[Giasudhsphn.com] – Bài tập nâng cao về các hằng đẳng thức đáng nhớ do trung tâm gia sư sư phạm Hà Nội biên soạn.
I/ Bài tập vận dụng cho các hằng đẳng thức (1), (2), (3), (4).
Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x + 1.
Lời Giải
Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1.
A = 2x² – 5x + 3
= 2(y – 1)² – 5(y – 1) + 3 = 2(y² – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10
Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:
a) 127² + 146.127 + 73²
b) 98 .28 – (184 – 1)(184 + 1)
c) 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²
d) (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)
Lời Giải
a) A = 127² + 146.127 + 73² = 127² + 2.73.127 + 73² = (127 + 73)² = 200² = 40000 .
b) B = 98 .28 – (184 – 1)(184 + 1) = 188 – (188 – 1) = 1
c) C = 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²
= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)
= 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1 = 5050.
d) D = (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)
= (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²)+ …+ (4² – 3²) + (2² – 1²)
= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ …+ (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)
= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1 = 210
Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?
a) A = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) và B = 232
b) A = 1989.1991 và B = 19902
Lời Giải
a) Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:
A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
Ta áp dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, ta được:
A = 232 – 1.
=> Vậy A < B.
b) Ta đặt 1990 = x => B = x²
Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x² – 1
=> B > A là 1.
Bài 4. Chứng minh rằng:
a) a(a – 6) + 10 > 0.
b) (x – 3)(x – 5) + 4 > 0.
c) a² + a + 1 > 0.
Lời Giải
a) VT = a² – 6a + 10 = (a – 3)² + 1 ≥ 1
=> VT > 0
b) VT = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 ≥ 3
=> VT > 0
c) a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + ¾ = (a + ½ )² + ¾ ≥ ¾ >0.
Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = x² – 4x + 1
b) B = 4x² + 4x + 11
c) C = 3x² – 6x – 1
Lời Giải
a) Ta sẽ biến đổi A= x² – 4x + 1 = x² – 4x + 4 – 3 = ( x- 2)² – 3
Do ( x- 2)² > 0 nên => ( x- 2)² – 3 ≥ -3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(Amin) = -3 khi và chỉ khi x = 2.
b) B = 4x² + 4x + 11 = (2x + 1)² + 10
Vậy Bmin = 10 khi và chỉ khi x = -½.
c) C = 3x² – 6x – 1 = 3(x – 1)² – 4
Vậy Cmin = -4 khi và chỉ khi x = 1.
Bài 6. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng: 2bc + b² + c² – a² = 4p(p – a)
Lời Giải
Ta sẽ đi biến đổi VP.
VP = 2p(2p – 2a) = (a + b + c)( a + b – c) = ( b + c )² – a² = b² + 2bc + c² – a² = VT (đccm)
Bài 7. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36. Tìm hai số ấy.
Lời Giải
Gọi 2 số chẵn liên tiếp là x và x + 2 (x chẵn). Ta có:
(x + 2)² – x² = 36
<=> x² + 4x + 4 – x² = 36
<=> 4x = 32
<=> x = 8
=> số thứ 2 là 8+2 = 10
Đáp số: 8 và 10
Bài 8. Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của từng cặp 2 số trong 3 số ấy bằng 74
Lời Giải
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: x – 1, x, x + 1 ( đk: x>0)
Vậy ta có: x(x – 1) + (x – 1)(x + 1) + x(x + 1)= 74
Ta nhân vào và rút gọn đi ta có:
x² = 25 <=> x = -5 , x = 5
So sánh với Đk: x>o => x = 5 (t/m).
Vậy đáp số: 4, 5, 6.
II/ Bài tập tự giải
Bài 1. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
a) (a² – b²)² + (2ab)² = (a² + b²)²
b) (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad – bc)²
Bài 2. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng:
(p – a)² + (p – b)² + (p – c)² = a² + b² + c² – p²
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) 5 – 8x – x²
b) 4x – x² + 1
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức:
a) x² – 10x + 26 với x = 105
b) x² + 0,2x + 0,01 với x = 0,9
Bài 5. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40. Tim 2 số ấy.
Đ/S: 9 và 11.
Bài 6. Tổng 3 số a, b, c bằng 9, Tổng các bình phương của chúng bằng 53. Tính ab + bc + ca.
Đ/S: ab + bc + ca = 14
Tóm tắt: Phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức được thực hiện như sau: · A(B+C) = A.B + A.C · (A+B)(C+D) = A.C + A.D + B.C + B.D
Bài 1: Cho biểu thức sau: M = 3/229 .(2+1/433) – 1/229 . 432/433 – 4/(229.433) a) Bằng cách đặt 1/229 = a, 1/433 = b, hãy rút gọn biểu thức M theo a và b. b) Tính giá trị của biểu thức M.
Lời Giải a) Ta đặt: 1/229 = a, 1/433 = b , vậy biểu thức M sẽ có dạng sau: M = 3a(2 + b) – a(1 – b) – 4ab = 6a + 3ab – a + ab – 4ab = 5a. Chú ý: · 432/433 = (433 – 1)/433 = 1 – 1/433 = 1 – b · 4/(229.433) = 4. 1/229 . 1/433 = 4.a.b = 4ab b) M = 5a = 5. 1/229 = 5/229.
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức: A = x5 – 5x4 + 5x3 – 5x2 + 5x -1 với x = 4
Lời Giải Cách 1: Thay x = 4, ta có: A = 45 – 5.44 + 5.43 – 5.42 + 5.4 – 1 = 45 - (4 + 1).44 + (4 + 1). 43 – (4 + 1). 42 + 4 + 1).4 – 1 = 45 – 45 – 44 + 44 + 43 – 43 – 42 + 42 + 4 – 1 = 3.
Cách 2: Thay 5 bởi x + 1, Ta có: A = x5 – (x + 1).x4 + (x + 1).x3 – (x + 1).x2 + (x + 1).x -1 = x5 – x5 – x4 + x4 + x3 – x3 – x2 + x2 + x – 1= x – 1 = 4 – 1 = 3
* Nhận xét: Khi tính giá trị của một biểu thức, ta thường thay chữ bằng số. Nhưng ở bài 1 và ở cách 2 của bài 2, ta lại thay số bằng chữ. Ở bài 1, các số 1/229 và 1/433 lặp lại nhiều lần trong biểu thức M được thay bởi a và b. Ở bài 2, số 5 lặp lại nhiều lần trong biểu thức A được thay bởi x + 1.
Bài 3. Chứng minh hằng đẳng thức A = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = ab + bc + ca – x² Biết rằng 2x = a + b + c.
Lời Giải Ta hãy biến đổi vế trái của biểu thức A ta được: VT = x² – bx – ax + ab + x² – cx – bx + bx + x² – ax – cx + ab = 3x² – 2x( a + b + c) + (ab + bc + ca) Thay a + b + c bởi 2x, ta được: VT = 3x² – 4x² + ab + bc + ca = – x² + ab + bc + ca = VP ( điều cần phải chứng minh).
Bài 4. Rút gọn biểu thức : A = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca) Lời Giải A = a³ + ab² + ac² – a²b – abc – a²c + a²b + b³ + bc² – ab² – b²c – abc + a²c + b²c + c³ – abc – bc² – ac² = a³ + b³ + c³ – 3abc.
Bài 5. Chứng minh hằng đẳng thức: A = (100 + a)(100 + b) = (100 + a + b).100 + ab Từ đó suy ra quy tắc nhân nhẩm hai số lớn hơn 100 một chút. Lời Giải – . Lời Giải – Chứng minh Ở bài này ta có thể chứng minh VT = VP và ngược lại: Ta có: VT = 100² + 100b + 100a + ab = (100 + a + b).100 + ab = VP ( đpcm)
Tương tự các bạn có thể tự chứng minh được điều ngược lại: VP = VT - Quy tắc nhân nhẩm hai số lớn hơn 100 một chút. Gọi x là số bất kỳ lớn hơn 100, ta gọi hiệu x – 100 là phần hơn. Muốn nhân 2 số lớn hơn 100 một chút, ta lấy số này cộng với phần hơn của số kia, rồi viết tiếp vào sau tích của hai phần hơn(bằng 2 chữ số).
Ví dụ: · 112.103 = 11536 ( 115 = 112+03, 36= 12.03) · 102.104 = 10608( 106 = 102+04, 08= 02.04)
Bài tập tự giải Bài 1: Hãy xây dựng quy tắc nhân nhẩm 2 số nhỏ hơn 100 một chút dựa vào hằng đẳng thức: (100 – a)(100 + b) = (100 – a – b).100 + ab
Bài 2: Chứng minh hằng đẳng thức: A = (a² + b² + c² – ab – bc – ca)(a + b + c) = a(a² – bc) + b(b² – ca) + c( c² – ca) Gợi ý: cả 2 vế đều bằng: a³ + b³ + c³ – 3abc.
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: A = x15 - 8x14 + 8x13 – 8x12 +….- 8x2 + 8x – 5 với x = 7. Gợi ý: Thay 8 bởi x + 1. Đáp số: A = 2. Bài 4 : Rút gọn biểu thức: A = ( x + a)( x + b)(x + c) Biết rằng: · a + b + c = 6 · ab + bc + ca = -7 · abc = -60 Gợi ý: Các bạn hãy nhân từng đa thức với đa thức một và nhóm như thế nào cho phù hợp. Lưu ý là phải biến đổi để có các nhóm a + b + c, ab + bc + ca , abc nhé! Đáp số: A = x³ + 6x² – 7x – 60.