Các bài luyện tập vế số học thi học sinh giỏi

ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán, ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,

LUN TẬP VỀ SỐ HỌC Số học nghiên cứu tốn liên quan đến số ngun, chia hết, số ngun tố, số phương, hữu tỷ-vơ tỷ, phương trình nghiệm ngun, nghiệm hữu tỷ Số ngun tố khái niệm tảng số học, định lý liên quan đến số ngun tố định lý số học, định lý luỹ thừa số ngun tố p n!, định lý tồn vơ số số ngun tố kiến thức cần nắm Một cơng cụ quan trọng để giải tốn số học lý thuyết đồng dư Trong phần này, có tính chất định lý quan trọng định lý nhỏ Fermat, định lý Wilson, định lý Euler, định lý Trung Hoa số dư, định lý Bezout … Các hàm số quan trọng số học ϕ hàm Euler, hàm τ, hàm σ xuất lý thuyết đồng dư Khái niệm bậc số theo modulo m với tính chất quan trọng có nhiều ứng dụng việc giải tốn số học Chúng ta cần nắm vững USCLN, BSCNN tính chất nó, thuật tốn Euclide, thuật tốn Euclide mở rộng, định lý Bezout ứng dụng Trong phần nâng cao, nghiên cứu thêm số phương modulo p, ngun thuỷ Phương trình Diophant mảng quan trọng tốn số học: ngồi phương pháp thơng dụng chọn module, chặn nghiệm, kẹp bình phương, phân tích tiêu chuẩn, ta cần biết đến số vấn đề nâng cao phương trình Pell, phương pháp phương trình Markov Một số tập có lời giải Cho a, b số ngun dương cho a +1 b +1 + số ngun Chứng minh b a ( a, b) ≤ a + b a + b +1 a2 + b2 + a + b + = Đặt d = (a, b) ab chia hết cho d2 nên a2 + b2 + a + b a ab b chia hết cho d2 Số a2 + b2 chia hết cho d2 Do a + b chia hết cho d2 a + b ≥ d Lời giải Ta có (Korea 2007) Tìm tất cặp số ngun tố p, q cho pp + qq + chia hết cho p.q Lời giải Dễ thấy p≠q Không tính tổng quát ta giả sử p < q Nếu p=2 Ta có qq + ≡ ≡ 0( mod q ) suy ra, q=5 Nếu p ≠ p q số nguyên tố lẻ Hơn nữa, q – p ≥ (1) Từ điều kiện toán ta suy : pp + ≡ ( mod q ) Suy ra: p2.p ≡ ( mod q) Theo đònh lý Fermat nhỏ ta có : pq-1 ≡ ( mod q ) Do : p(2.p, q-1) ≡ ( mod q ) Ta có: (2.p, q-1) = (2.p, q-1) = 2.p Nếu (2.p, q-1) = p2 ≡ ( mod q ) Suy ra: p ≡ ( mod q ) p ≡ -1 ( mod q ) Điều mâu thuẫn với (1) Nếu (2.p, q-1) = 2.p q ≡ ( mod p ) Suy ra: + pp + qq ≡ + pp + ≡ pp + ≡ ( mod p) Từ điềâu kiện toán suy ra: ≡ ( mod p ) Mâu thuẫn p > Vậy (p , q) = (2 , 5) (5 , 2) hai cặp số nguyên tố cần tìm Cho a, b số ngun dương ngun tố Chứng minh N = ab – a – b số ngun nhỏ khơng biểu diễn dạng ax + by với x, y số ngun khơng âm Hơn nữa, với p, q ngun với p + q = N0, có hai số biểu diễn dạng ax + by với x, y số ngun khơng âm (mà ta gọi tắt biểu diễn được) Lời giải Ta có N0 biểu diễn N0 = ax + by với x, y ≥  ab – a – b = ax + by  a(b-x-1) = b(y+1) Từ suy a(b-x-1) chia hết cho b Mà (a, b) = nên (b-x-1) chia hết cho b Điều \có thể xảy b – x – = Nhưng y = -1, mâu thuẫn Tiếp tục, ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề: Nếu (a, b) = với số ngun n, tồn cặp số ngun x, y cho i) n = ax + by ii) ≤ x < b Chứng minh: Từ định lý Bezout suy tồn u, v ngun cho au + bv = Nhân hai vế với n, ta n = a(nu) + b(nv) Lấy nu chia cho b ta nu = bq + r với ≤ r < b Thay vào, ta n = a(bq + r) + b(nv) = ar + b(nv+aq) Đặt x = r, y = nv + aq, ta tìm cặp số (x, y) thoả mãn điều kiện định lý Tính hiển nhiên Bây xét hai số p, q có p + q = N Rõ ràng p q biểu diễn N biểu diễn được, mâu thuẫn, hai số p, q, có nhiều số biểu diễn Ta chứng minh có số biểu diễn Theo bổ đề, p, q biểu diễn dạng p = ax1 + by1, q = ax2 + by2 với ≤ x1, x2 < b Ta có p + q = a(x1+x2) + b(y1+y2) = N0 = ab – a – b Suy a(x1+x2-b+1) + b(y1+y2+1) = Từ đẳng thức suy x1 + x2 – b + chia hết cho b Nhưng ta có - b + < x1 + x2 – b + < b-1 nên điều xảy x1 + x2 – b + = 0, suy y1 + y2 + = 0, suy hai số y1, y2 có số ≥ 0, có nghĩa hai số p q biểu diễn Cuối cùng, để kết thúc lời giải tốn, ta ý N > N N + (N0 – N) = N0 N0 – N khơng biểu diễn nên N biểu diễn được, N số ngun dương nhỏ khơng biểu diễn Tồn hay khơng đa thức P(x) ∈ Z[x], khơng có nghiệm ngun cho với số ngun dương n, tồn số ngun x cho P(x) chia hết cho n Lời giải: Tồn Ta xét đa thức P(x) = (3x+1)(2x+1) Với số ngun dương n, ta biểu diễn n dạng n = 2k(2m+1) Vì (2k, 3) = nên tồn a cho 3a ≡ (mod 2k), từ 3x ≡ -1 (mod 2k)  x ≡ - a (mod 2k) Tương tự (2, 2m+1) = nên tồn b cho 2b ≡ (mod 2m+1), từ 2x ≡ -1 (mod 2m+1)  x ≡ - b (mod 2m+1) k Cuối cùng, (2 , 2m+1) = nên theo định lý Trung Hoa số dư, tồn số ngun x nghiệm hệ x ≡ -a (mod 2k) x ≡ - b (mod 2m+1) Và theo lý luận trên, P(x) = (3x+1)(2x+1) chia hết cho n Chứng minh a, b, c số ngun a b c + + = abc lập phương số b c a ngun Lời giải Cách Khơng tính tổng qt, giả sử (a, b, c) = Viết phương trình dạng a 2c + b2a + c2b = 3abc Giả sử p ước số ngun tố a, p | c 2b, suy p ước c ước p Do (a, b, c) = nên p ước hai số Khơng tính tổng qt, giả sử p | c Gọi m, n số mũ lớn cho pm | a pn | c Đặt a = pm.a’ c = pn.c’ thay vào phương trình, ta p2m+n.a’2c’+ b2pm + p2n.c’b = 3.pm+n.a’bc’ + Nếu m < 2n chia hai vế đẳng thức cho pm, ta pm+n a’2c’+ b2 + p2n-mc’b = 3.pn.a’bc’ Điều mâu thuẫn số hạng chia hết cho p b2 khơng chia hết cho p + Nếu m > 2n chia hai đẳng thức cho p2n, ta p2m-na’2c’ + b2pm-2n + c’b = 3.pm-na’bc’ Điều mâu thuẫn số hạng chia hết cho p, c’b khơng chia hết cho p Vậy khả m = 2n Khi số mũ p tích abc 3n, chia hết cho Điều với ước ngun tố a (và b, c) nên suy abc lập phương số ngun Cách Đặt a/b = x, b/c = 1/y ta x + 1/y + y/x =  x y + x + y2 – 3xy =  y2 + (x2-3x)y + x = (1) Xem (1) phương trình bậc theo y, ta có ∆ = (x2-3x)2 – 4x = x4 – 6x3 + 9x2 – 4x = x(x-4)(x-1)2 Để (1) có nghiệm hữu tỷ ∆ phải bình phương số hữu tỷ, suy x(x-4) bình phương số hữu tỷ Suy x(x-4) = u2  (x-2)2 – u2 =  (x – – u)(x – + u) = Đặt x – – u = 2k x – + u = 2/k, từ ta tính x = + k + 1/k = (k+1)2/k, u = 1/k – k, suy ∆ = (1/k-k)2(1+k+1/k)2 Như x − x ± (1 / k − k )(1 + k + / k ) 3(2 + k + / k ) − (4 + k + / k + 4k + / k + 2) ± (1 / k − k + / k − k ) = Từ suy ra, − k − k = − / k − / k y= hai trường hợp xy lập phương số hữu tỷ Nhưng abc = bx.b.by = b 3xy nên từ abc lập phương số hữu tỷ Từ tính chất quen biết suy abc lập phương số ngun Chứng minh p số ngun tố dạng 4k+3 a + b2 chia hết cho p a b chia hết cho p Lời giải Giả sử ngược lại a2 + b2 ≡ mod p mà (a, p) = 1, (b, p) = Khi a2 ≡ -b2 (mod p) Luỹ thừa 2k+1 hai vế, ta a4k+2 ≡ -b4k+2 (mod p) (1) Mặt khác, theo định lý nhỏ Fermat a4k+2 ≡ b4k+2 ≡ (mod p) Do (1) xảy ≡ (mod p), mâu thuẫn Hệ quả: Số ngun có dạng x2 + khơng có ước số ngun tố dạng 4k+3 Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun dương a) 4xy – x – y = z2 (Euler) b) x2 - y3 = (Lebesgue) Lời giải a) Giả sử tồn số ngun dương x, y, z thoả mãn phương trình Viết phương trình dạng (4x-1)(4y-1) = (2z)2 + Số 4x - có dạng 4k+3 nên tồn ước số ngun tố p có dạng 4k+3 Theo hệ nói trên, p khơng thể ước số (2z)2 + 1, mâu thuẫn b) Viết phương trình lại dạng x2 + = + y3 = (2+y)(4-2y+y2) Nếu y chẵn x phải lẻ, vế trái chia dư vế phải chia hết cho 4, mâu thuẫn Vậy y lẻ Nếu y có dạng 4k+1 + y = 4k +3 Nếu y có dạng 4k-1 y - 2y + = 16k2 - 8k + 2(4k-1) + = 4(4k2-4k+1) + Suy vế phải có ước số ngun tố p dạng 4k+3 Một lần nữa, theo hệ quả, p khơng chia hết vế trái, mâu thuẫn Cho (a, n) = h số ngun dương nhỏ cho a h ≡ (mod n) Khi với số ngun dương m cho am ≡ (mod n) ta có m chia hết cho h Lời giải Giả sử ngược lại m = hq + r với < r < h từ ≡ am ≡ ahq + r = (ah)q.ar ≡ ar (mod n), mâu thuẫn với tính nhỏ h n Chứng minh p ước số số Fn = 2 + p có dạng 2n+1.k + Lời giải Giả sử p ước số ngun tố F n h số ngun dương nhỏ cho h ≡ mod p Khi đó, 2 ≡ −1 (mod p ) ⇒ 2 ≡ (mod p) , nên từ ta suy h | 2n+1 Suy h = 2m n n +1 n Nhưng từ 2 ≡ −1 (mod p ) suy m > n, tức h = n+1 Mặt khác, theo định lý nhỏ Fermat 2p-1 ≡ (mod p), suy p-1 chia hết cho h = 2n+1, tức p-1 = 2n+1.k, suy p = 2n+1.k+1 (đpcm) 10 a) Chứng minh tồn số n chẵn, n > 2008 cho 2009.n – 49 số phương b) Chứng minh khơng tồn số ngun m cho 2009.m – 147 số phương Lời giải Vì 2009 = 49.41 = 72.41 nên tốn tương đương với việc chứng minh tồn n chẵn n > 2008 cho 41.n – số phương khơng tồm số ngun m cho 41.m – số phương Để giải câu a) trước hết ta tìm số ngun x cho x + chia hết cho 41 Điều thực phép thử liên tiếp dùng định lý Wilson (40! + chia hết cho 41 => (20!)2 + chia hết cho 41) Phép thử trực tiếp cho ta nghiệm x = Bây xét x = 41k + đặt n = (x + 1)/41 = 41k2 + 18k + 41.n – = x phương Chỉ cần chọn k chẵn đủ lớn (chẳn hạn k = 10 n chẵn lớn 2008) Để giải câu b), ta chứng minh 41.m – khơng thể số phương, nói cách khác x + khơng chia hết cho 41 Bằng phép thử trực tiếp ta thấy -3 ≡ - (mod 41) (-3)2 ≡ (mod 41) (-3)4 ≡ - (mod 41) (-3)20 ≡ - (mod 41) Nếu tồn x cho x + chia hết cho 41 x ≡ -3 (mod 41) => x40 ≡ (-3)20 (mod 41) => x40 ≡ - (mod 41) điều mâu thuẫn với định lý nhỏ Fermat 11 Chứng minh n số hồn hảo chẵn n có dạng số ngun dương cho 2k-1 số ngun tố k-1(2k-1) k Lời giải Vì n chẵn nên ta đặt n = 2t.m, m số lẻ Ta có σ(n) = σ(2t)σ(m) = (2t+1-1)σ(m) Vì n số hồn hảo nên σ(n) = 2n = 2t+1.m a 2b + b 12 Tìm tất cặp số ngun dương a, b cho số ngun ab + 13 Chứng minh x, y, z số ngun dương với (x, y, z) = 1 + = x+ y, x – x y z z y – z số phương Lời giải Đẳng thức 1 + = viết lại thành z(x+y) = xy  (x-z)(y-z) = z2 Đặt d = (x-z, y-z) x y z từ phương trình suy d | z => d | x, y => d = Từ suy x–z = m 2, y – z = n2 z = mn Từ x + y = m2 + n2 + 2z = m2 + n2 + 2mn = (m+n)2 14 Chú ý lấy tích hai số số {1, 16, 27) cộng với ta số phương Hãy tìm số ngun dương n có tính chất n + 9, 16n + 9, 27n + số phương 15 Số N = 100! tận chữ số 0? Chữ số khác tính từ bên phải sang bao nhiêu? 16 a) Chứng minh với số ngun N, phương trình 5x + 8y = N có nghiệm ngun b) Chứng minh với số ngun N ≥ 40, phương trình 5x + 8y = N có nghiệm ngun khơng âm c) Tìm số N0 lớn khơng biểu diễn dạng 5x + 8y với x, y số ngun khơng âm 17 Chứng minh C nk số lẻ với k = 0, 1, 2, …, n n có dạng 2m – 18 Định lý Lucas: Gọi brbr-1…b1b0 crcr-1…c1c0 biểu diễn nhị phân n k tương ứng Chứng minh C nk lẻ bi ≥ ci với i = 0, 1, …, r 19 Chứng minh p số ngun tố dạng 6k-1 khơng tồn x cho x + chia hết cho p 20 Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau a) xy = 2x-y b) xy2 = 2x-y Bài (Korea 2007) Tìm nghiệm ngun dương phương trình + 4x + 4y = z2 Bài (PTNK 2008) Với số ngun dương n, gọi S(n) tổng chữ số n a) Chứng minh số n = 999 n = 2999 khơng thể biểu diễn dạng a + b với S(a) = S(b) b) Chứng minh s c) ố 999 < n < 2999 biểu diễn dạng a + b với S(a) = S(b) Bài Tìm tất đa thức f(x) với hệ số ngun cho với n ngun dương ta có f(n) ước 2n – Bài Tìm tất cặp số ngun dương (a, b) cho 2a + 3b bình phương số ngun Bài Tìm tất hốn vị (a1, a2, …, an) (1, 2, …, n) cho 2(a1+…+ak) chia hết cho k+1 với k=1, 2, …, n Bài Tìm tất cặp số ngun dương (a, n) thỏa mãn điều kiện: ước ngun tố a n+1 ước ngun tố a+1 Bài Tìm tất số ngun dương lẻ n cho tồn số ngun lẻ x 1, x2, …, xn thoả mãn điều kiện x12 + x22 + … + xn2 = n4 Bài Ký hiệu S(n) tổng chữ số số ngun dương n Tìm giá trị nhỏ S(n) với n chạy tập hợp bội số ngun dương 2003 Bài (a) Cho trước số ngun dương n Chứng minh tồn số ngun dương phân biệt x, y cho x + k chia hết cho y + k với k = 1, 2, …, n (b) Chứng minh với số ngun dương x y ta có x + k chia hết cho y + k với số ngun dương k x = y Bài 10 Tìm tất số ngun dương n biểu diễn dạng n = [a, b] + [b, c] + [c, a] a, b, c số ngun dương ([a, b] ký hiệu bội số chung nhỏ số ngun dương a, b)