Phương pháp tiếp tuyến

Phương pháp tiếp tuyến Phương pháp tiếp tuyến Bởi: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên Phương pháp tiếp tuyến Ý tưởng Ý tưởng thuật toán sau: Ở bước lặp thứ k ta thay hàm f(x) tiếp tuyến với đồ thị điểm xk Nghiệm xấp xỉ giao điểm tiếp tuyến với trục hoành Ý nghĩa hình học f hàm khả vi dễ tính giá trị đạo hàm phương pháp tiếp tuyến có tốc độ hội tụ nhanh 1/5 Phương pháp tiếp tuyến Giả sử f(x) hàm khả vi liên tục lần đoạn [a,b] thoả mãn: f(a).f(b)0 Dễ thấy với điều kiện hai điểm a, b điểm Fourier, điểm không Fourier (Vì f(a) f(b) trái dấu, f’’(x) không đổi dấu) Định lý (điều kiện hội tụ theo Furiê_điều kiện đủ) Giả sử [a,b] khoảng nghiệm phương trình f(x)=0 Đạo hàm f’(x), f’’(x) liên tục, không đổi dấu, không tiêu diệt [a,b] Khi ta chọn xấp xỉ nghiệm ban đầu x0 thuộc[a,b] cho f(x0)*f’’(x0) > trình lặp hội tụ đến nghiệm Phương pháp tiếp tuyến hay gọi phương pháp Fourier có tốc độ hội tụ cao Xấp xỉ ban đầu x0 chọn điểm Fourier thuộc [a,b] kể a b Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y=f(x) xk là: y = f’(xk) (x-xk) +f(xk); Nghiệm xấp xỉ bước k+1 nghiệm phương trình: f’(xk) (x-xk) +f(xk) =0 2/5 Phương pháp tiếp tuyến hay ta có công thức lặp: Ta chứng minh dãy đơn điệu hội tụ đến nghiệm phương trình Ước lượng sai số: Giả sử x* nghiệm (4.1), đặt m = min{|f’(x)| | x∈[a,b]} Ta có ước lượng sau: Thật vậy, ta có f(xn) = f(xn) – f(x*) = f’(c) (xn – x*) nên Vì đạo hàm f’(x) f’’(x) không đổi dấu [a,b] nên m = { |f’(a)|, |f’(b)| } >0 Thuật toán Newton Dạng giả mã thuật toán: Procedure Newton { m= (|f’(a)|, |f’(b)| ); x=x =điểm Fourier 3/5 Phương pháp tiếp tuyến while (|f(x)/m|>ε) x = x – f(x) / f’(x); // x nghiệm gần } Ứớc lượng sai số: Sai số bước n tính theo công thức là: Ví dụ Ví dụ 1: Để tính gần 3√15 ta giải phương trình x3 -15 =0 đoạn [2,3] Dễ kiểm tra thấy f(2).f(3) 0; f’’(x) =6x>0 đoạn [2,3] x0=3 điểm Fourier m = min{12, 27} = 12 Công thức có dạng: Ta có x1 = 2,5556; x2 = 2,4693 Sai số |x2- x*| < |f(x2)|/m = 0,005 Vídụ2: Giải phương trình: x3 + x - = phương pháp tiếp tuyến Giải: - Tách nghiệm: f(x) = x3 + x - f’(x) = 3x2 + > x Phương trình có nghiệm f(1)* f(2) = (-3)*5 < Vậy phương trình có nghiệm x thuộc (1, 2) 4/5 Phương pháp tiếp tuyến - Chính xác hoá nghiệm: f’’(x) = 6x > x thuộc (1, 2) f’(x) > x Thoả mãn điều kiện hội tụ Furiê, áp dụng phương pháp tiếp tuyến Chọn với x0 = ( f(2) f’’(2) > 0) Ví dụ 3: Xét phương trình f(x) = x3 - 3x + = khoảng cách ly nghiệm [0,1/2] Ta có Chọn x0 = thỏa điều kiện Fourier Kết tính toán theo công thức lặp Newton cho ta bảng sau: 5/5