BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học môn xác suất thống kê Giáo trình xác suất thống kê.rong tài liệu này các bạn sẽ được tiếp xúc với các công thức cơ bản.Tài liệu về bài tập trắc nghiệm xác suất thống kê giúp các bạn sinh viên rèn luyện kỹ năng làm bài tập.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN HUỲNH HỮU DINH BÀI GIẢNG XÁC SUẤT MSSV: Họ tên: TP.HCM - Ngày 16 tháng năm 2015 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Mục lục BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.2 QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 1.2.1 Quan hệ kéo theo 1.2.2 Quan hệ tương đương 1.2.3 Tổng hai biến cố 1.2.4 Tích hai biến cố 1.2.5 Các biến cố xung khắc 1.2.6 Hiệu hai biến cố 1.2.7 Biến cố đối lập 1.2.8 Qui tắc De Morgan 1.3 KHÔNG GIAN CÁC BIẾN CỐ SƠ CẤP 1.4 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1.4.1 Định nghĩa xác suất theo nghĩa cổ điển 1.4.2 Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê 1.4.3 Định nghĩa xác suất theo nghĩa hình học 1.5 CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 1.5.1 Công thức cộng xác suất 1.6 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN 1.6.1 Công thức nhân xác suất 1.6.2 Sự độc lập phụ thuộc biến cố 1.6.3 Công thức xác suất đầy đủ 1.6.4 Công thức Bayes 5 8 10 10 11 11 12 13 14 14 19 22 25 25 28 30 34 38 40 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Chương BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ Các khái niệm xác suất “phép thử” “biến cốn sơ cấp” Phép thử hiểu thí nghiệm, quan sát tượng hay tính chất Một phép thử cho nhiều kết khác nhau, kết gọi biến cố sơ cấp (hay kiện sơ cấp) Biến cố sơ cấp thường ký hiệu chữ in hoa kèm theo số: A, B, C, , A1 , A2 , , An , Ví dụ 1.1 Một số ví dụ phép thử biến cố sơ cấp: • Tung đồng tiền, phép thử Kết xảy “xuất mặt số”, biến cố sơ cấp; “xuất mặt hình”, biến cố sơ cấp • Một người mua tờ vé số, phép thử Các biến cố sơ cấp xuất “người mua trúng số” “người mua không trúng số” • Gieo xúc xắc, phép thử Các biến cố sơ cấp xuất “xuất mặt i chấm” với i = 1, 2, 3, 4, 5, Định nghĩa 1.1 Biến cố phép thử tập hợp mà phần tử biến cố sơ cấp phép thử xét Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Hình 1.1 Hai mặt đồng tiền Hình 1.2 Con xúc xắc Trong Ví dụ 1.1, ta đặt • A1 : “xuất mặt chấm” • A2 : “xuất mặt chấm” • A6 : “xuất mặt chấm” Xét biến cố sau: • A : “xuất mặt có số chấm ≤ 3” • B : “xuất mặt có số chấm lẻ” • C : “xuất mặt có số chấm chẵn” Ta biểu diễn chúng với dạng tập hợp sau: • A = {A1 , A2 , A3 } • B = {A1 , A3 , A5 } • C = {A2 , A4 , A6 } Định nghĩa 1.2 Biến cố xảy thực phép thử gọi biến cố không, ký hiệu ∅ Ví dụ 1.2 Một số ví dụ biến cố không: Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM • Chọn ngẫu nhiên hai từ tây, biến cố “xuất hai át cơ” biến cố không • Biến cố “có sống Mộc” biến cố không Hình 1.3 Sao mộc Hình 1.4 Bài tây Định nghĩa 1.3 Biến cố xảy thực phép thử gọi biến cố chắn, ký hiệu Ω Ví dụ 1.3 Một số ví dụ biến cố chắn: • Gieo xúc xắc, biến cố “xuất mặt có số chấm bé 7” biến cố chắn • Biến cố “Barack Obama tổng thống Hợp chủng quốc Hoa Kỳ” biến cố chắn Hình 1.5 Tổng thống Mỹ Barack Obama Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 1.2 QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 1.2.1 Quan hệ kéo theo Định nghĩa 1.4 Ta nói biến cố A thuận lợi cho biến cố B A xảy B xảy ra, ký hiệu A ⊂ B Ω B A Hình 1.6 Ví dụ 1.4 Gieo xúc xắc Ta xét biến cố: • A : “xuất mặt hai chấm” • B : “xuất mặt có số chấm chẵn” Ta thấy biến cố A xảy biến cố B xảy Do A ⊂ B 1.2.2 Quan hệ tương đương Định nghĩa 1.5 Ta nói biến cố A tương đương với biến cố B A ⊂ B B ⊂ A, ký hiệu A = B Ví dụ 1.5 Gieo xúc xắc, xét biến cố: Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM • A : “xuất mặt năm chấm” • B : “xuất mặt có số chấm chia hết cho năm” Ta thấy A = B 1.2.3 Tổng hai biến cố Định nghĩa 1.6 Tổng hai biến cố A B biến cố xảy có hai biến cố xảy ra, ký hiệu A + B Từ định nghĩa ta xác định biến cố tổng A + B : “A B” A B A+B Hình 1.7 Ví dụ 1.6 Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu Đặt • A : “xạ thủ bắn trúng mục tiêu” • B : “xạ thủ bắn trúng mục tiêu” • C : “có xạ thủ bắn trúng mục tiêu” Ta thấy C = A + B Định nghĩa 1.7 Tổng biến cố A1 , A2 , , An biến cố xảy có Ai xảy với i = 1, n, ký hiệu A1 + A2 + · · · + An Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 1.2.4 Tích hai biến cố Định nghĩa 1.8 Tích hai biến cố A B biến cố xảy A B xảy ra, ký hiệu AB Từ định nghĩa ta xác định biến cố tích AB: “A B” A B AB Hình 1.8 Ví dụ 1.7 Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu Đặt • A : “xạ thủ bắn trúng mục tiêu” • B : “xạ thủ bắn trúng mục tiêu” • C : “cả hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu” Khi ta có C = AB Định nghĩa 1.9 Tích biến cố A1 , A2 , , An biến cố xảy tất biến cố Ai xảy ra, ký hiệu A1 A2 An 1.2.5 Các biến cố xung khắc Định nghĩa 1.10 Hai biến cố A B gọi xung khắc chúng xảy ra, hay nói cách khác AB = ∅ 10 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM • A : “học sinh chọn giỏi Toán” • B : “học sinh chọn giỏi Vật lý” • C : “học sinh chọn giỏi Hóa” Khi đó, ta có biến cố A + B + C : “học sinh chọn giỏi môn” Ta cần tính P (A + B + C) Áp dụng Định lý 1.3 cho n = ta P (A+B +C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (AB)−P (AC)−P (BC)+P (ABC) Từ giả thiết đề ta tính • P (A) = 20 10 15 = ; P (B) = = ; P (C) = = 50 50 50 10 • P (AB) = = ; P (AC) = = ; P (BC) = 50 10 50 25 50 • P (ABC) = 50 Vậy P (A + B + C) = 17 25 1.6 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN Như biết, xác suất biến cố phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác Chẳng hạn, ta gieo xúc xắc xác suất biến cố “xuất mặt hai chấm” 16 Tuy nhiên, biết gieo xúc xắc mặt xuất có số chấm chẵn xác suất biên cố “xuất mặt hai chấm” không 16 mà , xác suất biến cố “xuất mặt chấm” Để cách cụ thể việc xác suất biến cố A phụ thuộc vào biến cố B sao, người ta đưa khái niệm xác suất có điều kiện 28 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Định nghĩa 1.18 Giả sử biến cố B có xác suất khác không, tức P (B) > Khi đó, xác suất biến cố A điều kiện B, ký hiệu P (A|B), xác định công thức P (A|B) = P (AB) P (B) Đặc biệt, không gian biến cố sơ cấp Ω chứa A B có hữu hạn phần tử B ̸= ∅ P (A|B) = n(AB) n(B) Ví dụ 1.34 Tung đồng thời hai xúc xắc cân đối, đồng chất Tính xác suất biến cố Xuất mặt có số chấm Xuất mặt có số chấm biết tổng số chấm hai mặt số chẵn Giải Khi gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối, đồng chất ta không gian biến cố sơ cấp Ω = {(i, j) : ≤ i ≤ 6, ≤ j ≤ 6}, dễ thấy n(Ω) = 36 Xét biến cố A : “xuất mặt có số chấm 5” Khi ta có A = {(5, j) : ≤ j ≤ 6} ∪ {(i, 5) : ≤ i ≤ 6} Ta suy n(A) = 11 Từ ta tính P (A) = n(A) 11 = n(Ω) 36 Xét biến cố B : “tổng số chấm xuất hai xúc xắc số chẵn”, suy n(B) = 18 Ta cần tính P (A|B) Theo định nghĩa ta có P (AB) n(AB) P (A|B) = = P (B) n(B) 29 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Từ giả thiết đề ta xác định biến cố AB : “xuất mặt có số chấm tổng số chấm hai mặt chẵn” Khi ta tính n(AB) = Vậy P (A|B) = n(AB) = n(B) 18 Tính chất 1.3 Xác suất có điều kiện có tính chất sau: ≤ P (A|B) ≤ P (B|B) = 1, A, B xung khắc P (A|B) = Nếu A, C xung khắc P ((A + C)|B) = P (A|B) + P (C|B) P (A|B) = − P (A|B) P ((A + C)|B) = P (A|B) + P (C|B) − P (AC|B) với A, C Các tính chất suy trực tiếp từ định nghĩa, xin dành cho bạn đọc 1.6.1 Công thức nhân xác suất Định lý 1.4 Cho hai biến cố A B, giả sử P (B)P (A) ̸= Khi P (AB) = P (B)P (A|B) = P (A)P (B|A) Định lí 1.4 suy từ định nghĩa xác suất có điều kiện Ví dụ 1.35 Một người có gà mái, gà trống nhốt lồng Hai người đến mua (người thứ mua xong đến lượt người thứ hai mua, người mua con) người bán bắt ngẫu nhiên từ lồng Tính xác suất người thứ mua gà trống người thứ hai mua gà mái Giải Ta đặt biến cố • A : “người thứ mua gà trống” • B : “người thứ hai mua gà mái” 30 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ta cần tính P (AB) Áp dụng công thức nhân xác suất ta C62 C42 P (AB) = P (A)P (B|A) = 2 = 0, 0714 C10 C8 Ví dụ 1.36 Trong kỳ thi, sinh viên phải thi môn Một sinh viên A ước lượng rằng: xác suất đạt môn thứ 0,8 Nếu đạt môn thứ xác suất đạt môn thứ hai 0,6; không đạt môn thứ xác suất đạt môn thứ hai 0,3 Biết sinh viên A thi đạt môn, tính xác suất để sinh viên A đạt môn thứ hai Tính xác suất sinh viên A đạt hai môn Tính xác suất sinh viên đạt môn Biết sinh viên A thi đạt môn, tính xác suất để sinh viên A đạt môn thứ Giải Ta xét biến cố • A1 : “sinh viên A thi đạt môn thứ nhất” • A2 : “sinh viên A thi đạt môn thứ hai” • B : “sinh viên A thi đạt môn” • C : “sinh viên A đạt hai môn” • D : “sinh viên A thi đạt môn” Với cách đặt biến cố ta xây dựng mối quan hệ sau: • B = A1 A2 + A1 A2 • C = A1 A2 • D = A1 + A2 = A1 A2 + A1 A2 + A1 A2 Theo đề bài, ta cần tính P (A2 |B) Áp dụng công thức nhân xác suất ta P (A2 B) P (A2 |B) = P (B) Ta xác định giá trị P (B) P (A2 B) 31 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM • P (B) = P (A1 )P (A2 |A1 ) + P (A1 )P (A2 |A1 ) = 0, 38 • P (A2 B) = P (A1 A2 ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) = 0, 06 Vậy P (A2 |B) = P (A2 B) 0, 06 = = 0, 1579 P (B) 0, 38 Ta cần tính P (A1 A2 ) Áp dụng công thức nhân xác suất ta P (A1 A2 ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) = 0, × 0, = 0, 48 Ta cần tính P (D) Ta có P (D) = P (A1 )P (A2 |A1 ) + P (A1 )P (A2 |A1 ) + P (A1 )P (A2 |A1 ) = 0, 86 Ta cần tính P (A1 |D) Áp dụng công thức nhân xác suất ta P (A1 |D) = P (A1 D) P (D) Câu cho ta kết P (D) = 0, 86 Mặt khác P (A1 D) = P (A1 (A1 A2 + A1 A2 + A1 A2 )) = P (A1 )P (A2 |A1 ) + P (A1 )P (A2 |A1 ) Vậy P (A1 |D) = = P (A1 A2 + A1 A2 ) = 0, 0, = 0, 9302 0, 86 Ví dụ 1.37 Theo số liệu thống kê Mỹ, có khoảng 40% vụ tai nạn xe cộ gây chết người có người lái say rượu Giả sử tỉ lệ số người say rượu lái xe 4% Hỏi việc say rượu lái xe làm tăng khả gây tai nạn chết người lên lần ? Giải Ta xét biến cố • A : “lái xe xảy tai nạn chết người” • B : “người lái xe sai rượu” P (A|B) Áp dụng công thức nhân xác suất ta P (A) P (AB) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A) Ta suy Ta cần tính tỷ lệ P (B|A) 40% P (A|B) = = = 10 P (A) P (B) 4% 32 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Kết cho ta thấy việc say rượu lái xe làm tăng khả gây tai nạn chết người lên 10 lần Ví dụ 1.38 Cho hai biến cố A, B với xác suất lớn Khi ta có P (A|B) = P (B|A) ? Giải Ta có • P (A|B) = P (AB) P (B) • P (B|A) = P (AB) P (A) Do P (A|B) = P (B|A) P (AB) P (AB) = , tức P (B) P (A) P (AB) = P (A) = P (B) Định lý 1.5 (Mở rộng định lý 1.4) Cho n biến cố Ai , i = 1, n thỏa P (A1 A2 An−1 ) khác không Khi P (A1 A2 An ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) P (An |A1 A2 An−1 ) Định lý 1.5 chứng minh cách áp dụng định lý 1.4 phương pháp qui nạp Ví dụ 1.39 Một hộp đựng bi đỏ 10 bi vàng Lấy ngẫu nhiên hai bi, hai bi lấy vàng tiếp tục lấy thêm bi, bi lấy màu đỏ lấy thêm hai bi Tính xác suất hai bi lấy sau có vàng đỏ Giải Ta đặt • A : “hai bi lấy lần đầu có màu vàng” • B : “bi lấy lần hai có màu đỏ” • C : “hai bi lấy lần ba có vàng đỏ” 33 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Theo đề ta cần tính P (ABC) Áp dụng Định lý 1.5 ta C10 C81 C82 P (ABC) = P (A)P (B|A)P (C|AB) = 2 C18 C16 C15 1.6.2 Sự độc lập phụ thuộc biến cố Thế hai biến cố độc lập với nhau? Về mặt triết lí, hai biến cố độc lập với hai biến cố không liên quan tới Ví dụ, biến cố “ Obama đắc cử tổng thống lần hai” không liên quan tới biến cố “ Khoa vô địch cờ tướng toàn trường” Hai biến cố xem độc lập với Nếu hai biến cố A, B độc lập với việc có xảy hay không biến cố B không ảnh hưởng đến việc có xảy hay không biến cố A Nói cách khác, xác suất A với điều kiện B với xác suất A không tính đến điều kiện B Đấy phát biểu lời định nghĩa lí thuyết xác suất độc lập hai biến cố Định nghĩa 1.19 Biến cố A gọi độc lập với biến cố B P (A) = P (A|B) (1.2) P (AB) = P (A)P (B) (1.3) hay viết cách khác Ví dụ 1.40 Gieo đồng thời hai xúc xắc Ta xét biến cố • A : “con xúc xắc thứ xuất mặt chấm” • B : “con xúc xắc thứ hai xuất mặt chấm” • C : “tổng số chấm hai xúc xắc chẵn” 1 1 P (AB) = ; P (AC) = Khi P (A) = ; P (B) = ; P (C) = 6 36 1 ; P (BC) = Ta thấy P (AB) = P (A)P (B); P (AC) = P (A)P (C) 12 12 P (BC) = P (B)P (C) nên biến cố A, B, C đôi độc lập với 34 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Nhận xét 1.4 Công thức P (A) = P (A|B) tương đương với công thức P (AB) = P (A)P (B) tương đương với P (B|A) = P (B) Điều có nghĩa quan hệ độc lập quan hệ đối xứng: A độc lập với B B độc lập với A, nói A B độc lập với Trong công thức P (A) = P (A|B) ta phải giả sử P (B) > với công thức P (AB) = P (A)P (B) trường hợp P (B) = ta dùng làm định nghĩa, hiển nhiên đúng: biến cố có xác suất độc lập với biến cố Định nghĩa 1.20 Hệ biến cố {Ai }i=1,n gọi hệ biến cố độc lập với {i1 , i2 , , ik } ⊂ {1, 2, , n} ta có P (Ai1 Ai2 Aik ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) P (Aik ) Ví dụ 1.41 Tung ba đồng xu đồng thời Ta xét biến cố • A1 : “đồng xu thứ xuất mặt ngữa” • A2 : “đồng xu thứ hai xuất mặt ngữa” • A3 : “đồng xu thứ ba xuất mặt ngữa” • B : “xuất mặt ngữa” Ta thấy hệ biến cố {A1 , A2 , A3 } hệ biến cố độc lập (bạn đọc kiểm chứng kết cách dễ dàng) hệ {A1 , A2 , B} không hệ biến cố độc lập Thật vây, ta có P (A1 )P (A2 )P (B) = 117 = ̸= P (A1 A2 B) = P (A1 A2 ) = 228 34 Nhận xét 1.5 Nếu hai biến cố không độc lập với người ta nói chúng phụ thuộc vào Do tính chất đối xứng, biến cố A phụ thuộc vào biến cố B biến cố B phụ thuộc vào biến cố A Nếu P (A|B) > P (A) ta nói biến cố B thuận lợi cho xuất biến cố A, ngược lại P (A|B) < P (A) ta nói biến cố B không thuận lợi cho xuất biến cố A 35 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Công thức P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A) tương đương với công thức P (A|B) P (B|A) = P (A) P (B) (1.4) Đẳng thức 1.4 cho ta khẳng định sau: Nếu biến cố B thuận lợi cho xuất biến cố A biến cố A thuận lợi cho xuất biến cố B ngược lại Sau ta phát biểu chứng minh định lý quan trọng, kết sử dụng nhiều vấn đề liên quan tới tính độc lập biến cố Định lý 1.6 Nếu hai biến cố A, B độc lập hai biến cố A, B độc lập Từ ta suy A độc lập với B A độc lập với B Chứng minh Ta cần chứng tỏ P (AB) = P (A)P (B) Trước hết, ta có AB + AB = A(B + B) = AΩ = A Khi P (AB + AB) = P (A), suy P (AB) = P (A) − P (AB) Theo giả thiết, hai biến cố A, B độc lập nên P (AB) = P (A)P (B) Do đó, P (AB) = P (A) − P (A)P (B) = P (A)(1 − P (B)) = P (A)P (B) Ta chứng tỏ P (AB) = P (A)P (B) Vậy hai biến cố A, B độc lập Ví dụ 1.42 Hai người bắn vào mục tiêu cách độc lập, người bắn viên đạn Khả bắn trúng người I; II 0, 8; 0, 9.Tính xác suất biến cố: Cả hai xạ thủ bắn trúng bia Có xạ thủ bắn trúng bia Xạ thủ I bắn trúng bia biết có xạ thủ bắn trúng bia Giải Ta đặt xét biến cố • A1 : “xạ thủ I bắn trúng bia” • A2 : “xạ thủ II bắn trúng bia” 36 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM • A : “cả hai xạ thủ bắn trúng bia” • B : “có xạ thủ bắn trúng bia” Từ giả thiết ta thấy hai biến cố A1 , A2 độc lập với Ta cần tính P (A) Ta có A = A1 A2 Do đó, P (A) = P (A1 A2 ) = P (A1 )P (A2 ) = 0, 9.0, = 0, 72 Ta cần tính P (B) Ta có B = A1 A2 + A1 A2 + A1 A2 Khi P (B) = P (A1 A2 + A1 A2 + A1 A2 ) = P (A1 A2 ) + P (A1 A2 ) + P (A1 A2 ) = 0, 8.0, + 0, 8.0, + 0, 2.0, = 0, 98 Ta cần tính P (A1 |B) Ta có P (A1 |B) = P (A1 B) P (A1 ) 0, = = = P (B) P (B) 0, 98 0, 8163 Sau ta mở rộng kết Định lý 1.6 Định lý 1.7 Cho hệ biến cố {Ai }i=1,n Với j ∈ {0; 1} ta đặt { Aji = Ai j = Ai j = Khi đó, hệ {Ai }i=1,n hệ độc lập biến cố với {jk }k=1,n , jk 1, hệ {Aji i }i=1,n hệ độc lập biến cố Chứng minh Định lý 1.7 dựa vào Định lý 1.6 phương pháp qui nạp, xin nhường cho bạn đọc tập nhỏ Ví dụ 1.43 Một nông dân nuôi ba gà mái Xác suất để gà mái I, II III đẻ trứng ngày 0, 9; 0, 0, 7, chúng đẻ cách độc lập Tính xác suất biến cố: Cả ba gà đẻ trứng ngày Có gà đẻ trứng ngày Giải Ta đặt biến cố 37 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM • Ai : “con gà thứ i đẻ trứng ngày” với i = 1, • Bi : “có i gà đẻ trứng ngày” với i = 0, Theo giả thiết ,hệ biến cố {Ai }i=1,3 hệ độc lập biến cố Ta cần tính P (B3 ) Ta có B3 = A1 A2 A3 Khi P (B3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = 0, 9.0, 8.0, = 0, 504 Ta đặt A : “có gà đẻ trứng ngày” Khi A = A1 A2 A3 + A2 A1 A3 + A3 A1 A2 Ta suy P (A) = P (A1 A2 A3 + A2 A1 A3 + A3 A1 A2 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A2 )P (A1 )P (A3 ) + P (A3 )P (A1 )P (A2 ) = 0, 1.0, 8.0, + 0, 9.0, 2.0, + 0, 9.0, 8.0, = 0, 398 Vậy P (A) = 0, 398 1.6.3 Công thức xác suất đầy đủ Định nghĩa 1.21 Hệ biến cố {Ai }i=1,n gọi hệ đầy đủ biến cố (hoặc gọi tắt hệ đầy đủ) hai điều kiện sau thỏa: • A1 + A2 + · · · + An = Ω • Ai Aj = ∅ với i ̸= j Ví dụ 1.44 Gieo xúc xắc Đặt Ai : “xuất mặt i chấm” với i = 1, Ta thấy hệ {Ai }i=1,6 hệ đầy đủ Ví dụ 1.45 Tung đồng xu Đặt N : “xuất mặt ngữa”, S : “xuất mặt sấp” Khi hệ {N, S} đầy đủ Ví dụ 1.46 Sản phẩm cửa hàng lấy từ ba xí nghiêp I, II III Một khách hàng mua sản phẩm cửa hàng Ta đặt biến cố Ai : “sản phẩm mua thuộc xí nghiệp thứ i ” với i = 1, Khi đó, hệ biến cố {Ai }i=1,3 hệ đầy đủ 38 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Sau ta phát biểu chứng minh kết mục Định lý 1.8 (Công thức xác suất đầy đủ) Cho hệ đầy đủ biến cố {Ai }i=1,n không gian Ω Khi đó, với biến cố A ⊂ Ω ta có P (A) = P (A1 )P (A|A1 ) + P (A2 )P (A|A2 ) + · · · + P (An )P (A|An ) Chứng minh Vì {Ai }i=1,n hệ đầy đủ nên A1 + A2 + · · · + An = Ω Ta suy A(A1 + A2 + · · · + An ) = AΩ AA1 + AA2 + · · · + AAn = A Do P (A) = P (AA1 + AA2 + · · · + AAn ) = P (AA1 ) + P (AA2 ) + · · · + P (AAn ) = P (A1 )P (A|A1 ) + P (A2 )P (A|A2 ) + · · · + P (An )P (A|An ) Định lý chứng minh Ví dụ 1.47 Một lô hàng ba nhà máy I, II, III sản xuất Tỷ lệ sản phẩm nhà máy I, II, III sản xuất tương ứng 30%; 20%; 50% tỷ lệ phế phẩm tương ứng 1%; 2%; 3% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng, tính xác suất sản phẩm chọn phế phẩm Giải Ta đặt biến cố • Ai : “sản phẩm chọn nhà máy i sản xuất” với i = 1, • A : “sản phẩm chọn phế phẩm” Ta cần tính P (A) Ta thấy hệ {Ai }i=1,3 hệ đầy đủ nên theo công thức xác suất đầy đủ ta có P (A) = P (A1 )P (A|A1 ) + P (A2 )P (A|A2 ) + P (A3 )P (A|A3 ) = 30%1% + 20%2% + 50%3% = 0, 022 Vậy P (A) = 0, 022 39 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ví dụ 1.48 Một phân xưởng có số lượng nam công nhân gấp lần số lượng nữ công nhân Tỷ lệ tốt nghiệp THPT nữ 15%, với nam 20% Chọn ngẫu nhiên công nhân phân xưởng, tính xác suất để chọn công nhân tốt nghiệp THPT Giải Ta đặt biến cố • A1 : “công nhân chọn nữ” • A2 : “công nhân chọn nam” • A “công nhân chọn tốt nghiệp phổ thông” Ta cần tính P (A) Ta thấy hệ {Ai }i=1,2 hệ đầy đủ nên theo công thức xác suất đầy đủ ta có P (A) = P (A1 )P (A|A1 ) + P (A2 )P (A|A2 ) = 0, 15 + 0, = 0, 1625 4 Vậy P (A) = 0, 1625 1.6.4 Công thức Bayes Công thức Bayes, mang tên linh mục nhà Toán học người Anh Thomas Bayes (1702 - 1761), công thức ngược, cho phép tính xác suất có điều kiện P (B|A) biết xác suất P (A|B) số thông tin khác Dạng đơn giản công thức Bayes là: Nếu A, B hai biến cố với xác suất khác ta có P (B|A) = P (B)P (A|B) P (A) (1.5) Công thức 1.5 hệ công thức nhân xác suất Kết hợp với công thức xác suất đầy đủ ta kết sau Định lý 1.9 Giả sử hệ biến cố {Ai }i=1,n hệ đầy đủ không gian Ω Khi đó, với biến cố A với xác suất khác ta có công thức Bayes sau P (Ai )P (A|Ai ) P (Ai )P (A|Ai ) P (Ai |A) = = ∑ n P (A) P (A|Ak ) P (Ak ) k=1 40 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM với i = 1, n Hình 1.11 Thomas Bayes (1702 - 1761) Ví dụ 1.49 Trong thùng kín có hai loại thuốc A, B Số lượng thuốc A 2/3 số lượng thuốc B Tỉ lệ thuốc A, B hết hạn sử dụng 20%; 25% Chọn ngẫu nhiên lọ từ thùng, tính xác suất biến cố: Lọ thuốc chọn loại A hết hạn sử dụng Lọ thuốc chọn hết hạn sử dụng Biết lọ thuốc chọn hết hạn sử dụng, tính xác suất lọ thuốc thuộc loại A Giải Ta đặt biến cố: • A1 : “ Lọ thuốc chọn loại A” • A2 : “ Lọ thuốc chọn loại B” • A : “ Lọ thuốc chọn hết hạn sử dụng” Đặt B : “Lọ thuốc chọn loại A hết hạn sử dụng” Khi B = A1 A Ta suy P (B) = P (A1 A) = P (A1 )P (A|A1 ) = 20% = 0, 08 41 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ta cần tính P (B) Vì hệ {A1 , A2 } hệ đầy đủ nên theo công thức xác đầy đủ ta P (B) = P (A1 )P (B|A1 ) + P (A2 )P (B|A2 ) = 20% + 25% = 0, 23 5 Ta cần tính P (A1 |B) Áp dụng công thức Bayes ta P (A1 |B) = P (A1 )P (B|A1 ) 0, 08 = = 0, 3478 P (B) 0, 23 Nhận xét 1.6 Công thức Bayes đơn giản có ý nghĩa sâu xa Một lỗi mà nhiều người mắc phải lẫn lôn P (A|B) P (B|A), coi hai số Dưới ví dụ minh họa điều Ví dụ 1.50 Đây toán ba nhà toán Cassels, Shoenberger Grayboys đêm đố 60 sinh viên cán ý khoa Harvard Medical School năm 1978(∗) Giả sử có loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh Giả sử có loại xét nghiệm, mà mắc bệnh xét 1000 phản ứng dương tính, tỉ lệ phản ứng dương tính nhầm 5% (tức số người không bị bệnh có 5% số người thử dương tính) Hỏi người xét nghiệm bị phản ứng dương tính, khả mắc bệnh người ? Giải Ta đặt biến cố: • A : “ Người xét nghiệm bị bệnh” • B : “ Người xét nghiệm phản ứng dương tính” Ta cần tính P (A|B) Áp dụng công thức Bayes ta P (A)P (B|A) P (A)P (B|A) = P (B) P (A)P (B|A) + P (A)P (B|A) 1 1000 = = 0, 02 999 + 0, 05 1000 1000 P (A|B) = (∗) Cassels, Shoenberger and Grayboys, Interpretaton by physicains of clinical laboratory results New England Journal of Medicine, 299 (1978), 999-1000 42 [...]... Nghiệp TPHCM Nhận xét 1.3 Các tính chất của xác suất theo nghĩa hình học cũng tương tự như tính chất của xác suất theo nghĩa cổ điển và theo nghĩa thống kê nên ta không nêu ra ở đây Bạn đọc tự ghi nhận và chứng minh như một bài tập Đối với xác suất theo nghĩa cổ điển, nếu A ̸= ∅ thì P (A) > 0 Nhưng đối với xác suất theo nghĩa hình học thì điều đó không chính xác Chẳng hạn, trong Ví dụ 1.29 nếu ta đặt... xấc suất theo quan điểm thống kê Xét phép thử ℘ và biến cố A nào đó trong phép thử Lặp lại phép thử nA n lần, gọi nA là số lần biến cố A xuất hiện Tỷ số fnA = được gọi là n tần suất xuất hiện biến cố A khi thực hiện n phép thử ℘ Định nghĩa 1.15 (Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê) Xác suất của biến cố A, ký hiệu P (A), được xác định bằng công thức P (A) = lim fnA n→∞ Ví dụ 1.25 Để xác định xác suất. .. cấp ở đây là Ω = {(i, j) : 1 ≤ i ≤ 6, 1 ≤ j ≤ 6} 1.4 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1.4.1 Định nghĩa xác suất theo nghĩa cổ điển Xét không gian các biến cố sơ cấp hữu hạn phần tử có đồng khả năng xảy ra Ω = {A1 , A2 , , Am } Xét biến cố A ⊂ Ω Ký hiệu n(A) là số biến cố sơ cấp chứa trong A Định nghĩa 1.14 (Định nghĩa xác suất theo nghĩa cổ điển) Xác suất của biến cố A, ký hiệu là P (A), được tính bằng công... tìm được một người có cùng ngày sinh với Liễu” Ta cần xác định n để P (A) = 0, 5 Áp dụng tính chất 3 ta được P (A) = 1 − P (A) = 1 − Cho P (A) = 0, 5 ta tìm được n = 253 18 364n 365n Huỳnh Hữu Dinh 1.4.2 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê Muốn xác định xác suất của biến cố A theo nghĩa cổ điển thì ta phải xác định không gian hữu hạn các biến cố sơ cấp có đồng... (A1 + A2 + · · · + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + · · · + P (An ) 1.4.3 Định nghĩa xác suất theo nghĩa hình học Như đã biết, định nghĩa xác suất theo nghĩa cổ điển có hai hạn chế lớn: • Số biến cố sơ cấp của phép thử là hữu hạn • Các biến cố sơ cấp của phép thử phải có cùng khả năng xuất hiện Định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê khắc phục được hạn chế thứ hai Để khắc phục hạn chế thứ nhất (đồng thời vẫn... chẵn thì xác suất của biên cố “xuất hiện mặt hai chấm” không còn là 16 nữa mà bằng 1 , còn xác suất của biến cố “xuất hiện mặt một chấm” thì bằng 0 3 Để chỉ ra một cách cụ thể hơn về việc xác suất của một biến cố A phụ thuộc vào một biến cố B nào đó ra sao, người ta đưa ra khái niệm xác suất có điều kiện 28 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Định nghĩa 1.18 Giả sử biến cố B có xác suất khác... dụng công thức nhân xác suất ta được C62 C42 P (AB) = P (A)P (B|A) = 2 2 = 0, 0714 C10 C8 Ví dụ 1.36 Trong một kỳ thi, mỗi sinh viên phải thi 2 môn Một sinh viên A ước lượng rằng: xác suất đạt môn thứ nhất là 0,8 Nếu đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,6; nếu không đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,3 1 Biết rằng sinh viên A thi đạt đúng một môn, tính xác suất để sinh viên... khối không gian Với những giả thiết và định nghĩa trên, ta định nghĩa xác suất theo nghĩa hình học như sau: Định nghĩa 1.17 (Định nghĩa xác suất theo nghĩa hình học) Xác suất của biến cố A, ký hiệu P (A), được xác định bằng công thức P (A) = m(ΓA ) m(Γ) Ví dụ 1.29 Một xạ thủ bắn vào một tấm bia hình tròn có tâm O và bán kính R Tính xác suất để xạ thủ bắn trúng bia sao cho khoảng cách từ điểm trúng tới... truyền của Mendel và xác suất trong lai giống đậu Hà Lan Hình 1.10 Gregor Mendel (1822 - 1884) 21 Huỳnh Hữu Dinh Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Tính chất 1.2 Cũng giống như xác suất theo nghĩa cổ điển, xác suất theo nghĩa thống kê cũng có các tính chất sau: 1 0 ≤ P (A) ≤ 1 và P (∅) = 0, P (Ω) = 1 2 Nếu A ⊂ B thì P (A) ≤ P (B) 3 Nếu A, B xung khắc thì P (A + B) = P (A) + P (B) 4 P (A) = 1 − P (A) Chứng... Pearson Pearson Số lần tung 4040 12000 24000 Số lần sấp 2048 6019 12012 Tần suất 0,5080 0,5016 0,5005 Với kết quả thu nhận được, ta chấp nhận xác suất của biến cố “xuất hiện mặt sấp” là 0, 5 Ví dụ 1.26 Vấn đề tính xác suất sinh con trai hay con gái từ lâu được các nhà sinh lý học, nhân chủng học nghiên cứu Người Trung Hoa cổ đã thống kê và đưa ra tỷ lệ sinh con gái là 0, 5 Laplace đã nghiên cứu vấn đề này