Luận văn thạc sĩ chuyên ngành kỹ thuật xây dựng công trình và dân dụng nghiên cứu ổn định đàn hồi của hệ thanh có tiết diện ngang thay đổi

B GIO DC V O TO TRNG I HC DN LP HI PHềNG - BI VN DNG NGHIấN CU N NH N HI CA H THANH Cể TIT DIN NGANG THAY I LUN VN THC S K THUT CHUYấN NGNH: K THUT XY DNG CễNG TRèNH DN DNG & CễNG NGHIP M S: 60.58.02.08 NGI HNG DN KHOA HC: GS TS NGT TRN HU NGH LờI cảM ƠN Trong quỏ trỡnh hc nghiờn cu v thc hin Lun Thc s, tụi ó nhn c s giỳp , to iu kin nhit tỡnh v quý bỏu ca nhiu cỏ nhõn v th Trc tiờn, tụi xin by t lũng bit n sõu sc nht ti thy giỏo GS TS NGT Trn Hu Ngh ó tn tỡnh hng dn sut thi gian nghiờn cu hon thnh lun Tụi xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo khoa o to Sau i hc ó tn tỡnh ging dy, hng dn, truyn t kin thc sut quỏ trỡnh hc v thc hin lun Tụi cng xin chõn thnh cm n bn bố, ng nghip thuc lp cao hc MC 01 ó giỳp tụi tỡm kim ti liu, tỡm kim ngun tham kho hon thnh Lun ny Mc dự tụi rt c gng hon thnh lun bng tt c s nhit tỡnh v nng lc ca mỡnh, nhiờn khụng th trỏnh nhng thiu sút hoc cú nhng phn nghiờn cu cha sõu Rt mong nhn c s ch bo v thụng cm ca cỏc thy cụ Tụi xin trõn trng cm n ! Hi Phũng, ngy 20 thỏng 11 nm 2015 Tỏc gi lun Bựi Vn Dng LờI CAM ĐOAN Tụi xin cam oan lun tt nghip cao hc ngnh k thut xõy dng cụng trỡnh dõn dng v cụng nghip vi ti : " Nghiờn cu n nh n hi ca h cú tit din ngang thay i " l lun cỏ nhõn tụi thc hin Cỏc kt qu tớnh toỏn, cỏc mụ hỡnh tuõn th theo tiờu chun xõy dng hin hnh Kt qu tớnh toỏn ny khụng chộp bt k ti liu no khỏc Hi Phũng, ngy 20 thỏng 11 nm 2015 Tỏc gi lun Bựi Vn Dng M u : CHNG 1: Tổng quan v quỏ trỡnh nghiờn cu s n nh ca cú tit din thay i 1 í n g h a t h c t c a b i to ỏ n n nh t h an h c ú ti t di n t h a y i 1.2 Tng quan v cỏc phng phỏp tớnh P h ng p h ỏp c h nh x ỏ c .9 1.2.2 Phng phỏp gn ỳng 10 M t s k t q u n g hi n c u v n n h c a th a nh c ú ti t d i n th a y i 12 l Gi i b i to ỏn n nh t r on g c h n g t r i nh p hõ n t ớc h k t c u SAP2000 14 l.5 Ni dung chớnh ca lun v hng gii quyt 14 CHNG 2: n nh ca cú tit din thay i 17 2.1 Thit lp v tỡm nghiờm ca phng trỡnh vi phõn 17 2.1.1 Tỡm nghim y1 v y2 ca phng trỡnh vi phõn khụng cú v phi 18 2.1.2 Tỡm nghim x? ca phơng trỡnh vi phõn cú v phi 20 2.1.3 Nghim tng quỏt ca phng trỡnh vi phõn 21 2 Th u t to ỏ n g i i b i to ỏ n n n h ca t h a nh c ú t i t d i n t h a y i 21 2.3 Kim tra ổn nh theo phng phỏp chuyn v 2.3.1 Ni dung phng phỏp chuyn v 23 2.3.2 Cỏc cn chun b 23 2.4 Thit lp cỏc cu kin mu phng phỏp chuyn v 24 2.4.1 Thanh cú mt u ngm, mt u khp 28 2.4.2 Thanh cú mt u ngm, mt u l ngm trt 31 2.4.3 Thanh cú hai u khp 32 2.4.4 Thanh cú mt u ngm, mt u t 33 S t h u t t o ỏn t ỡ m l c t i h n t r ong h t h an h cú t i t d i n t h a y i v chng trỡnh tớnh TN01 34 S t h u t to ỏ n tỡm l c t i h n t ro ng h t h an h c ú ti t di n t h a y i Chng trỡnh tớnh TN01 37 CHNG 3: ổn nh ca khung phẳng vi cỏc cu kin cú tit din thay i 3.1 Cỏc vớ d ỏp dng 43 3.1.1 Vớ d v cú tit din thay i 43 3.1.2 Vớ d v khung vi cỏc cú tit din thay i 42 Vớ d 3.1 42 Vớ d 3.2 46 Vớ d 3.3 48 Vớ d 3.4 48 Vớ d 3.5 49 Vớ d 3.6 50 CHNG 4: Kt lun 53 TI LIU THAM KHO 55 M U Lý chn ti T r o n g n h n g n m g n õ y, d o k i n h t p h ỏ t t r i n , n g y c n g x u t h i n nh i u c ụn g t r ỡn h c ao t n g , c ụn g tr ỡ n h c ụn g n gh i p , c ụ n g t r ỡn h c b i t Tr o ng nh n g c ụ ng t r ỡn h ú , n h t l c ụ ng t r ỡn h c ụn g n g hi p ng i t a t h ng dự ng c ỏ c t h a nh c ú ti t di n n g an g th a y i c ú c h i u d i l n, t m , v c h u n ộ n v d o ú i u k i n n n h t r o n g t r o n g mi n n h i c ú t m q u a n t r n g c b i t , ũ i h i p h i n g h i n c u y c v m t l ý t h u y t v t h c n g h i m V n n g hi n c u n nh c a k t c u t h an h t h n g cú ti t d i n n g an g k hụ ng i ó c ú nh i u t ỏ c g i n g hi n c u , n i d un g n gh i ờn c u t n g i y Tu y n h i n , b i t o ỏn n nh c a t h anh c ú t i t di n n g an g th a y i t c c p n , m c d ự k t c u t h anh c ú t i t d i n n g an g t h a y i c ỏ p d ng r ng r ó i t r o ng x õ y d n g c ụng t rỡ nh v ỡ c ú n h i u u i m v m t k i n h t v k t h u t Tr on g nh i u tr n g h p , hp l ý h n c l s dn g h t h an h t ro ng ú c ỏ c c u k i n c ú t i t di n t h a y i c b i t t r o n g k t c u t h ộ p , k t c u c x p v o l o i t h a n h m n h t h ỡ v n n n h l m t t r o n g n h n g n i d u n g c n c q u a n t õ m i tng, phng phỏp v phm vi nghiờn cu ca lun Ng h i ờn c u n nh c a th a nh v h t h a nh th ng c ú t i t d i n n g an g th a y i , c h u t ỏ c d ng c a t i t r ng t nh t h eo ph n g ph ỏp s d n g ch u i n g u yờ n K i m t r a n n h c a k h u n g p h n g t h e o p h n g p h ỏp c h u y n v Mc ớch nghiờn cu lun Ng h i n c u n nh n h i c a h t h a nh c ú t i t d i n n g a ng t h a y i Nh i m v n g h i n c u c a l u n v n - S dng chui nguyờn gii bi toỏn thng n hi cú tit din ngang thay i chu nộn - un, tỏc dng ca ti trng tnh gõy - p dng phng phỏp chuyn v kim tra n nh ca khung phng vi cỏc phn t cú tit din thay i, cú cỏc iu kin biờn khỏc nhau, chu chuyn v cng bc gi ta v lc nộn dc trc í ngha khoa hc v thc tin ca ti nghiờn cu Vn n nh n hi ca h ó c nhiu tỏc gi v ngoi nc quan tõm nghiờn cu, k c bi toỏn cú xột n lc trt ngang Q Tuy nhiờn, ý ngha khoa hc ca lun ny nm ch nghiờn cu n nh ca v khung cú tit din thay i CHNG 1: TNG QUAN V QU TRèNH NGHIấN CU S N NH CA THANH Cể TIT DIN THAY I 1.1 í NGHA THC T CA BI TON N NH THANH Cể TIT DIN THAY I V n n n h c a c ỏ c t h a nh c ú m t c t k h ụ ng i ó c n g h i n c u y T u y n h i n , t r n t h c t c ụ n g t r ỡ n h , t h a n h c ú m t c t k h ụn g i c h a ph i l c u k i n c h u u n - n ộ n k in h t n h t Tr on g n h i u t r ng h p , h p lý h n c l s d ng h t h an h t r on g ú c ỏ c c u k i n cú t i t d i n th ay i c b i t t r ong k t c u t h ộp , k t c u c x p v o l o i t h a n h m n h t h ỡ v n n n h l m t t r o n g n h n g n i d u n g c n c q u a n t õ m T r o n g k t c u t h ộ p , c ỏ c c t c ú t i t d i n t h a y i c s dng rt ph bin: ct rng c ghộp t cỏc thộp c bn bi cỏc x i n , b n g i n g; c t h ỡ n h ch úp c t , n ún c t ; c t l m t c ỏ c t h ộ p t h p Ng a y c t r o n g k t c u b tụ ng v b t ụ ng c t t h ộp , t h anh c ú t i t di n t h a y i c n g c s d n g n hi u n h k t c u c t i n , t h ỏp Kh i n g hi n c u c ỏ c lo i t h an h n y t h ỡ b i to ỏ n n nh t r n ờn p h c t p h n n h i u s o v i t h a n h c ú t i t d i n k h ụ n g t h a y d i N g u yờ n n h õ n l q u ỏ trỡnh tớch phõn cỏc phng trỡnh vi phõn, cỏc h s ca cỏc phng trỡnh n y l n h n g i l n gthayi g i i d n g b i t o ỏ n n y, ó c ú n h i u p h n g p h ỏp n g h i n c u , g m c ỏ c p h n g p hỏ p c h ớn h x ỏ c v c ỏ c p h n g p h ỏp g n ỳ n g L u n v n c p n m t p h n g p h ỏ p n g h i n c u n n h c a h t h a nh t ro ng ú t i t d i n c ỏ c c u ki n tha n h th a y i , n h m t ỡ m r a l c t i h n c a c ụn g t r ỡn h H n g c t h : ngh i n c u c ỏ c c u ki n c b n c ú tit din thay di v dng phng phỏp chuyn v kim tra n nh ca h 1.2 TNG QUAN V C C PHN G PHP TNH 1.2.1 Phng phỏp chớnh xỏc C ỏ c p h n g p h ỏ p ỏ p d n g c h o m t s t r n g h p t h a n h c ú t i t d i n t h a y i t h eo nh n g q u y l u t t ng i p h b i n t r ong t h c t : 1.2.1.1Thanh cú tit din thay di theo hỡnh bõc thang {3}{5} T h a n h g m n h i u o n , t r o n g m i o n , c n g c a t h a n h l k h ụ n g i , m t c t n g a n g c a t h a nh b i n i th eo t ng n c Lo i th a nh n y t h ng g p c t b c ( h ỡn h l l a ) t r on g k t c u kim loi, cú th gp nhng cú liờn kt k h p h a i u c h u n ộ n d c t r c , th a nh s c h u n nh t t h n kh i t i t di n t h a y i n h t r n hỡnh 1.lb t ỡ m l c n ộ n t i h n , c n l p p h n g t r ỡn h vi p h õn c h o t ng o n v t ỡ m n g h i m c a c ỏ c p h n g t r ỡ n h n y T h i t l p c ỏ c i u k i n c h p gi a c ỏ c o n v s d ng c ỏ c i u k i n b i ờn Ta s c p h ng trỡnh n nh xỏc nh lc ti hn theo iu kin tn ti nghim t r n g t h ỏ i l c h kh i d ng b a n u 1.2.1.2 Thanh cú mt ct bin i liờn tc {3}{5} l e ó l p r a ph ng t r ỡn h vi ph õ n c a t r c vừ ng c ho c ỏ c th a nh c ú m t c t b i n i l i ờn t c v i nh i u l o i h ỡn h d ỏ ng kh ỏ c n u Th a n h cú c ng t h a y i t h e o l u t lu t h a t h ng c s d n g r n g r ó i t ro ng thc t A.N Di n n i k l ng i u ti n nghiờn cu s n nh ca nhng loi t h a n h c ú mụ m e n q u ỏ n t n h c a t i t d i n thay i t l vi khong cỏch tớnh t i m o n o ú (h ỡnh a ) th e o l u t l u tha: Hỡnh 1.2 z J(z) =J 1( ) n a (1.1) t r o n g ú , J l mụ me n q u ỏ n t n h c a t i t d i n u t r ờn c a t h a n h , s m n p h t h u c h ỡ n h d n g c t h c a t h a n h * Khi n=1, tit din cú b cao h khụng i cũn b rng b thay i b c nh t d c th e o ch i u d i th a nh , kh i m t n nh th a nh b u n qu anh trc y (hỡnh 1.2 b) * Kh i n = , t i t d i n t h a nh g m t h a n h t h ộ p gú c g h ộp v i n h au b i c ỏ c xiờn (hỡnh 1.2c) * Kh i n = , t h a nh cú t i t di n c t y i t h eo hỡ nh c hú p c t h a y h ỡ nh n ú n c t C h n t r c to nh t r n h ỡn h l , v l p p h n g t rỡ nh v i phõn ng n hi Phng trỡnh ny cú cỏc h s thay i Ta c ú t h t ỡ m n g hi m d i d ng c hu i v ụ h n h a y d i d n g hm s Betxen Khi n = v n = , cỏc nghim n y cú th vit d i d ng c ỏ c h m s s c p S d n g c ỏ c i u k i n b i n v t h i t l p c ỏc i u k i n t n t i c ỏ c h n g s t ch p h õn ta s c phng trỡnh n nh suy l c ti hn 1.2.2 Phng phỏp gn ỳng 2 P h ng p h ỏp s a i ph õ n [ ] T r o n g p h n g p h ỏp n y , v i c g i i p h n g t r ỡ n h v i p h õ n c t h a y t h b n g vi c g i i h p h n g t r ỡ nh i s t h i t l p d i d ng s a i ph õ n Th t thc hin: - Th a y p h n g t r ỡnh vi p h õn c õn b ng t r n g th ỏ i l c h b ng c ỏ c p h ng t r ỡn h s p hõ n - T i m t s i m c h i a c a h t r n g t h ỏ i l c h , l p c ỏ c p h n g trỡnh sai phõn Vn dng cỏc iu kin biờn s thit lp c h phng t r ỡ n h i s v i c ỏ c n s l ch u y n v D o t n h c h t p h õn n h ỏ n h c a b i t o ỏ n , h ph ng t r ỡn h l th u n n h t -Th i t l p ph n g t rỡ n h n n h b ng cỏ c h c ho n h t h c c ỏ c h s c a h p h ng t rỡ n h i s b ng k hụn g -Gii phng trỡnh n nh tỡm lc ti hn p dng phng phỏp ny cú hiu qu vi nhng h cú tit din 10 z3 = Phng trỡnh n nh: r11r12 r13 r21r22 r23 r31r32 r33 Gii phng trỡnh n nh trờn vi n s l t, ta s tỡm c lc ti hn P 45 a) Gii p dng trng trỡnh tớnh TN01, ta tớnh c t = 5,592603, hay Pth = 5566,3kN So sỏnh vi kt qu tớnh t phng phỏp Phn t hu hn, th hin bng 3.2 Bng 3.2 Theo TN01 Theo phng phỏp Phn t hu hn Theo SAP2000 Theo STRAND6 Pth = 5566.3kN Pth = 5545kN Pth = 5690kN lch (%) 0.995 2.7% b) Gii p dng chng trỡnh tớnh TN01 tỡm c t=3.334939, hay Pth = 3317,7kN So sỏnh vi kt qu tớnh t phng phỏp Phn t hu hn, th hin bng 3.3 Bng 3.3 Theo TN01 Theo phng phỏp Phn t hu hn Theo SAP2000 Theo STRAND6 Pth = 3317.7kN Pth = 3285kN Pth = 3410kN lch (%) 0.995% 2.7% Vớ d 3.2: Tỡm lc ti hn cho h khung tng nhp: 46 Phng trỡnh n nh: 47 r11 r12r13r14 r21r22r23r24 r31r32r33r44 p dng chng trỡnh TN01 c r41r42 r43r44 t=5.4199276, hay P = 5381,89kN So sỏnh vi kt qu tớnh t SAP2000, ta c lc ti hn P = 5345kN hay t = 5.37279, sai s l 0,877 % Vớ d 3.3: Tỡm lc ti hn cho khung ó xột vớ d 3.1, cỏc bng thộp cú tit din hỡnh ng (hỡnh 3.16) Tỡm quy lut bin thiờn ca tit din: Gi ng kớnh ngoi ca tit din l D9z) D(z) 20 2tg z 20 ) 30 20 l 201 (cm) 2.l Ti tit din cú honh z, ng kớnh l: 201 18 10 181 10 (cm) ú: 1 I ( 4 64 I ( ) 2700,984(11 ,576039546 0,145391102 Nh vy, cỏc h s ca quy lut bin tit din nh sau: I0 2700,984cm4;b1 1,576039546;b2 0,828729281;b3 0,145391102 Thc hin cỏc bc tng t vớ d 1,ch thay i cỏc lng Io, b1, b2,b3 Kt qu t TN01 cho t = 6,3098387013, tng ng vi P= 669,7kN So sỏnh vi kt qu tớnh t SAP2000, ta c lc ti hn P=655,5kN hay t=6,290516775, sai s l 0,3% Vớ d 3.4: Tỡm lc ti hn ca khung cú dng ó xột vớ d 3.1, vt liu v tit din nh sau: Thanh cú tit din c hỡnh vuụng Tit din u thanh: 24x24(cm) Tit din cui thanh: 36x36 (cm) Vt liu bờ tụng cú mụun n hi: E=2500kN/cm2 D(z) 24 2tg.z 24 36 241 24 I ( ) l 24 l 27648(1 1,5 0,5 0,0625 ) 12 Vy, cú Io = 27648cm4; b1=2, b2=1,5, b3=0,5; b4=0,0625 Gii cỏc bc ging nh vớ d 3.1, ch thay i cỏc lng Io, b1, b2, b2, b3, b4 kt qu t TN01 cho t = 7,587496286, tng ng P=1011,6kN So sỏnh vi kt qu tớnh t SAP2000, ta c lc ti hn P=1006kN hay t = 7,545, sai s l 0,56 % Vớ d 3.5: Tỡm lc ti hn cho h khung tng nhp kớch thc ó xột vớ d 1, nh ct liờn kt khp vi dm ngang (hỡnh 3.18) Trong trng hp ny, cỏc thụng s liờn quan n cỏc tit din ó tỡm c vớ d nh: Io, E, b1, b2, b3 49 Vn dng chng trỡnh TN01, ta c t = 3,356728235165 hay Pth = 3339,36kN So sỏnh vi kt qu t phng phỏp phn t hu hn: t = 3,3475161 hay pth = 3330,kN ta thy sai s l 0,2% Vớ d 3.6: Tỡm lc ti hn cho h khung mt tng mt nhp vi cỏc chõn ct liờn kt khp (hỡnh 3.20) Ta s gii bi toỏn ny vi hai trng hp: a) b) 50 Tỡm quy lut bin thiờn ca tit din: Gi chiu cao ca bn bng l h(z) n v di l cm h(z) 50 2tg.z 50 50 50 20 2.l I (z) 0,8.h(z) 30.1,6 30.1,6. h(z) 1,6 3 12 0,8.(50 20 ) 961,6 (50 20 ) 1,6 12 12 30 l 72255,2533(1 0,82396777 0,188221608 0,0073811933) Vy, trờn cú Io = 72255,2533cm4; b1= -0,82396777; b2 = 0,188221608; b3 = -0,007381193 Theo phng phỏp chuyn v, h cú n s: 51 r11r12 r13 r21r22 r23 r31r32 r33 Gii phng trỡnh n nh trờn vi n s l t, ta s tỡm c lc ti hn P a) Khi p dng chng trỡnh tớnh TN01, ta tớnh c t=0,645027789, hay pth1798,lkN So sỏnh vi kt qu tớnh t phng phỏp phn t hu hn (ng dng SAP2000), ta c lc ti hn Pth = 1769,5kN hay t=0,634769244, sai s l 1,6% b) Khi p dng TN01 c t=0,3861792216, hay Pth = 1059,4kN hay t= 0,3800367, sai s l 1,6% 52 CHUNG KT LUN I NHNG KT QU T C Lun ó s dng chui nguyờn gii bi toỏn un ngang cựng vi un dc, bi toỏn n nh ca h vi cỏc phn t cú tit din thay i Cỏc chui nguyờn c dựng biu t cho quy lut thay i ca tit din thanh, cỏc nghim ca phng trỡnh vi phõn ng n hi ỏp dng phng phỏp chuyn v kim tra n nh ca khung phng vi cỏc phn t cú tit din thay i, lun ó phõn tớch cỏc cu kin mu ú l cú tit din thay i, tng ng vi cỏc dng liờn kt khỏc hai u, chu chuyn v cng bc gi ta v lc nộn trc T biu thc di dng chui ca cỏc nghim l phn lc ti cỏc u thanh, lp phng trỡnh n nh cho khung bt kỡ tỡm lc ti hn ó lp chng trỡnh TN01 thc hin tớnh toỏn liờn tc t khõu xỏc nh phn lc n gii phng trỡnh n nh Chng trỡnh ó c hnh tỡm lc ti hn cho cỏc khung tng nhp, tng nhp ú cỏc cú cng thay i theo lut bc 2, 3, 4, liờn kt u khỏc chớnh xỏc ca chng trỡnh c ỏnh giỏ thụng qua kt qu so sỏnh vi cỏc bi toỏn tng ng thc hin trờn SAP2000 v STRAND6 II KH NNG NG DNG CA PHNG PHP Qua kt qu ó trỡnh by trờn õy cho thy: - Cỏch tớnh cú th ỏp dng cho cỏc h vi cỏc phn t cú mt ct bin i liờn tc bt kỡ sau dng chui Taulor a quy lut bin thiờn ca I v dng chui nguyờn - Bc u, chng trỡnh TN01 cú th ỏp dng kim tra n nh cho s v khung in hỡnh thng gp thc t Khi gp bi toỏn khung cú hỡnh dng mi, liờn kt mi thỡ vic lp chng trỡnh tỡm nghim ca 53 phng trỡnh n nh cng d dng khụng ũi hi nhiu thi gian, b sung vo chng trỡnh chớnh cho phong phỳ thờm - Thut toỏn v chng trỡnh nguyờn dng TN01 kin ngh ó c hnh thun li v c kim chng thụng qua mt s vớ d Do ú hy vng l tin cy c ỏp dng thc t - Cú th lp bng hoc toỏn xỏc nh lc ti hn cho cỏc bi toỏn n cú tit din thay i thng gp III HNG PHT TRIN SAU LUN VN Do thi gian v khuụn kh ca lun vn, mt s sau cn c tip tc nghiờn cu v phỏt trin trờn c s cỏc kt qu t c: Xõy dng thờm cỏc toỏn hoc bng tra thc hnh tỡm h s quy i chiu di tng ng cho mt s loi n thng gp thc t thit k kt cu cụng trỡnh i vi bi toỏn n nh ca h vi cỏc cú tit din thay i, nghiờn cu vic ỏp dng phng phỏp Phn t hu hn xõy dng chng trỡnh tớnh tng quỏt cú th tớnh cho h bt k Ti liu tham kho 54 TI LIU THAM KHO Ting Vit 1.EMPrEP M.A MriAHOBKO %.r (1977), S tay c hc, bn dch cu Nguyn Thnh Bang, Phm Nguyờn Long, Trn Trung Tin, NXB Khoa hc k thut H Ni Lờ Vn Mai (1991), '' Mt phng phỏp gii bi toỏn n nh cỏc cụng trỡnh'', Tuyn bỏo cỏo Hi ngh Khoa Hc Ton quc C hc vt rn bin dng, tr.136-144 Lờ Th Trỡnh - Vn Bỡnh (2002), n nh cụng trỡnh, NXB Khoa hc v K thut, H ni Lu Th Trỡnh - Vn Bỡnh (1980), '' n nh ca cú tit din thay i'', Tuyn cỏc cụng trỡnh ca Hi ngh C hc ton quc ln th hai, Vin Khoa hc Vit Nam, tr.96-103 Xtiphen P Timụsenko (1976), n nh n hi, Bn dch ca Phm Hng Giang, V Thnh Hi, Nguyn Khi , on Hu Quang, NXB Khoa hc K thut, H ni Ting Anh CSI- Computers and structures, Inc.(1998),SAP2000 Analysis Reference Volume 1, Computers and structures, Inc., University of Calornia, Berkeyley, USA Ting c Petersen, C.(1992), Statik und Stabilitaet der Baukonstructionen, Vieweg Ting Nga 55