Sáng kiến kinh nghiệm SKKN hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán cực trị trong môn hình học

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI : "CỰC TRỊ HÌNH HỌC" I/Đặt vấn đề : Trong chương trình , môn học tự chọn mang tính bắt buộc , tài liệu phục vụ cho việc dạy học môn hạn chế Trong trình dạy học tự chọn bồi dưỡng học sinh giỏi lớp thân viết chủ đề nhằm giúp cho học sinh đào sâu kiến thức học , tập thói quen tự học , tập dượt nghiên cứu vấn đề đơn giản phục vụ cho em có khả học hứng thú với môn Toán II/Cơ sở lý luận: + Theo hướng dẫn dạy học tự chọn cấp THCS THPT số 8607/BGDĐT –GDTrH ban hành ngày 16/8/ 2007 Giáo dục Đào tạo + Theo hướng dẫn Sở GD &ĐT Quảng Nam năm 2006 chương trình khung bồi dưỡng HS giỏi môn Toán THCS + Phương pháp dạy chủ đề tự chọn nâng cao hướng vào bổ sung , nâng cao kiến thức khai thác sâu chương trình, rèn luyện kỹ tư sáng tạo cho học sinh +Rèn luyện cho em có lực học tập , nâng cao khả tư sáng tạo, rèn luyện kỹ áp dụng kiến thức Toán học vào môn khác III/ Cơ sở thực tiễn: +Đây dạng toán hình học sử dụng chương trình hình học THCS Tuy nhiên sách giáo khoa hướng dẫn phương pháp giải toán cách cụ thể ,vì học sinh thường lúng túng gặp dạng toán +Trong trình dạy chủ đề tự chọn loại nâng cao dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp , thân tìm hiểu nhiều tài liệu nhận thấy dạng toán tương đối khó , nhiên phần nhiều tài liệu đưa tập giải đề cập đến lý thuyết học sinh giải dạng toán không hiểu đề, không tìm lời giải có đơn giản không trình bày giải + Các toán cực trị gắn toán học với thực tiễn việc tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ việc tìm tối ưu thường đặt đời sống kỹ thuật IV /Nội dung nghiên cứu : Phần 1: Giới thiệu chung: 1- Tên chủ đề : Cực trị hình học 2- Loại chủ đề: Nâng cao 3- Mục tiêu : Sau học xong chủ đề học sinh cần đạt : + Kiến thức : Cùng với kiến thức sách giáo khoa, hệ thống kiến thức hình học chương trình THCS , biết giải toán tìm giá trị lớn , nhỏ hình học + Kỹ : Biết nhận dạng tập có liên quan đến tìm giá trị lớn , nhỏ hình học vận dụng kiến thức học để giải chúng + Thái độ : Có ý thức tự học , cẩn thận , xác, sáng tạo 4- Thời lượng : tiết Phần 2A-Phương pháp giải toán cực trị hình học: tiết Phần 2B-Các kiến thức thường dùng giải toán cực trị hình học : tiết Phần -Bài tập ôn luyện : tiết Kiểm tra : tiết 5- Hướng dẫn tự học: + Đọc kỹ hiểu phần 2A : Phương pháp giải toán cực trị hình học + Đọc kỹ phần 2B : kiến thức cần nhớ ví dụ sau tự làm ví dụ so sánh với giải chủ đề để rút kinh nghiệm + Dựa vào ví dụ , làm tập Nếu chưa giải đọc phần hướng dẫn giải Phần hướng dẫn giải giải chưa hoàn chỉnh , trình bày giải đầy đủ cụ thể + Sau học hết chủ đề tự làm kiểm tra 6- Phạm vi áp dụng : Tài liệu dùng cho : +Học sinh , giỏi ham thích môn Toán +Dạy học tự chọn môn Toán lớp 9(nâng cao) +Dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Phần 2: Kiến thức trọng tâm A-Phương pháp giải toán cực trị hình học 1- Dạng chung toán cực trị hình học : “ Trong tất hình có chung tính chất , tìm hình mà đại lượng ( độ dài đoạn thẳng , số đo góc, số đo diện tích …) có giá trị lớn giá trị nhỏ nhất.” cho dạng : a) Bài toán dựng hình Ví dụ : Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn , xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ b) Bài toán vể chứng minh Ví dụ : Chứng minh dây qua điểm P đường tròn (O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ c) Bài toán tính toán Ví dụ : Cho đường tròn (O;R) điểm P nằm đường tròn có OP = h , Tính độ dài nhỏ dây qua P 2- Hướng giải toán cực trị hình học : a) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị lớn ta phải chứng tỏ : +Với vị trí hình H miền D f ≤ m ( m số ) +Xác định vị trí hình H miền D cho f = m b) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị nhỏ ta phải chứng tỏ : +Với vị trí hình H miền D f ≥ m ( m số ) +Xác định vị trí hình H miền D để f = m - Cách trình bày lời giải toán cực trị hình học + Cách1 :Trong hình có tính chất đề bài,chỉ hình chứng minh hình khác có giá trị đại lượng phải tìm cực trị nhỏ ( lớn ) giá trị đại lượng hình + Cách2 :Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng đạt cực trị đại lượng khác đạt cực trị trả lời câu hỏi mà đề yêu cầu Ví dụ : Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn( P không trùng với O).Xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ Giải : +Cách : Gọi AB dây vuông góc với OP P , dây CD dây qua P không trùng với AB ( h.1) Kẻ OH ⊥ CD C O ∆OHP vuông H ⇒ OH < OP ⇒ CD > AB Như tất dây qua P , dây vuông OP P có độ dài nhỏ A H B P h D +Cách : Xét dây AB qua P ( h.2) Kẻ OH ⊥ AB Theo liên hệ dây khoảng cách đến tâm: AB nhỏ ⇔ OH lớn Ta lại có OH ≤ OP OH = OP ⇔ H ≡ P Do maxOH = OP A O H P h B góc với Khi dây AB vuông góc với OP P B-Các kiến thức thường dùng giải toán cực trị hình học 1- Sử dụng quan hệ đường vuông góc , đường xiên , hình chiếu a-Kiến thức cần nhớ: A B A K A C h.3 AB ≤ BC a a b H B h.4 h.5 a1) ∆ABC vuông A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) ⇒ H B C Dấu “=” xảy ⇔ A ≡ C ( h.3 ) a2) ( h.4 ) + AH ⊥ a ⇒ AH ≤ AB Dấu “=” xảy ⇔ B ≡ H + AB < AC ⇔ HB < HC a3)( h.5 ) A,K ∈a; B, H ∈b; a // b ; HK ⊥ a ⇒ HK ≤ AB Dấu “=” xảy ⇔ A ≡ K B ≡ H b-Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong hình bình hành có hai đường chéo cm cm ,hình có diện tích lớn ? Tính diện tích lớn Giải : B A B C H O A O≡H D D h.6 h.7 C Xét hình bình hành ABCD có AC = cm; BD = cm ( h.6) Gọi O giao điểm hai đường chéo Kẻ BH ⊥ AC Ta có : SABCD = 2SABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm Do : SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2 ⇔ BH ≡ BO ⇔ H ≡ O ⇔ BD ⊥AC Vậy max SABCD = 24 cm2 Khi hình bình hành ABCD hình thoi (h.7) có diện tích 24cm2 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự điểm E,F,G,H cho AE = BF = CG = DH Xác định vị trí điểm E, F,G,H cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải : A E K B ∆HAE = ∆EBF = ∆FCG = ∆GHD F ⇒ HE = EF = FG = GH ⇒ EFGH hình thoi H · · AHE = BEF · · · · ⇒ AHE + AEH = 900 ⇒ BEF + AEH = 900 D · ⇒ HEF = 900 O G C h.8 ⇒ EFGH hình vuông Gọi O giao điểm AC EG Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên hình bình hành suy O trung điểm AC EG , O tâm hai hình vuông ABCD EFGH ∆HOE vuông cân : HE2 = 2OE2 ⇒ HE = OE Chu vi EFGH = 4HE = OE Do chu vi EFGH nhỏ ⇔ OE nhỏ Kẻ OK ⊥AB ⇒ OE ≥OK ( OK không đổi ) OE = OK ⇔ E ≡ K Do minOE = OK Như , chu vi tứ giác EFGH nhỏ E,F,G,H trung điểm AB , BC, CD, DA Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ phía AB tia Ax By vuông góc với AB Qua trung điểm M AB có hai đường thẳng thay đổi vuông góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D xác định vị trí điểm C,D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Tính diện tích tam giác x y D Giải: 12 Gọi K giao điểm CM DB µ =B µ = 900 , AMC · · MA = MB ; A = BMK ⇒ ∆MAC = ∆MBK ⇒ MC = MK H C Mặt khác DM ⊥CK A µ1=D µ2 ⇒ ∆DCK cân ⇒ D B M Kẻ MH ⊥ CD K ∆MHD = ∆MBD ⇒ MH = MB = a ⇒ SMCD = CD.MH ≥ AB.MH h.9 a2 = 2a.a= · · SMCD = a2 ⇔ CD ⊥ Ax AMC = 450 ; BMD =450 Vậy SMCD = a2 Các điểm C,D xác định Ax; By cho AC = BC =a µ góc tù , điểm D di chuyển cạnh BC Xác Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có B định vị trí điểm D cho tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AD có giá trị lớn Giải: A Gọi S diện tích ∆ABC Khi D chuyển cạnh BC ta có : di E SABD + SACD = S H B C D h.10 F Kẻ BE ⊥AD , CF ⊥ AD 1 ⇒ AD.BE + AD.CF = S ⇒ BE +CF = 2S AD Do BE + CF lớn ⇔ AD nhỏ ⇔hình chiếu HD nhỏ · Do HD ≥ HB ( ABD >900 ) HD = HB ⇔ D ≡ B Vậy Khi D ≡ B tổng khoảng cách từ B C đến AD có giá trị lớn 2- Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc a-Kiến thức cần nhớ: Với ba điểm A,B,C ta có : AC +CB ≥ AB AC +CB = AB ⇔ C thuộc đoạn thẳng AB b-Các ví dụ: · Ví dụ 5:Cho góc xOy điểm A nằm góc Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy cho OB = OC tổng AB +AC nhỏ Giải: m Kẻ tia Om nằm góc xOy · · Trên tia Om lấy điểm D yOm = xOA OD = OA Các điểm D A cố định y D C · · OD =OA, OC = OB , COD = BOA A ⇒ ∆DOC = ∆AOB ⇒ CD = AB Do AC +AB = AC +CD Mà AC +CD ≥ AD cho cho O B h.11 x ⇒AC +AB ≥ AD Xảy đẳng thức C ∈AD Vậy min(AC+AB) =AD Khi C giao điểm AD Oy , B thuộc tia Ox cho OB = OC Ví dụ 6:Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ A Giải : F B I E K D M H A I F B E G C K G M D h.12 h.13 C H Gọi I ,K, L theo thứ tự trung điểm EF, EG , EH (h.12) ∆AEF vuông A có AI trung tuyến ⇒ AI =1/2EF ∆CGH vuông C có CM trung tuyến ⇒ CM =1/2GH IK đường trung bình ∆EFG ⇒ IK = 1/2FG KM đường trung bình ∆EGH ⇒ KM = 1/2EH Do : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC Suy chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi ) Chu vi EFGH nhỏ 2AC ⇔ A,I,K,M,C thẳng hàng · · · Khi ta có EH//AC,FG//AC, AEI nên EF//DB , tương tự GH//DB Suy = EAI = ADB tứ giác EFGH hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật ABCD (h.13) 3- Sử dụng bất đẳng thức đường tròn a-Kiến thức cần nhớ: C D C A H A O B B B B A D h.15 D C O O C K h.14 D A h.16 h.17 4m 4m + = ≥2 5m 5m Dấu đẳng thức xảy ⇔ 4m 1 = ⇔m= 5m Vậy x + y nhỏ m = · Do KAM lớn AB : BC = : Phần 3: Bài tập ôn luyện Bài : Cho hình vuông ABCD Hãy xác định đường thẳng d qua tâm hình vuông cho tổng khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến đường thẳng : a) Lớn b) Nhỏ Hướng dẫn: Xét trường hợp d cắt hai cạnh đối BC AD (h.29) Gọi m tổng khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến D B d B’ H N M O m =2(AA’ +BB’) Gọi M, N trung điểm AB A’B’ Suy : m = 4MN đó: m lớn ⇔ MN lớn C C’ A’ A h.29 D’ D m nhỏ ⇔ MN nhỏ a) MN ≤ MO ⇒ m lớn ⇔ M≡O ⇔ d//AB b)kẻ MH ⊥ OB Chứng minh MN ≥MH ⇒ MN nhỏ ⇔ N ≡H ⇔ d≡BD d ≡AC Bài : Cho ∆ABC vuông cân A điểm D,E theo thứ tự di chuyển cạnh AB ,AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D,E cho : a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích lớn B Hướng dẫn: (h.30) D M a)Gọi M trung điểm BC I · ∆BDM = ∆AEM ⇒ BMD = ·AME · · · · · ⇒ DME = DMA + ·AME = DMA + BMD = BMA = 900 A C E Gọi I trung điểm DE h.30 DE = DI+IE =AI + IM ≥ AM Min DE = AM ⇔ I trung điểm AM ⇔ D trung điểm AB E trung điểm AC b)Đặt AE = x, AB =AC =a AD = a − x , SADE = x(a − x) SBDEC nhỏ ⇔ SADE lớn ⇔ x(a − x) lớn Do x +( a− x) = a không đổi nên x( a − x) lớn ⇔ x = a − x ⇔ x = a/2 Khi D trung điểm AB E trung điểm AC Bài : Cho ∆ ABC vuông A có BC = a , diện tích S Gọi m trung điểm BC Hai dường thẳng thay đổi qua M vuông góc với cắt cạnh AB , AC D ,E Tìm : a) Giá trị nhỏ đoạn thẳng DE b) Giá trị nhỏ diện tích ∆ MDE A D Hướng dẫn: O E a) (h.31)Gọi O trung điểm DE Ta có OA = OD =OE = OM B M h.31 C ⇒ DE = OA + OM ≥ AM = a minDE = a/2 ⇔ O trung điểm AM ⇔ D trung điểm AB E trung điểm AC b) (h.32)Kẻ MH ⊥ AB , MK ⊥ AC H ME ≥ MK , MD ≥ MH 2SMDE = MD.ME ≥ MH.MK = AC AB S = 2 A D K B E C M h.32 S minSMDE = ⇔ D ≡ H E ≡ K Bài : Cho điểm m di chuyển đoạn thẳng AB Vẽ tam giác đềuAMC BMD phía AB Xác định vị trí M để tổng diện tích hai tam giác tren nhỏ Hướng dẫn: (h.33) K Gọi K giao điểm AC BD Các tam giác AMC ,BMD đồng dạng với ∆AKB D Đặt AM = x ,BM = y , AB = a ta có : S1  x  S2  y  = ÷ ; = ÷ S a S a ⇒ C A S1 + S2 x + y ( x + y) = a = = ≥ S a2 2a 2a 2 2 2 Dấu đẳng thức xảy x = y Do : (S1 +S2) = ⇔ M trung điểm AB x M h.33 y B Bài : Cho tam giác nhọn ABC có cạnh a,b,c tương ứng đường cao AH =H Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ABC cho có diện tích lớn Biết M ∈AB ; N ∈ AC ; P,Q ∈ BC Hướng dẫn: (h.34) A Gọi I giao điểm AH MN Đặt NP =x ; MN = y ; AI = h − x S ∆AMN ⇒ h-x I y M ∆ ABC MN AI y h−x h−x = ⇒ = ⇒ y = a BC AH a h h ⇒ SMNPQ = xy = B a x(h − x) h N Q H C P h.34 ⇒ SMNPQ lớn ⇔ x(h − x)lớn x +(h − x) = h không đổi nên x(h − x) lớn ⇔ x = h − x ⇔ x = h/2 Khi MN đường trung bình ∆ABC Bài : Cho ∆ ABC vuông A Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM ⊥ BC, IN ⊥ AC , IK ⊥AB Tìm vị trí I cho tổng IM2 +IN2 +IK2 nhỏ Hướng dẫn: (h.35) Kẻ AH ⊥BC , IE ⊥AH B ANIK ,IMHE hình chữ nhật H E IK2+ IN2 = IK2 +AK2 = AI2 ≥ AE2 M IM = EH K I nên IK2+ IN2 + IM2 = AI2 +EH2 ≥ AE2+EH2 A N Đặt AE = x , EH =y ta có : x + y 2 ( x + y) ≥ 2 AH = h.35 C AH ⇒ IK + IN + IM ≥ 2 2 Dấu “=” xảy I trung điểm đường cao AH Bài : Cho tam giác nhọn ABC Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM ⊥ BC, IN ⊥ AC , IK ⊥AB Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z A Tìm vị trí I cho tổng x2 +y2 +z2 nhỏ K K k K Hướng dẫn: (h.36) B Đặt BK = k , CM = m , AN = n , x n N I y BC = a , AC = b , AB = c M h.36 z m C x2 +y2 +z2 = =(IA2 − IK2 ) + (IB2 − IM2 ) + (IC2 − IN2 ) = (IA2 − IN2 ) + (IB2 − IK2 ) + (IC2 − IM2 ) = n2 + k2 + m2 ⇒ 2(x2 +y2 +z2 ) = x2 +y2 +z2 + n2 + k2 + m2 = ( x2+ k2 )+( y2+ m2 )+( z2 + n2 ) x + k) x+k ≥ ( z + n) z + n ≥( 2 2 2 AB c = = 2 y + m) y + m ≥( 2 2 = BC a = 2 AC b = = 2 a2 + b2 + c2 ⇒ x +y +z ≥ 2 a2 + b2 + c2 min(x +y +z ) = 2 ⇔ x = k , y = m , z = n ⇔ I giao điểm đường trung trực ∆ABC Bài : Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 10 cm Một dây CD có độ dài 6cm có hai đầu di chuyển nửa đường tròn Gọi E F theo thứ tự hình chiếu A B CD Tính diện tích lớn tứ giác ABFE Hướng dẫn: (h.37) E Kẻ OH ⊥CD , ta tính OH = 4cm SABFE = 1/2(AE + BF).EF H C A = OH.EF ≤ OH AB = 4.10 =40 F D B O h.37 max SABEF =40 cm2 ⇔ EF // AB , OH ⊥ AB Bài : Cho hình vuông ABCD cạnh a Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm hình vuông ) tiếp tuyến với cung cắt BC, CD theo thứ tự BM N Tính độ A dài nhỏ MN M Hướng dẫn:(h.38) Đặt CM = m , CN = n , MN = x H m m + n + x = 2CD = 2a m +n = x m + n) Do : x = m +n ≥ ( 2 2 D N C n h.38 ⇒ 2x2 ≥ ( 2a − x)2 ⇒ x ≥ 2a − x ⇒ x≥ 2a = 2a( − 1) +1 MN =2a ( ) − ⇔ m = n Khi tiếp tuyến MN // BD , AM tia phân giác · · , AN phân giác DAC BAC Bài 10 : Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Qua A vẽ hai tia vuông góc với , chúng cắt đường tròn (O) , (O’) B C Xác định vị trí B tia để ∆ ABC có diện tích lớn C D Hướng dẫn:(h.39) O α R h.39 E A α r O' Kẻ OD ⊥ AB ; O’E ⊥ AC ta có: 1 AB.AC = 2AD.2AE= 2.AD.AE 2 · ' AE = α Đặt OA =R ; O’A = r ; ·AOD = O SABC = AD = R sinα ; AE = r cosα ⇒ SABC = Rr 2sinα cosα 2sinα cosα ≤ sin2α + cos2α =1 ⇒ SABC ≤ Rr Do : max SABC = Rr ⇔ sinα = cosα ⇔ sinα = sin( 900− α ) ⇔ α = 900 − α ⇔ α = 450 Vậy ta vẽ tia AB,AC tạo với tia AO, AO’ thành góc · · ' AC = 450 ∆ ABC có diện tích lớn OAB =O Bài 11 : Cho đường tròn (O;R) đường kính BC , A điểm di động đường tròn Vẽ tam giác ABM có A M nằm phía BC Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ C xuống MB Gọi D, E , F, G theo thứ tự trung điểm OC, CM, MH, OH Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn Hướng dẫn: (h.40) DEFG hình bình hành Kẻ OI ⊥FH , ta có OI đường trung bình BHC nên OI = ½ HC = GD MO đường trung trực AB nên · IMO = 300 ⇒ OI = ½ OM ⇒ GD = ½ OM Mà ED = ½ OM ⇒ EG = GD ⇒ DEFG hình thoi · · · HFG = HMO = 300 ⇒ EFG = 600 ⇒∆EFG A M ∆ E B O F I G H h.40 D C 2 EF EF = ⇒ SDEFG =2SEFG = max S = R2 ⇔H≡B  HC  =  ÷  2  BC   ≤ ÷  R2 = · ⇔ MBC = 900 ⇔ ·ABC = 300 ⇔ AC = R Bài 12 : Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) D điểm thuộc cung BC không chứa A không trùng với B,C Gọi H,I,K theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ D đến đường thẳng BC , AC, AB Đặt BC = a , AC = b ,AB = c, DH = x , DI = y , DK = z a) Chứng minh : b c a + = y z x b) Tìm vị trí điểm D để tổng a b c + + nhỏ x y z A Hướng dẫn: (h.41) · a) Lấy E BC cho CDE = ·ADB ∆CDE đồng dạng với ∆ ADB DH CE x CE c CE = ⇒ = ⇒ = ⇒ DK AB z c z x Tương tự ∆BDE đồng dạng với ∆ ADC ⇒ DH BE x BE b BE = ⇒ = ⇒ = DI AC y b y x b y c z ⇒ + = b) b c O HE I • B K x z y C • DM h.41 BE + CE a = x x a b c a a 2a + + = + = x y z x x x Do S nhỏ ⇔ ( M điểm cung BC không chứa A) a nhỏ ⇔ x lớn ⇔ D≡M x Bài 13 : Cho ∆ABC nhọn , điểm M di chuyển cạnh BC Gọi P ,Q hình chiếu M AB , AC Xác định vị trí điểm M để PQ có độ dài nhỏ A O Hướng dẫn: (h.42) Tứ giác APMQ tứ giác nội tiếp Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ · · Kẻ OH ⊥ PQ Đặt BAC =α POH =α P Q H B C M h.42 PQ = PH = 2.OP sinα = AM sinα Do α không dổi nên PQ nhỏ ⇔ AM nhỏ ⇔ AM ⊥BC Bài 14 : Cho đoạn thẳng AB điểm C AB Vẽ nửa mặt phẳng bờ AB nửa đường tròn có đường kính AB,AC,BC Xác định vị trí điểm C đoạn AB để diện tích phần giới hạn ba nửa đường tròn dạt giá trị lớn Hướng dẫn: (h.43) Gọi (O1;r1);(O2;r2);(O3;r3) đường tròn có đường kính Ab,AC,BC Đặt AB = 2a , AC =2x r1 = a , r2= x Suy BC =2a − 2x r3 = a − x Gọi S diện tích giới hạn ba đường tròn π r12  π r22 π r32  π a π x π ( a − x ) − + Ta có : S = − − = π x( a − x) ÷=  2  2 S lớn ⇔ x( a −x) lớn Mặt khác x + (a − x) = a không đổi nên x( a −x) lớn ⇔ x = a − x ⇔ x = ≡O1 Lúc ta có S = π a2 a ⇔ C A O2 C O1 h.43 h.42 O3 B Bài 15 : Cho đường tròn (O;R) Trong đường tròn (O) vẽ hai đường tròn (O 1) (O2) tiếp xúc tiếp xúc với (O) bán kính đường tròn (O 2) gấp đôi bán kính đường tròn (O1) Tìm giá trị nhỏ diện tích phần hình tròn (O) nằm hình tròn (O1) và(O2) Hướng dẫn: Gọi x bán kính đường tròn (O1) Khi 2x bán đường tròn (O2 ) (h.44) Xét ∆OO1O2 ta có : kính O2 O O1O2 ≤ O O1 +OO2 ⇒ 3x ≤ (R − x) +( R − 2x) R ⇒ 6x ≤ 2R ⇒ x ≤ O1 Gọi S phần diện tích hình tròn (O) nằm đường tròn (O1)và (O2 ) , ta có : h.44 2 2 S = π R − π x − π 4x = π ( R − 5x ) R R2 4π R 2 Do x ≤ nên x ≤ ⇒ S≥ ; 9 O1 O O2 R 4π R S = ⇔x= Khi O1,O,O2 thẳng hàng bán kính đường (O1) (O2 ) V/ R h.45 tròn 2R (h.45) Kết nghiên cứu: Qua việc áp dụng đề tài để dạy chủ đề tự chọn ( nâng cao ) dạy bồi dưỡng học sinh giỏi trường bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện , đề tài giúp em nắm vững phương pháp giải toán , khắc phục hạn chế việc giải toán cực trị hình học ; vận dụng kiến thức học thực tế ,phát huy khả tư sáng tạo em Trong năm gần viêc áp dụng đề tài vào dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường cấp huyện có kết đáng kể , nhiều em đạt giải kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh VI/ Kết luận: Qua thực tế giảng dạy nhận thấy chủ đề áp dụng cho việc dạy tự chọn bồi dưỡng học sinh giỏi , học sinh tiếp thu tốt có hiệu em ham thích môn Toán có khiếu học Toán sử dụng tài liệu để tự học, tự nghiên cứu Học sinh có hứng thú , tự tin học Toán VII/ Đề nghị: Hiện tài liệu tham khảo dạy học môn Toán nhiều ( sách , báo , internet ) , để sử dụng cách có hiệu vào việc giảng dạy tự chọn bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên cần phải có đầu tư cách thích đáng thời gian trí tuệ Do kính đề nghị Phòng Giáo dục Đào tạo tổng hợp giới thiệu chủ đề tự chọn có chất lượng để giáo viên học sinh huyện tham khảo sử dụng VIII/ Phụ lục: Đề kiểm tra (tham khảo) Thời gian : 45 phút Cho hình vuông ABCD có cạnh , điểm M nằm đường chéo BD a) Nêu cách dựng đường tròn (I) qua M tiếp xúc với hai cạnh AD CD Nêu cách dựng đường tròn (K) qua M tiếp xúc với hai cạnh AB,BC b) Chứng minh điểm M di chuyển đường chéo BD tổng chu vi hai đường tròn không đổi c) Xác định vị trỉ điểm M BD để tổng diện tích hai hình tròn đạt giá trị nhỏ 2-Đáp án , biểu điểm : a) Qua M kẻ đường vuông góc với BD cắt AB,BC,CD,DA P,Q,F,E Do AB,BC tiếp xúc với (K) nên K ∈ MB A P PQ ⊥ KM nên PQ tiếp tuyến (K) B Vậy (K) đường tròn nội tiếp ∆PBQ E Tương tự (I) đường tròn nội tiếp ∆EDF (2 đ) M b) Tổng chu vi hai đường tròn (I) (K) bằng: J 2π.IM + 2π.MK = 2π IK MD = ID +IM = +MK = H K I D F C 2.IJ + IM = 2.IM + IM = ( + ).IM MB = KB h.46 2.KH + KM = 2.KM + KM = ( + ).KM ⇒ BD = MD + MB = ⇒ IK = BD = BD +1 ⇒ IK = 2( ( ( ) + ( IM + MK ) −1 ) − 1) = − =( Do BD = AB +1 = ) IK 2 Vậy tổng chu vi hai đường tròn 2π(2 − 2) (4 đ) c) Gọi x y bán kính đường tròn (I) và(K) Ta có : x + y = − Gọi S1 ,S2 diện tích hình tròn S1 + S2 = πx2 +πy2 = π(x2 + y2 ) ≥ π ( x + y ) 2 =π ( 2− ) 2 S1 + S2 nhỏ ⇔ x =y ⇔ M trung điểm BD ( 4đ) IX/ Tài liệu tham khảo: Q 1−Sách Giáo khoa Toán 7,8,9 – Nhà xuất Giáo dục -2007 2− Các toán giá trị lớn , giá trị nhỏ hình học phẳng THCS- Vũ Hữu Bình ( chủ biên) − Nhà xuất Giáo dục -2004 3−Toán tổng hợp hình học − Nguyễn Đức Chí , Nguyễn Ngọc Huân, Bùi Tá Long − Nhà xuất TP.Hồ Chí Minh -1996 X/ Mục lục: / Đặt vấn đề -Trang II/ Cơ sở luận - III/ Cơ sở tiễn - thực Trang IV/ Nội dung nghiên - cứu Trang lý Trang Phần 1: Giới chung - thiệu Trang Phần 2: Kiến tâm - trọng Trang thức A-Phương pháp giải toán cực trị hình Trang học. B-Các kiến thức thường dùng giải toán cực trị hình Trang họcPhần 3: Bài tập ôn Trang luyện 15 V/ Kết cứu: - nghiên Trang 22 VI/ Kết Trang luận: 22 VII/ Đề Trang nghị: 22 VIII/ Phụ lục: Trang 22 ĨX/ Tài liệu khảo: - tham Trang 23 X/ Mục lục: - Trang 24 [...]... dưỡng học sinh giỏi cấp huyện , đề tài đã giúp các em nắm vững được phương pháp giải toán , khắc phục được những hạn chế trong việc giải toán cực trị hình học ; vận dụng được các kiến thức đã học trong thực tế ,phát huy được khả năng tư duy sáng tạo của các em Trong các năm gần đây viêc áp dụng đề tài này vào dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường và cấp huyện đã có kết quả đáng kể , nhiều em đã đạt giải. .. đã đạt giải trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh VI/ Kết luận: Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy chủ đề này có thể áp dụng được cho việc dạy tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi , học sinh tiếp thu tốt có hiệu quả những em ham thích bộ môn Toán và có năng khiếu học Toán có thể sử dụng tài liệu này để tự học, tự nghiên cứu Học sinh có hứng thú hơn , tự tin hơn khi học Toán VII/ Đề... tích các hình tròn trên S1 + S2 = πx2 +πy2 = π(x2 + y2 ) ≥ π ( x + y ) 2 2 =π ( 2− 2 ) 2 2 S1 + S2 nhỏ nhất ⇔ x =y ⇔ M là trung điểm của BD ( 4đ) IX/ Tài liệu tham khảo: Q 1−Sách Giáo khoa Toán 7,8 ,9 – Nhà xuất bản Giáo dục -2007 2− Các bài toán về giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trong hình học phẳng ở THCS- Vũ Hữu Bình ( chủ biên) − Nhà xuất bản Giáo dục -2004 3 Toán tổng hợp hình học 9 − Nguyễn... 1: Giới chung - thiệu Trang 2 Phần 2: Kiến tâm - trọng Trang 3 thức A-Phương pháp giải bài toán cực trị hình Trang 3 học. B-Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình Trang 4 họcPhần 3: Bài tập ôn Trang luyện 15 V/ Kết quả cứu: - nghiên Trang 22 VI/ Kết Trang luận: ... KAM lớn nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1 Phần 3: Bài tập ôn luyện Bài 1 : Cho hình vuông ABCD Hãy xác định đường thẳng d đi qua tâm hình vuông sao cho tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng đó là : a) Lớn nhất b) Nhỏ nhất Hướng dẫn: Xét trường hợp d cắt hai cạnh đối BC và AD (h. 29) Gọi m là tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến D B d B’ H N M O m =2(AA’ +BB’) Gọi... - 199 6 X/ Mục lục: / Đặt vấn đề -Trang 1 II/ Cơ sở luận - III/ Cơ sở tiễn - thực Trang 1 IV/ Nội dung nghiên - cứu Trang 2 lý Trang 1 Phần 1: Giới chung - thiệu Trang 2 Phần 2: Kiến tâm - trọng Trang 3 thức A-Phương pháp giải bài toán cực trị hình. .. đó ta có S = π a2 4 a ⇔ C 2 A O2 C O1 h.43 h.42 O3 B Bài 15 : Cho đường tròn (O;R) Trong đường tròn (O) vẽ hai đường tròn (O 1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau và tiếp xúc trong với (O) trong đó bán kính đường tròn (O 2) gấp đôi bán kính đường tròn (O1) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài các hình tròn (O1) và(O2) Hướng dẫn: Gọi x là bán kính đường tròn (O1) Khi đó 2x là bán... tài liệu tham khảo dạy và học môn Toán rất nhiều ( sách , báo , internet ) , nhưng để sử dụng một cách có hiệu quả vào việc giảng dạy tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi thì giáo viên cần phải có sự đầu tư một cách thích đáng về thời gian và trí tuệ Do vậy kính đề nghị Phòng Giáo dục và Đào tạo tổng hợp và giới thiệu các chủ đề tự chọn có chất lượng để giáo viên và học sinh trong huyện tham khảo và... ∆ABC Bài 8 : Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 10 cm Một dây CD có độ dài 6cm có hai đầu di chuyển trên nửa đường tròn Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên CD Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABFE Hướng dẫn: (h.37) E Kẻ OH ⊥CD , ta tính được OH = 4cm SABFE = 1/2(AE + BF).EF H C A = OH.EF ≤ OH AB = 4.10 =40 F D B O h.37 max SABEF =40 cm2 ⇔ EF // AB , khi đó OH ⊥ AB Bài 9 : Cho hình. .. lớn nhất của hình thang DEKH Khi đó hình thang trở thành hình gì ? Giải: Ta có : 2SDEKH = (DH +EK).HK = ( BH +KC ) HK Mà (BH + KC) +HK =BC = a không đổi Nên (BH + KC) HK lớn nhất ⇔BH + KC) HK = a 2 Do đó : = B H D A K E C h.25 1 a a a2 max SDEKH = = 2 2 2 8 Khi đó đường cao HK = a suy ra : 2 KC = BC −BH –HK = a − Do đó DH = HB = a a a − = 2 2 4 a a , EK = KC = 4 4 Hình thang DEKH là hình chữ nhật