cao Từ nâng cao trình trình độ chuyên môn nâng cao lực sư phạm trình giảng dạy đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tóm lại, với phương pháp nghiên cứu giúp người thầy nâng cao tay nghề mình, xây dựng hệ thống kiến thức cần có để định hướng cho học sinh trình học Song quan trọng gây hứng thú học tập môn cho học sinh, giúp em có phương pháp học tập môn Toán cách có hiệu GV: Trần Thị Phi Nga 52 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp PHẦN V: KẾT LUẬN Như xuất phát từ nguyên lí Dirichlet phát biểu thật đơn giản, thao tác tư duy, linh hoạt, sáng tạo Chúng ta xây dựng phương pháp chứng minh số toán tổ hợp hay khó Thông qua chuyên đề không cung cấp cho học sinh hệ thống dạng mà hình thành cho học kỹ phân tích toán để từ xây dựng chứng minh toán tổ hợp tổng quát để áp dụng nhằm phát triển lực tư sáng tạo toán học học sinh, học sinh giỏi Về lý luận: Rèn luyện khả tư sáng tạo, kỹ phân tích tổng hợp, tính cẩn thận xác, tính kiên trì linh hoạt vận dụng kiến thức học viải toán cho học sinh Giúp em có hứng thú học tập, ham mê học Toán đặc biệt phát huy lực tư sáng tạo học sinh gặp dạng toán khó Về thực tiễn: Giúp học sinh vận dụng tốt nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn việc Lời giải toán rời rạc nói chung hình học tổ hợp nói riêng Từ chỗ lúng túng gặp toán tổ hợp phần lớn em tự tin hơn, biết vận dụng kỹ bồi dưỡng để Lời giải thành thạo tập chứng minh mang tính phức tạp Trong viết chuyên đề “Sử dụng nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn toán tổ hợp” không tránh khỏi thiếu sót nội dung chuyên đề chưa thực phong phú Rất mong bạn đồng nghiệp em học sinh đóng góp thêm ý kiến để chuyên đề hoàn thiện có hiệu Tôi xin chân thành cám ơn Vĩnh Yên, ngày 05 tháng 10 năm 2013 Người viết chuyên đề Trần Thị Phi Nga GV: Trần Thị Phi Nga 53 Trường THCS Vĩnh Yên Chuyên đề: Nguyên lí Dirichlet nguyên lí cực hạn giải toán hình học tổ hợp CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Báo toán tuổi thơ, toán học tuổi trẻ [2] Phan Huy Khải (năm 2007) Các toán hình học tổ hợp [3] Trịnh Đình Long (năm 2006) Bài giảng cho học sinh chuyên toán- Trường ĐHKHTN TP Hồ Chí Minh: Nguyên lí Dirichlet toán số học [4] Vũ Hữu Bình (năm 1998): Phương pháp giảng dạy môn toán - NXB GD [5] Website http://baigiang.violet.vn/ [6] Website http://math.net.vn/ [7] Một số tập từ kỳ thi Mỹ Canada GV: Trần Thị Phi Nga 54 Trường THCS Vĩnh Yên