Sáng kiến kinh nghiệm SKKN hướng dẫn học sinh khai thác tính chất hình học phẳng để giải bài toán hình học tọa độ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ" A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình hình học lớp 10 có phần quan trọng hình học phổ thông phương pháp toạ độ mặt phẳng, phần tiếp nối hình học phẳng cấp THCS nhìn quan điểm đại số giải tích Như toán hình học toạ độ mặt phẳng mang chất toán hình học phẳng Tuy nhiên giải toán hình học toạ độ học sinh thường không trọng đến chất hình học toán ấy, phần học sinh ngại hình học phẳng nghĩ hình học phẳng khó, phần giáo viên dạy không trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh Do hiệu giải toán không cao mà phân loại dạng toán, phương pháp giải toán không rõ ràng Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh hệ thống phương pháp suy luận giải toán hình học toạ độ mặt phẳng Với ý định đó, sáng kiến kinh nghiệm muốn nêu cách định hướng tìm lời giải toán hình học toạ độ mặt phẳng dựa chất hình học phẳng toán II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực trạng Đứng trước toán hình học toạ độ mặt phẳng học sinh thường lúng túng đặt câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải toán từ đâu ?” Một số học sinh có thói quen không tốt đọc đề chưa kỹ vội làm ngay, có thử nghiệm dẫn tới kết quả, nhiên hiệu suất giải toán không cao Với tình hình để giúp học sinh định hướng tốt trình giải toán hình học toạ độ mặt phẳng, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét toán nhiều góc độ, khai thác yếu tố đặc trưng hình học toán để tìm lời giải.Trong việc hình thành cho học sinh khả tư theo phương pháp giải điều cần thiết Việc trải nghiệm qua trình giải toán giúp học sinh hoàn thiện kỹ định hướng giải toán Cần nhấn mạnh điều rằng, đa số học sinh sau tìm lời giải cho toán hình học toạ độ mặt phẳng thường không suy nghĩ, đào sâu thêm Học sinh không ý đến chất hình học phẳng toán nên làm nhiều toán hình học toạ độ không phân loại dạng toán chất toán Thậm chí toán tương tự xuất nhiều đề thi mà học sinh làm miệt mài lần giải nó, không nhận biết dạng toán làm ?? Kết quả, hiệu thực trạng Với thực trạng ra, thông thường học sinh dễ dàng cho lời giải toán có cấu trúc đơn giản Còn đưa toán khác chút cấu trúc học sinh thường tỏ lúng túng định hướng tìm lời giải toán Từ đó, hiệu giải toán học sinh bị hạn chế nhiều Trước thực trạng học sinh, thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét toán hình học toạ độ mặt phẳng theo chất hình học phẳng Và song song với lời giải cho toán hình học toạ độ mặt phẳng, yêu cầu học sinh chất toán hình phẳng tương ứng, từ phân tích ngược lại cho toán vừa giải Trong sáng kiến kinh nghiệm nhiều nội dung áp dụng có hiệu Việc đưa nội dung nhằm khai thác tính chất hình học phẳng để định hướng tìm lời giải toán hình học toạ độ xem việc chất hình học phẳng bổ trợ cho giải toán giải hình học phẳng Qua giúp học sinh nhận thức rằng: “Mỗi toán hình học toạ độ mặt phẳng chứa đựng toán hình phẳng tương ứng” Vì phân tích chất toán hình học phẳng để bổ trợ cho việc giải toán hình học toạ độ mặt phẳng suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động việc tìm kiếm lời giải phân loại cách tương đối toán hình học toạ độ mặt phẳng B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải toán thông qua (hay nhiều) buổi học có hướng dẫn giáo viên Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải toán học sinh Trong yêu cầu khả lựa chọn lời giải ngắn gọn sở phân tích toán hình học phẳng tương ứng Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh Trong toán hình học toạ độ mặt phẳng yêu cầu học sinh thực phân tích chất hình học phẳng đưa hướng khai thác mở rộng cho toán Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện II CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN Nội dung triển khai thông qua buổi học (mỗi buổi học tiết): - Buổi học thứ nhất: Tổ chức thực hình thành kỹ giải toán - Buổi học thứ hai: Tổ chức cho học sinh rèn luyện kỹ giải toán Buổi học thứ ba: Tổ chức kiểm tra để lấy kết nội dung triển khai kỹ mà học sinh đạt B.1:Buổi học thứ Giáo viên nêu vấn đề định hướng cách suy nghĩ giải toán, giáo viên hướng dẫn làm ví dụ mẫu 1, 2,3 Qua đó, cách phân tích hình phẳng tương ứng với toán, giáo viên phân tích lợi ích việc “suy nghĩ có định hướng theo chất hình học phẳng toán hình học toạ độ mặt phẳng” phân tích cho học sinh thấy việc lựa chọn phương pháp giải ngẫu nhiên mà chất chứa nguyên nhân sâu xa chất Đó cấu trúc toán, hình thức toán mối quan hệ “tất yếu” yếu tố tạo nên toán Cũng điều mà việc phân tích toán toạ độ hình phẳng tương ứng mặt giúp học sinh hiểu chất toán, mặt khác giúp học sinh biết cách định hướng việc tìm lời giải toán Để buổi học đạt hiệu quả, thực sau học xong phần hình học toạ độ mặt phẳng lớp 10 Để tăng cường tính chủ động cho học sinh buổi học thứ cung cấp cho học sinh hệ thống tập đề thi toán hình học toạ độ mặt phẳng cho học Yêu cầu học sinh nhà chuẩn bị lời giải , phân loại toán thành nhóm tương tự trả lời câu hỏi :"bản chất toán gì?,có tổng quát, mở rộng, phân loại dạng toán không?" Sau sơ lược buổi học nội dung *Giáo viên: Bài toán hình học toạ độ mặt phẳng xuất thường xuyên đề thi ĐH, đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó Vì để giải dạng toán cần tìm hiểu chất xây dựng phương pháp tư giải toán đặc trưng cho loại toán Trong buổi học hôm nghiên cứu phương pháp tư giải toán: "phân tích chất hình học phẳng toán hình học toạ độ tương ứng" Trước hết ta cần ý chuyển toán toạ độ toán hình phẳng sở kiện toán cho Sau ta phân tích tính chất hình học hình phẳng để định hướng tìm lời giải toán Các ví dụ Một toán hình học toạ độ giải theo ba hướng sau: H1: Giải hoàn toàn theo quan điểm hình học giải tích H2: Giải hoàn toàn theo quan điểm hình học phẳng sau áp dụng vào toạ độ H3: Khai thác yếu tố hình học phẳng để giải toán hình giải tích Mỗi hướng giải toán có ưu riêng cho toán nói chung H3 thường hiệu Thực hành giải toán: Bước 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho toán Trên sở kiện yêu cầu toán phân tích yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán Bước 2: Lập sơ đồ bước giải toán Bước 3: Trình bày lời giải toán theo sơ đồ bước Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn ( C ) : ( x − 1)2 + ( y + 1) = 20 Tìm toạ độ đỉnh A biết AC=2BD, điểm B có hoành độ dương thuộc đường thẳng d : x − y − = GV hướng dẫn: Bước 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho toán Phân tích yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán - Kẻ IH ⊥ AB ⇒ IH bán kính đường nội tiếp hình thoi ABCD - Biết AIB tam giác vuông I có đường cao IH B H A d C I - Ta có AC = BD ⇒ AI = BI Vậy tính IB, IA D Bước 2: Lập sơ đồ bước giải toán + Tính IH,IB,IA + Gọi toạ độ B tìm B + Lập pt AC, gọi toạ độ A tìm A Bước 3: Trình bày lời giải toán theo sơ đồ bước Đường tròn (C) có tâm I(1;-1), bán kính R = B H d Đặt BI = x,( x > 0) Do AC = BD ⇒ AI = BI = x A C I Kẻ IH ⊥ AB ⇒ IH = R = D Trong ∆AIB có : 1 1 1 + = ⇔ 2+ = ⇔ x = ( Do x > 0) 2 IA IB IH 4x x 20 Suy IB = Gọi B(t ;2t − 5), (t > 0) Với t = ⇒ B (4;3) t = (tm) Do IB = ⇔ (t − 1) + (2t − 4) = 25 ⇔  −2 t = (ktm)  2 Đường thẳng AC qua I, nhận → IB (3; 4) làm véc tơ pháp tuyến ⇒ phương trìn đường thẳng  x = + 4s , s ∈ R Khi A(1 + s; −1 − 3s)  y = −1 − 3s AC :  IA = 10 ⇔ ( s ) + ( −3s ) = 102 ⇔ s = 2 Ta có: Vậy: A(9; −7) hoặc s = −2 A(−7;5) Phân tích toán Bài toán hình phẳng tương ứng Trong mặt phẳng cho đường tròn C(I;R) đường thẳng d Nêu cách dựng hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn C(I;R) cho AC=2BD, biết điểm B thuộc đường thẳng d Rõ ràng giải hình phẳng không đơn giản việc giải thực không cần thiết, cần giải toán toạ độ toán hình phẳng Đây ý quan trong tư giải toán tiếp cận theo H3: "phân tích chất hình học phẳng để định hướng giải toán toán hình học toạ độ " Chúng ta không giải toán hình phẳng phát biểu toán hình phẳng tương ứng điều không cần thiết cho việc giải toán Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, phân giác góc A tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D.Tìm toạ độ đỉnh B biết A(1;0), C (1 + 2; − 2), D(3; −2) GV hướng dẫn: Bước 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho toán Phân tích yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán A - Phân giác góc A tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D nên D điểm cung BC, BC ⊥ ID I C B D -Lập BC suy B Bước 2: Lập sơ đồ bước giải toán + Lập Pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC + Chứng minh BC ⊥ ID + Lập pt BC tìm B Bước 3: Trình bày lời giải toán theo sơ đồ bước Pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = (C) Vì (C) qua A,C, D nên ta có hệ: 1 + 2a + c =  a = −1   9 − 2 + 2(1 + 2)a + 2( − 2)b + c = ⇔ b = 13 + 6a − 4b + c = c =   Đường tròn (C) có tâm I (1; −2) , bán kính R = Phân giác góc A tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D nên D điểm cung BC, BC ⊥ ID → Đường thẳng BC qua C, nhận ID(2;0) làm véc tơ pháp tuyến ⇒ phương trình đường thẳng BC : x = +  x + y − x + y + =  x = + ⇔ Toạ độ B nghiệm hệ:   x = + 2; y ≠ −2 +  y = − − (Vì yB ≠ yC ) Vậy: B (1 + 2; − − 2) Phân tích toán: Bài toán hình phẳng tương ứng Trong mặt phẳng cho ba điểm không thẳng hàng A,C,D.Dựng điểm B cho tam giác ABC nhận AD làm phân giác góc A tam giác ABC D nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Với toán xuất tính chất hình phẳng thực hữu ích mấu chốt để giải toán.Nếu học sinh không phát hiiện tính chất ''D điểm cung BC, BC ⊥ ID '' không giải toán Ví dụ sau : Khi khai thác tính chất hình học phẳng không cẩn thận học sinh dễ mắc sai lầm không xét hết trường hợp xảy hình phẳng Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y − x + y − = Viết phương trình đường tròn có tâm K(1;3) cắt đường tròn (C) hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB 4, với I tâm đường tròn (C) GV hướng dẫn: Bước 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho toán Phân tích yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán A A I H K H K B I B Hình Hình Ở bước đa số học sinh vẽ hình cho trường hợp mà quên trường hợp giải toán Bước 2: Lập sơ đồ bước giải toán + Từ giả thiết diện tích tam giác IAB 4, tính AH + Tính KA lập (K) Bước 3: Trình bày lời giải toán theo sơ đồ bước Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) bán kính Khi R = 2 Gọi H trung điểm AB 2 S ABI = IH AH ⇔ = R − AH AH ⇔ 16 = ( − AH ) AH ⇔ AH = ⇔ AH = Ta có : Trường hợp 1: I, K nằm khác phía so với đường thẳng AB Ta có: AK = HA2 + KH = HA2 + ( KI − IH ) = 22 + 32 = 13 Do đường tròn cần tìm có phương trình ( x − 1) + ( y − 3) = 13 Trường hợp 2: I, K nằm phía so với đường thẳng AB Ta có AK = HA2 + KH = HA2 + ( KI + IH ) = 22 + = 53 Do đường tròn cần tìm có phương trình ( x − 1) + ( y − 3) = 53 Nhận xét: Sau học sinh tiếp cận với bước giải , bước định hướng ta trình bày lời giải toán để rút gọn thời gian giải toán Ví dụ sau toán giải hoàn toàn hình học toạ độ tỏ ưu giải theo quan điểm hình học phẳng Từ toán để cho học sinh thấy rằng: " Không có phương pháp giải toán tối ưu cho toán, toán phương pháp giải toán tương thích trở nên tối ưu mối quan hệ ràng buộc cụ thể", từ giúp học sinh linh động trình giải toán Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x − a) + ( y − b) = R điểm M ( x0 ; y0 ) Tìm toạ độ điểm N nằm (C) cho MN có độ dài lớn nhỏ 10 Lời giải 1: Giải toán theo quan điểm hình học phẳng TH1: M nằm (C) Khi đó: + MN có độ dài nhỏ 0, N trùng M + MN có độ dài lớn 2R, N đầu mút lại đường kính MN TH2: M không nằm (C) Gọi I tâm ( C) E, F giao điểm IM với (C) cho: ME < MF Ta có hai trường hợp hình vẽ sau: M I E F F I M E N Hình N Hình Ta chứng minh được: ME ≤ MN ≤ MF với điểm N nằm (C) Khi đó: + MN có độ dài nhỏ ME, N trùng E + MN có độ dài lớn MF, N trùng F Lời giải 2: Giải toán theo quan điểm hình học giải tích 11 Gọi N(x;y), ta có: ( x − a) + ( y − b) = R MN = ( x − x0 )2 + ( y − y0 ) = ( x − a + a − x0 ) + ( y − b + b − y0 ) MN = R + IM + [ ( x − a )(a − x0 ) + ( y − b)(b − y0 ) ] Theo BĐT Bunhiacopski, ta có: [ ( x − a)(a − x0 ) + ( y − b)(b − y0 )] ≤ R IM ⇔ − R.IM ≤ [ ( x − a )(a − x0 ) + ( y − b)(b − y0 ) ] ≤ R.IM Vậy: R + IM − R.IM ≤ MN ≤ R + IM + R.IM ⇔ ( R − IM ) ≤ MN ≤ ( R + IM ) ⇔ R − IM ≤ MN ≤ R + IM , ∀N ∈ (C ) Khi đó: + MN có độ dài nhỏ R − IM , N(x;y) xác định theo nghiệm hệ pt: ( y − b)  2 x−a = ( x − a ) + ( y − b ) = R ; a − x0 b − y0  − R.IM = ( x − a )(a − x ) + ( y − b)(b − y ) 0  + MN có độ dài lớn R + IM , N(x;y) xác định theo nghiệm hệ pt: ( y − b)  2 x−a = ( x − a ) + ( y − b ) = R ; a − x0 b − y0   R.IM = ( x − a )(a − x ) + ( y − b)(b − y ) 0  Nhận xét: Đây toán tổng quát, có giả thiết cụ thể để giải theo hình phẳng học sinh việc xét vị trí tương đối M (C), giải theo trường hợp tương ứng Tuy nhiên lời giải theo hình toạ độ thực ấn tượng, gúp cho học sinh tư toàn diện Cuối buổi học đưa số toán mà xuất lời giải hình học phẳng bắt buộc, phần tất yếu cấu thành nên lời giải toán, học sinh kĩ 12 chuyển giải toán hình học phẳng tương ứng chắn khó khăn tìm lời giải Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H (1; −3) , trọng tâm G (−3;5) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Phân tích toán: Đây kết quen thuộc hình học phẳng, toán đường thẳng Euler: "Trong uuur tam giác uurABC có trực tâm H, trọng tâm G , tâm đường tròn ngoại tiếp I thẳng hàng HG = 2GI " Lời giải toán Bước 1: Chứng minh toán hình phẳng vừa nêu uuur uur Bước 2: Áp dụng: HG = 2GI ta tìm toạ độ I B.2: BUỔI HỌC THỨ HAI Với chuẩn bị học sinh, giáo viên yêu cầu học sinh trình bày lời giải theo định hướng lựa chọn Tuy nhiên khuyến khích sử dụng phương pháp khác để có lời giải đa dạng Sau sơ lược hệ thống toán rèn luyện lời giải sơ lược theo phương pháp đưa 1.Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông B có AC = Đường phân giác góc A tam giác ABC có phương trình (d): y = 3x Tìm toạ độ đỉnh A,C biết khoảng cách từ C đến (d) gấp hai lần khoảng cách từ B đến (d) ;C nằm trục tung A có hoành độ dương Lời giải sơ lược Vẽ hình phẳng biểu thị cho toán Phân tích yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán 13 HS1: Ý tưởng giải toán Ta có: + B K BH CK = sinBAH = sin KAC = ⇒ AB = AB AC AB = , CB = 0 ⇒ BAC = 60 ⇒ KAC = 30 ⇒ CK = H + A C HS2: Ý tưởng giải toán Lấy M đối xứng với B qua (d) ta có M thuộc AC B Vì CK = BH nên HM = CK K H Khi M trung diểm AC ⇒ MB = AC = A C M ⇒ CK = MB = HS3: Ý tưởng giải toán Ta có: ∆ABH đồng dạng ∆ACK ⇒ B K AB BH = = AC CK H ⇒ AB = ⇒ CK = A C Nhận xét 1: 14 Đây toán thu nhiều ý tưởng giải toán hay từ học sinh, học sinh sôi mạnh dạn cách trình bày tư tưởng giải toán Điều cho thấy hiệu việc "Giải toán toạ độ theo tư tưởng phân tích hình phẳng tương ứng" 2.Bài toán Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( T ) :x + y − 4x − 2y = đường phân giác góc A có phương trình x − y = Biết diện tích tam giác ABC ba lần diện tích tam giác IBC ( với I tâm đường tròn ( T ) ) điểm A có tung độ dương Viết phương trình đường thẳng BC Lời giải sơ lược Gọi d đường phân giác góc A Đường tròn ( T ) có tâm I ( 2;1) , bán kính R = Khi đường thẳng d cắt đường tròn ( T ) A  x + y − 4x − 2y =  x−y=0 2 độ nghiệm hệ  x = y = A ' có tọa x = ⇔ y =  Điểm A có tung độ dương suy A ( 3;3) A ' ( 0;0 ) ¼ ' = CA ¼ ' ⇒ IA ' ⊥ BC Vì d phân giác góc A nên BA Phương trình đường thẳng BC có dạng: BC : 2x + y + m = 2 SABC = 3SIBC ⇔ d ( A, BC ) BC = d ( I, BC ) BC ⇔ d ( A, BC ) = 3.d ( I, BC ) m+9 = m+5  m = −3 ⇔ m + = m + ⇔   m = −6 Với m = −3 BC : 2x + y − = 15  − 21 + 21   + 21 − 21  ; ; ÷,  ÷, suy B, C nằm 5 5     khác phía đường thẳng d ( TM ) Tọa độ điểm B, C là:  Với m = −6 BC : 2x + y − =  12 − 6 +   12 + 6 −  B, C ; ; Tọa độ điểm là:  ÷,  ÷, suy B, C nằm 5 5     khác phía đường thẳng d ( TM ) Do phương trình đường thẳng BC : 2x + y − = 2x + y − = Nhận xét 2: Đây toán mà giải toán hình phẳng học sinh biết xét hai trường hợp : A, I phía khác phía so với BC Điều cho thấy tư học sinh hoàn thiện sau buổi học thứ 3.Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có phương trình AB : x + y − = 0, AC : x + y + = , điểm M ( 1; ) thuộc đoạn thẳng BC Tìm tọa độ điểm D uuur uuur cho DB.DC có giá trị nhỏ Lời giải sơ lược HS1: Ý tưởng giải toán A + Lập pt đường phân giác góc tạo AB, AC + Lập pt BC qua M, vuông góc phân giác vừa tìm B M H C + Tìm B, C kiểm tra M có thuộc đoạn BC uuur uuur +Gọi D ( x; y ) ⇒ DB.DC = x + ( y − 3) − 32 ≥ −32 HS2: Ý tưởng giải toán 16 A + Lập pt đường phân giác góc tạo AB, AC có chứa điểm M cách xét phía ,khác phía so với AB,AC + Lập pt BC qua M, vuông góc phân giác vừa tìm + Tìm B, C uuur uuur B M H C H C +Gọi D ( x; y ) ⇒ DB.DC = x + ( y − 3) − 32 ≥ −32 HS3: Ý tưởng giải toán + Gọi B ( − 2t; t ) , A uuur uuur + M thuộc đoạn BC nên MC = k MB, k < ⇒ C ( k − 2s + 1; −2k + s + ) , s = kt B M C ∈ AC ⇒ t , s ⇒ t , k ⇒ B, C AB = AC  uuur uuur +Gọi D ( x; y ) ⇒ DB.DC = x + ( y − 3) − 32 ≥ −32 + Giải hệ:  Nhận xét 3: Bài toán này, đa số học sinh chọn hướng giải theo hình toạ độ Điều cho thấy học sinh biết lựa chọn phương pháp giải tương thích cho toán linh động tư giải toán học sinh 4.Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A ( 1;1) , B ( 3;2 ) , C ( 7;10 )∆ Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến∆đường thẳng ∆ lớn B M C 17 A Lời giải TH1: ∆ cắt đoạn thẳng BC M Ta có: d ( B; ∆ ) + d ( C ; ∆ ) ≤ BM + CM = BC (1) TH2: ∆ không cắt đoạn thẳng BC , gọi I ( 5;6 ) trung điểm BC Ta có: ∆ d ( B; ∆ ) + d ( C ; ∆ ) = 2d ( I ; ∆ ) ≤ AI (2) A B I C Vì BC = 80 < 41 = AI nên từ (1) (2) ta có: d ( B; ∆ ) + d ( C ; ∆ ) lớn AI = 41 ∆ vuông góc với AI uur ⇒ ∆ qua A ( 1;1) nhận AI = ( 4;5 ) véc tơ pháp tuyến Vậy phương trình đường thẳng ∆ : ( x − 1) + ( y − 1) = ⇔ ∆ : x + y − = Nhận xét 4: Đây toán yêu cầu học sinh từ giả thiết toán phải xây dựng đầy đủ trường hợp hình phẳng tương ứng Qua toán học sinh nhận thấy lựa chọn 18 giải theo hình học phẳng tối ưu xét hàm số đánh giá Bất đẳng thức cho toán B.3:BUỔI HỌC THỨ BA Đây buổi học mà giáo viên tổ chức cho học sinh kiểm tra để thu thập thông tin Đề kiểm tra sau thực thời gian 90 phút Đề thi Câu 1: Tìm hai lời giải cho toán sau: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: ( x − 4) + y = Gọi A, B tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) với M điểm nằm trục tung.Tìm toạ độ điểm M biết đường thẳng AB qua điểm E (8;5) Câu 2: Giải toán sau: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng có phương trình: d1 : x + y − = 0; d : x + y − = hai điểm A(−2; −3); B(1;3) Tìm tọa độ điểm M ∈ d1; N ∈ d cho độ dài đường gấp khúc AMNB ngắn Phát biểu toán hình học phẳng liên quan Một số kết sau kiểm tra * Đối với câu học sinh thực theo nhiều cách khác nhau, nhiên chủ yếu sử dụng tính chất hình học khác để lập phương trình AB: + Xem AB = (C ) ∩ (T ) ,trong (T) đường tròn đường kính IM + Xem AB = (C ) ∩ (T ) ,trong (T) đường tròn bán kính MA = IM − R +Tìm toạ độ H = AB ∩ IM * Đối với câu 2, học sinh phát toán hình phẳng gốc toán phát triển nó, cụ thể là: + Bài toán gốc: "Cho hai điểm cố định A, B không nằm đường thẳng d cho trước Tìm d điểm M cho MA + MB nhỏ nhất" + Bài toán 1: " Cho hai điểm cố định A, B nằm phía so với hai đường thẳng song song d1; d cho trước Tìm d1 điểm M, d điểm N cho độ dài đường gấp khúc AMNB ngắn " 19 + Bài toán 2: " Cho điểm cố định A không nằm đường thẳng d cho trước Tìm d hai điểm M, N cho MN = a chu vi tam giác ABC nhỏ nhất" + Bài toán 3: " Cho hai điểm cố định A, B song song với đường thẳng d cho trước Tìm d điểm M cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB ngắn " * Thông qua kiểm tra thực hành cho hệ thống tập trước đó, học sinh nhận điều quan trọng: "Bài toán có nhiều hướng để lựa chọn lời giải, nhiên vào hình phẳng tương ứng toán kiện quan trọng để đến lời giải tối ưu” Đó mục đích SKKN nhằm cho học sinh thấy chất hình học toạ độ toán hình phẳng tương ứng vấn đề phải biết khai thác tính chất hình học phẳng cho tối ưu C KẾT LUẬN I Kết thu Sau bảng số liệu thu trước buổi học thứ hai lớp 10A2 (năm học 2012 2013) Phương pháp P1 P2 P3 T Bài toán Bài toán 46 46 Bài toán 32 42 46 Bài toán 48 40 50 Bài toán 48 50 Ghi chú: P1 phương pháp toạ độ tuý P2 phương pháp hình học phẳng tuý P3 phương pháp kết hợp khai thác hình phẳng tương ứng T tổng số học sinh giải toán 20 Qua bảng số liệu ta thấy số lượng học sinh sử dụng phương pháp chiếm số lượng lớn dải cho toán Điều cho thấy tính phổ dụng giải toán hình học toạ độ phương pháp Việc đưa thêm phương pháp giải toán công cụ bổ sung tư cho học sinh công cụ thay Vì đưa toán thường thu lời giải đa dạng từ học sinh, chẳng hạn toán buổi học thứ hai Có lớp đối chứng năm học trước lớp 10A2 năm học 2011 -2012 Tôi thực với hệ thống tập không đề cập tới cấu trúc lý thuyết phương pháp 2, phương pháp Kết so sánh sử dụng phương pháp giải kết qủa thi thể bảng sau: Lớp P1 P2 P3 10A2 ( 11 -12) 82% 35% 40% 10A2 ( 12 - 13) 82% 75% 80% Điểm kiểm tra ÷10 7÷8 5÷6.5 Dưới Lớp 10A2 ( 11 -12) 23 20 10A2 ( 12 - 13) 24 11 Thông qua bảng số liệu khẳng định điều: Việc triển khai buổi học mở rộng mang lại hiệu nhiều Và điều phù hợp chương trình SGK mới, thực tốt cho chuyên đề tự chọn học sinh Đó điều mong mỏi viết SKKN Mong muốn có chủ đề tự chọn học sinh vừa bám sát chương trình học – thi, vừa cung cấp cho em hệ thống tri thức phương pháp 21 Không giúp học sinh việc định hướng giải toán với nội dung cụ thể mà thông qua để học sinh thấy việc theo “ đường” tốt có kết Từ thúc học sinh tìm tòi sáng tạo để trang bị cho quy trình lượng kiến thức cần thiết Nhìn chung quy trình đưa đơn giản áp dụng cho phần nhiều cho toán Do đa số học sinh nắm vững quy trình có định hướng rõ rệt trình giải toán Tuy nhiên số học sinh trung bình trung bình khả vận dụng vào giải toán lúng túng, toán cần phải tạo hình vẽ phụ, yếu tố phụ hay gặp bế tắc giải toán học sinh thường không chuyển hướng cách suy nghĩ để giải toán ( thể sức “ỳ” tư lớn) Vì dạy cho học sinh nội dung này, giáo viên cần tạo cho học sinh cách suy nghĩ linh hoạt sáng tạo vận dụng quy trình Đó nhược điểm cách giải toán theo phương pháp này, điều đòi hỏi người giáo viên cần phải khéo léo truyền thụ quy trình cách giải toán linh hoạt toán II Kiến nghị Qua thành công bước đầu việc áp dụng nội dung thiết nghĩ cần thiết phải có đổi cách dạy học Không nên dạy học sinh theo quy tắc máy móc cần cho học sinh quy trình mô mang tính chọn lựa để học sinh tự tư tìm đường giải toán Sáng kiến kinh nghiệm phần nhỏ kinh nghiệm thân thu qua trình dạy phạm vi học sinh nhỏ hẹp Vì phát ưu nhược điểm chưa đầy đủ sâu sắc Mong qua báo cáo kinh nghiệm đồng nghiệp cho thêm ý kiến phản hồi ưu điểm cách dạy nội dung Cuối mong nội dung đồng nghiệp nghiên cứu áp dụng vào thực tiễn dạy học để rút điều bổ ích Bài viết chắn nhiều thiếu sót mong đóng góp ý kiến, phê bình, phản hồi đồng nghiệp 22 [...]... bài tập trước đó, học sinh nhận ra một điều rất quan trọng: "Bài toán có nhiều hướng để lựa chọn lời giải, tuy nhiên căn cứ vào hình phẳng tương ứng của bài toán là một dữ kiện quan trọng để đi đến lời giải tối ưu” Đó cũng chính là mục đích của SKKN nhằm cho học sinh thấy rằng bản chất của hình học toạ độ là một bài toán hình phẳng tương ứng và vấn đề của chúng ta là phải biết khai thác tính chất hình. .. AC  uuur uuur 2 +Gọi D ( x; y ) ⇒ DB.DC = x 2 + ( y − 3) − 32 ≥ −32 + Giải hệ:  Nhận xét 3: Bài toán này, đa số học sinh chọn hướng giải theo hình toạ độ Điều này cho thấy học sinh đã biết lựa chọn phương pháp giải tương thích cho mỗi bài toán và sự linh động trong tư duy giải toán của học sinh 4 .Bài toán 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A ( 1;1) , B ( 3;2 ) , C ( 7;10 )∆ Lập phương trình... + 5 y − 9 = 0 Nhận xét 4: Đây là bài toán yêu cầu học sinh từ giả thiết bài toán phải xây dựng được đầy đủ các trường hợp hình phẳng tương ứng Qua bài toán này học sinh nhận thấy rằng lựa chọn 18 giải theo hình học phẳng là tối ưu hơn xét hàm số hoặc đánh giá Bất đẳng thức cho bài toán này B.3:BUỔI HỌC THỨ BA Đây là buổi học mà giáo viên tổ chức cho học sinh kiểm tra để thu thập thông tin Đề kiểm tra... nên lời giải bài toán, nếu học sinh không có kĩ 12 năng chuyển và giải bài toán hình học phẳng tương ứng chắc chắn sẽ rất khó khăn khi tìm lời giải Ví dụ 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H (1; −3) , trọng tâm G (−3;5) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Phân tích bài toán: Đây là một kết quả rất quen thuộc trong hình học phẳng, đó là bài toán về đường... là bài toán tổng quát, khi có giả thiết cụ thể để giải theo hình phẳng học sinh chỉ việc xét vị trí tương đối của M và (C), rồi giải theo trường hợp tương ứng Tuy nhiên lời giải theo hình toạ độ thực sự là rất ấn tượng, nó gúp cho học sinh tư duy toàn diện hơn Cuối buổi học tôi đưa ra một số bài toán mà sự xuất hiện của lời giải hình học phẳng là bắt buộc, nó là một phần tất yếu cấu thành nên lời giải. .. hình học phẳng ấy sao cho tối ưu nhất C KẾT LUẬN I Kết quả thu được Sau đây là bảng số liệu thu được trước buổi học thứ hai của lớp 10A2 (năm học 2012 2013) Phương pháp P1 P2 P3 T Bài toán Bài toán 1 0 2 46 46 Bài toán 2 32 1 42 46 Bài toán 3 48 1 40 50 Bài toán 4 5 48 50 2 Ghi chú: P1 là phương pháp toạ độ thuần tuý P2 là phương pháp hình học phẳng thuần tuý P3 là phương pháp kết hợp khai thác hình phẳng. .. T là tổng số học sinh giải được bài toán 20 Qua bảng số liệu ta thấy rằng số lượng học sinh sử dụng phương pháp 3 chiếm số lượng lớn và dải đều cho cả 4 bài toán Điều đó cho thấy tính phổ dụng trong giải toán hình học toạ độ của phương pháp 3 Việc đưa thêm phương pháp giải toán chỉ là một công cụ bổ sung tư duy cho học sinh chứ không phải là công cụ thay thế Vì vậy khi đưa ra một bài toán tôi thường... định hướng rõ rệt trong quá trình giải toán Tuy nhiên đối với một số học sinh trung bình và trung bình khá thì khả năng vận dụng vào giải toán còn đang lúng túng, nhất là trong các bài toán cần phải tạo ra các hình vẽ phụ, yếu tố phụ hay khi gặp bế tắc trong giải toán học sinh thường không chuyển hướng được cách suy nghĩ để giải bài toán ( thể hiện sức “ỳ” tư duy vẫn còn lớn) Vì vậy khi dạy cho học sinh. .. 2GI " Lời giải bài toán Bước 1: Chứng minh bài toán hình phẳng vừa nêu uuur uur Bước 2: Áp dụng: HG = 2GI ta tìm được toạ độ I B.2: BUỔI HỌC THỨ HAI Với sự chuẩn bị của học sinh, giáo viên yêu cầu học sinh trình bày lời giải theo định hướng đã lựa chọn Tuy nhiên vẫn khuyến khích sử dụng các phương pháp khác để có lời giải đa dạng Sau đây là sơ lược về hệ thống các bài toán rèn luyện và lời giải sơ lược... = = AC CK 2 H ⇒ AB = 1 ⇒ CK = 1 A C Nhận xét 1: 14 Đây là bài toán thu được nhiều ý tưởng giải toán rất hay từ học sinh, học sinh cũng sôi nổi và mạnh dạn hơn trong cách trình bày tư tưởng giải toán Điều đó cho thấy hiệu quả của việc "Giải toán toạ độ theo tư tưởng phân tích hình phẳng tương ứng" 2 .Bài toán 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( T ) :x 2 +