Sáng kiến kinh nghiệm toán THPT một số sai lầm của học sinh trong quá trình tính tích phân

13 588 0
Sáng kiến kinh nghiệm toán THPT một số sai lầm của học sinh trong quá trình tính tích phân

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH TÍNH TÍCH PHÂN" PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Học sinh địa bàn xã Võ Lao đa phần em nông thôn, cha mẹ điều kiện chăm lo cho học hành Ngoài đến lớp em phải giúp đỡ bố mẹ công việc gia đình đồng áng, nhiều thơì gian để học, dẫn đến việc chất lượng học tập học sinh yếu, kiến thức bị “hổng” nhiều, nên hầu hết em sợ học môn Toán Là giáo viên dạy toán, có năm gắn bó với nghề, thông cảm với em trăn trở trước thực tế Bởi trình giảng dạy học hỏi đồng nghiệp tìm tòi phương pháp thích hợp để giúp em học sinh yêu thích học tốt môn toán hơn, vững bước vào kỳ thi tốt nghiệp Đại học Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN năm toán tích phân thiếu, học sinh toán lại toán tương đối khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp tính tích phân Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? trình tính tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai, qua thực tế giảng dạy nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh lớp 12 trường THPT số Văn Bàn Để nâng cao hiệu việc rèn luyện kỹ giải toán tích phân cho học sinh chọn đề tài “Tổng hợp số sai lầm, nhằm giúp học sinh lớp 12A1 trường THPT số Văn Bàn tránh sai sót tính tích phân” II Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải toán tích phân nói riêng đạt kết cao trình học tập nói chung Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt là: Tìm phương pháp tối ưu để quỹ thời gian cho phép hoàn thành hệ thống chương trình quy định nâng cao thêm mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo việc giải toán Tích phân Từ đú phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em III Nhiệm vụ nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp câu hỏi khoa học sau đây: - Kỹ gì? Cơ chế hình thành kỹ nào? - Những tình điển hình thường gặp trình giải vấn đề liên quan đến Tích phân? - Trong trình giải vấn đề liên quan đến tính Tích phân, học sinh thường gặp khó khăn sai lầm nào? - Những biện pháp sư phạm sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ giải vấn đề liên quan đến Tích phân? - Kết thực nghiệm sư phạm nào? IV Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu: - Học sinh lớp 12A1 trường THPT số Văn Bàn - Các dạng toán tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trình tính toán V Phương pháp nghiên cứu: Trong trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau: ghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên sở phân tích kỹ nội dung chương trình Bộ giáo dục Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi tiết học, sau nội dung có kinh nghiệm kết thu (nhận thức học sinh, hứng thú nghe giảng, kết kiểm tra,…) đến kết luận Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải toán PHẦN II: NỘI DUNG “TỔNG HỢP MỘT SỐ SAI LẦM, NHẰM GIÚP HỌC SINH LỚP 12A1 TRƯỜNG THPT SỐ VĂN BÀN TRÁNH SAI SÓT KHI TÍNH TÍCH PHÂN” I Những quan niệm chung Dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ: “ sai đến gần đến khái niệm đúng”, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức học sinh II Biện pháp, giải pháp thay Bài tập minh hoạ: Bài 1: Tính tích phân: I = dx ∫ (x + 1) −2 2 * Sai lầm thường gặp: I = dx ∫− (x + 1) 2 = d ( x + 1) ∫ ( x + 1) =- x + −2 2 −2 =- -1 = - * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y = ( x + 1) không xác định x= -1 ∈ [ − 2;2] suy hàm số không liên tục [ − 2;2] nên không sử dụng công thức newtơn – leibnitz cách giải * Lời giải Hàm số y = ( x + 1) không xác định x= -1 ∈ [ − 2;2] suy hàm số không liên tục [ − 2;2] tích phân không tồn b * Chú ý học sinh: Khi tính ∫ f ( x)dx cần ý xem hàm số y=f(x) có liên tục a [ a; b] không? có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho không kết luận tích phân không tồn * Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: 1/ dx ∫0 (x − 4) 2/ ∫ x( x − 1) dx −2 π − x e x + x dx 4/ ∫ x3 −1 3/ ∫ 14 dx cos x π Bài :Tính tích phân: I = dx ∫ + sin x * Sai lầm thường gặp: Đặt t = ⇒ ⇒ 2dt dx = ∫ ∫ + sin x (1 + t ) π I= tan dx ∫0 + sin x π = x tan dx = = ∫ 2(t + 1) −2 d(t+1) = −2 x tan + π = 1+ t2 2dt ; = + t + sin x (1 + t ) 2 t +1 +c −2 π tan + tan + không xác định nên tích phân không tồn *Nguyên nhân sai lầm: x x Đặt t = tan x∈ [ 0; π ] x = π tan nghĩa * Lời giải đúng: π dx ∫ + sin x = I= x π d − ÷ dx   = tan  x − π  π =∫  ÷0 ∫0 π π 4  2 x  + cos  x − ÷ cos  − ÷ 2  2 4 π π π  −π  ÷=   = tan − tan  * Chú ý học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục [ a; b] *Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: π dx ∫ sin x 1/ π dx 2/ ∫ + cos x Bài 3: Tính I = ∫ x − 6x + dx * Sai lầm thường gặp: I= ∫ = ∫ ( x − 3) x − 6x + dx 0 dx = ∫ ( x − 3) ( x − 3) d ( x − 3) = = − = −4 2 * Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi ( x − 3) = x−3 với x ∈ [ 0;4] không tương đương * Lời giải đúng: I= ∫ x − 6x + dx 4 0 = ∫ ( x − 3) dx = ∫ x − d ( x − 3) = ∫ − ( x − 3) d ( x − 3) + ∫ ( x − 3) d ( x − 3) =- ( x − 3) + ( x − 3) 2 = + =5 2 * Chú ý học sinh: 2n ( f ( x ) ) 2n b I= ( n ≥ 1, n ∈ N ) = f ( x) ∫ ( f ( x) ) 2n 2n b = a ∫ f ( x ) dx ta phải xét dấu hàm số f(x) [ a; b] dùng tính chất tích phân a tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối Một số tập tương tự: π 1/ I = ∫ − sin x dx; 2/ I = ∫ x − 2x + x dx 3/ I = ∫ π 4/ I = ∫ π    x + − 2 x   dx tan x + cot x − dx Bài 4: Tính I = ∫x −1 dx + 2x + * Sai lầm thường gặp: I= d ( x + 1) ∫ ( x + 1) −1 +1 = arctan ( x + 1) −1 = arctan1 − arctan = π * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh không học khái niệm arctanx sách giáo khoa thời * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tant ⇒ dx = ( + tan t ) dt với x=-1 t = với x = t = Khi I = π ∫ π ( + tan t ) dt tan t + π = ∫ dt = t π = π * Chú ý học sinh: Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày sách giáo khoa thời Học sinh đọc thấy số tập áp dụng khái niệm sách tham khảo, sách viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến khái niệm sách giáo khoa nên học sinh không áp dụng phương pháp b Vì gặp tích phân dạng ∫ + x a tanx t = cotx ; b ∫ a 1− x2 dx đặt x = sint x = cost *Một số tập tương tự: ∫ 1/ I = x − 16 dx x 2x + 2x + ∫0 x + dx 2/ I = 3/ I = ∫ x dx − x8 Bài 5: dx ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = Tính :I = ∫ x3 − x2 dx *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt ∫ x3 dx = ∫ − x2 sin t dt cos t Đổi cận: với x = t = với x= t = ? * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa thường đặt x = sint tích − x2 phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x = không tìm xác t = ? * Lời giải đúng: − x ⇒ dt Đặt t = x = − x2 dx ⇒ tdt = xdx Đổi cận: với x = t = 1; với x = I =∫ x − x2 dx = 15 15 4 (1 − t )tdt = (1 − t )dt =  t − t  ∫ t ∫    2 15 t = 15  15 15 15  33 15 − = =  − −  192 192   * Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa − x thường đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x đặt x = tant cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp không phải nghĩ đến phương pháp khác *Một số tập tương tự: 1/ Tính I = ∫ x3 + x2 dx 10 dx ∫x 2/ Tính I = x2 + 1 Bài 6: tính I = x2 −1 ∫ dx −1 + x   1−   x   x2 = ∫−1 −∫1   dx +x x +  − x2 x  * Sai lầm thường mắc: I =   1−   Đặt t = x+ x ⇒ dt = 1 − x dx Đổi cận với x = -1 t = -2 ; với x=1 t=2; I dt 1 − )dt =(ln t + =∫ = ∫( t− −2 t − −2 t + = ln 2+ 2− − ln −2+ −2− = ln -ln t − ) −2 = ln sai [ − 1;1] chứa x = nên * Lời giải đúng: xét hàm số F(x) = ’ F (x) = Do I = 2 ln 2 x2 − x + x2 + x + (ln t− 2 −2 2− chia tử mẫu cho x = t+ 2+ 1− x2 −1 x = 1+ x + x2 x * Nguyên nhân sai lầm: x2 − x + x2 + x +1 )′ = x2 −1 x2 − x +1 dx ∫ = 2 ln x + x + −1 + x x2 −1 x4 +1 −1 = 11 ln 2− 2+ *Chú ý học sinh: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = III Kết Kết từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tích phân nêu Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán tích phân từ hàm số dấu tích phân, cận tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải trình suy luận, bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải giải lượng lớn tập Kết thực nghiệm: Sáng kiến áp dụng năm học 2011-2012 Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi hiệu biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ giải vấn đề liên quan đến tính tích phân; kiểm nghiệm tính đắn Giả thuyết khoa học Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT số Văn Bàn + Lớp 12A4 ( 33 học sinh) không áp dụng sáng kiến + Lớp 12A1 ( 34 học sinh) áp dụng sáng kiến Thực nghiệm tiến hành phụ đạo, ôn tập tích phân Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra Sau nội dung đề kiểm tra: Đề kiểm tra khảo sát 45 phút 12 Tính tích phân sau 1/ dx ∫0 (x − 4) 2/ ∫ x( x − 1) dx −2 π − x e x + x dx 4/ ∫ x3 −1 3/ ∫ 14 dx cos x Kết xếp giỏi tb yếu loại đối tượng 12A1 5% 24% 65% 6% 12A4 0% 13% 47% 40% Việc đề hàm chứa dụng ý sư phạm, tất nhiên Đề kiểm tra dành cho học sinh có học lực trở lên hai lớp thực nghiệm đối chứng Xin phân tích rõ điều đồng thời đánh giá sơ chất lượng làm học sinh Đề kiểm tra không khó không dễ so với trình độ học sinh Có thể nói với mức độ đề phân hóa trình độ học sinh, đồng thời đưa cho giáo viên đánh giá xác mức độ nắm kiến thức học sinh Cả bốn ý đề kiểm tra không nặng tính toán, mà chủ yếu kiểm tra khả suy luận, vận dụng kiến thức học tích phân PHẦN III : KẾT LUAN Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau đây: Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải khái niệm kĩ hình thành kĩ Thống kê số dạng toán điển hình liên quan đến tích phân 13 Chỉ số sai lầm thường gặp học sinh trình giải vấn đề liên quan đến tính tích phân Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến Tích phân Thiết kế thức dạy học số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất Như khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành giả thuyết khoa học chấp nhận Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy thân trường THPT với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn toàn diện toán Tích phân nói riêng Toán học nói chung Vấn đề thấy học sinh khá, giỏi hứng thú giáo viên nêu sai lầm mà học sinh chưa nghĩ đến Trong toán học, nhiều dạng toán mà học sinh hay mắc sai lầm giải Tác giả hy vọng có điều kiện để trình bày vấn đề năm học Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa có sách tham khảo viết sai lầm học sinh giải toán Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh tìm tòi sai lầm thường mắc giải toán để em tránh sai lầm làm tập Mặc dù thân cố gắng nhiều, song điều viết không tránh khỏi sai sót Tôi mong nhận góp ý đồng nghiệp bạn đọc nhằm nâng cao hiệu giảng dạy học tập 14 [...]... đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 III Kết quả 1 Kết quả từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích phân như đã nêu Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân để... những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong. .. tích phân 13 3 Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân 4 Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến Tích phân 5 Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực 6 Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư... học là chấp nhận được Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tại trường THPT với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về bài toán Tích phân nói riêng Toán học nói chung Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú khi được giáo viên nêu và chỉ ra những sai lầm mà học sinh chưa hề nghĩ đến Trong toán học, còn nhiều dạng toán mà học sinh rất hay mắc sai. .. nắm kiến thức của học sinh Cả bốn ý trong đề kiểm tra đều không nặng về tính toán, mà chủ yếu là kiểm tra khả năng suy luận, vận dụng kiến thức đã được học về tích phân PHẦN III : KẾT LUAN Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây: 1 Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ năng 2 Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến tích phân. .. trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó 2 Kết quả thực nghiệm: Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2011-2012 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân; kiểm nghiệm tính đúng đắn của Giả thuyết khoa học Thực nghiệm sư phạm... nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT số 2 Văn Bàn + Lớp 12A4 ( 33 học sinh) không áp dụng sáng kiến + Lớp 12A1 ( 34 học sinh) áp dụng sáng kiến Thực nghiệm được tiến hành trong bài phụ đạo, ôn tập về tích phân Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra Sau đây là nội dung đề kiểm tra: Đề kiểm tra khảo sát 45 phút 12 Tính các tích phân sau 5 1/ dx ∫0 (x − 4) 4 1 3 2/ ∫ x(... phạm, tất nhiên Đề kiểm tra này dành cho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng Xin được phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng làm bài của học sinh Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ học sinh Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của học sinh, đồng thời cũng đưa ra cho giáo viên... sai lầm trong khi giải quyết nó Tác giả hy vọng có điều kiện để trình bày các vấn đề này trong những năm học tiếp theo Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một sách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán. .. được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi làm bài tập Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng nhiều, song những điều viết ra có thể không tránh khỏi sai sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các đồng nghiệp cũng bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập 14

Ngày đăng: 30/10/2016, 09:16

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Học sinh trên địa bàn xã Võ Lao đa phần là con em nông thôn, cha mẹ không có điều kiện chăm lo cho con cái học hành. Ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia đình và đồng áng, không có nhiều thơì gian để học, dẫn đến việc chất lượng học tập của học sinh còn yếu, kiến thức bị “hổng” nhiều, nên hầu hết các em sợ học môn Toán. Là giáo viên dạy toán, đã có 6 năm gắn bó với nghề, tôi rất thông cảm với các em và trăn trở trước thực tế đó. Bởi vậy trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp các em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, vững bước vào các kỳ thi tốt nghiệp và Đại học.

  • Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán Tích phân. Từ đú phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.

  • PHẦN II: NỘI DUNG

    • Bài tập minh hoạ:

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan