Phép tính Tenxơ và ứng dụng trong cơ học chất rắn, w18, E48

Phép tính Tenxơ và ứng dụng trong cơ học chất rắn, w18, E48. Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc.Trân trọng.ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢOhttp:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htmhoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên)DANH MỤC TẠI LIỆU ĐÃ ĐĂNGA.HOÁ PHỔ THÔNG1.CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 1, PDF2.CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 1, Word3.CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 2. PHẦN HỢP CHẤT CÓ NHÓM CHỨC4.CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỌC VÔ CƠ PHẦN 1. CHUYÊN Đề TRÌNH HÓA VÔ CƠ 10 VÀ 115.CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 2. PHẦN HỢP CHẤT CÓ NHÓM CHỨC6.BỘ ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC 1407.BỘ ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC 41708.ON THI CAP TOC HỌC HÓA HỮU CƠ PHẦN 1, PDF9.TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÓA HỌC PHỔ THÔNG10.70 BỘ ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN HÓA HỌC, word11.CHUYÊN ĐỀ VÔ CƠ, LỚP 11 – 12. ĐẦY ĐỦ CÓ ĐÁP ÁN12.Bộ câu hỏi LT Hoá học13.BAI TAP HUU CO TRONG DE THI DAI HOC14.CAC CHUYEN DE LUYEN THI CO DAP AN 4815.GIAI CHI TIET CAC TUYEN TAP PHUONG PHAP VA CAC CHUYEN DE ON THI DAI HOC. 8616.PHUONG PHAP GIAI NHANH BAI TAP HOA HOC VA BO DE TU LUYEN THI HOA HOC 27417.TỔNG HỢP BÀI TẬP HÓA HỌC LỚP 1218.PHAN DANG LUYEN DE DH 20072013 14519.BO DE THI THU HOA HOC CO GIAI CHI TIET.doc20.Tuyển tập Bài tập Lý thuyết Hoá học luyện thi THPT Quốc gia21.PHÂN DẠNG BÀI TẬP HOÁ HỌC ÔN THI THPT QUỐC GIA 5722.BỘ ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN HOÁ CÓ ĐÁP ÁN 29 ĐỀ 14523.BỘ ĐỀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN HOÁ CÓ ĐÁP ÁN PHẦN 2B.HỌC SINH GIỎI1.Bồi dưỡng Học sinh giỏi Hoá THPT Lý thuyết và Bài tập2.Tài liệu hướng dẫn thí nghiệm thực hành học sinh giỏiolympic Hoá học 543.CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HOÁ LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP 174.ĐỀ THI CHUYÊN HOÁ CÓ HƯỚNG DẪN CHI TIẾT PHẦN ĐẠI CƯƠNG VÔ CƠ 5.Tuyển tập Đề thi Bồi dưỡng Học sinh giỏi Hoá THCS Lý thuyết và Bài tập6.Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Hoá học, 12 phương pháp giải toán7.Hướng dẫn thực hành Hoá Hữu cơ Olympic hay dành cho sinh viên đại học, cao đẳngC. HOÁ ĐẠI HỌC, SAU ĐẠI HỌC1.ỨNG DỤNG CỦA XÚC TÁC TRONG HÓA HỮU CƠ2.CƠ CHẾ PHẢN ỨNG TRONG HÓA HỮU CƠTIỂU LUẬN3.TL HÓA HỌC CÁC CHẤT MÀU HỮU CƠ4.GIÁO TRÌNH HÓA HỮU CƠ DÀNH CHO SINH VIÊN CĐ, ĐH, Hóa học Hữu cơ, tập 1 của tác giả Đỗ Đình RãngHóa học Hữu cơ, tập 2 của tác giả Đỗ Đình RãngHóa học Hữu cơ, tập 3 của tác giả Đỗ Đình RãngHóa học Hữu cơ, tập 1 của tác giả Thái Doãn TĩnhHóa học Hữu cơ, tập 2 của tác giả Thái Doãn TĩnhHóa học Hữu cơ, tập 3 của tác giả Thái Doãn TĩnhCơ chế Hóa học Hữu cơ, tập 1 của tác giả Thái Doãn TĩnhCơ chế Hóa học Hữu cơ, tập 2 của tác giả Thái Doãn TĩnhCơ chế Hóa học Hữu cơ, tập 3 của tác giả Thái Doãn Tĩnh5.VAI TRÒ SINH HỌC CỦA CÁC HỢP CHẤT VÔ CƠ 446.BÀI TẬP NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC 407.Giáo trình Hoá học phân tích8.Giáo trình Khoa học môi trường. http:baigiang.violet.vnpresentshowentry_id4897549.Giáo trình bài tập Hoá Hữu cơ 110.Giáo trình bài tập Hoá Hữu cơ 211.Giáo trình bài tập Hoá Phân tích 112.Thuốc thử Hữu cơ13.Giáo trình môi trường trong xây dựng14.Bài tập Hóa môi trường có đáp án đầy đủ nhất dành cho sinh viên Đại họcCao đẳng15.Mô hình, mô hình hóa và mô hình hóa các quá trình môi trường16.Cây trồng và các yếu tố dinh dưỡng cần thiết17.Đất đồng bằng và ven biển Việt Nam18.Chất Hữu cơ của đất, Hóa Nông học19.Một số phương pháp canh tác hiện đại,Hóa Nông học20.Bài tập Hoá Đại cương có giải chi tiết dành cho sinh viên Đại học21.Hướng dẫn học Hoá Đại cương dành cho sinh viên ĐH, CĐ22.Bài giảng Vai trò chất khoáng đối với thực vật PP23.Giáo trình Thực hành Hoá vô cơ dành cho sinh viên ĐH, CĐ24.Bài tập Vô cơ dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng có giải chi tiết25.Bài tập Vô cơ thi Olympic dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng có giải chi tiết26.Bài giảng Hoá học Phức chất hay và đầy đủ27.Bài giảng Hoá học Đại cương A1, phần dung dịch28.Bài tập Hoá lý tự luận dành cho sinh viên có hướng dẫn đầy đủ29.Bài tập Hoá lý trắc nghiệm dành cho sinh viên có đáp án đầy đủ30.Khoá luận Tốt nghiệp bài tập Hoá lý31.Giáo trình Hoá Phân tích dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng32.Bài giảng Điện hoá học hay dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng33.Bài tập Hoá học sơ cấp hay dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng34.Bài giảng phương pháp dạy học Hoá học 135.Bài giảng Công nghệ Hoá dầu36.Hóa học Dầu mỏ và Khí37.Bài tập Hóa dầu hay có hướng dẫn chi tiết dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng38.Bài tập Công nghệ Hóa dầu, công nghệ chế biến khi hay có hướng dẫn chi tiết dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng39.Bài giảng Hóa học Dầu mỏ hay dành sinh viên Đại học, cao đẳng40.Hướng dẫn thực hành Hoá Hữu cơ hay dành cho sinh viên đại học, cao đẳng41.Phụ gia thực phẩm theo quy chuẩn quốc gia42.Hướng dẫn thực hành Hoá Vô cơRC0 Các phản ứng Hoá học mang tên các nhà khoa học hay dành cho sinh viên43.Bài tập trắc nghiệm Hoá sinh hay dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng44.Bài tập Hoá học Hữu cơ có giải chi tiết dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng P145.Bài giảng Hoá học Hữu cơ 1 powerpoint hay46.Bài tập cơ chế phản ứng Hữu cơ có hướng dẫn chi tiết dành cho sinh viên47.Bài giảng Hoá học Hữu cơ dành cho sinh viên48.Bài tập Hoá sinh học hay có đáp án dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng49.Hoá học hợp chất cao phân tử50.Giáo trình Hoá học Phức chất dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng51.Bài giảng Hoá học Đại cương dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng52.Bài giảng Cơ sở Lý thuyết Hoá Hữu cơ dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng53.Bài giảng Hoá Hữu cơ dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng phần Hidrocacbon54.Bài giảng Hoá Hữu cơ dành cho sinh viên Đại học, cao đẳng phần dẫn xuất Hidrocacbon và cơ kim55.Bài giảng Hoá học Hữu cơ file word đầy đủ và hay nhấtD.HIỂU BIẾT CHUNG1.TỔNG HỢP TRI THỨC NHÂN LOẠI2.557 BÀI THUỐC DÂN GIAN3.THÀNH NGỬCA DAO TỤC NGỬ ANH VIỆT4.CÁC LOẠI HOA ĐẸP NHƯNG CỰC ĐỘC5.GIAO AN NGOAI GIO LEN LOP6.Điểm chuẩn các trường năm 2015E.DANH MỤC LUẬN ÁNLUẬN VĂNKHOÁ LUẬN…1.Công nghệ sản xuất bia2.Nghiên cứu chiết tách và xác định thành phần hóa học trong hạt tiêu đen3. Giảm tạp chất trong rượu4.Tối ưu hoá quá trình điều chế biodiesel5.Tinh dầu sả6.Xác định hàm lượng Đồng trong rau7.Tinh dầu tỏi8.Tách phẩm mầu9.Một số phương pháp xử lý nước ô nhiễm10.Tinh dầu HỒI11.Tinh dầu HOA LÀI12.Sản xuất rượu vang13.Vấn đề mới và khó trong sách Giáo khoa thí điểm14.Phương pháp tách tạp chất trong rượu15.Khảo sát hiện trạng ô nhiễm arsen trong nước ngầm và đánh giá rủi ro lên sức khỏe cộng đồng16.REN LUYEN NANG LUC DOC LAP SANG TAO QUA BAI TAP HOA HOC 10 LV 15117.Nghiên cứu đặc điểm và phân loại vi sinh vật tomhum18.Chọn men cho sản xuất rượu KL 4019.Nghiên cứu sản xuất rượu nho từ nấm men thuần chủng RV 4020.NGHIÊN CỨU THÀNH PHẦN HÓA HỌC VÀ HOẠT TÍNH SINH HỌC CÂY DẤU DẦU LÁ NHẴN21.LUẬN ÁN TIẾN SĨ CHẾ TẠO KHẢO SÁT ĐẶC TÍNH ĐIỆN HOÁ CỦA ĐIỆN CỰC 2122.NGHIÊN CỨU THÀNH PHẦN HÓA HỌC VÀ HOẠT TÍNH SINH HỌC CỦA MỘT SỐ LOÀI THUỘC CHI UVARIA L. HỌ NA (ANNONACEAE)23.Nghiên cứu chiết tách và xác định thành phần hóa học trong dịch chiết từ đài hoa bụp giấm file word RE02324.Nghiên cứu chiết tách và xác định thành phần hóa học trong quả mặc nưa25.Nghiên cứu xử lý chất màu hữu cơ của nước thải nhuộm …bằng phương pháp keo tụ điện hóa26.Nghiên cứu và đề xuất hướng giải quyết các vấn đề khó và mới về hoá hữu cơ trong sách giáo khoa hoá học ở Trung học phổ thông27.Nghiên cứu chiết xuất pectin từ phế phẩm nông nghiệp, thực phẩm28.Chiết xuất quercetin bằng chất lỏng siêu tới hạn từ vỏ củ Hành tây29.Thành phần Hóa học và hoạt tính Kè bắc bộ pp30.Nghiên cứu phương pháp giảm tạp chất trong rượu Etylic31.Tối ưu hoá quá trình điều chế biodiesel từ mỡ cá tra với xúc tác KOHγAl2O3 bằng phương pháp bề mặt đáp ứng32.Tối ưu hoá quá trình chiết ANTHOCYANIN từ bắp cải tím33.Chiết xuất và tinh chế CONESSIN, KAEMPFEROL, NUCIFERIN từ dược liệu (Ko) RE03334.Phương pháp tính toán chỉ số chất lượng nước cho một số sông thuộc lưu vực sông Nhuệ sông Đáy 35.Xử lý suy thoái môi trường cho các vùng nuôi tôm (Nghiên cứu và ứng dụng công nghệ tiến tiến, phù hợp xử lý suy thoái môi trường nhằm sử dụng bền vững tài nguyên cho các vùng nuôi tôm các tỉnh ven biển Bắc bộ và vùng nuôi cá Tra ở Đồng Bằng Sông Cửu Long)36.Đánh giá học sinh dùng lý thuyết tập mờ, W813E0036 (Xây dựng một hệ thống thông tin hỗ trợ đánh giá học sinh dùng lý thuyết tập mờ)37.Công nghệ lên men mêtan xử lý chất thải làng nghề“Nghiên cứu hiện trạng ô nhiễm và công nghệ lên men mêtan nước thải chế biến tinh bột sắn của một số làng nghề thuộc huyện Hoài Đức, Hà Nội”38.Tính chất của xúc tác Fe2O3 biến tính bằng Al2O3(Tổng hợp và tính chất xúc tác của Fe2O3 được biến tính bằng Al2O3 và anion hóa trong phản ứng đồng phân hóa nankan”)39.Tác động môi trường của việc thu hồi đất, Word, 5, E0039 “Đánh giá ảnh hưởng môi trường của việc thu hồi đất tại quận Tây Hồ, Hà Nội” 540.Không gian hàm thường gặp, W8, E40 (“Về một số không gian hàm thường gặp”. 41.Xác định hoạt chất trong thuốc kháng sinh, W 10, E41 (Nghiên cứu xây dựng phương pháp phổ hồng ngoại gần và trung bình kết hợp với thuật toán hồi quy đa biến để định lượng đồng thời một sốhoạt chất có trong thuốc kháng sinh thuộc họ βLactam”42.Phát hiện vi khuẩn lao kháng đa thuốc bằng kỹ thuật sinh học phân tửW10.2E42 “Nghiên cứu phát hiện vi khuẩn lao kháng đa thuốc bằng kỹ thuật sinh học phân tử”43.Động lực học của sóng biển, W12, E43. NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỦA SÓNG SAU ĐỚI SÓNG ĐỔ TẠI BÃI BIỂN NHA TRANG44.Xử lý chất thải tại nhà máy giấy hiệu quả, file word 13, E44 (NÂNG CAO HIỆU QUẢ XỬ LÝ CỦA CÁC BỂ HIẾU KHÍ BẰNG CÁCH ĐIỀU CHỈNH DINH DƯỠNG THÍCH HỢP CHO VI KHUẨN ĐỐI VỚI HỆ THỐNG XỬ LÝ NƯỚC THẢI CỦA NHÀ MÁY GIẤY45.Định lượng Paraquat bằng phương pháp sắc ký lỏng, W14, E45. (Nghiên cứu định lượng Paraquat trong mẫu huyết tương người bằng phương pháp sắc ký lỏng hiệu năng cao)46.Định hướng quy hoạch bảo vệ môi trường, W15, E46 “Nghiên cứu xác lập cơ sở khoa học cho định hướng quy hoạch bảo vệ môi trường khu vực Đại học Quốc gia Hà Nội tại Hòa Lạc và các xã lân cận”47.Giải pháp thực hiện các quyền sử dụng đất của hộ gia đình, cá nhân, W16, E47. “Nghiên cứu thực trạng và đề xuất giải pháp thực hiện các quyền sử dụng đất của hộ gia đình, cá nhân trên địa bàn quận Nam Từ Liêm, thành phố Hà Nội”48.Phức chất đa nhân của đất hiếm phối tử hữu cơ đa càng, W17, E48. “Phức chất đa nhân của đất hiếm và kim loại chuyển tiếp với một số phối tử hữu cơ đa càng”49.Phép tính Xentơ và ứng dụng trong cơ học chất rắn (PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNGF.TOÁN PHỔ THÔNG1.TUYEN TAP CAC DANG VUONG GOC TRONG KHONG GIAN2.Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán 500 câu có đáp án3.Phân dạng Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán4.Bộ đề Trắc nghiệm Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán5.Chuyên đề Trắc nghiệm Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán6.Bộ đề Thi thử Trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán7.Bộ đề kiểm tra trắc nghiệm 1 tiết phút môn Toán lớp 128.Bài tập trắc nghiệm môn toán lớp 12, luyện thi THPT quốc gia tổng hợp rất nhiều P19.Bài tập trắc nghiệm môn toán lớp 12, luyện thi THPT quốc gia tổng hợp rất nhiều P210.Bài tập trắc nghiệm môn toán lớp 12, luyện thi THPT quốc gia tổng hợp rất nhiều P311.Bài tập trắc nghiệm môn toán Giải tích lớp 12, luyện thi THPT quốc gia P1 có đáp án12.Bài tập trắc nghiệm môn toán Giải tích lớp 12, luyện thi THPT quốc gia P213.Phân dạng Bài tập trắc nghiệm môn toán lớp 12, luyện thi THPT quốc gia14.Bài tập trắc nghiệm môn toán Hình học lớp 12, luyện thi THPT quốc gia.15.Bài tập trắc nghiệm môn toán Hình học lớp 12, luyện thi THPT quốc gia có đáp án16.Phân dạng Bài tập trắc nghiệm môn toán Hình học lớp 12, luyện thi THPT quốc gia17.Đề Thi thử Trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán18.Đề Thi thử Trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán có đáp án19.Đề Thi thử Trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán có giải chi tiết20.Ôn tập Toán 12, luyện thi THPT Quốc gia21.Phân dạng bài tập hình học 11 rất hay có giải chi tiết các dạng22.Bài tập trắc nghiêm Toán 1123.Đề trắc nghiệm toán đại số 12 dành cho kiểm tra 1 tiêt, 15 phút có đáp ánG.LÝ PHỔ THÔNG1.GIAI CHI TIET DE HOC SINH GIOI LY THCS

TUYỂN TẬP BÀI TẬP PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, SAU ĐẠI HỌC LUẬN ÁN-ĐỒ ÁN-LUẬN VĂN-KHOÁ LUẬN-TIỂU LUẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG TỔNG QUAN Tenxơ khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần nghiên cứu nhà toán học Tullio Levi-Civita Gregorio Ricci- Curbastro số nhà toán học khác Trong luận văn tenxơ sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ tập véctơ hình học Để giải toán lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng - chuyển vị Việc thiết lập phương trình dựa hệ tọa độ cong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp Vì báo hay giáo trình học nói chung thường nêu trực tiếp phương trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ bước biến đổi để thu kết Luận văn trình bày rõ ràng khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phương trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi, tác giả thu phương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị hệ phương trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Nội dung luận văn bao gồm: - Chương trình bày khái niệm, thành phần vật lý tenxơ, số phép tính tenxơ đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả trình bày cách biến đổi để thu hệ véctơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến phản biến, thành phần kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé hệ tọa độ cong, cụ thể hệ tọa độ trụ cầu, từ giúp ích cho việc xác định phương trình cân - bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị chương Chương vận dụng hệ thức sở phép tính tenxơ để xây dựng phương trình cân bằng- chuyển động xây dựng phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời trình bày ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng, cụ thể áp dụng khai triển cho vỏ trụ vỏ cầu Nội dung luận văn trình bày chi tiết đây: Chương - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa Tenxơ trường hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đổi tuyến tính hệ sở thành thay đổi theo quy luật xác định Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu hệ thống đặc trưng hay nhiều số Ví dụ Theo quy ước: số chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3 Ví dụ, kí hiệu nghĩa biểu thị phần tử biểu thị phần tử , , , , Hạng tenxơ Hạng tenxơ xác định số lượng số kí hiệu tenxơ Như phụ thuộc vào số nên hệ thống hạng bao gồm hạng tử phụ thuộc vào số nên hệ thống hạng bao gồm phần tử Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n số hệ thống hạng n gồm phần tử Quy ước số Chỉ số hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong biểu thức, số lặp lại lần , biểu thị tổng từ đến 3” Chỉ số số câm nên thay chữ khác Ví dụ: Hệ thống đối xứng Xét hệ thống hạng hai Nếu thay đổi chỗ số cho nhau, thành phần hệ thống không thay đổi dấu giá trị hệ thống gọi hệ thống đối xứng Nếu thay đổi vị trí số cho nhau, thành phần hệ thống thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối hệ thống hệ thống phản đối xứng Ví dụ hệ thống Kronecker hệ thống đối xứng Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Hệ thống đối xứng với hai số đấy, thành phần không thay đổi đổi chỗ hai số cho Ví dụ: Nếu hệ thống đối xứng theo số Hệ thống Levi-Civita hệ thống phản đối xứng hạng số hoán vị chẵn số 1, 2, hoán vị lẻ số 1, 2, Cụ thể: , , Cách thành phần lại Loại tenxơ Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) xác định vị trí số Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hiệp biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ phản biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hỗn hợp hạng hai 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề Xét hệ tọa độ Đềcác vuông góc với véc tơ sở (Hình 1) véctơ bán kính điểm P hệ tọa độ Đềcác O Hình Véc tơ biểu diễn dạng (1.1) Xét điểm Q lân cận điểm P độ dài bình phương vô nhỏ Do hệ tọa độ Đềcác hệ véctơ sở véctơ đơn vị trực giao nên tích vô hướng =0 , nên Suy ra: a Các phép tính tenxơ hạng ( vectơ ) Xét hệ thống có thành phần hệ sở Phép cộng Nhân với số Nhân vô hướng Nhân véctơ Hay viết dạng: Tích hỗn hợp Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ ) b Các phép tính tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao Đối với tenxơ hạng hai tenxơ hạng cao, phép tính thực tương tự tenxơ hạng Chú ý phép tính cộng, trừ áp dụng với tenxơ hạng loại Phép nhân thực với hai tenxơ có hạng Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : Phép cộng Phép trừ Phép nhân vô hướng Tích tenxơ Phép nhân( tích tenxơ) ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao với ý sau phép cộng nhân tenxơ, số số dưới, số số 1.2.2 Hệ tọa độ cong Hệ tọa độ cong với hệ véc tơ sở (Hình 2) véctơ bán kính điểm P hệ tọa độ cong Biểu diễn véc tơ dạng : Hình O Lấy điểm lân cận điểm Độ dài bình phương véc tơ vô nhỏ xác định Trong Phép tính vectơ Cho hai véctơ Phép cộng, trừ Tích vô hướng 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ Bán kính điểm P hệ tọa độ Đềcác biểu diễn dạng: Với véc tơ sở không đổi Trong tọa độ cong bất kỳ, biến liên hệ với tọa đồ Đề miền xét phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị Jacôbiên phép biến đổi thuẩn nghịch khác không Ta có: Suy ma trận nghịch đảo Ta kí hiệu : hay (1.3) Các véctơ thay đổi từ điểm sang điểm khác gọi hệ véctơ sở hiệp biến hệ tọa độ cong Trong véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ; véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ; véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ Cùng với hệ véctơ sở , ta đưa vào hệ véctơ sở phản biến liên hệ theo hệ thức sau (1.4) Nếu xét lân cận vô nhỏ điểm P tọa độ cong, chuyển dịch vô nhỏ từ tới điểm cho ta vi phân vô nhỏ véc tơ bán kính điểm Vậy véctơ biểu diễn dạng: Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ cong khác Ta kí hiệu rêpe địa phương hệ tọa độ cong Do xác định từ biểu thức: Thay (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành: Khai triển cụ thể kết quả: Ngược lại, biến đổi từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ cong Khai triển cụ thể (1.9) Xét véctơ (tenxơ hạng nhất) Có thể biểu diễn véc tơ dạng: Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ cong khác, véctơ không đổi Biểu diễn với thành phần phản biến Suy ra: Khai triển (1.11) cho biểu thức sau: Biểu diễn với thành phần hiệp biến từ suy Biểu diễn cụ thể (1.14) sau Đối với tenxơ hạng hai Một tenxơ hạng hai biểu diễn dạng: Trong thành phần lần phản biến tenxơ thành phần lần hiệp biến tenxơ thành phần lần phản biến, lần hiệp biến tenxơ Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ cong khác với sở tenxơ hạng biểu diễn hệ sở với thành phần lần phản biến sau: Suy ra: bao gồm thành phần: Ví dụ khai triển chi tiết thành phần ta Tượng tự với thành phần lại với ý 10 165 Lấy vi phân biểu thức véctơ 166 167 Sử dụng biểu thức suy 168 169 Thay (1.60) vào (1.59), biểu thức (1.59) trở thành 170 171 Trong : 172 173 Kí hiệu: 174 Vậy: 175 Biểu thức (1.63) đạo hàm hiệp biến tenxơ phản biến hạng biến số hệ tọa độ cong 176 gọi vi phân tuyệt đối thành phần véctơ 177 Trong trường hợp rêpe cố định , suy 178 Xét véctơ với thành phần hiệp biến 179 180 Lấy vi phân hai vế véctơ 181 182 Sử dụng biểu thức (1.54): 183 184 Đặt: 185 đạo hàm biệp biến ten xơ hạng 186 Vậy: 187 188 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai 189 Xét đạo hàm hiệp biến thành phần phản biến tenxơ hạng hai 190 191 Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68) 192 193 số hạng thứ 2: , ta biểu thứ (1.60) thay số hạng thứ trở thành: 194 195 số hạng thứ 3, sử dụng biểu thức (1.60) thay số số hạng thứ trở thành: 24 196 197 Thay số hạng số 2, vừa biểu diễn vào biểu thức (1.69) nhận 198 199 Vậy vi phân tuyệt đối thành phần tenxơ có dạng 200 201 Và đạo hàm hiệp biến 202 203Chương - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 204 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động 205 Trong phần luận văn sử dụng kết véctơ ứng suất, công thức Ostrogradsky- Gauss, định lý động lượng thành phần vật lý tenxơ 206 Giả sử thời điểm ta xét vật tích giới hạn mặt môi trường liên tục chuyển động 208 207 Vật chuyển động với vận tốc , chịu tác động lực khối S , điểm mặt chịu tác dụng V véctơ ứng suất , O 209 Động lượng tổng cộng môi trường chứa kí hiệu xác định biểu thức 210 211 Theo định lý động lượng: biến thiên động lượng miền môi trường liên tục tổng lực tác dụng lên môi trường 212 213 Áp dụng công thức Ostrogradsky- Gauss, ta đưa biểu thức tích phân mặt (2.1) thành biểu thức tích phân thể tích 214 215 Xét vế trái (2.1), ta sử dụng công thức tính đạo hàm vật chất tích phân khối 216 25 217 Theo định luật bảo toàn khối lượng : khối lượng phần môi trường vật chất giữ nguyên, không đổi trình chuyển động Do 218 219 Thể tích chọn tùy ý nên 220 221 Từ ta có 222 223 Thay (2.2), (2.3) vào (2.1) thu biểu thức 224 225 Do thể tích V tùy ý nên biểu thức (2.4) tương đương 226 227 hay 228 229 Các phương trình (2.5) phương trình chuyển động môi trường liên tục 230 Trong đó, áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai ta biểu diễn 231 232 233 nên (2.5) viết sau 234 235 Viết dạng toàn phần 236 237 Các phương trình (2.6) phương trình chuển động môi trường liên tục chiếu lên trục tọa độ 238 Biểu thức (2.6) biểu diễn chi tiết phương trình 239 240 Nếu vận tốc vật thể không phương trình (2.5) có dạng 241 242 Phương trình (2.7) phương trình cân môi trường liên tục 243 Xác định phương trình chuyển động hệ tọa độ trụ 244 Trong tọa độ trụ 245 26 246 247 Áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng hai (1.72) ta có 248 249 250 (2.8) 251 Trong hệ tọa độ trụ có thành phần Christoffel ( khác không, lại không 252 Ta sử dụng kết thống kê bảng 1: 253 Từ ta thay i, j=1 vào (2.8) với lưu ý thu đượ c 254 255 Áp dụng thành phần vật lý tenxơ hạng hai: 256 257 nên 258 259 Thay i=2, j=1 vào (2.8) thay thành phần vật lý tenxơ hạng hai ta có 260 Thay i=3, j=1 vào (2.8) thu 261 262 Thay i=1, j=2 vào (2.8) 263 264 Áp dụng tương tự ta tính giá trị lại 265 266 267 268 269 270 Thay giá trị vào phương trình đầu (2.6), thay giá trị vào phương trình thứ giá trị vào phương trình thứ ta kết 271 272 Vậy phương trình chuyển động hệ tọa độ trụ biểu diễn phương trình 273 274 Với cách làm tương tự ta viết phương trình chuyển động hệ tọa độ cầu 275 276 27 277 Trong hệ tọa độ cầu có 278 Có thành phần ký hiệu Christoffel khác không, lại không 279 281 283 280 282 284 285 Ta áp dụng biểu thức (2.8) tính 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 Ta thay vào phương trình (2.6) sau 296 297 298 299 Vậy ta xác định phương trình chuyển động hệ tọa đồ cầu 300 301 Như qua phép tính toán ta xác định phương trình chuyển động hệ tọa độ trụ cầu tương ứng với phương trình (2.9) (2.10) 302 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị 303 Tenxơ biến dạng nhỏ hệ tọa độ cong cho biểu thức 304 305 Thay biểu thức đạo hàm đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng (1.60) vào (2.11) ta thu 306 307 Trong hệ trực giao, áp dụng biểu thức (1.58) chương vào (2.12) để thiết lập thành phần vật lý tenxơ biến dạng 308 Với ta thay vào (2.12) biểu thức trở thành 309 310 311 28 ( 2.13) 312 Với ta thay vào (2.12) thu 313 314 315 Với ta thay vào (2.12) có biểu thức 316 317 318 Với ta thay (vì hệ trực giao nên ) vào (2.12) nhận 319 320 321 322 Với ta thay vào (1.30), ý hệ trực giao nên làm tương tự ta có 323 (2.1 7) 325 326 (2.1 8) 327 Tổng hợp công thức (2.13)-(2.18) thu thành phần vật lý tenxơ biến 324 dạng 328 329 330 332 334 Xét hệ tọa độ trụ ( 2.19) 331 333 335 338 341 336 339 342 337 340 343 344 Theo bảng chương 1, ta có 345 346 Ta thay giá trị tương ứng vào biểu thức (2.19) 347 348 Các tenxơ tenxơ biến dạng hệ tọa độ trụ, ta viết gọn lại sau 349 350 Với cách tính hệ tọa trụ, ta hoàn toàn áp dụng hệ tọa độ cầu 351 Xét hệ tọa độ cầu 352 354 356 353 355 357 29 358 359 360 361 Theo bảng chương 1, ta có 362 363 Ta thay giá trị tương ứng vào biểu thức (2.19) 364 365 Tổng hợp biểu thức ta thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ cầu 366 367 2.3 Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 368 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi 369 Vỏ mỏng vật thể giới hạn hai mặt cong, độ dày vỏ nhỏ so với kích thước khác 370 Mặt chia đôi độ dày vỏ gọi mặt Tùy thuộc vào dạng mặt phân biệt vỏ cầu, vỏ nón,v v… Ở xét vỏ có độ dày không đổi 371 372 Vectơ bán kính điểm mặt hàm Trong hai thông số tạo thành hệ tọa độ cong điểm mặt Ta có 373 P O Hình 374 Khi phần tử đường xác định công thức 30 375 376 Với 377 378 379 2.3.2 Thành phần biến dạng vỏ mỏng 380 Vỏ mỏng đàn hồi sử dụng giả thiết 381 Đoạn thẳng vật chất giao với mặt trước biến dạng thẳng trực giao với mặt sau biến dạng ( giả thiết pháp tuyến thẳng Kirchhoff) 382 Thành phần ứng suất theo pháp tuyến với mặt nhỏ so với thành phần ứng suất khác nên bỏ qua 384 383 Chọn hệ trục tọa độ sau trục trực giao với mặt giữa, trục hướng theo đường khúc ( đường có tiếp tuyến điểm trùng với phương chính) mặt giữa( Hình 6) Hình 385 Ta sử dụng công thức (2.19) để xác định thành phần biến dạng vỏ mỏng 386 Vỏ có độ dày nhỏ nên 387 388 Trong chuyển dịch điểm mặt giữa, tức với 389 Theo giả thiết thứ “ đoạn thẳng vật chất trực giao với mặt trước biến dạng trực giao với mặt sau biến dạng” dẫn đến biến dạng trượt 390 Thay giá trị công thức (2.34) vào giá trị (2.19 ) ta suy 391 392 393 hay 31 (2.3 5) 394 395 (2.36) 396 Hệ số nhân biến đổi mặt song song cách mặt khoảng có dạng 397 398 (2.37) 399 Trong đó: hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đường mặt bán kính khúc 400 401 Sử dụng công thức (2.37) thay vào công thức (2.36) cho ta xác định 402 403 (2.38) 404 Thay giá trị (2.38) vào (2.34) ta nhận thành phần chuyển dịch theo hướng 405 406 (2.39) 407 Do nên bỏ qua số hạng nhỏ , thay (2.39) (2.37) vào (2.19 ) với ý 408 409 Có thể viết dạng đơn giản 410 412 Với 411 (2.40) 413 414 Trong chuyển dịch mặt giữa, 415 416 417 418 biểu thị biến dạng mặt giữa, biến thiên độ cong mặt giữa, hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đường mặt giữa, bán kính khúc 419 2.3.3 Phương trình cân 420 Để khảo sát thành phần cân bằng, ta khảo sát thành phần lực tác dụng vào phần tử vỏ lấy trục hướng theo tiếp tuyến với đường cong tọa độ 421 Tổng lực theo trục 422 423 Tổng lực theo trục 424 425 Tổng lực theo trục 426 427 Mômen trục 428 429 Mômen trục 430 32 431 Momen trục 432 433 434 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu 435 a Vỏ trụ 436 Đối với vỏ trụ tròn ta chọn hệ tọa độ sau ( Hình 7) 437 Chọn đường tọa độ trùng với đường sinh trụ tròn, đường trùng với đường tròn mặt phẳng thẳng góc với trục Bán kính trụ tròn , phần tử đường có dạng 438 439 Hình a x ds 440 suy 441 442 443 444 (2.4 7) 445 Các thành phần biến dạng vỏ trụ xác định theo công thức (2.40) 446 Thay đại lượng (2.47) vào công thức (2.41) ta thu kết sau 33 447 448 Vậy ta có thành phần biến dạng vỏ trụ 449 450 Phương trình cân vỏ trụ tròn xác định theo công thức (2.42)- (2.46) 451 Thay đại lượng (2.47) vào công thức (2.42)-(2.46) ý 452 453 454 b Vỏ cầu 455 Chọn hệ trục tọa độ sau (Hình 8) 456 Trục tiếp truyến với đường cong tọa độ 457 Trục tiếp tuyến đường cong tọa độ 458 Bán kính vỏ cầu , phần tử đường có dạng 459 34 460 r R Hình ds 35 461 suy 462 463 464 465 (2.51) 466 Các thành phần biến dạng vỏ cầu xác định theo công thức (2.40) Ta thay đại lượng (2.51) vào (2.41) thu 467 468 Vậy thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ cầu 469 470 Các phương trình cân vỏ cầu mỏng xác định theo công thức (2.42)- (2.46) với ý 471 472 Mômen trục đại lượng nhỏ bậc cao nên bỏ qua 473 Kết luận 474 Luận văn trình bày khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phương trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi thu phương trình tính biến dạng – chuyển vị hệ phương trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu 475 Luận văn đạt số kết sau: - Trình bày phép biến đổi để thu Các véctơ sở hiệp biến, phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Các thành phần tenxơ mêtric phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Các hệ số Lamé hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu Dẫn biểu thức liên hệ thành phần Christoffel đạo hàm véctơ - sở Xác định thành phần kí hiệu Christoffel hệ tọa độ trụ hệ tọa độ - cầu Dẫn biểu thức đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng đạo hàm hiệp biến i ii iii iv i tenxơ hạng hai Trình bày phương trình chuyển động hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu, Tính thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu Vận dụng phép tính sở tenxơ vào toán vỏ trụ tròn, vỏ cầu 476 Những hướng nghiên cứu tiếp theo: Giải gần phương pháp số số toán đặt tải đơn giản vỏ trụ, vỏ cầu theo phương pháp thiết lập ii Giải gần phương pháp số số toán đàn hồi cho chữ nhật tròn theo phương trình thiết lập 477 Tài liệu tham khảo [1] Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] A W Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed Wiley [4] D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics: Second Edition, Westview Press [5] Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridgr University Press [6] Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company, New York [7] Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New York [8] I.N Broustein, K.A Semendyayev, G Musiol,H Muehlig (2004), Handbook of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York [9] J.H Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing [10] Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger Dordrecht Heidelberg London New York [11] Ralph Abraham, J E Marsden, T Ratiu (1988), Tensor Analysis, and Applications, 2nd ed, Springer-Verlag, New York [12] R.Bishop, S.Goldberg (1980), Tensor Analysis on Manifolds, New York: Dover [13] R.Aris (1989), Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, New York: Dover [14] Sokolnikoff IS (1964), Tensor Analysis, Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, New York 478 479 480 481 482 MỤC LỤC [...]... thức (1.40) suy ra 135 Sử dụng biểu thức (1.47) tính được các hạng tử 136 137 c Ví dụ 22 138 Để tính các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và cầu, ta sử dụng bảng giá trị ở bảng 1, ta tính ra được các rồi thay vào (1.58) sẽ cho ta kết quả 139 Trong hệ tọa độ trụ,cầu có 27 thành phần nhưng do tính chất (9 cặp) nên ta chỉ cần tính 18 thành phần Christoffel 140 Trong hệ tọa độ trụ ( Christoffel... biểu diễn ở trên vào biểu thức (1.69) nhận được 198 199 Vậy vi phân tuyệt đối của các thành phần của tenxơ có dạng 200 201 Và đạo hàm hiệp biến 202 203Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 204 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động 205 Trong phần này bài luận văn sử dụng kết quả của véctơ ứng suất, công thức Ostrogradsky- Gauss, định lý về động lượng và thành phần vật... qua biểu thức - tenxơ Kronecker Với hệ cơ sở đã biết ta xác định được hay Đặt: 12 Hoặc Trong đó : Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao (, các véc tơ cơ sở trùng nhau về hướng nhưng độ lớn khác nhau Thật vậy, ta có mà Suy ra : cùng hướng, khác nhau về độ lớn Tương tự các cặp cũng cùng chiều và khác độ lớn Trong trường hợp này: Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính ta được: Thực hiện tương tự ta cũng... hai: 256 257 nên 258 259 Thay i=2, j=1 vào (2.8) và thay thành phần vật lý của tenxơ hạng hai như trên ta có 260 Thay i=3, j=1 vào (2.8) thu được 261 262 Thay i=1, j=2 vào (2.8) 263 264 Áp dụng tương tự ta tính được các giá trị còn lại 265 266 267 268 269 270 Thay các giá trị của vào phương trình đầu của (2.6), thay các giá trị vào phương trình thứ 2 và các giá trị vào phương trình thứ 3 ta được kết quả... 291 292 293 294 295 Ta thay các lần lượt vào các phương trình của (2.6) như sau 296 297 298 299 Vậy ta xác định được các phương trình chuyển động trong hệ tọa đồ cầu 300 301 Như vậy qua các phép tính toán như trên ta đã xác định được các phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ và cầu tương ứng với các phương trình ở (2.9) và (2.10) như trên 302 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ... của ( 1.19) với Tương tự tính được Thay các vào ( 1.19) suy ra Ngược lại véc tơ có thể biểu diễn qua các cơ sở Ví dụ Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với sẽ được 11 Do nên Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với sẽ có Nhân 2 vế của ( 1.23) với Thay vào ( 1.23) Hay Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số như sau: ( phép nâng chỉ số) ( phép hạ chỉ số) 1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide... các giá trị tương ứng vào biểu thức (2.19) sẽ được 347 348 Các tenxơ trên là các tenxơ biến dạng trong hệ tọa độ trụ, ta có thể viết gọn lại như sau 349 350 Với cách tính như trong hệ tọa trụ, ta hoàn toàn có thể áp dụng được đối với hệ tọa độ cầu 351 Xét trong hệ tọa độ cầu 352 354 356 353 355 357 29 358 359 360 361 Theo bảng 1 ở chương 1, ta có 362 363 Ta thay các giá trị tương ứng vào biểu thức (2.19)... lượng ở (2.51) vào (2.41) thu được 467 468 Vậy các thành phần tenxơ biến dạng của hệ tọa độ cầu 469 470 Các phương trình cân bằng của vỏ cầu mỏng được xác định theo công thức (2.42)- (2.46) với chú ý 471 472 Mômen đối với trục là đại lượng nhỏ bậc cao nên bỏ qua 473 Kết luận 474 Luận văn trình bày các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi của tenxơ Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ... trụ và hệ tọa độ cầu Các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu Các hệ số Lamé trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu Dẫn ra được các biểu thức liên hệ giữa các thành phần Christoffel và đạo hàm của véctơ - cơ sở Xác định được các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ - cầu Dẫn ra được biểu thức đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất và đạo... tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu là hai hệ tọa độ cong trực giao Ta đi xác định tenxơ metric trong hai hệ tọa độ này Tọa độ trụ ( Hình 3.) Phép biến đổi tọa độ 13 z Hình 3 P 14 Ta tính được Suy ra từ công thức (1.31) Thay (1.31) vào (1.29) ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ trụ Vậy: Suy ra Thay (1.32) vào (1.30) ta sẽ thu được các thành phần của tenxơ metric phản biến trong hệ