sang kien kinh nghiem quang

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A – MỞ ĐẦU I CƠ SỞ LÝ LUẬN Mơn tốn mơn học phong phú đa dạng, môn học công cụ có tính thực tiễn phổ dụng Tốn học khơng công cụ hỗ trợ việc học cho môn khác mà cịn góp phần phát triển tư logic, phát huy tính linh hoạt sáng tạo học tập Đó niềm say mê người yêu thích tốn học Đối với học sinh để có kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi nhiều bền bỉ Đối với giáo viên: Làm để trang bị cho em đầy đủ kiến thức? Đó câu hỏi mà giáo viên phải đặt cho thân Chuyên đề "Phân tích đa thức thành nhân tử" học kỹ chương trình lớp 8, có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề quan trọng Nắm tinh thần q trình giảng dạy tốn lớp tơi dày cơng tìm tịi, nghiên cứu để tìm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho học sinh Trong SGK trình bày phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm hạng tử, dùng đẳng thức Trong chuyên đề giới thiệu thêm phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm nghiệm đa thức Đồng thời vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập Thực tiễn học chuyên đề theo phương pháp tác giả học sinh tiếp thu thích thú Các ví dụ đa dạng, có nhiều tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững phương pháp phân tích SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho em học tập kiến thức giải tốn khó II CƠ SỞ THỰC TIỄN Đối với học sinh Phân tích đa thức thành nhân tử dạng tốn thường gây khó khăn cho nhiều học sinh, học sinh nội trú Bởi lẽ phân tích đa thức thành nhân tử địi hỏi học sinh phải tổng hợp nhiều kiến thức như: đơn thức đồng dạng, bỏ ngoặc đa thức, đưa hạng tử vào ngoặc, đẳng thức đáng nhớ, tách hạng tử, nhóm hạng tử… Việc làm khơng phải học sinh thực Với số học sinh chưa xác định phương pháp phân tích xác định phương pháp cách giải chưa xác nhiều lúc đưa toán vào ngõ cụt Để giải tốn đơn giản gặp nhiều khó khăn với học sinh có học lực trung bình Để nắm chất lượng thực tế học sinh khả giải tốn tơi khảo sát thực tế lớp Kết sau: Nội dung Xác định cách giải Không xác định cách giải Giải toán đơn giản Khơng giải tốn đơn giản Giải tốn nâng cao Khơng giải tốn nâng cao Đối với giáo viên Tổng số: 29 Số lượng Tỉ lệ 10 34,5% 19 65,5% 05 17,2% 24 82,8% 01 3,4% 28 96,6% Trong nhiều năm phân cơng làm nhiệm vụ giảng dạy Tốn tơi tích lũy nhiều kiến thức dạng tốn “ Phân tích đa thức thành nhân tử” dạng tập vận dụng, đặc biệt hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết nên áp dụng phương pháp để vừa nhanh gọn, vừa dễ hiểu Áp dụng phương pháp không giúp học sinh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM giải tốn đơn giản mà cịn giúp giáo viên xây dựng học sinh mũi nhọn cho mơn III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Chỉ phương pháp dạy loại “ Phân tích đa thức thành nhân tử” - Đổi phương pháp dạy học - Nâng cao chất lượng dạy học đại trà chất lượng mũi nhọn IV NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nhiệm vụ: Nhiệm vụ cụ thể: - Tìm hiểu thực trạng học sinh - Những phương pháp thực - Những chuyển biến sau áp dụng - Rút học kinh nghiệm Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề V PHẠM VI NGHIÊN CỨU Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp trường PTDT Nội trú Đó lý chọn đề tài: “Ứng dụng kĩ phân tích đa thức thành nhân tử vào tập Tốn 8” B - NỘI DUNG ĐỀ TÀI: Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử” ngồi giải tập phân tích đa thức thành SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng ? - Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức, đơn thức khác - Phân tích đa thức thành nhân tử toán nhiều toán khác Ví dụ: + Bài tốn chứng minh chia hết + Rút gọn biểu thức + Giải phương trình bậc cao + Tìm giá trị lớn nhỏ Phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng phong phú Đối với phương pháp nêu SGK giải hạn chế số dạng tập thường rèn luyện cho học sinh có học lực trung bình Chưa thật phát huy hết khả tìm tịi học hỏi em Do đa dạng phương pháp đồng nghĩa với việc giải toán tốt hơn, khơi gợi tư duy, óc sáng tạo em Chính ngồi phương pháp học, tơi xin nêu thêm số phương pháp cách giải khác để học sinh lựa chọn ứng dụng vào thực tiễn giải tập I CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử Ví dụ 1: x4 + 5x3 +15x - Đa thức cho có số hạng khơng thể đặt nhân tử chung áp dụng đẳng thức, ta nghĩ tới cách nhóm số hạng thêm bớt số hạng Ta phân tích sau: Cách 1: x4 + 5x3 + 15x - = x4 - + 5x3 + 15x = (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM = (x2 + 3) (x2 - + 5x) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Cách 2: x4 + 5x3 + 15x - = x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - = x2 (x2 + 5x - 3) + (x2 + 5x - 3) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Bài cần lưu ý học sinh tập hợp số hữu tỉ đa thức x + 5x - không phân tích Ví dụ 2: x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz Giải: Đa thức cho có số hạng lại khơng đặt nhân tử chung mà có hạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành hạng tử để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz = x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz = x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy) = (xy + xz + yz) (x + y + z) Ví dụ 3: x2 + 6x + Với phương pháp biết đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng đẳng thức ta khơng thể phân tích đa thức Nếu tách số hạng thành hai số hạng để đa thức trở thành số hạng nhóm hạng tử để xuất nhân tử chung xuất đẳng thức Từ có nhiều khả biến đổi đa thức cho thành tích Cách 1: x2 + 6x + = x2 + 2x + 4x + = x (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 2: x2 + 6x + - = (x+3)2 - = (x + - 1) (x+ +1) = (x+2) (x+4) Cách 3: x2 - + 6x + 12 = (x-2) (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) SÁNG KIẾN KINH NGHIEÄM Cách 4: x2 + 6x + = x2 - 16 + 6x + 24 = (x - 4) (x + 4) + (x + 4) = (x + 4) (x - + 6) = (x+2) (x+4) Ví dụ 4: x3 - 7x - Ta tách sau: Cách 1: x3 - 7x - = x3 - x - 6x - = x (x2 - 1) - (x + 1) = x (x - 1) (x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1) [ x (x - 3) + (x - 3)] = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 2: x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x - = x (x2 - 4) - (x + 2) = x (x - 2) (x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3) = (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1) Cách 3: x3 - 7x - = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + - 7) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2) = (x - 3) (x + 2) (x + 1) Cách 4: x3 - 7x - = x3 + - 7x - = (x + 1) (x2 - x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x + - 7) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 5: x3 - 7x - = x3 + - 7x - 14 = (x + 2) (x2 - 2x + - 7) = (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3) = (x + 2) (x + 1) (x - 3) Cách 6: x3 - 7x - = x3 - 9x + 2x - = x (x - 3) (x + 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2) Chú ý: Cần lưu ý học sinh phân tích đa thức phải triệt để, tức kết cuối khơng thể phân tích Tất nhiên u cầu có tính chất tương đối cịn phụ thuộc tập hợp số mà ta xét Nếu phân tích khơng triệt để học sinh gặp tình cách phân tích SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM có kết khác Chẳng hạn tập cách 1, cách cho ta kết là: x3 - 7x - = (x + 1) (x2 - x - 6) Cách 2, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x + 2) (x2 - 2x - 3) Cách 3, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x - 3) (x2 + 3x + 2) Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh ý sau: - Một đa thức dạng ax2 +bx + c phân tích thành nhân tử tập hợp Q đa thức có nghiệm hữu tỉ ⇔ ∆ (hoặc ∆ , ) số phương (trong ∆ = b2 - 4ac , ∆ ’= b,2 - ac) - Một đa thức dạng ax2 +bx + c tách làm xuất đẳng thức : ∆ (hoặc ∆ , )là số phương chứa hạng tử A2 +2AB +B2 A2 - 2AB +B2 Ví dụ 5: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) Đa thức ta dự đốn có nhân tử b + c c - a a + b Ta có cách phân tích sau: Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) ac2 - a2c - a2b - ab2 = bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b) = bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c+ b) = (b + c) (bc + ac - ab - a2) = (b + c)[(bc - ab ) + (ac - a2) ] = (b + c)[b (c - a) +a (c - a)] = (b + c) (b + a) (c -a) Cách 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c bc2 + ac (c -a) - a2b - ab2 = ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2) = ac (c -a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM = (c - a) (ac + b2 + bc + ab) = (c - a) (a +b) (c+ b) Cách 3: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b) = c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b) = c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b) = (a + b) (cb - ca + c2 - ab) = (a + b) [c (b + c) - a (c + b)] = (a + b) (b + c) (c - a) Cách 4: Nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b) = c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b) = (b + c) (a + b) (c - a) Cách 5: Nhận xét: b + c = (c - a) + (a + b) Ta có: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b) = bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b) = c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b) Cách 6: Nhận xét: a + b = (b + c) - (c - a) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a) = b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b) = (c - a) (c + c) (b + a) Ví dụ 6: a5 + a + Số mũ a từ xuống nên a a cần có số hạng với số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất nhân tử chung Cách 1: a5 + a + = a5 + a4 - a + a3 - a + a2 - a + a + = a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1 = a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + SAÙNG KIẾN KINH NGHIỆM = (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1) Cách 2: a5 + a + = a5 - a2 + a2 + a + = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1) Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 Đặt x = b - c; y = c - a; Ta thấy: x + y + z = z = a - b => z = - x - y (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 = x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3 = x3 + y3 - x3 - y3 - 3x2y - 3xy2 = - 3xy ( x + y) = 3xyz = (b - c) (c - a) (a - b) Ví dụ 2: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 Thơng thường gặp tốn học sinh thường thực phép nhân đa thức với đa thức đa thức bậc với năm số hạng Phân tích đa thức bậc với năm số hạng thường khó dài dịng Nếu ý đến đặc điểm đề bài: Hai đa thức x2 + x + x2 + x + khác hạng tử tự do, ta đặt y = x2 + x + y = x2 + x biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai đơn giản nhiều Đặt y = x2 + x + Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = y2 + 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3) = (x2 + x + + 4) (x2 + x + - 3) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2) = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1) = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5) Ví dụ 3: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 Nhận xét: Ta có: + = + ta nhân thừa số x + với x +7và x + với x + ta đa thức có phần biến giống SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 = (x2 + 7x + x + 7) (x2 + 5x + 3x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15 Đặt x2 + 8x + = y ta được: y (y + 8) + 15 = y2 + y + 15 = y2 + y + y + 15 = (y + 3) (y + 5) =(x2 + 8x + + 3) (x2 + 8x + + 5) = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) = (x2 + 6x + 2x + 12) (x2 + 8x + 10) = (x + 6) (x + 2) (x2 + 8x + 10) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức 3.1 Cách tìm nghiệm đa thức - Phương pháp tìm nghiệm nguyên đa thức:Nghiệm nguyên (nếu có ) đa thức phải ước hạng tử tự Ví dụ: Tìm nghiệm ngun đa thức sau: x3 + 3x2 - Giải: C1) Các ước : 1;2;4;-1;-2;-4 Thử giá trị ta thấy x = x = -2 nghiệm đa thức cho C2) Tổng hệ số đa thức nên đa thức cho có nghiệm x = - Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q p ước hệ số tự do; q ước dương số hạng có bậc cao Ví dụ: Tìm nghiệm đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIEÄM Giải: Các ước : 1;-1;3;-3 (p) Các ước dương : 1;2 (q) Xét số ±1; ±3;±1/2; ±3/2 ta thấy -3/2 nghiệm đa thức cho Chú ý: - Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức có nghiệm Ví dụ: Đa thức a) 3x4 - 4x +1 có 3+ (-4) + = nên có nghiệm x = b) 4x3 +5x2 - 3x - có + + (-3) + (-6) = nên có nghiệm x = - Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 Ví dụ: Đa thức a) 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + 11 + (-3) = 13 Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + + = 13 Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 b)x3 + 3x2 + 6x + Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + = Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + = Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 3.2 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức Nếu đa thức F(x) có nghiệm x = a chứa nhân tử x - a phân tích cần làm xuất nhân tử chung cho có nhân tử x - a Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x3 + 3x2 - 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM b 2x3 + 5x2 + 5x + Giải : a) Cách 1: Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x= nên chứa nhân tử x-1 Ta có : x3 + 3x2 - = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1) = (x-1)(x2 + 4x + 4) = (x-1) (x+2)2 Cách 2: Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x= -2 nên chứa nhân tử x + Ta có x3 + 3x2 - = x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4 = x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2) = (x+2) (x2 +x -2) = (x+2) (x2 - x + 2x -2) = (x+2)[ x(x-1) +2(x-1)] = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1) (x+2)2 b) Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + có nghiệm x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3 Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3 = x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3) = (2x+3) (x2 + x +1) II CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung chúng Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: A= x − 4x − 19x + 106x − 120 x + 7x − x − 67x − 60 12 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Giải : Ta có A= x − 4x − 19x + 106x − 120 x + 7x − x − 67x − 60 Ta thấy tử thức phân thức có nghiệm 2; ; ; -5 Mẫu thức phân thức có nghiệm -1 ; ; -4;-5 Do A= x − 4x − 19x + 106x − 120 x + 7x − x − 67x − 60 A= (x − 2)(x − 3)(x − 4)(x + 5) (x + 1)(x − 3)(x + 4)(x + 5) A= (x − 2)(x − 4) (x + 1)(x + 4) Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B= x + 3x − x+x−2 Giải: Ta thấy tử thức có nghiệm 1; mẫu thức có nghiệm 1; nên ta có B= = x + 3x − x − x + x − x + 4x − = x + x − x − x + 2x − 2x + 2x − x+x+4 Ta thấy tử mẫu không phân tích x + 2x + Dạng : Chứng minh chia hết Để giải toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải tơi trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên x ,ta có: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] (x+6) Giải: Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11 13 SÁNG KIẾN KINH NGHIEÄM (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - = (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11 , ta có (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) (x+6) Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên x ta có (4x + 3)2 - 25 chia hết cho Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 thừa số (4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + + 5) (4x + - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = (x + 2) (2x - 1) = (x + 2) (2x - 1) Do x số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) số nguyên Do (x + 2) (2x - 1) chia hết cho Ta suy ĐPCM Cách 2: (4x + 3)2 - 25 = 16x2 + 24x + - 25 = 16x2 + 24x - 16 = (2x2 + 3x - 2) Vì x số nguyên nên 2x2 + 3x - số nguyên Do (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ĐPCM Ví dụ 3: Chứng minh với số nguyên n biểu thức n A= + n n3 + số nguyên n n n 2n + 2n + 23 Ta có: + + = 6 Muốn chứng minh biểu thức số nguyên cần chứng minh 2n + 3n2 + n3 chia hết cho với số nguyên n Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2) 14 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Ta thấy n (n + 1) (n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho thừa số chia hết cho Mà hai số nguyên tố nên tích chia hết cho n n n3 Vậy số nguyên n biểu thức A= + + số nguyên Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho đa thức x16 + x15 + + x2 + x + Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia sau: x50 + x49 + + x2 + x + = (x50 + x49 + + x35 + x34) +(x33 + x32 + + x18 + x17) + x16 x2 + x + = (x34) (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x16 +x2 + x + = (x16 + x15 + +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõ ràng: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho x16 + x15 + x + Kết phép chia : x34 + x17 + Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a +b +c Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c.Dự đốn đa thức A phân tích thành nhân tử có nhân tử a + b + c Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb ac2 - acb - b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = B (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B Ví dụ 6: Cho 1 1 + + = a b c a+b+c 15 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1 1 + n+ n = n với n lẻ n a b c a + b n + cn CMR: a b c Ta có: + + = bc + ac + ab ⇒ = a +b+c abc a +b+c ⇒ (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc ⇒ abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc ⇒ (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = ⇒ bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = ⇒ (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = ⇒ (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = ⇒ (a + b) (b + c) (a + c) =0 ⇒ a + b = ⇒ a = - b b + c = ⇒ b = - c Hoặc a + c = ⇒ a = - c Vì n lẻ nên an = -bn bn = - cn an = - cn Thay vào ta suy điều phải chứng minh Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng phương trình a) Giải phương trình nghiệm ngun Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun dương phương trình 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96 Ta có: 96 =1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 Mà x, y > ⇒ 3x + 4y > 7; x + 2y > Ta có hệ phương trình sau:  x + 2y = (I)  3x + 4y = 24  x + 2y = (II)  3x + 4y = 16  x + 2y = (III)  3x + 4y = 12  x + 2y = 12 (IV)  3x + 4y = Giải hệ (I) ta x = 16; y = - (Loại) 16 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Giải hệ (II) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (III) ta x = - 4; y = (Loại) Giải hệ (IV) ta x = - 16;y = 14 (Loại) Vậy nghiệm hệ x = 4; y = Vậy nghiệm phương trình: x= 4; y = Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x3 + xy - = ⇒ 2x3 + xy = ⇒ x (2x2 + y) = x = x = ⇒ ⇒ y = 2x + y = x = x = ⇒  2x + y =  y = −97 Hoặc   x = −1  x = −1 ⇒  2x + y = −7  y = −9 Hoặc   x = −7  x = −7 ⇒ 2x + y = −1  y = −99 Hoặc  Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > thỏa mãn x3 + y = y3 + 7x ⇒ x3 - y3 - 7x + 7y = ⇒ (x - y)3 (x2 + xy + y2) - (x - y) = ⇒ (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = Vì x > y > ⇒ x2 + xy + y2 - = ⇒ x2 - 2xy + y2 = - 3xy ⇒ (x - y)2 = - 3xy ⇒ - 3xy > ⇒ 3xy < ⇒ xy < x.y ≤ ⇒ x = 2; y = b) Giải phương trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phương trình 17 SÁNG KIẾN KINH NGHIEÄM ( 3x - )2 -( x - )2 = Giải: Ta có: ( 3x - )2 -( x - )2 = ⇔ ( 3x - + x - )(3x - - x + 1) = ⇔ ( 4x - 6)(2x - 4) = ⇔ 4x – = 2x – = ⇒ 4x - = ⇔ x = 3/2 2x - = ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình cho x =3/2 x = Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + = Giải : Ta có x3 + 3x2 + 4x + = ⇔ x3 + x2 +2x2 +2x +2x + = ⇔ x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = ⇔ (x + 1)(x2 + 2x + 2) = (x + 1) = ⇒ x = -1 (x2 + 2x + 2) = khơng có giá trị x ∈ Q Vậy nghiệm phương trình cho x = -1 III BÀI TẬP Phân tích đa thức thành nhân tử 1) x3 - 4x2 + 8x - 2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz 3) x2 + 7x + 10 4) y2 + y - 5) n4 - 5n2 + 6) 15x3 + x2 - 2n 7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b) 18 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b) 9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 13) Tính nhanh số trị biểu thức sau với a) x = - P = (x+ 2)2 - (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2 b) a = 5,75; b = 4,25 Q = a3 - a2b - ab2 + b3 14) CMR biểu thức (2n + 3)2 - chia hết cho với n nguyên 15) CM biểu thức n n n3 + + số nguyên với số chẵn n 12 24 16) Chứng minh đa thức: x 79 + x78 + + x2 + x+ chia hết cho đa thức x19 + x18 + + x2 + x + IV KẾT QUẢ Sau thời gian áp dụng chuyên đề thấy chuyển biến tích cực học sinh Việc tìm hướng giải tốn khơng cịn gặp nhiều khó khăn áp dụng phương pháp nhuần nhuyễn Sự tự tin học sinh tăng lên nhiều, linh hoạt tiết học, đặc biệt tạo niềm say mê, hứng thú học tập, phát huy khả tư sáng tạo cá nhân đồng thời tạo nên thói quen tự tìm tòi học hỏi lẫn Kết khảo sát sau chuyên đề sau: Trước thực chuyên đề Nội dung Xác định cách giải Không xác định cách giải Giải toán đơn giản Tổng số: 29 Số lượng Tỉ lệ 10 34,5% 19 65,5% 05 17,2% 19 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Khơng giải toán đơn giản Giải toán nâng cao Khơng giải tốn nâng cao Sau thực chuyên đề Nội dung Xác định cách giải Không xác định cách giải Giải tốn đơn giản Khơng giải tốn đơn giản Giải tốn nâng cao Khơng giải toán nâng cao 24 01 28 82,8% 3,4% 96,6% Tổng số: 29 Số lượng Tỉ lệ 29 100% 0% 25 86,2% 04 13,8% 10 34,5% 16 65,5% C - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: I KẾT LUẬN Với mong muốn học sinh giải toán đơn giản nâng cao dần khả giải tốn phức tạp Chính lý tơi đưa suy nghĩ vào giảng dạy chuyên đề: "Ứng dụng kĩ phân tích đa thức thành nhân tử vào tập Tốn 8” nhằm nâng dần khả giải dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử đại trà học sinh Đồng thời góp phần nâng dần chất lượng học sinh vùng khó khăn so với vùng thuận lợi Cũng tìm tịi bồi dưỡng mũi nhọn học sinh 20 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM giỏi lớp Tơi tự nghiên cứu cho học sinh áp dụng đạt kết cao Hầu hết học sinh nắm kiến thức yêu thích học kiến thức Xin giới thiệu với bạn đọc, em học sinh, thầy giáo tham khảo, góp phần nhỏ vào lực giải tốn tri thức tốn học Rất mong đồng nghiệp tham khảo góp ý cho tơi để nội dung phong phú hoàn thiện II KIẾN NGHỊ Tổ chức chuyên đề cấp Huyện để tạo điều kiện cho giáo viên giao lưu học hỏi lẫn nhau./ TÀI LIỆU THAM KHẢO Tác giả Nguyễn Đức Chí Phan Đức Chính Dương Đức Kim Tơn Thân Tên sách 500 toán nâng Tên nhà xuất NXB Đại học Sư cao SGK Toán Hướng dẫn giải tập Toán phạm NXB Giáo dục NXB Đại học Quốc Một số vấn đề đổi gia TP HCM phương pháp dạy học NXB Giáo dục Năm 2007 2004 2006 2008 21 SÁNG KIẾN KINH NGHIEÄM MỤC LỤC A Mở đầu B Nội dung đề tài I Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử II Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử C Kết luận kiến nghị 01 04 04 12 20 Đap pơ, tháng 03 năm 2011 Người thực 22 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Đình Quang 23 ... chuyển biến sau áp dụng - Rút học kinh nghiệm Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm... Kết luận kiến nghị 01 04 04 12 20 Đap pơ, tháng 03 năm 2011 Người thực 22 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Đình Quang 23 ...SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho em học tập kiến thức giải tốn khó II CƠ SỞ THỰC