PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN LẠCPHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN LẠC TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂUTRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬPHÂN[.]
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN LẠC TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Liên Châu, tháng 10 năm 2014 Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn chun đề: Tốn học mơn khoa học coi chủ lực, trước hết Toán học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic,… chất lượng dạy học tốn nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học tốn nói riêng trường THCS tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Ngày học sinh tiếp cận với nhiều kiến thức khoa học tiên tiến , với nhiều môn học lại đầy hấp dẫn nhằm hồn thiện bắt kịp cơng đổi , phát triển toàn diện đất nước Trong mơn học trường phổ thơng, tốn học xem môn học bản, tảng để em phát huy lực thân việc tiếp thu học tập môn khoa học khác Tuy nhiên để học sinh học tập tốt môn tốn giáo viên phải cung cấp đầy đủ lượng kiến thức cần thiết, cần đổi phương pháp dạy học, làm cho em trở nên yêu thích tốn học hơn, có u thích dành nhiều thời gian để học tốn Từ em tự ý thức học tập phân bổ thời gian hợp lý đảm bảo yêu cầu học tập thời đại Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng cho việc học sau rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp (các lớp giảng dạy), việc phân tích đa thức thành nhân tử khơng khó, nhiều học sinh làm sai chưa thực được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn nên thân chọn đề tài: “ Hướng dẫn số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” Cơ sở lý luận Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thơng tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời thách thức Để hịa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trị quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH 10 Quốc hội” Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Việc học tốn học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán quan trọng môn đại số đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tiếp chương sau này, học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức việc giải phương trình, … Tuy nhiên, lý sư phạm khả nhận thức học sinh đại trà mà chương trình SGK đề cập đến bốn phương pháp trình phân tích đa thức thành nhân tử thơng qua ví dụ cụ thể, việc phân tích không phức tạp không ba nhân tử Vấn đề đặt thực tế học sinh gặp nhiều tốn cần phải phân tích đa thức thành nhân tử, mà với phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử SGK giới thiệu học sinh khơng thể phân tích đa thức thành nhân tử, phải nhiều thời gian làm Chính câu hỏi đặt là: “làm để học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách nhanh chóng, xác, đạt hiệu cao” Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh có đầy đủ phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, tùy theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn Cơ sở thực tiễn Tồn nhiều học sinh yếu, khơng phân tích đa thức thành nhân tử, chây lười học tập, ỷ lại, trông nhờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém, đặc biệt không chịu tự tìm tịi nghiên cứu tài liệu để tìm phương án giải toán Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập có dạng khơng quen thuộc, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Giáo viên chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, cung cấp kiến thức cho học sinh cách mơ hồ, chưa nhấn mạnh điểm kiến thức bật Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập nhà II Mục đích nghiên cứu: * MĐ chung: - Học sinh u thích học mơn, tích cực chăm học tập - Học sinh có khả tự lực học tập, thông qua khả tự nhận dạng tập sử dụng kiến thức để giải dạng tập - Học sinh có khả tự lập đề toán tương tự - Học sinh có khả tự tìm kiến thức, tự phân loại kiến thức - Nâng cao chất lượng học tập sau áp dụng đề tài * Cụ thể: a) Kiến thức - Học sinh hiểu sâu làm số dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt áp dụng thành thạo phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải tốn nhanh nhất, xác cách phù hợp b) Kĩ năng: - Phát nhanh sử dụng phương pháp phù hợp cho đa thức cần phân tích thành nhân tử - Trình bày toán khoa học, ngắn gọn đủ ý dễ hiểu c) Thái độ : Học sinh yêu thích, say mê nghiêm túc học tập mơn, khơng nhụt trí ỷ nại trước tập khó III Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu sở đối tượng học sinh lớp Cụ thể: Là toàn học sinh lớp 8A 1, , 8A2; 8A3 trường THCS Liên Châu IV Nội dung nghiên cứu: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phương pháp hướng dẫn cho học sinh nắm bắt, hiểu nội dung V Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT tốn 8, tài liệu có liên quan Nghiên cứu qua thực hành giải tập học sinh Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập đối tượng học sinh VI Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh khối trường THCS Liên Châu, năm học 2014 - 2015 Với quy mô cấp trường, dùng cho tất giáo viên học sinh cấp THCS Đặc biệt giáo viên học sinh giảng dạy học tập mơn tốn lớp Phần 2: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ A THỰC TRẠNG NẢY SINH CHUYÊN ĐỀ I Đặc điểm tình hình học sinh: - Khối lớp có số lượng học sinh khơng đồng nhận thức gây khó khăn cho giáo viên việc lựa chọn phương pháp phù hợp Nhiều học sinh có hồn cảnh khó khăn vật chất lẫn tinh thần việc đầu tư thời gian sách cho học tập bị hạn chế nhiều ảnh hưởng không nhỏ đến nhận thức phát triển em - Sau tiến hành điều tra thấy: Số em lười học bài, lười làm tập chiếm khoảng 35%; số học sinh nắm kiến thức biết vận dụng vào tập có khoảng 45%, số học sinh biết phối hợp kiến thức, phương pháp để giải toán chiếm khoảng 20% II.Thực trạng học sinh: Đa số học sinh hay thỏa mãn học tập, em cho kiến thức trình bày sách giáo khoa kết tinh nhà tốn học kiến thức đầy đủ cần học thuộc lịng để vận dụng vào làm tập xong Khi gặp tốn khó thuộc dạng lạ học sinh nản trí khơng chịu nghiên cứu tìm tịi cách giải Chính học sinh tiếp thu cách thụ động, khơng cần suy nghĩ mày mị để tự khám phá kiến thức, kiến thức không ăn sâu vào trí óc học sinh, học sinh không nhớ kiến thức cách kĩ càng, không nắm rõ dạng toán để thực cách nhanh xác, nên sau thời gian học sinh qn cách giải tốn mà giải qua B GIẢI PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG Để khắc phục tình trạng nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh làm cho học sinh u thích mơn tốn Người giáo viên cần phải giới thiệu cho học sinh số đặc tính tất yếu người học, nêu rõ mục đích học tập ,để học sinh trước hết phải biết lắng nghe tiếp thu, người giáo viên cần hiểu rõ vấn đề sau: I Nhận thức việc giảng dạy học tập mơn Tốn: Dạy Tốn, học Tốn q trình tư liên tục, việc nghiên cứu tìm tịi, đúc kết kinh nghiệm người dạy Toán học Toán khơng thể thiếu Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt điều trăn trở nhiều giáo viên Việc truyền thụ kiến thức trở nên hấp dẫn học sinh giáo viên hiểu ý đồ sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức cách hệ thống, dẫn dắt học sinh từ điều biết đến điều chưa biết Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức giúp học sinh say mê học Toán, phát huy khả tư sáng tạo II Những giải pháp chuyên đề: Đề tài đưa giải pháp sau: - Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán - Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức + Phương pháp Đặt nhân tử chung + Phương pháp Dùng đẳng thức + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử Đối với học sinh đại trà: + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư (giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử) + Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác + Phương pháp thêm bớt hạng tử + Phương pháp đặt biến phụ C NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I Các phương pháp bản: Phương pháp đặt nhân tử chung: a) Phương pháp: Ta thường làm sau: - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) - Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử b) Ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử ? (Học sinh trả lời là: 7, ƯCLN(14, 21, 28 ) = ) - Tìm nhân tử chung biến x2 y, xy2, x2y2 ? (Học sinh trả lời xy ) - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7xy Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 10 8? (Học sinh trả lời là: 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x)? (Học sinh trả lời là: (x – y) (y – x) ) - Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải ) Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) c Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a, x − 14 x b, x y + 15 x y − 21xy c, x ( x + 1) − 2( x + 1) d, x ( x − y ) − 20 x( y − x ) Bài 39( SGK-tr 19) Bài 22( SBT – tr 8) Phương pháp dùng đẳng thức: a)Phương pháp: Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) b) Ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức ? (HS: có dạng A2 – B2 ) Giải: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy *Khai thác toán: Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm tập dạng phức tạp * Nếu thay mũ “2” mũ “3” ta có tốn Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử * Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” mũ “6” ta có tốn Phân tích a6 – b6 thành nhân tử a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) 2 Giải: a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) 2 = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) c Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a, x + 125 b, 100 x − ( x + 25) c, 27 x − 64 d, ( x + y ) − e, ( x − y + 5) -2 ( x − y + 5) + Bài 43,44(SGK-tr 20) Bài 27,28 (SBT-tr 9) Phương pháp nhóm hạng tử: a)Phương pháp: Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử tốn - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực b Ví dụ: 3.1 Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử Giải: Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y ) x2 – xy + x – y = (x2 + x) + (– xy – y ) = x( x+1) – y( x+1) = (x + 1)(x – y) 3.2 Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức: Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Giải: x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) 3.3 Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Giải: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) *Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại c Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a, x + xy + x + y b, x − x + − x Giải : a, x + xy + x + y = ( x + xy ) + ( x + y ) = x( x + y ) + ( x + y ) = ( x + y )( x + 1) 2 b, x − x + − x = ( x − x + 9) − ( 3x ) = ( x − 3) − ( 3x ) = ( x − − 3x )( x − + 3x ) = ( − − x )( x − 3) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a, x − x + 3x − + 2( x − x ) b, x − xz − y + yz c, 12 x + x − 27 x − d, x − 25 x + 20 x − 4 Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp phương pháp bản: a.Phương pháp: Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Ta thường xét theo thứ tự phương pháp: - Đặt nhân tử chung? - Dùng đẳng thức? -Nhóm nhiều hạng tử? b Ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử Gợi ý phân tích: Xét phương pháp: Đặt nhân tử chung? Dùng đẳng thức? Nhóm nhiều hạng tử? *Chú ý: Lời giải chưa hoàn chỉnh: a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để) b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – 9) = (x – 9)(x3 + x) (phân tích chưa triệt để) Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) Giải: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z) c Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a, x − 45 y − 30 y − 10 + Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B= ( 2x2 + 5x + 2)( 2x2 + 5x + 4) + Nhận xét: ( 2x2 + 5x + 2) ( 2x2 + 5x + 4) đơn vị, hệ số hạng tử chứa biến có bậc HD: Đặt t = 2x2 + 5x + B = ( t – 1)( t + 1) + B = t2 – + B = t2 Thay t = 2x2 + 5x + vào ta được: B = (2x2 + 5x + 3)2 B = [ ( 2x2 + 2x) + ( 3x +3)]2 B = [ 2x( x+1) + 3( x+1)]2 B = ( x+1)2(2x+3)2 + Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau nhân tử: a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15; F ( 5x2 – 2x)2 + 2x – 5x2 – b) (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12; g) X2 + 6xy + 9y2 – 3(x+3y) – c) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; h) ( 2x2 – x – 1)( 2x2 - x – 4) – 10 d) x2 +8xy + 16y2 + 2x + 8y - i) x2 + 2xy + y2 +2x + 2y - 15 e) ( x2 – x + 3)( x2 – x – 2) +4 k) x2 – 4xy + 4y2 – 2( x – 2y) -35 l) ( 2x2 + x – 2)( 2x2 + x – 3) – 12 *Dạng 3.2: Đặt biến phụ dạng (x+a) ( x+b)(x+c)(x+d) + e ( Với a+b = c+d) + Phương pháp : Kết hợp nhân (x+a) ( x+b) nhân (x+c)(x+d) Khi tốn trở dạng đặt biến phụ dạng đa thức +Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Giải: + Nhận xét: Thừa số x x+0 Xét thấy: 0+10 = 4+6 Khi ta kết hợp nhân x (x + 10) nhân (x + 4)(x + 6) Ta có: f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức trở thành: f(y) = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 – 122 +128 = y2 - 16 = (y - 4)(y + 4) Thay y = x2 + 10x + 12 ta f(x) = (x2 + 10x + 8)( x2 + 10x + 16) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8) + Bài tập áp dụng: 16 Bài 1: Phân tích đa thức sau nhân tử: a) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 b) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 c) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 d) (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - 7) – 20 e) x (x + 1)(x + 2)(x + 3) +1 f) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 g) (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) -144 h) (x - 2)(x - 4)(x - 5)(x- 7) – 72 i) (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) – 28 k) x (x - 1)(x + 2)(x + 1) -3 *Dạng 3.3: Đặt biến phụ dạng (x+a) ( x+b)(x+c)(x+d) + ex2 ( Với a.b = c.d) + Phương pháp : Kết hợp nhân (x+a) ( x+b) nhân (x+c)(x+d) Khi tốn trở dạng đặt biến phụ dạng đa thức + Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f (x) = (x - 6)(x - 3)(x - 5)(x - 10)- 24x2 Giải: • Nhận xét: ( -6)( - 5) = (- 3)( -10) • Khi ta kết hợp nhân (x - 6)(x - 5) nhân (x - 3)(x - 10) Ta có: f (x) = ( x2 - 11x + 30)( x2 -13x + 30) – 24x2 Đặt t = x2 - 12x + 30 f(x) = ( t – x) ( t+x) – 24x2 f(x) = t2 – 25x2 = ( t – 5x)( t + 5x) Thay t = x2 - 12x + 30 ta được: f(x) = (x2 - 12x + 30 - 5x)( x2 - 12x + 30 + 5x) = (x2 - 17x + 30)( x2 - 7x + 30) = (x2 - 2x – 15x + 30)( x2 - 7x + 30) = ( x – 2)( x – 15)( x2 - 7x + 30) + Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau nhân tử: a) ( x – 1)(x + 2)(x – 6)(x + 3) +32x2 d) ( x – 1)(x + 15)(x – 5)(x + 3) + 64x2 b) ( x + 1)(x + 2)(x – 4)(x - 8) + 4x2 e) ( x – 2)(x - 4)(x – 5)(x - 10) – 54x2 c) ( x – 2)(x - 3)(x – 6)(x - 4) – 72x2 f) ( x – 18)(x - 7)(x +35)(x + 90) – 67x2 *Dạng 3.4: Đặt biến phụ dạng đưa đa thức đẳng cấp: + Phương pháp: Cần lưu ý nhận dạng đa thức đẳng cấp 17 Đa thức đẳng cấp đa thức có hạng tử có bậc tập hợp biến, lũy thừa biến bậc số lượng Ví dụ đa thức đẳng cấp: x2 + 5xy + 6y2 3(x+y)2 – 8(x+y) z + z2 + Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = ( x2 – 1)2 – x( x2 – 1) – 2x2 Giải: Đặt t = x2 – f(x) = t2 – xt – 2x2 = t2 + xt – 2xt – 2x2 = t( t +x) – 2x( t + x) = ( t+x)( t – 2x) Thay t = x2 – vào ta được: f(x) = (x2 – +x)( x2 – 1- 2x) * Dạng 3.5: Đặt biến phụ dạng đa thức biến bậc chẵn có hệ số đối xứng : + Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Giải: * Cách 1: f(x) = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2 * Cách 2: Giả sử x ≠ 0; Ta có: 1 + ) = x2[(x2 + ) + 6(x - ) + 7] x x x x 1 Đặt x - = y, suy ra: x2 + = y2 + Do đa thức trở thành: x x f(x) = x2(x2 + 6x + - f(x; y) = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x - 1) x * Nhận xét: Trong hai cách ta dùng đẳng thức “ Bình phương tổng”, “bình phương hiệu hai biểu thức” + Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x4 + 6x3 +11x2 + 6x + e) 6x4 +5x3 – 38x2 + 5x + b) x4 + x3 – 4x2 + x +1 f) x4 - 10x3 + 26x2 – 10x + c) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + g) 2x4 - 5x3 – 27x2 + 25x + 50 d) x4 + 5x3 – 12x2 +5x +1 h) 3x4 + 6x3 – 33x2 – 24x +48 18 PHẦN BÀI DẠY MINH HỌA Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phương pháp 6: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN PHỤ( ĐỔI BIẾN) A Mục đích yêu cầu: * Kiến thức: - Học sinh hiểu cách phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt biến phụ Đặc biệt hiểu cách làm hai dạng đặt biến phụ: “ Dạng đa thức” “Dạng (x+a)(x+b)( x+c)( x+d) + e; với a+b = c+d)” - Nắm vững bước giải toán phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt biến phụ * Kĩ năng: Nhận biết dạng đặt biến phụ, áp dụng phương pháp giải dạng vào làm tập * Thái độ: Học sinh say mê chăm học tập tích cực tìm hiểu dạng tập học B Chuẩn bị: GV: Bài soạn, tài liệu dụng cụ học tập giảng dạy, máy chiếu, máy tính… HS: Tài liệu sách môn, bảng phụ, bút bảng…… C Tiến trình giảng: I Ổn định tổ chức: sĩ số:…………… II Kiểm tra cũ: *Câu hỏi: Em cho biết phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà em học? ( gọi hs đứng chỗ trả lời) *Đáp án: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học là: Đặt thừa số chung Dùng đẳng thức Nhóm nhiều hạng tử Tách hạng tử Thêm bớt hạng tử III Bài mới: Các hoạt động dạy học Nội dung kiến thức Hoạt động 1: Giáo viên giới thiệu GV: Đưa nhận xét giới thiệu *Nhận xét: số dạng đặt biến phụ thường - Một số đa thức có bậc cao, phức gặp tạp Nhờ đặt biến phụ đa đa thức có bậc thấp hơn, đơn giản để thuận tiện cho HS: Đứng chỗ đọc việc phân tích nhân tử 19 * Các dạng đặt biến phụ thường gặp: Dạng 1: Đặt biến phụ dạng đa thức Dạng 2: Đặt biến phụ dạng ( x+a)( x+b)( x+c)( x+d) + e Với a+b = c+d Dạng 3: Đặt biến phụ dạng ( x+a)( x+b)( x+c)( x+d) + ex2 với a.b = c.d Dạng 4: Đặt biến phụ dạng đa đa thức đẳng cấp Dạng Đặt biến phụ dạng hồi quy Hoạt động 2: Tìm hiểu dạng tốn “Đặt biến phụ dạng đa thức” Hoạt động 2.1: Thực ví dụ GV: Hướng dẫn học sinh thực 6.1: Đặt biến phụ dạng đa thức ví dụ +Ví dụ : Nhận xét: Trong đa thức A, có Phân tích đa thức sau thành nhân tử chứa (x2 + 5x)2 (x2 + 5x) A = ( x2 +5x)2 + 10(x2 +5x) + 24 Giải: đặt t = x2 +5x => A = t2 + 10t + 24 HS: Phân tích đa thức Ta có: A = t2 + 6t + 4t + 24 biến mới, biến cũ thành nhân tử = t( t + 6) + 4( t + 6) ( Hoạt động cá nhân) = (t + 6)(t + 4) Thay t = x2 +5x vào ta được: A = (x2 +5x + 6)( x2 + 5x + 4) A = ( x2 + 4x + x + 4)( x2 + 2x + 3x + 6) A = [ x( x+4) + (x+4)] [x( x+2) + 3( x+2)] A = ( x+4)( x+1)(x+2)(x+3) Hoạt động 2.2: Hình thành bước giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt bến phụ GV: (Đặt câu hỏi) * Để phân tích đa thức thành nhân tử “Để phân tích đa thức thành nhân phương pháp đặt biến phụ ta làm theo tử phương pháp đặt biến bước sau: phụ, em cần thực theo b- Bước 1: Đặt biến phụ, biểu diễn đa thức ước nào?” theo biến phụ HS: Đứng chỗ trả lời Bước 2: Phân tích đa thức biến phụ thành nhân tử Bước 3: Thay biến phụ trở lại biến ban đầu Bước 4: Phân tích đa thức biến ban đầu thành nhân tử ( ) 20 Hoạt động 2.3: Thực ví dụ GV: Hướng dẫn học sinh thực ví dụ HS: (Hoạt động nhóm) Thực ví dụ - Nhận xét chữa cho nhóm học sinh GV: Chuẩn hóa giới thiệu cách giải + Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = ( 2x2 + 5x + 2)( 2x2 + 5x + 4) + Giải: *Cách 1: Đặt t = 2x2 + 5x + B = t(t+2) + = t2 + 2t + = (t+1)2 Thay t = 2x2 + 5x + vào ta được: B = (2x2 + 5x + + 1)2 B = (2x2 + 5x + 3)2 B = [(2x2 + 2x) + (3x +3)]2 B = [2x( x+1) + 3( x+1)]2 B = ( x+1)2 (2x+3)2 *Cách 2: Đặt t = 2x2 + 5x+3 B = ( t – 1)( t + 1) + B = t2 – + B = t2 Thay t = 2x2 + 5x + vào ta được: B = (2x2 + 5x + 3)2 (Tiếp theo làm cách 1) Cách 3: Áp dụng phép nhân đa thức biến đổi B dạng: B=(2x2+5x)2 + 6(2x2+5x) + (Tiếp theo làm ví dụ 1) Hoạt động 3: Tìm hiểu đặt biến phụ dạng (x+a)( x+b)(x+c)(x+d) + e ( Với a+b = c+d) 6.2 Đặt biến phụ dạng GV: - Giới thiệu phương pháp (x+a)( x+b)(x+c)(x+d) + e ( Với a+b = c+d) thực a) Phương pháp : Kết hợp nhân (x+a)( x+b) nhân (x+c)(x+d) Khi tốn trở dạng đặt biến phụ dạng đa thức b)Ví dụ : - Hướng dẫn học sinh làm ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: + Nhận xét: Thừa số x x+0 f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 21 Mà +10 = 4+6 Khi ta kết hợp nhân x (x + 10) nhân (x + 4)(x + 6) Ta được: f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 ( Có dạng 6.1) HS: ( Hoạt động cá nhân) Thực ví dụ sau kết hợp nhân, học sinh lên bảng thực Giải: Ta có: f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 đặt t = x2 + 10x + 12 , đa thức trở thành: f(t) = (t - 12)(t + 12) + 128 = t2 – 144 +128 = t2 - 16 = (t - 4)(t + 4) Thay t = x + 10x + 12 ta được: f(x) = (x2 + 10x + 8)( x2 + 10x + 16) = ( x2 + 10x + 8)[(x2 + 2x) +(8x + 16)] = ( x2 + 10x + 8)[ x(x + 2) + 8(x + 2)] = (x2 + 10x + 8)(x + 2)(x + 8) Hoạt động 4: Bài tập áp dụng GV: HD học sinh làm tập áp dụng HS: Giải tập áp dụng ( Hoạt động cá nhân), hai em lên bảng thực * Nhận xét chữa làm học sinh c) Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) -144 b) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 Giải: a) ĐS: ( x+1)( x – 6)(x2 – 5x – 32) b)ĐS: ( x2 + 5ax + 5a2)2 IV Củng cố: Giáo viên hướng dẫn học sinh phát biểu lại nội dung học V Hướng dẫn nhà: Ơn lại dạng tốn học Giải tập sau: Bài 1: Phân tích đa thức sau nhân tử: d) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15; e) (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12; f) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; d) x2 +8xy + 16y2 + 2x + 8y - Bài 2: Phân tích đa thức sau nhân tử: a) ( 5x2 – 2x)2 + 2x – 5x2 – b) x2 + 6xy + 9y2 – 3(x+3y) – c) ( 2x2 – x – 1)( 2x2 - x – 4) – 10 d) x2 + 2xy + y2 +2x + 2y - 15 g) x2 – 4xy + 4y2 – 2( x – 2y) - 35 Bài 3: Phân tích đa thức sau nhân tử: a) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 22 b) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 c) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 d) (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - 7) – 20 Bài 4: Phân tích đa thức sau nhân tử: a)x (x + 1)(x + 2)(x + 3) +1 b) (x - 2)(x - 4)(x - 5)(x- 7) – 72 c) (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) – 28 d) x (x - 1)(x + 2)(x + 1) - 23 D ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM I Quá trình áp dụng Biện pháp: Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nêu thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: - Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, - Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức - Khi gặp toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nhận xét: +Quan sát đặc điểm toán: Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến) + Nhận dạng toán: Xét xem toán cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp) + Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với toán * Một số ý phân tích đa thức thành nhân tử: * Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử * Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá tốn theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác Kết quả: Kết áp dụng chuyên đề góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà Cụ thể kết kiểm tra dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thống kê qua giai đoạn khối lớp năm học 2014 – 2015 sau: a) Chưa áp dụng giải pháp: 24 Tổng số HS 94 Giỏi 10 Khá 20 Kết Trung bình 48 Yếu 12 Kém * Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm rõ phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, cách trình bày giải cịn lúng túng, chưa biết lựa chọn phương pháp phù hợp để phân tích đa thức thành nhân tử b) Sau áp dụng giải pháp: Tổng số HS Giỏi Khá 94 20 40 Kết Trung bình 30 Yếu Kém * Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm chác phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng tốt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn, trình bày hợp lý II Bài học kinh nghiệm Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kinh nghiệm sau: Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải tốn, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho trình tự nghiên cứu em Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện kĩ phân tích cách tường 25 minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi suy mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập môn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, tỉnh, III Hướng phổ biến áp dụng Đề tài triển khai phổ biến áp dụng rộng rãi chương trình đại số lớp 8, cho năm học sau, cho trường loại hình IV Hướng nghiên cứu phát triển Chuyên đề nghiên cứu tiếp tục phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác (nâng cao) Chuyên đề nghiên cứu cho đa thức phức tạp hơn, sâu vào việc nghiên cứu đa thức đặc biệt Chuyên đề nghiên cứu ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử 26 Phần 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Từ thực tế giảng dạy áp dụng chuyên đề nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài toán học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán Trên kết nghiên cứu cá nhân Là giáo viên mong thầy cô giao nên tham khảo chuyên đề để áp dụng vào giảng dạy, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Mặc dù cố gắng với kiến thức hạn chế, chắn chưa thể đưa vấn đề cách trọn vẹn được, mong thầy giáo đóng góp ý kiến xây dựng để chuyên đề hoàn thiện Khi giảng dạy chuyên đề cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng phù hợp với đối tượng học sinh Tơi xin chân thành cảm ơn! Liên Châu, tháng 10 năm 2014 Nhóm GV Tốn trường THCS Liên Châu 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa sách tập Toán Sách nâng cao chuyên đề Toán Sách Bồi dưỡng Toán Sách nâng cao phát triển Toán Sách để học tốt Toán Bồi dưỡng lực tự học Toán 28 MỤC LỤC I Tiêu đề Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn chuyên đề II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Nội dung nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu VI Phạm vi nghiên cứu Phần 2: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ A Thực trạng nảy sinh chuyên đề Trang 2 I Đặc điểm tình hình học sinh II Thực trạng học sinh B Giải pháp nâng cao chất lượng I Nhận thức việc giảng dạy học tập mơn Tốn 5 II Những giải pháp chuyên đề C Nội dung chuyên đề I Các phương pháp II Một số phương pháp khác 11 III Phần dạy minh họa 19 D Ứng dụng vào công tác giảng dạy học kinh nghiệm 24 I Quá trình áp dụng II Bài học kinh nghiệm 24 III Hướng phổ biến áp dụng 25 IV Hướng nghiên cứu phát triển 26 26 Phần 3: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 29 27 Tài liệu tham khảo 30 28 ... sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức - Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nhận... TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phương pháp 6: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN PHỤ( ĐỔI BIẾN) A Mục đích yêu cầu: * Kiến thức: - Học sinh hiểu cách phân tích đa thức thành nhân. .. Hoạt động 2.2: Hình thành bước giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt bến phụ GV: (Đặt câu hỏi) * Để phân tích đa thức thành nhân tử “Để phân tích đa thức thành nhân phương pháp