tài liệu hay nhất cần xem

Hội Toán Học Việt Nam thông tin toán học Tháng Năm 1998 Pierre Fermat (1601-1665) Lu hành nội Tập Số Thông Tin Toán Học Tổng biên tập: Đỗ Long Vân Lê Tuấn Hoa Hội đồng cố vấn: Phạm Kỳ Anh Đinh Dũng Nguyễn Hữu Đức Trần Ngọc Giao Phan Quốc Khánh Phạm Thế Long Nguyễn Khoa Sơn Vũ Dơng Thụy Ban biên tập: Nguyễn Lê Hơng Nguyễn Bích Huy Lê Hải Khôi Tống Đình Quì Nguyễn Xuân Tấn Đỗ Đức Thái Lê Văn Thuyết Nguyễn Đông Yên Tạp chí Thông Tin Toán Học nhằm mục đích phản ánh sinh hoạt chuyên môn cộng đồng toán học Việt nam quốc tế Tạp chí thờng kì 46 số năm Thể lệ gửi bài: Bài viết tiếng việt Tất bài, thông tin sinh hoạt toán học khoa (bộ môn) toán, hớng nghiên cứu trao đổi phơng pháp nghiên cứu giảng dạy đợc hoan nghênh Tạp chí nhận đăng giới thiệu tiềm khoa học sở nh giới thiệu nhà toán học Bài viết xin gửi soạn Nếu đợc đánh máy tính, xin gửi kèm theo file Quảng cáo: Tạp chí nhận đăng quảng cáo với số lợng hạn chế sản phẩm thông tin liên quan tới khoa học kỹ thuật công nghệ Mọi liên hệ với tạp chí xin gửi về: Tạp chí: Thông Tin Toán Học Viện Toán Học HT 631, BĐ Bờ Hồ, Hà Nội e-mail: bantin@thevinh.ncst.ac.vn â Hội Toán Học Việt Nam ảnh nhà toán học đăng bìa lấy từ su tầm GS-TS Ngô Việt Trung Về định lí cuối Fermat Andrew Wiles Nguyễn Quốc Thắng (Viện Toán học) LTS: Mục nhằm giới thiệu kiện bật toán học giới thiệu hớng nghiên cứu nớc Tác giả viết tốt nghiệp ĐHTH Minsk năm 1980 Anh sang Canada làm Master, đợc Master chuyển thẳng lên làm Ph.D bảo vệ luận án năm 1994 Đại số Anh vừa trở sau chuyến cộng tác khoa học năm Israel sách số học nói định lí cuốí Fermat Thế từ định lí Fermat đeo đuổi anh suốt quãng đời niên thiếu trởng thành Cũng nh thiếu niên say mê toán trái đất này, anh thử tìm lời giải toán tởng chừng đơn giản nhng lại hóc búa Song lời giải tuột khỏi anh điều lại làm cho anh say mê Và anh sớm nhận để có đợc lời giải toán cần phải có kiến thức sâu rộng lí thuyết số ngành liên quan Năm 1971 anh vào học trờng ĐHTH Oxford tiếng Anh quốc, Merton College tốt nghiệp năm 1974 Cùng năm anh vào học Clare College ĐHTH Cambridge nhận Tiến sĩ (Ph.D.) năm 1977 Trong thời gian làm nghiên cứu sinh dới hớng dẫn giáo s John Coates, anh nhận đợc kết độc đáo sâu sắc số học đờng cong elliptic, khuôn khổ chơng trình rộng lớn liên quan đến giả thuyết Birch SwinnertonDayer Những kết đợc đăng năm 1977 báo viết chung với J Coates Inventiones Mathematicae, tạp chí có uy tín lớn giới toán học Từ năm 1977 đến 190 anh nghiên cứu viên (Junor Research Fellow) Clare College có hàm Trợ lí giáo s mang tên Benjamin Peirce trờng ĐHTH Harvard tiếng Mỹ Năm 1981 anh giáo s thỉnh giảng Sonderforschungsbereich: Theoretische Mathematik (Phòng nghiên cứu đặc biệt toán lí thuyết) ĐHTH Bonn (CHLB Đức) sau thành viên Nh nhiều ngời biết ``cuối định lí cuối Fermat, đợc đặt cách 350 năm, đợc chứng minh cách chặt chẽ, khẳng định phơng trình (1) xn + yn = zn, xyz 0, n 3, nghiệm nguyên (x,y,z) Do đợc phát biểu đơn giản đờng tìm tòi giải sinh nhiều hớng toán học, toán trở thành toán tiếng toán học Đã có nhiều báo tổng quan, chuyên môn lẫn không chuyên, đề cập đến lịch sử định lí này, cách chứng minh, phơng hớng triển vọng phát triển vấn đề có liên quan Gần có hàng loạt sách chuyên khảo dành cho chuyên gia lĩnh vực lí thuyết số hình học đại số trình bày chi tiết lí thuyết đại toán học có liên quan đến toán Fermat lời giải Andrew Wiles với cộng tác học trò cũ anh Richard Taylor Tuy nhiên có vài t liệu hay liên quan đến định lí Fermat Wiles có lẽ cha đợc biết đến rộng rãi mà ngời viết muốn chia sẻ với bạn đọc Andrew Wiles sinh thành phố Cambridge, Vơng quốc Anh, ngày 11 tháng năm 1953 Lúc học phổ thông, hôm hoàn toàn tình cờ, anh vớ đợc Institute for Advanced Study (Học viện nghiên cứu cấp cao) Princeton (Mỹ), viện nghiên cứu có uy tín lớn giới Năm 1982 anh trở thành giáo s thức ĐHTH Princeton mùa xuân năm anh giáo s thỉnh giảng ĐHTH Paris 11, Orsay (Pháp) Với học bổng Guggenheim anh đến nghiên cứu Institut des Hautes Etudes Scientifiques Ecole Normale Superieure (1985 1986) (Pháp) Từ 1988 đến 1990 anh giữ hàm giáo s nghiên cứu Hội Khoa học Hoàng gia năm 1989 đợc bầu làm thành viên Hội khoa học tiếng Năm 1994 A Wiles đợc bầu làm thành viên American Academy of Arts and Sciences (Viện Hàn lâm khoa học nghệ thuật Mỹ) giữ hàm giáo s mang tên Higgins ĐHTH Princeton Sau giải đợc toán Fermat, tài anh đợc giới biết đến công nhận cách rộng rãi Anh đợc trao hàng loạt giải thởng khoa học danh tiếng nh Schock Prize (1995), Wolf Prize (1995), Ostrowski Prize (1996), Commonwealth Award (1996), National Academy of Sciences Award (1996), Cole Prize in Number Theory (1997), Wolfskehl Prize (1997), King Faisal International Prize in Science (1998) Điểm lại công trình A Wiles (tính đến ngày 9/3/1998, toàn bao gồm 18 công trình) ta thấy anh viết không nhiều song nói hầu nh công trình anh (hoặc viết chung với nhà toán học khác) mang tính chất tảng lời giải có tính triệt để cao giả thuyết, toán quan trọng lý thuyết số đại Nhiều ngời làm toán biết nhiều toán, giả thuyết mà quan tâm giải đợc coi nh trờng hợp riêng toán, giả thuyết tổng quát hơn, bao trùm Suy nghĩ Wiles hớng lời giải nh Vì công trình Wiles đợc đăng tạp chí có uy tín Ví dụ nh anh đăng báo Annals of Mathematics, báo Inventiones Mathematicae (mà ngời tự hào nh có báo đăng tạp chí đó) Điều quan trọng Wiles tìm lời giải toán, giả thuyết then chốt nhất, sâu sắc lý thuyết số đại Vì trớc ngỡng cửa lời giải cho toán Fermat, A Wiles đợc trang bị kỹ thuật tinh tế lý thuyết Iwasawa (anh chứng minh giả thuyết Iwasawa năm 1990) lý thuyết số học trờng cyclotomic (chia đờng tròn), lý thuyết dạng modular, lý thuyết biểu diễn nhóm Galois lý thuyết biểu diễn p-adic Cho nên nói A Wiles kết hợp đợc nhuần nhuyễn sáng tạo tất tinh hoa toán học kỉ 20 để giải toán Fermat Bây điểm lại vài nét lịch sử chứng minh định lí Fermat Nh biết Fermat viết vào lề sách số học ông tìm lời giải cho toán (1) song chỗ để viết vào Lịch sử toán học chứng tỏ Fermat chứng minh đợc định lí cuối cho trờng hợp n = cách xây dựng lí thuyết đờng cong elliptic Song mối liên hệ hiển đờng cong elliptic phơng trình Fermat (1) bậc cao hơn, nên đờng cong elliptic không đóng vai trò 350 năm sau việc chứng minh định lí Fermat Nhà toán học Pháp Y Hellegouarch báo đăng Acta Arithmetica (1974) ngời suốt thời gian tìm số liên hệ định lí Fermat đờng cong elliptic Tuy nhiên đến năm 1987 G Frey giả định mô tả (a,b,c) với abc 0, n nghiệm an + bn = cn, đờng cong elliptic y2=x(x - an)(x + bn) không modular Điều trái với giả thuyết ShimuraTaniyama (một giả thuyết sâu sắc quan trọng lí thuyết số đại, nói đơng cong elliptic modular) Sau Serre (1985-1986) đa giả thuyết đóng vai trò quan trọng việc chứng minh địng lí Fermat J.-P Serre nêu (và với J F Mestre kiểm tra số ví dụ cụ thể) giả thuyết dạng modular biểu diễn Galois modulo p Nói riêng Serre chứng minh trờng hợp riêng giả thuyết đó, gọi giả thuyết Epsilon với giả thuyết ShimuraTaniyama kéo theo Định lí Fermat Ngay năm (1986), K Ribet, nhà toán học Mỹ tiếng, dựa ý tởng Mazur chứng minh đợc giả thuyết Epsilon Serre Thực ra, K Ribet gặp khó khăn chỗ mấu chốt Tuy nhiên buổi trao đổi ông ta với Mazur tiệm cà phê sinh viên ĐH Berkeley, Mazur lí thuyết Ribet đủ để giải điểm then chốt A Wiles sau nghe tin giả thuyết Epsilon đợc chứng minh hiểu cán cân lực lợng nghiêng hẳn phơng pháp có liên quan đến giả thuyết ShimuraTaniyama Về sau anh tâm từ thời điểm trở đời anh thay đổi hẳn "Tôi không muốn tuột khỏi tay lần Từ lúc A Wiles đề chơng trình để chứng minh giả thuyết Shimura-Taniyama cho đờng cong elliptic nửa ổn định - ``chỉ cần chứng minh định lí Fermat Cùng thời gian đó, Kolyvagin Rubin độc lập phát triển lí thuyết gọi hệ Ơle Nhiều nhà toán học đánh giá phát kiến có tính chất cách mạng lí thuyết số học đại nói chung số học đờng cong elliptic nói riêng Một cách tự nhiên, đầu A Wiles thử áp dụng kĩ thuật lí thuyết Iwasawa để chứng minh định lí Fermat Tuy nhiên có vài cản trở trờng hợp nghiên cứu biểu diễn l-adic với l = Đồng thời lại nảy sinh số vấn đề liên quan đến giao đầy đủ Đại số giao hoán, nên nghiên cứu mở rộng phơng pháp M Flach - bớc then chốt chơng trình chứng minh - anh định áp dụng lí thuyết hệ Ơle Đến mùa hè 1993, việc dờng nh đâu vào Ngày 23/6/1993, phút cuối giảng thứ Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences (Viện Toán học mang tên Niutơn) Cambridge, A Wiles chậm rãi viết bảng hệ quả: Định lí Fermat đợc chứng minh Ngay sau giới toán học đại chúng hân hoan chào đón tin mừng Phần lớn tin tởng vào đắn chứng minh, nhng số thận trọng tỏ ý hoài nghi A Wiles gửi báo với chứng minh chi tiết đến tạp chí Inventiones Mathematicae nêu Đồng thời anh gửi cho ngời bạn thân Nicolas Katz nhà toán học Mỹ có uy tín Princeton thảo dày cộp để lấy ý kiến Trong suốt hai tháng hè 7-8/1993, Katz ngồi đọc thảo Wiles, kiểm tra lại câu, chữ Thỉnh thoảng ông ta e-mail lại cho Wiles yêu cầu giải thích rõ chi tiết cha đợc viết ra, luận điểm cha sáng tỏ Sau Wiles trả lời, việc xem suôn sẻ, Song đến hôm, Katz yêu cầu giải thích kết liên quan đến hệ Ơle mà Wiles xây dựng mà ông cho cha chặt chẽ, chí không tồn tại! Wiles trả lời nh thế, , nh thế, song sau lần trả lời Katz lại viết : ``tôi không hiểu! Đến lần thứ ba Wiles thấy thực có vấn đề Và đến mùa thu năm 1993, Wiles nhận thấy việc sử dụng hệ Ơle (để mở rộng phơng pháp Flach) cha đầy đủ, sai Một số nhà toán học khác nh Luc Illusie nhận vấn đề tơng tự Tin đồn, tiếng bàn tán xì xào lại loang ra, không ngời nghĩ phải bắt đầu lại từ đầu Nhiều ngời muốn hỏi, chất vấn Wiles thực vấn đề nhng Wiles hoàn toàn im lặng Hơn nữa, hầu nh có thảo công trình Wiles (trừ phản biện bạn thân mà Wiles nhờ đọc hộ), nên có báo viết nh không trung thực Đầu năm 1994, trớc đòi hỏi d luận, A Wiles có gửi e-mail ngắn INTERNET thông báo cách rộng rãi chứng minh có lỗ hổng anh hi vọng khắc phục đợc, thông báo bớc khắc phục khoá dạy cao học ĐH Princeton Tuy nhiên, kết thúc khoá cao học, có số tiến việc cải tiến phép chứng minh, Wiles cha tìm lối thoát Anh viết: `` cha suy nghĩ lại cách tiếp cận ban đầu mà gác lại sang bên từ hè 1991 nghĩ cách tiếp cận dùng hệ Ơle đúng. Tháng giêng 1994, học trò cũ Wiles Cambridge tên R Taylor đến hợp sức với Wiles hi vọng chữa lại luận điểm sai việc dùng hệ Ơle Đến xuân-hè 1994, sau thấy việc sửa chữa kết quả, Wiles Taylor bắt đầu quay lại cách tiếp cận cũ Wiles cố nghĩ luận điểm cho trờng hợp l = Đến tháng 8/1994 họ gặp phải trở ngại không vợt qua Không hoàn toàn tin tởng phơng pháp hệ Ơle không sửa đợc, Taylor quay Cambridge cuối 8/94 Tháng 9/1994, Wiles định xem lại lần cuối cách tiếp cận cũ để tìm điều cản trở chủ yếu Bằng cách đó, ngày 19/9/1994 - Wiles viết - thấy loé lên tia sáng mở rộng lí thuyết de Shalit dùng với đối ngẫu cho vành Hecke Và Wiles tìm cách giải cho điểm mấu chốt cho cách giải mà anh gác lại năm trớc Sau thông báo điều cho Taylor, hai ngời lại hợp sức tiến hành nghiên cứu chi tiết phát kiến hoàn thành bớc định thiếu, sau đợc công bố báo viết chung [TW] số tính chất vành Hecke Và Định lí Fermat đợc chứng minh hoàn toàn chặt chẽ đợc công bố báo [W] Nếu xem buổi vấn [B] TV BBC tháng 11/1997 hẳn phải cảm động thấy A Wiles đầu, xúc động, rơm rớm nớc mắt không nói nên lời đợc yêu cầu kể lại giai đoạn việc giải Bài toán FERMAT Các bạn thấy nhà toán học đâu phải hoàn toàn khô khan, làm toán đâu phải không đem lại cảm xúc mãnh liệt Tài liệu tham khảo [B] BBC: The Last Theorem of Fermat, November 1997 [TW] R Taylor and A Wiles, Ringtheoretic properties of certain Hecke algebras, Annals of Mathematics 141(1995), 553-572 [W] A Wiles, Modular elliptic curves and Fermats last Theorem, Annals of Mathematics 141(1995), 443-551 [W1] A Wiles, C V., http://www.math.princeton.edu [W2] A Wiles, Bibliography, http://www.math.princeton.edu giảng Mỗi giảng nên nêu lên chủ đề nhắc lại liên tục giống nh hát có nhiều lời Ngời nghe giống nh đàn bò chuyển động cách chậm chạp theo hớng đợc dẫn Nếu ta nêu chủ đề ta có may hớng đợc ngời nghe theo hớng Nếu ta dẫn theo nhiều hớng đàn bò tán loạn đồng Ngời nghe hứng thú ngời phải quay trở lại chỗ họ dừng nghe để tiếp tục theo dõi giảng Mời học cho ngời làm toán? Gian-Carlo Rota LTS: Trong mục đăng tải trao đổi việc học, làm giảng dạy toán học Để mở đầu mục xin trân trọng giới thiệu ý kiến nhà toán học Mỹ thông qua lời dịch giới thiệu GS-TS Ngô Việt Trung Lời giới thiệu: Gian-Carlo Rota nhà toán học Mỹ hàng đầu Ông giáo s toán học ứng dụng triết học Học viện công nghệ Massachussett (MIT) trởng ban biên tập tạp chí Advances in Mathematics, tạp chí danh giá toán học giới Vừa qua ông trình bày kinh nghiệm ông "nghề toán" phát biểu với tên gọi: Mời học ớc đợc ngời ta dạy cho biết trớc (Ten lessons I wish I have been taught) Bài phát biểu Rota gây tranh luận sôi nhà toán học Mỹ nhiều học không tuân theo lối suy nghĩ thông thờng Tôi hy vọng dịch sau phản ánh đợc điều Rota muốn truyền đạt (Ngô Việt Trung) b Không giảng Giảng lỗi tha thứ đợc Sau 50 phút (một vi kỷ nh von Neumann thờng nói) ngời không quan tâm đến giảng ta chứng minh giả thuyết Riemann Một phút giảng làm hỏng giảng hay c Liên hệ đến ngời nghe Khi vào phòng ta phải để ý xem có số ngời nghe mà công trình ngời có liên quan đến giảng Hãy bố trí lại giảng cho công trình ngời đợc đề cập đến Bằng cách này, ta có ngời chăm theo dõi giảng thêm ngời bạn Tất ngời đến nghe giảng ta hy vọng cách thầm kín công trình họ đợc nhắc đến Giảng Bốn yêu cầu sau cho giảng hay hiển nhiên ngời nghĩ đến giảng đợc nghe 40 năm qua d Đem đến cho ngời nghe điều họ mang nhà Đây lời khuyên Struik Không dễ thực đợc lời khuyên Ta dễ dàng nêu lên mặt giảng đợc ngời nghe nhớ mà ngời giảng trông đợi Tôi thờng gặp cựu sinh viên MIT nghe giảng a Mỗi giảng nên có chủ đề Nhà triết học Đức Hegel nói nhà tiết học hay dùng từ "và" nhà triết học giỏi Tôi cho ông ta nói đúng, Phần lớn họ thú nhận quên nội dung giảng tất kiến thức toán học mà nghĩ truyền đạt đợc cho họ Tuy nhiên, họ vui vẻ nhắc lại câu đùa tếu, mẩu chuyện tiếu lâm, nhận xét bên lề hay lỗi bìa tông Thật lạ lùng, báo Riesz đợc in lại với chữ to Tôi thích báo Riesz chúng đợc viết đẹp gây cho ngời đọc cảm giác dứt khoát Khi đọc kỹ Tuyển tập công trình Riesz cảm giác khác lên Những ngời biên tập tận dụng in hết thứ nhỏ nhặt mà Riesz công bố Rõ ràng công trình Riesz không nhiều Ngạc nhiên công trình đợc xuất nhiều lần Riesz thờng công bố thảo thô ý tởng tạp chí không tên tuổi Hungary Một vài năm sau ông gửi đăng loạt thông báo tờ Comptes Rendus Viện hàn lâm Pháp với ý tởng đợc chi tiết hoá thêm Một vài năm trôi qua ông đăng báo cuối tiếng Pháp tiếng Anh Kỹ thuật bên bảng đen a Hãy xoá vết phấn cũ bảng Một điều quan trọng phải xoá hết vết phấn sót lại sau lau bảng Bằng cách bắt đầu với bảng đen không vết phấn ta thầm đa cảm tởng cho ngời nghe giảng tỳ vết b Bắt đầu viết từ góc bên trái bảng Những ta viết bảng phải tơng ứng với ta muốn ngời nghe chăm viết vào họ Nên viết chậm với chữ to không viết tắt Những ngời nghe có ghi chép có thiện ý với ta ta nên giúp họ ghi chép Khi sử dụng đèn chiếu, ta nên thêm thời gian giải thích trang đợc chiếu cách đa lời bình luận không quan trọng hay nhắc lại ý để ngời nghe có thời gian chép lại trang đợc chiếu Tất rơi vào ảo tởng ngời nghe có thời gian đọc trang giảng ta đa cho họ sau giảng Đó ớc mong mà Koranyi, ngời theo học Riesz, nói với Riesz thờng dạy chủ đề năm qua năm khác suy ngẫm việc viết báo cuối Không đáng ngạc nhiên báo hoàn hảo Ví dụ Riesz xứng đáng đợc noi theo Giới toán học bị chia làm nhiều nhóm nhỏ, nhóm có thói quen, ký hiệu khái niệm riêng Vì cần thiết phải trình bày kết dới nhiều dạng khác nhau, dạng sử dụng đợc cho nhóm đặc biệt Nếu không giá phải trả việc ngời phát lại kết ta với ngôn ngữ ký hiệu khác họ có lý khẳng định kết họ Công bố kết nhiều lần Sau bảo vệ luận án nghiên cứu giải tích hàm số năm Tôi mua Tuyển tập công trình F Riesz sách to, dày nặng đợc xuất Nhng bắt đầu lớt xem không nhận thấy trang sách dày, gần nh Anh đợc nhớ đến báo tổng quan anh Chúng ta xét hai ví dụ, bắt đầu với Hilbert Khi nhắc đến Hilbert, nghĩ đến số định lý tiếng ông nh Định lý sở Hilbert Nhng tên Hilbert thờng đợc nhớ đến công trình Tổng quan số học (Zahlbericht) hay sách Cơ sở hình học hay giáo trình ông phơng trình tích phân công bố nhánh triết học đợc gọi khoa học tợng (phenomenology) Sau công bố báo môn này, bực ngời ta nói với hội nghị Hội khoa học tợng triết học tồn (existential philosophy) cách úp mở điều viết báo đợc biết bị buộc phải xem lại tiêu chuẩn công bố môn khoa học tợng Tên gọi "không gian Hilbert" đợc đa Stone von Neumann để ghi nhận giáo trình Hilbert phơng trình tích phân mà từ "phổ" đợc định nghĩa lần đầu tiên, 20 năm trớc môn Cơ học lợng tử đời Giáo trình gần nh tổng quan đợc dựa theo công trình Hellinger nhiều nhà toán học khác mà tên họ ngày bị lãng quên Một chuyện công trình sở môn khoa học tợng đợc viết ngôn ngữ triết học Đức nặng nề Theo truyền thống ví dụ minh họa điều đợc bàn Một hôm định công bố với chút nghi ngại báo thật viết lại vài đoạn từ sách Husserl cộng thêm vài ví dụ Tại hội nghị Hội khoa học tợng triết học tồn tại, chờ đợi điều xấu xẩy nhà khoa học tợng hàng đầu xông đến với nụ cời môi Ông ta ca ngợi báo hết lời khuyến khích phát triển tiếp ý tởng mẻ độc đáo báo Tơng tự, Cơ sở hình học làm cho tên tuổi Hilbert quen thuộc với ngời làm toán không chứa công trình gốc ông gặt hái kết công trình nhiều nhà hình học nh Kohn, Schur, Wiener (không phải Schur Wiener mà nghe tên), Pasch, Pieri nhiều nhà toán học Italia Cũng nh thế, Tổng quan số học, công trình sở cách mạng hoá môn lý thuyết số, thực báo tổng quan mà tờ báo Bulletin Hội toán học Đức đặt cho Hilbert viết Mỗi nhà toán học có vài mẹo Cách lâu nhà số học già tiếng đa số nhận xét chê bai công trình Erdos Tôi khâm phục đóng góp Erdos cho toán học cảm thấy bực nhà toán học già nói cách khẳng định tất công trình Erdos rút gọn vài mẹo mà Erdos dựa vào chúng chứng minh Điều mà nhà số học không nhận thấy nhà toán học khác, kể ngời giỏi nhất, dựa vào vài mẹo mà họ sử dụng lần đến lần khác Hãy xem Hilbert Quyển hai Tuyển tập William Feller ví dụ khác Feller đợc nhớ đến nh tác giả sách hay xác xuất Rất ngời làm xác xuất nêu lên tên công trình nghiên cứu Feller Phần lớn ngời Feller vốn nghiên cứu hình học lồi Hãy cho phép lạc đề với hồi tởng cá nhân Thỉnh thoảng có