Nguyễn Danh Nghĩa – KSTN Điện Tử Truyền Thông K60 Phương Trình Hàm Chương 1: Giải phương trình hàm phương pháp I Một số kiến thức cần nhớ Thay giá trị đặc biệt: Thay 𝑥 = 𝑎 để thu phương trình chứa nhiều f(a) 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏 hoán vị , thay đổi để tìm liên hệ 𝑓(𝑎) 𝑣à 𝑓(𝑏) Đặt 𝑓(0) = 𝑏 ℎ𝑎𝑦 𝑓(1) = 𝑏, … Làm xuất 𝑓(𝑥) nhiều tốt Nếu 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝔸 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ∀𝑥 ∈ 𝔸 Ngoài ý đến số tính chất hàm số : Hàm chẵn, hàm lẻ Hàm tuần hoàn Phương trình hàm Cauchy: Hàm cộng tính: 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) Hàm nhân tính: 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥 𝑦) II o Cho hàm 𝑓: ℝ → ℝ, f cộng tính liên tục điểm 𝑥0 thuộc ℝ Khi 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 ∀𝑥 ∈ ℝ với 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 o Cho hàm 𝑓: ℝ → ℝ, f cộng tính đơn điệu ℝ Khi 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 ∀𝑥 ∈ ℝ với 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 o Cho hàm 𝑓: ℝ+ → ℝ+ liên tục điểm 𝑥0 𝑛à𝑜 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 𝛼 ∀𝑥 ∈ ℝ+ , 𝛼 ∈ ℝ tuỳ ý Một số tập ví dụ: Bài Tìm hàm 𝑓: ℝ → ℝ thoả mãn điều kiện: 𝑓(𝑥).𝑓(𝑦)−𝑓(𝑥𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Hướng dẫn: Thay 𝑥 = 𝑦 = để 𝑡í𝑛ℎ 𝑓(0) 𝑟ồ𝑖 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑦 = Bài Tìm 𝑓: 𝑅+ → 𝑅 cho: i) 𝑓(1) = ii) 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) 𝑓 ( ) + 𝑓(𝑦) 𝑓 ( ) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 𝑥 Hướng dẫn: 𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑥 = 𝑦 = → 𝑓(3) = 3 𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑦 = 𝑣à 𝑦 = → 𝑓(𝑥) = 𝑓 ( ) = 𝑓 ( ) = 𝑓(3𝑥) 𝑥 𝑥 Suy 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓 (𝑥) + 𝑓 (𝑦) 𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑥 𝑏ở𝑖 𝑥 Bài Tìm hàm 𝑓: ℝ → ℝ thoả mãn điều kiện: 𝑥𝑓(𝑦) + 𝑦𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑦) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 Hướng dẫn: 𝑥 = 𝑦 = 𝑟ồ𝑖 𝑡í𝑛ℎ 𝑓(1) Bài Tìm hàm 𝑓: ℝ → ℝ thoả mãn điều kiện: 𝑓(𝑓(𝑥 + 𝑦)) = 𝑓(𝑥 + 𝑦) + 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦) − 𝑥𝑦 ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 Hướng dẫn: Thêm biến 𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑦 𝑏ở𝑖 𝑧 𝑣à 𝑥 𝑏ở𝑖 𝑥 + 𝑦 Bài Tìm hàm 𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ thoả mãn điều kiện: 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) = (𝑥 − 𝑦 ) 𝑔(𝑥 − 𝑦) ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Hướng dẫn: 𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑦 𝑏ở𝑖 − 𝑥 𝑐𝑚 ℎà𝑚 𝑐ℎẵ𝑛 𝑟ồ𝑖 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑦 𝑏ở𝑖 − 𝑦 Bài Tìm hàm 𝑓: ℝ → ℝ thoả mãn điều kiện: 𝑓(𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) + 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦) − 𝑥𝑦 ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 Hướng dẫn: 𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑟ồ𝑖 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑥 = để 𝑡í𝑛ℎ 𝑓(0) = ℎ𝑜ặ𝑐 𝑁ế𝑢 𝑓(0) = Đả𝑜 𝑣𝑎𝑖 𝑡𝑟ò 𝑐ủ𝑎 𝑥 𝑣à 𝑦 𝑟ồ𝑖 𝑐ộ𝑛𝑔 𝑝𝑡 𝑡ℎ𝑢 đ𝑐 𝑓(𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)) = −𝑓(𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑥)) Lần lượt cho 𝑥 = 𝑣à 𝑦 = 𝑟ồ𝑖 𝑐ộ𝑛𝑔 𝑝𝑡 𝑡𝑎 𝑡ℎấ𝑦 𝑣ô 𝑙ý Suy 𝑓(0) = 𝑔𝑖ả𝑖 𝑡𝑖ế𝑝 𝑘𝑜 𝑘ℎó! Bài Tìm hàm 𝑓: ℝ → ℝ thoả mãn điều kiện: 𝑓(𝑓(𝑥) + 𝑦) = 𝑓(𝑥 − 𝑦) + 4𝑓(𝑥) 𝑦 ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Hướng dẫn: 𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑦 = 𝑥 −𝑓(𝑥) 𝑟ồ𝑖 𝑐ℎứ𝑛𝑔 𝑚𝑖𝑛ℎ 𝑐ả 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 đề𝑢 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛 Bài Tìm hàm 𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ thoả mãn điều kiện: 2𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑦) − 𝑦 ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ≥ 𝑥 + ∀𝑥 ∈ ℝ i) ii) Hướng dẫn: Thay x=y thay g(x) theo f(x) xong Bài Tìm hàm 𝑓: ℝ\{2} → ℝ thoả mãn điều kiện: 2𝑥+1 𝑓( 𝑥−1 ) = 𝑥 + 2𝑥 ∀𝑥 ≠ Tự giải :D Bài 10 Tìm hàm 𝑓: ℝ\{ ; } → ℝ thoả mãn điều kiện: 3𝑥−1 𝑓( 𝑥+1 ) = 𝑥−1 ∀𝑥 ≠ {1, −2} 𝑥+2 Tự giải :D Bài 11 Tìm hàm 𝑓: ℝ\{0; 1} → ℝ thoả mãn điều kiện: 𝑥−1 𝑓(𝑥) + 𝑓 ( 𝑥 ) = + 𝑥 ∀𝑥 ≠ Hướng dẫn: Thế đưa hệ pt Bài 12 Tìm hàm 𝑓: ℝ → ℝ thoả mãn điều kiện: 𝑓(𝑥) + 𝑥𝑓(−𝑥) = 𝑥 + ∀𝑥 ∈ ℝ Hướng dẫn: Thế đưa hệ pt Bài 13 Tìm hàm 𝑓: ℝ\{0; 1; −1} → ℝ thoả mãn điều kiện: 𝑥−1 𝑥𝑓(𝑥) + 𝑥𝑓 ( ) = ∀𝑥 ≠ −1 𝑥+1 Hướng dẫn: Thế đưa hệ pt Bài 14 Tìm hàm 𝑓: ℝ → ℝ thoả mãn điều kiện: 𝑥 𝑓(𝑥) + 𝑓(1 − 𝑥) = 2𝑥 − 24 ∀𝑥 ∈ ℝ Hướng dẫn: Thế đưa hệ pt Bài 15 Tìm tất hàm số 𝑓: ℝ ⟶ ℝ thỏa mãn điều kiện: 𝑓(𝑥 2013 + 2012𝑦) = 3𝑓(𝑥 + 𝑦) + 𝑓(2013𝑥 + 2011𝑦) − 2013 ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ (1) Hướng dẫn: 𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑦 = 2013𝑥 − 𝑥 2013 Bài 16 Tìm tất hàm số 𝑓: ℝ+ ⟶ ℝ+ thỏa mãn điều kiện: 𝑓(𝑥 + 𝑦) + 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 ∀𝑥, 𝑦 ∈ (0; +∞) (1) Hướng dẫn: Thay 𝑦 = → 𝑓(𝑥 + 1) + 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, 𝑥 > 𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑦 = 1 → 𝑓 (𝑥 + ) = 𝑥 + + − 𝑓(1) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑆𝑢𝑦 𝑟𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑎, 𝑥 ≥ Thay vào pt ban đầu vào giải tiếp III Bài tập tự luyện Bài 17 Tìm tất hàm số 𝑓: ℝ ⟶ ℝ thỏa mãn điều kiện: 𝑓(𝑓(𝑥) + 𝑦) = 𝑓(𝑥 − 𝑦) + 4𝑓(𝑥)𝑦 Bài 18 Tìm tất hàm số 𝑓: ℝ ⟶ ℝ thỏa mãn điều kiện: 𝑓(𝑥 − 𝑓(𝑦)) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑓(𝑦)) − 2𝑥𝑓(𝑦) + 𝑓(𝑦) + 20 12 ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ (1) Bài 19 Tìm tất hàm số 𝑓: ℝ+ ⟶ ℝ+ thỏa mãn điều kiện: 𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑦𝑓(𝑦𝑓(𝑥)) ∀𝑥, 𝑦 ∈ (0; +∞) (1) Bài 20: Tìm tất hàm số 𝑓: ℝ ⟶ ℝ thỏa mãn điều kiện: 𝑓(𝑥 + 𝑓(𝑦)) = 𝑦 + 𝑥𝑓(𝑥)∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Bài 21: Tìm tất hàm số 𝑓: ℝ ⟶ ℝ thỏa mãn điều kiện: 𝑓 (𝑓(𝑦 + 𝑓(𝑥))) = 𝑓(𝑥 + 𝑦) + 𝑓(𝑥) + 𝑦 ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Bài 22: Tìm tất hàm số 𝑓: ℝ ⟶ ℝ thỏa mãn điều kiện: 𝑓(𝑦) + 𝑓(𝑥 + 𝑓(𝑦)) = 𝑦 + 𝑓 (𝑓 (𝑥) + 𝑓(𝑓(𝑦))) ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Bài 23: Tìm tất hàm số 𝑓: ℝ ⟶ ℝ thỏa mãn điều kiện: 𝑓(𝑥 + 𝑓(𝑦)) = 3𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) − 2𝑥 ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Bài 24: Tìm tất hàm số 𝑓: ℝ ⟶ ℝ thỏa mãn điều kiện: 𝑓(𝑥 + 𝑓(𝑦)) = 𝑓 (𝑦) + 2𝑥𝑓(𝑦) + 𝑓(−𝑥) ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Bài 25: Tìm tất hàm số 𝑓: ℝ ⟶ ℝ thỏa mãn điều kiện: 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 + 𝑦)𝑓(𝑥 − 𝑦) + 𝑦 ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ... kiện: