PHÉP NGHỊCH đảo và một số ỨNG DỤNG

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, phép vị tự và đồng dạng là các phép biến hình bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Chúng đều biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn. Ngoài các phép dời hình, phép vị tự và đồng dạng, còn một phép biến hình khác với những tính chất rất thú vị. Đó là phép nghịch đảo. Phép nghịch đảo cũng có thể biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn, nhưng có thể biến một đường thẳng thành một đường tròn, còn 1 đường tròn thành một đường thẳng. Đặc biệt hơn là nó bảo toàn góc giữa hai hình. Phép nghịch đảo cũng có một số ứng dụng rất quan trọng trong việc giải các bài toán hình học phẳng.

Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng PHẫP NGHCH O V MT S NG DNG I M u: Phộp di hỡnh l phộp bin hỡnh bo ton khong cỏch gia hai im bt kỡ, phộp v t v ng dng l cỏc phộp bin hỡnh bo ton t s khong cỏch gia hai im bt kỡ Chỳng u bin ng thng thnh ng thng, ng trũn thnh ng trũn Ngoi cỏc phộp di hỡnh, phộp v t v ng dng, cũn mt phộp bin hỡnh khỏc vi nhng tớnh cht rt thỳ v ú l phộp nghch o Phộp nghch o cng cú th bin ng thng thnh ng thng, ng trũn thnh ng trũn, nhng cú th bin mt ng thng thnh mt ng trũn, cũn ng trũn thnh mt ng thng c bit hn l nú bo ton gúc gia hai hỡnh Phộp nghch o cng cú mt s ng dng rt quan trng vic gii cỏc bi toỏn hỡnh hc phng II Ni dung chuyờn : A Cỏc khỏi nim: nh ngha: a) Cho trc mt im O v mt s thc k , vi mi im M khỏc O ta dng mt im M trờn ng thng OM cho OM OM ' = k (1) Khi ú ta núi M l nh ca im M qua phộp nghch o tõm O phng tớch k (hoc h s k ) O M M Khi M O thỡ M l im vụ cc v kớ hiu v M l im vụ cc thỡ M trựng vi O Kớ hiu phộp nghch o tõm O, h s k bin im M thnh im M l: f ( O, k ) : M M ' b) Cho mt hỡnh H Tp hp nh ca mi im thuc H phộp nghch o f ( O, k ) lp thnh hỡnh H c gi l nh ca hỡnh H (hỡnh nghch o ca H) v c kớ hiu: f ( O, k ) : H H Cỏc khỏi nim khỏc liờn quan: Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng a) Xột phộp nghch o f ( O, k ) vi k > ng trũn tõm O, bỏn kớnh R = k c gi l ng trũn nghch o thc Nu k < 0, thỡ ng trũn tõm O bỏn kớnh R= k c gi l ng trũn nghch o o Khi ú, mi im trờn ng trũn nghch o l cỏc im bt ng i vi phộp nghch o ú b) Cho hai ng trũn (O1) v (O2) ct ti hai im A, B Gi d1 v d2 ln lt l cỏc tip tuyn ca hai ng trũn ti A Gúc to bi d1 v d2 c gi l gúc to bi hai ng trũn (O1) v (O2) Nu gúc ú vuụng thỡ ta núi hai ng trũn (O1) v (O2) trc giao (hoc hai ng trũn vuụng gúc vi nhau) ti im A Ta nhn thy gúc to bi hai tip tuyn ca hai ng trũn ti B bng gúc ú ti A Gúc to bi mt ng thng v mt ng trũn l gúc to bi ng thng ú vi tip tuyn ca ng trũn ti im chung ca chỳng B Cỏc tớnh cht: Cho phộp nghch o f ( O, k ) vi k Tớnh cht 1: Phộp nghch o f ( O, k ) l phộp bin i - Tớnh cht 2: Phộp bin i f = f ( O, k ) f ( O, k ) l phộp ng nht Tớnh cht 3: Nu A, B l nh ca A, B qua phộp f ( O, k ) thỡ A' B' = k OA.OB AB Tớnh cht 4: nh ca mt ng thng d i qua tõm nghch o l ng thng d Tớnh cht 5: nh ca mt ng thng d khụng i qua tõm nghch o O l mt ng trũn i qua tõm nghch o O Tớnh cht 6: nh ca mt ng trũn (C) i qua tõm nghch o O l mt ng thng d khụng i qua tõm nghch o O v song song vi tip tuyn ca ng trũn (C) ti O Tớnh cht 7: nh ca ng trũn ( ) khụng i qua tõm nghch o O l mt ng trũn ( ') ng trũn ( ') cng l nh ca ng trũn ( ) qua phộp v t V( O , ) vi = k , p l phng tớch ca O i vi ng trũn ( ) p Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Tớnh cht 8: Gúc to bi ng thng d v ng trũn ( ) cựng i qua tõm nghch o O cú s o bng gúc to bi nh ca chỳng qua phộp nghch o ú Tớnh cht 9: Gúc to bi hai ng trũn ( ) v ( ') cựng i qua tõm nghch o O cú s o bng gúc to bi nh ca chỳng qua phộp nghch o ú 10 Tớnh cht 10: Nu ng thng d v ng trũn ( ) khụng i qua tõm nghch o O, thỡ gúc to bi d v ( ) cú s o bng gúc to bi nh ca chỳng qua phộp nghch o ú 11 Tớnh cht 11: Gúc to bi hai ng trũn ( ) v ( ') khụng cựng i qua tõm nghch o O cú s o bng gúc to bi nh ca chỳng qua phộp nghch o ú C Cỏc bi toỏn ỏp dng: I Dng toỏn: Chng minh cỏc tớnh cht hỡnh hc Bi 1: Cho a giỏc A1 A2 An ni tip ng trũn (C) M l mt im bt kỡ trờn cung A1 An (cung khụng cha nh no ca a giỏc) Gi d1 , d , , d n ln lt l khong cỏch t M n cỏc ng thng A1 A2 , A2 A3 , , An A1 Chng minh rng: an n = vi l di cỏc cnh Ai Ai +1 d n i =1 d i (A n +1 A1 ) Gii: d1 Gi R l bỏn kớnh ca ng M an trũn (C) A1 a1 Xột phộp nghch o tõm M O A2 A4 phng tớch k A3 Khi ú phộp nghch o f ( M , k ) bin ng trũn (C) thnh ng An d A'1 A'2 A'3 A'4 thng d khụng i qua M ' ' ' ' ' ' ' ' ' Trờn ng thng d ta gi Ai = f ( Ai ) thỡ ta cú: A1 An = A1 A2 + A2 A3 + + An An (*) Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng ' ' Do ú ta cú i = 1, n Ai Ai +1 = k =k S MA A sin Ai MAi +1 i i +1 S MA A d i i i +1 Thay vo (*) ta cú: k =k Ai Ai +1 Ai Ai +1 d i sin Ai MAi +1 =k MAi MAi +1 MAi MAi +1 d i sin Ai MAi +1 sin Ai MAi +1 sin Ai MAi +1 =k =k di di Rd i n an a a =k n = i (pcm) Rd n Rd i d n i =1 d i Bi 2: Cho tam giỏc ABC khụng cõn ng trũn tõm I ni tip tam giỏc ABC tip xỳc vi cỏc cnh BC, CA, AB ln lt ti A, B, C Gi M, N, E ln lt l giao im ca cỏc cp ng thng: BC v BC; CA v CA; AB v AB Chng minh rng im M, N, E thng hng Gii: Gi (C1), (C2) ln lt l ng trũn A ng kớnh AI v A1I Khi ú: B1C1 l trc ng phng ca hai ng trũn (I) v (C1) v; BC l trc ng phng ca hai ng trũn (I) v (C2) B' C' P M M BC B1C1 = M I B A' C nờn PM / ( C ) = PM / ( C ) Gi M l giao im th hai (khỏc I) ca E hai ng trũn (C1) v (C2) thỡ M IM Ta cú: IM AM v IM A1M nờn im A, A1, M thng hng N Theo nh lý Ceva ta cú ng thng AA1, BB1, CC1 ng quy ti P ã ' P = 900 hay M thuc ng trũn (C) ng kớnh IP Suy IM Tng t nu gi N l giao im th hai ca ng trũn (C1) v ng trũn ng kớnh B1I E l giao im th hai ca ng trũn (C1) v ng trũn ng kớnh C1I thỡ N v E cng thuc ng trũn (C) ng kớnh IP IM.IM = IN.IN = IE.IE = R (vi R l bỏn kớnh ng trũn ng kớnh IP) Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Xột phộp nghch o cc I, phng trỡnh R2 : f ( I , R ) ta cú: f ( I , R ) bin cỏc im M, N, E thnh cỏc im tng ng l M, N, E f ( I , R ) bin ng trũn (C) ng kớnh IP thnh ng thng d khụng qua I Do cỏc im M, N, E thuc ng trũn (C) nờn cỏc im M, N, E thuc ng thng d hay M, N, E thng hng Bi 3: Cho hai ng trũn (O) v (O) tip xỳc ngoi ti A Mt tip tuyn ca (O) ti im M bt kỡ trờn ng trũn ct (O) ti B v C Chng minh rng AM l ng phõn giỏc ca gúc to bi hai ng thng AB v AC Gii: d' d A O' O M' C I B' H B M H AH BC Xột phộp nghch o cc A, phng tớch k = AH2 : f ( A, AH ) f ( A, AH ) bin tip tuyn ti M vi ng (O) thnh tip tuyn vi ng trũn (I) ng kớnh AH f ( A, AH ) : M M; B B; C C cho M, B, C thuc (I) f ( A, AH ) : (O) d l tip tuyn vi (I) ti M; d OA (O) d qua B, C v d OA Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng ẳ'B' = M ẳ 'C ' Vỡ d // d v M l tip im ca tip tuyn d vi (I) M ẳ ' = NC ẳ ' Gi N l im i xng vi M qua I N (I) NB AN l phõn giỏc ca gúc BAC AM l phõn giỏc ca gúc BAC Vy AM l phõn giỏc ca gúc to bi AB v AC Bi 4: (Thi Olympic Bungari - vũng - 1995) Cho tam giỏc ABC cú chu vi 2p cho trc Cỏc im E, F nm trờn ng thng AB cho CE = CF = p Chng minh rng ng trũn bng tip (k1) ng vi cnh AB ca tam giỏc ABC tip xỳc vi ng trũn (k2) ngoi tip tam giỏc EFC Gii: C Vỡ CP = CQ = CE = CF = p nờn suy im P, Q, E, F cựng thuc ng trũn (C, p) Xột phộp nghch o cc C phng tớch p2 ta cú: f (C, p2 ) : P P ; Q Q Q P Do ú: f ( ( k1 ) ) = ( k1 ) Mt khỏc: f ( E) = E f (F) = F F B A E O O' f ( ( k ) ) = EF M ( k1 ) tip xỳc vi EF nờn ( k1 ) tip xỳc vi ( k ) k2 k1 Bi 5: Cho hai ng trũn (C1) cú tõm O1 v bỏn kớnh R1, ng trũn (C2) cú tõm O2 v bỏn kớnh R2 im I khụng nm trờn c hai ng trũn Gi f l phộp nghch o cc I phng tớch k , f ( C1 ) ; f ( C2 ) l cỏc ng trũn nh d R12 R22 ca ( C1 ) ; ( C2 ) t: ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = vi d = O1O2 Chng minh rng: R1 R2 Nu I ng thi nm hoc nm ngoi c hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 ) thỡ: ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) Nu I nm mt ng trũn v nm ngoi mt ng trũn thỡ ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Gii: Gi f ( C1 ) = ( I1 , r1 ) ; f ( C2 ) = ( I , r2 ) I1 I r12 r22 Khi ú: ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) = 2r1r2 Vỡ f ( C1 ) = ( I1 , r1 ) ; II1 = k IO1 p1 f ( C2 ) = ( I , r2 ) nờn: I = V p ( O ) v I = V p ( O ) I I k k II = v k IO2 (vi p1 = PI / ( C ) = IO12 R12 v p2 = PI / ( C ) = IO2 R22 ) p2 Khi ú ta cú: ( I1 I = I1 I = II II1 ) 2 IO22 k k IO1 k + IO IO = IO1 IO2 = 2 p p p p p p 2 p1 + R12 p2 + R22 IO12 + IO22 O1O2 + = k 2 p p p p 2 2 1 R12 R22 p1 + p2 + R12 + R22 O1O2 + 2+ = k + p p p p p p 2 R12 R22 R12 + R22 O1O2 = k + p p p p 2 k k Vỡ I = V p ( O ) v I = V p ( O ) ; I I 2 nờn ta cú: r1 = f ( C1 ) = ( I1 , r1 ) ; f ( C2 ) = ( I , r2 ) k k R1 v r2 = R2 p1 p2 Do ú: 2 r12 r22 R12 + R22 O1O2 2 2 O1O2 R1 R2 I1 I r1 r2 = k I1 I = k + k k p p p1 p2 2 I1 I r12 r22 k O1O2 R12 R22 ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) = = r1r2 2r1r2 p1 p2 = 2r1r2 ( ) kk r1 p1 r2 p2 O1O2 R12 R22 2 O1O2 R1 R2 = p p p1 p2 2r1r2 R1 R2 ( ) p1 p2 O1O2 R12 R22 p1 p2 ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = = p1 p2 p1 p2 R1 R2 Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Do ú: Nu I nm ng thi hoc ngoi c hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 ) thỡ p1 p2 > nờn ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) Nu I nm mt ng trũn v nm ngoi mt ng trũn thỡ p1 p2 < nờn ( ( C1 ) , ( C2 ) ) = ( f ( C1 ) , f ( C2 ) ) Bi 6: Cho hai ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tip xỳc vi ti A Mt ng thng l qua A ct cỏc ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tng ng ti C1 , C2 khỏc A Mt ng trũn ( C ) qua C1 , C2 ct li hai ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) ti B1 , B2 tng ng Gi ( x ) l ng trũn ngoi tip tam giỏc AB1B2 ng trũn ( k ) tip xỳc vi ng trũn ( x ) ti A , ct ( C1 ) , ( C2 ) ln lt ti D1 , D2 khỏc A Chng minh rng: Cỏc im C1 , C2 , D1 , D2 hoc cựng thuc mt ng trũn hoc cựng thuc mt ng thng Cỏc im B1 , B2 , D1 , D2 cựng thuc mt ng trũn v ch AC1 , AC2 ln lt l ng kớnh ca ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tng ng Gii: (c) k'1 k2 (x') l (k) k'2 B'1 D2 B'2 C'1 C2 D1 k1 A C1 B1 C'2 B2 (x) Hỡnh D'2 (k') D'1 Hỡnh Xột phộp f l phộp nghch o cc A , phng tớch k thỡ +) f bin ng trũn ( k1 ) , ( k2 ) thnh cỏc ng thng k1' , k2' tng ng v k1' / / k2' +) f bin ng trũn ( x ) , ( k ) thnh cỏc ng thng x '; k ' tng ng v x '/ / k ' +) f bin ng thng ( l ) thnh chớnh nú Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Suy f bin cỏc im B1 , B2 , C1 , C2 , D1 , D2 tng ng thnh cỏc im B1' = x ' k1' ; B2' = x ' k 2' ; C1' = l k1' ; C2' = l k 2' ; D1' = k ' k1' ; D2' = k ' k2' Do ú t giỏc B1' B2' D2' D1' l hỡnh bỡnh hnh (Hỡnh 2) ã ' B' D' + B ã ' D ' D ' = 1800 (1) B 1 1 Vỡ C1 , C2 , B1; B2 thuc ng trũn ( C ) v A khụng thuc ng trũn ( C ) C1' , C2' , B1' ; B2' thuc ng trũn ( C ') = f ( ( C ) ) Bã B D ' ' ' ã 'C ' D ' (2) =C 2 ã ' D' D' + C ã 'C ' D ' = 1800 T (1) v (2) suy C 1 2 ' C1' , C2' , D1' , D2' cựng thuc mt ng trũn ( k3 ) C1 , C2 , D1 , D2 hoc cựng thuc ng thng, hoc cựng thuc ng trũn l to nh ca ' ng trũn ( k3 ) qua phộp nghch o f Ta cú: Cỏc im B1 , B2 , D1 , D2 cựng thuc mt ng trũn Cỏc im B1' , B2' , D1' , D2' cựng thuc mt ng trũn B1' B2' D2' D1' l hỡnh ch nht ã ' B ' B ' = 900 C ã 'C ' D ' = 900 ng thng l v ng trũn ( C ' ) trc giao vi D 1 2 ng thng l v ng trũn ( C2 ) trc giao vi AC1 , AC2 ln lt l ng kớnh ca ng trũn ( C1 ) , ( C2 ) tng ng Bi 7: Cho ng trũn ( O ) cú ng kớnh AB v mt im C trờn ( O ) , ( C A, C B ) Tip tuyn vi ( O ) ti A ct ng thng BC ti M Gi N l giao im ca cỏc tip tuyn vi ( O ) ti B v ti C ng thng AN ct li ng trũn ( O ) ti D khỏc A v ct ng thng BC ti F ng thng qua M , song song vi AB ct ng thng OC ti I ng thng qua N , song song vi AB ct ng thng OD ti J Gi K l giao im ca hai ng thng MD, NC v E l giao im ca hai ng thng MN , IJ Chng minh rng hai ng trũn ( MCE ) v ( NDE ) tip xỳc vi Chng minh rng K l tõm ng trũn i qua cỏc im C , D, E , F Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Gii: A P M X I C O F K E Y D J B N Gi P l giao im ca AM v NC thỡ PA = PM = PC Ta cú OPN vuụng ti O , ng cao OC nờn suy OC = CP.CN = AP.BN = OB 2OB.OC = BN AP OA AB = BN AM AOM : BNA ã ãAMO = BAN = ãADO Suy t giỏc AMDO ni tip ã ã ng trũn ng kớnh OM nờn ODM = OAM = 900 Do ú MD l tip tuyn ca ( O ) KC = KD Vỡ OBC : ICM v OAD : JDN nờn suy IC = IM v JD = JN Mt khỏc ta cú OM AN ti X v ON BM ti Y nờn F l trc tõm ca OMN Gi E ' l giao im ca OF v MN thỡ OE ' MN Ta chng minh E ' E Ta cú MA2 = MD = MX MO = ME '.MN = MB.MC Xột phộp nghch o f cc M , phng tớch k = MA2 ta cú: f bin cỏc im B, N thnh cỏc im C , E ' tng ng Suy f bin ng thng BN thnh ng trũn ( MCE ') Vỡ BN tip xỳc vi ( O ) ti B v BN || AM nờn ng trũn ( MCE ') tip xỳc vi ( O ) ti C v tip xỳc vi AM ti M Do ú I l tõm ng trũn ( MCE ') Chng minh tng t ta cú J l tõm ng trũn ( NDE ') Khi ú ta suy hai ng trũn ( MCE ') v ( NDE ') tip xỳc ti E ' E ' l giao im ca IJ v MN nờn E ' E Vy hai ng trũn ( MCE ) v ( NDE ) tip xỳc vi ti E Vỡ KC l tip tuyn chung ca ( O ) v ( I ) ; KD l tip tuyn chung ca ( O ) v ( J ) nờn ta suy PK /( I ) = PK / ( O ) = PK /( J ) , ú K l tõm ng phng ca ng trũn ( O) , ( I ) , ( J ) KC = KD = KE Suy K l tõm ng trũn ngoi tip CDE (1) 10 Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Mt khỏc ta cú MA2 = MD = MX MO = ME.MN = MB.MC = MF MY nờn phộp nghch o f cc M , phng tớch k = MA2 bin cỏc im F , C , D, E tng ng thnh cỏc im Y , B, D, N M im Y , B, D, N cựng thuc ng trũn ng kớnh BN nờn im F , C , D, E cựng thuc mt ng trũn (2) T (1) v (2) suy K l tõm ng trũn i qua im F , C , D, E Bi 8: Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H , ba ng cao l Gi M , N , P ln lt l trung im cỏc cnh BC , CA, AB Gi ( ) l ng trũn ngoi tip tam giỏc MNP Kớ hiu A ', B ', C ' ln lt l cỏc giao im th hai ca MH , NH , PH v ( ) , Chng minh rng A1 A ', B1 B ', C1C ' ng quy ti mt im X nm trờn ng thng Euler ca tam giỏc ABC Gii: Ta kớ hiu ng trũn qua im X , Y , Z l ( XYZ ) Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc MNP Ta bit rng ( ) i qua im: M , N , P, A1 , B1 , C1 v trung im cỏc on AH , BH , CH Gi s l im i xng vi M , N , P qua O Xột phộp nghch o cc H phng tớch k = HM HA ' = HN HB ' = HP.HC ' Phộp nghch o ny bin cỏc ng thng A1 A ', B1 B ', C1C ' tng ng thnh cỏc ng trũn ( HMM ') , ( HNN ' ) , ( HPP ') , bin ng trũn ( ) thnh chớnh nú v bin ng thng Euler ca ABC thnh chớnh nú 11 Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Ta s ch rng trc ng phng ca ( HNN ') v ( HPP ' ) l ng thng Euler ca ABC Tht vy: Trc ng phng ca ( ) v ( HNN ') l NN ' ; Trc ng phng ca ( ) v ( HPP ' ) l PP ' ; Suy trc ng phng ca ( HNN ') v ( HPP ') i qua H v giao ca NN ' v PP ' hay trc ng phng ca ( HNN ') v ( HPP ') l ng thng HO Do ú trc ng phng ca ( HNN ') v ( HPP ') chớnh l ng thng Euler ABC Tng t, trc ng phng ca ( HPP ' ) v ( HMM ') , trc ng phng ca ( HMM ') v ( HNN ') cng l ng thng Euler ca ABC Do ú ba ng trũn cựng i qua mt im trờn ng thng Euler ca ABC T ú suy A1 A ', B1 B ', C1C ' ng quy ti mt im X nm trờn ng thng Euler ca tam giỏc ABC Bi 9: Cho ng trũn ( O ) v dõy cung UV M l mt im trờn dõy cung UV ; AC v BD l hai dõy cung khỏc ca ng trũn ( O ) cựng i qua M Gi X l giao im ca BC v UV ; Y l giao im ca AD v UV Chng minh rng: 1 1 + = + MX MV MY MU Gii: t k = MA.MC = MB.MD = MU MV Xột phộp nghch o f cc M , phng B tớch k , ta cú A E U X M I O1 J V Y thnh cỏc im C , B, V N O F f bin cỏc im A, D, U tng ng Suy O2 f bin cỏc ng thng BC , AD tng ng thnh cỏc ng C D trũn ( AMD ) , ( BMC ) v bin ng thng UV thnh chớnh nú 12 Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Vỡ X l giao im ca BC v UV v Y l giao im ca AD v UV nờn f bin cỏc im X ,Y tng ng thnh cỏc im F , E vi F l giao im khỏc M ca ng trũn ( AMD ) v UV ; E l giao im khỏc M ca ng trũn ( BMC ) v UV Khi ú ta cú: k = MU MV = MX MF = MY ME MU MV = MX MF = MY ME = k Do ú 1 1 + = + MF + MU = ME + MV FU = EV EU = FV MX MV MY MU Gi O1 , O2 ln lt l tõm ca cỏc ng trũn ( BMC ) , ( AMD ) thỡ OO1 BC (1) Mt khỏc ta cú gúc gia O2 M v BC bng gúc gia O2 M v ng trũn ( AMD ) v bng 900 (vỡ phộp nghch o f bin O2 M thnh chớnh nú) nờn O2 M BC (2) T (1) v (2) suy OO1 || O2 M Chng minh tng t ta suy OO2 || O1M , ú t giỏc MO2OO1 l hỡnh bỡnh hnh cú tõm N Gi I , J ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca O1O2 xung UV thỡ t giỏc O1O2 JI l hỡnh vuụng ti I , J M N l trung im ca O1O2 nờn suy NI = NJ Hai tam giỏc EMO, FMO cú NI , NJ tng ng l hai ng trung bỡnh nờn suy OE = OF (3) Mt khỏc OU = OV (4) Nờn t (3) v (4) suy EU = FV (pcm) Mt s bi ngh: Bi 1: Cho hai ng trũn (C1), (C2) trc giao vi v ct A, B Ly cỏc im C, D trờn hai ng trũn ú cho CD khụng i qua A, B Chng minh rng cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc ACD v BCD trc giao vi Bi 2: Cho bn ng trũn cựng i qua mt im P nhng khụng cú ng trũn no cha ng trũn no Hai ng trũn tip xỳc vi ng thng (d1) ti P, hai ng trũn cũn li tip xỳc vi ng thng (d2) ti P Cỏc giao im khỏc P ca ng trũn l A, B, C, D Chng minh rng im A, B, C, D cựng thuc mt ng trũn v ch hai ng thng (d1) v (d2) vuụng gúc vi 13 Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Bi 3: Cho ba im A, B, C thng hng theo th t ú Cỏc na ng trũn ng kớnh AB, BC, CA nm v cỳng mt na mt phng b AC Chng minh rng ng trũn (O) cú ng kớnh bng khong cỏch t O n BC vi (O) l ng trũn tip xỳc vi c ba na ng trũn trờn Bi 4: ( thi hc sinh gii tnh Nam nh nm hc 2004 - 2005) Cho ng trũn (O, R) Gi s cú ng trũn thay i nm bờn (O;R) l (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) tho tớnh cht : chỳng ln lt tip xỳc vi (O, R) ti A1, A2, A3, A4, A5, A6 ; ng thi ng trũn (I1) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I2), ng trũn (I2) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I3), ng trũn (I3) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I4), ng trũn (I4) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I5), ng trũn (I5) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I6), ng trũn (I6) tip xỳc ngoi vi ng trũn (I1) Chng minh rng: A1A2.A3A4.A5A6 = A2A3.A4A5.A6A1 Cho ng trũn (I , r) nm bờn (O; R) Gi d = OI; chng minh rng: Tn ti ng trũn (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) tho tớnh cht ó nờu bi v ng thi ng trũn ny li u tip xỳc ngoi vi ng trũn (I , r) v ch ( R r) d2 = Rr Bi 5: ( thi VMO - 2003) Cho hai ng trũn c nh (k1), (k2) tip xỳc ti P cú tõm tng ng l K1, K2 v bỏn kớnh ln lt l R1, R2 (R1 < R2) Cho im K di ng trờn (k2) cho im K, K1, K2 khụng thng hng T K k cỏc tip tuyn KB, KC ti (k1) (vi B, C l cỏc tip im) Cỏc ng thng PB, PC ct ng trũn (k2) ti D, E tng ng F l giao im ca DE vi tip tuyn ca ng trũn (k2) ti K Chng minh rng F di ng trờn mt ng thng c nh II Dng toỏn: Tỡm hp im Bi 1: Cho ng trũn (C) tõm I, bỏn kớnh R v mt im O c nh cho OI = 2R Gi (C1), (C2) l hai ng trũn thay i qua O, tip xỳc vi ng trũn (C) v trc giao vi Gi M l giao im th hai ca (C1) v (C2) Tỡm qu tớch im M 14 Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Gii: Phn thun: Xột phộp nghch f ( O, k ) o vi c1 P' k = PO / ( C ) = 3R Khi ú: P J (C) (C) (C ) d M' (C ) d Vỡ ( C ) ; ( C ) trc giao vi v cựng tip xỳc vi ( C ) nờn ta cú d d v ln lt tip xỳc vi ( C ) ti P ' ; Q' tha món: OP.OP ' = OQ.OQ' = 3R ( C ); ( C ) vi ( C ) f ( O, k ) : 1 2 M c2 Q Q' 1 O I 2 vi P, Q l tip im ca Gi M l giao im ca hai ng thng d1 , d thỡ ú M ' = f ( M ) vỡ M l giao im ca hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 ) Mt khỏc t giỏc IPMQ l hỡnh vuụng cnh R ( ) ( ') = ( I , R ) = f ( ( ) ) ( IM ' = R M ' I , R Gi ( ') l ng trũn I , R M ( ) vi ) Vỡ M ' = f ( M ) OM OM ' = 3R M = f ( M ') ( ) Ta cú: PO / ( ' ) = OI R = R = ON OM ' vi N ( ) 3 3 OM OM ' = ON OM ' OM = ON M = VO2 ( N ) M ( ) = V ( ( ') ) O 2 3R Gi ( J , r ) l tõm ca ng trũn ( ) OJ = OI v r = hay J l giao im 2 ca ng trũn ( C ) v ng thng OI Phn o: Ly im M bt kỡ trờn ng trũn ( ) = ( J , r ) Gi M ' = f ( M ) Qua M k cỏc tip tuyn MP, MQ vi ng trũn ( C ) Khi ú f ( O, k ) : (C) (C) ; M ' P ' ( C1 ) ; M ' Q' ( C2 ) Ta phi chng minh hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 ) cựng i qua M, cựng tip xỳc vi ( C ) v trc giao vi 15 Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Tht vy: vỡ f ( O, k ) : ( C ) ( C ) ; M ' P' ( C ) ; M ' Q' ( C ) v M ' = f ( M ) nờn hai ng trũn ( C ) ; ( C ) cựng i qua M, cựng tip xỳc vi ( C ) 1 2 Ta cú: M ' = f ( M ) nờn M ' thuc ng trũn ( C ) = V p ( ( ) ) O k 3R R = = OJ 2 Vi p = PO / ( ) OJ ' = v k = 3R , ( J ' , r ') l ng trũn ( C0 ) ( k k OJ = OJ v r ' = r = R J ' I ( C0 ) I , R p p ) IM ' = R nờn t giỏc IPMQ l hỡnh vuụng cnh R M ' P' M ' Q' Do ú hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 ) trc giao vi 3R vi J l giao im ca Kt lun: Vy qu tớch cỏc im M l ng trũn J , ng trũn ( C ) v ng thng OI Bi 2: Cho ng trũn (O) ng kớnh AB = 2R Gi d1 l tip tuyn ca (O) ti B Gi (C) l ng trũn thay i v luụn tip xỳc vi (O) v d1 ti hai im phõn bit Gi (C1), (C2) l hai ng trũn bt kỡ ca (C) Bit rng (C1) v (C2) tip xỳc vi ti M Tỡm qu tớch im M Gii: c1 (D) (d) d1 *) Phn thun: Gi f ( B, k ) l phộp nghch o cc B, phng tớch k = 4R Do B d1 v B ( O ) nờn: f ( B, k ) bin: M c2 A J d1 d1 ( O ) ( d ) vi d AB ti H = f ( A) ( C1 ) ( C '1 ) ; ( C2 ) ( C '2 ) Do ( C ) ; ( C ) tip xỳc vi (O ) v d ( C ' ) , ( C ' ) tip xỳc vi d , ( d ) (1) Mt khỏc ( C ) ; ( C ) tip xỳc ti M ( C ' ) , ( C ' ) tip xỳc ti M (2) M '= f ( M ) 1 B O H I c'1 M' c'2 1 2 16 Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng T (1) v (2) suy M ' thuc ng thng ( D ) vuụng gúc vi AB ti trung im I ca BH Do M ' = f ( M ) M thuc ng trũn ( C0 ) i qua B l nh ca ng thng ( D ) qua phộp f ( B, k ) tr im B Gi J = f ( I ) thỡ ( C0 ) l ng trũn ng kớnh BJ *) Phn o: Ly im M bt kỡ trờn ng trũn ( C0 ) Gi M ' = f ( M ) , ( d ) = f ( ( O ) ) V hai ng trũn ( C '1 ) , ( C '2 ) cựng tip xỳc vi d1 , ( d ) v tip xỳc vi Gi ( C ) = f ( ( C ' ) ) ; ( C ) = f ( ( C ' ) ) Ta phi chng minh hai ng trũn ( C ); ( C ) 1 2 tip xỳc vi (O) , d1 v tip xỳc vi ti M (iu ny d dng chng minh c) *) Kt lun: Vy qu tớch cỏc im M l ng trũn ( C0 ) ng kớnh BJ tr im B Mt s bi ngh: Bi 1: Cho ng trũn (O, R) v im A c nh khỏc O, A khụng thuc ng trũn (O) Xột cỏc ng trũn tõm O i qua A v trc giao vi ng trũn (O) Tỡm qu tớch cỏc tõm O Gi H l giao im ca OO vi dõy cung chung ca hai ng trũn Tỡm qu tớch im H Bi 2: Cho ng trũn (O, R) v hai ng thng , ' song song vi nhau, khụng cú im chung vi ng trũn ' v ng trũn (O) nm v hai phớa i vi ng thng Dng hai tip tuyn x, y ca ng trũn (O) song song vi v ct , ' ln lt ti A, B, C, D Gi I l giao im hai ng chộo ca t giỏc ABCD T I k cỏc tip tuyn IP, IQ vi (O) (P, Q l cỏc tip im) Gi K l giao im ca PQ v OI Tỡm hp im K cỏc tip tuyn x, y thay i hng Bi 3: Cho ng trũn (O, R) v dõy AB c nh Vi mi im M trờn ng trũn (O), dng ng trũn (O1) qua M v tip xỳc vi AB ti A, ng trũn (O2) qua M v tip xỳc vi AB ti B Gi M l giao im th hai ca hai ng trũn (O1) v (O2) Tỡm qu tớch im M M di ng trờn ng trũn (O) 17 Chuyên đề: Phép nghịch đảo ứng dụng Ti liu tham kho: Cỏc phộp bin hỡnh mt phng - Nguyn Mng Hy Cỏc phộp bin hỡnh mt phng - Thanh Sn Cỏc bi toỏn v hỡnh hc phng Tp V.V Praxolov INVERSION IN GEOMETRY ARTHUR BARAGAR Din n toỏn hc Mathscope Cỏc ti liu trờn Internet 18 [...]...Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng Mt khỏc ta cú MA2 = MD 2 = MX MO = ME.MN = MB.MC = MF MY nờn phộp nghch o f cc M , phng tớch k = MA2 bin cỏc im F , C , D, E tng ng thnh cỏc im Y , B, D, N M 4 im Y , B, D, N cựng thuc... nghch o ny bin cỏc ng thng A1 A ', B1 B ', C1C ' tng ng thnh cỏc ng trũn ( HMM ') , ( HNN ' ) , ( HPP ') , bin ng trũn ( ) thnh chớnh nú v bin ng thng Euler ca ABC thnh chớnh nú 11 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng Ta s ch ra rng trc ng phng ca ( HNN ') v ( HPP ' ) l ng thng Euler ca ABC Tht vy: Trc ng phng ca ( ) v ( HNN ') l NN ' ; Trc ng phng ca ( ) v ( HPP ' ) l PP ' ; Suy ra trc ng phng ca... J V Y thnh cỏc im C , B, V N O F f bin cỏc im A, D, U tng ng Suy ra O2 f bin cỏc ng thng BC , AD tng ng thnh cỏc ng C D trũn ( AMD ) , ( BMC ) v bin ng thng UV thnh chớnh nú 12 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng Vỡ X l giao im ca BC v UV v Y l giao im ca AD v UV nờn f bin cỏc im X ,Y tng ng thnh cỏc im F , E vi F l giao im khỏc M ca ng trũn ( AMD ) v UV ; E l giao im khỏc M ca ng trũn ( BMC )... xỳc vi ng thng (d2) ti P Cỏc giao im khỏc P ca 4 ng trũn l A, B, C, D Chng minh rng 4 im A, B, C, D cựng thuc mt ng trũn khi v ch khi hai ng thng (d1) v (d2) vuụng gúc vi nhau 13 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng Bi 3: Cho ba im A, B, C thng hng theo th t ú Cỏc na ng trũn ng kớnh AB, BC, CA nm v cỳng mt na mt phng b AC Chng minh rng ng trũn (O) cú ng kớnh bng khong cỏch t O n BC vi (O) l ng trũn... kớnh R v mt im O c nh sao cho OI = 2R Gi (C1), (C2) l hai ng trũn thay i qua O, tip xỳc vi ng trũn (C) v trc giao vi nhau Gi M l giao im th hai ca (C1) v (C2) Tỡm qu tớch im M 14 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng Gii: Phn thun: Xột phộp nghch f ( O, k ) o vi c1 P' k = PO / ( C ) = 3R Khi ú: 2 P J (C) (C) (C ) d M' (C ) d Vỡ ( C ) ; ( C ) trc giao vi nhau v cựng tip xỳc vi ( C ) nờn ta cú d ... ng trũn ( C ) Khi ú f ( O, k ) : (C) (C) ; M ' P ' ( C1 ) ; M ' Q' ( C2 ) Ta phi chng minh hai ng trũn ( C1 ) ; ( C2 ) cựng i qua M, cựng tip xỳc vi ( C ) v trc giao vi nhau 15 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng Tht vy: vỡ f ( O, k ) : ( C ) ( C ) ; M ' P' ( C ) ; M ' Q' ( C ) v M ' = f ( M ) nờn hai ng trũn ( C ) ; ( C ) cựng i qua M, cựng tip xỳc vi ( C ) 1 1 2 2 Ta cú: M ' = f ( M ) nờn... C ' ) , ( C ' ) tip xỳc vi d , ( d ) (1) Mt khỏc ( C ) ; ( C ) tip xỳc nhau ti M ( C ' ) , ( C ' ) tip xỳc nhau ti M (2) M '= f ( M ) 1 2 1 1 2 B O H I c'1 M' c'2 1 1 1 2 2 16 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng T (1) v (2) suy ra M ' thuc ng thng ( D ) vuụng gúc vi AB ti trung im I ca BH Do M ' = f ( M ) M thuc ng trũn ( C0 ) i qua B l nh ca ng thng ( D ) qua phộp f ( B, k ) tr im B Gi J = f... ng trũn (O1) qua M v tip xỳc vi AB ti A, ng trũn (O2) qua M v tip xỳc vi AB ti B Gi M l giao im th hai ca hai ng trũn (O1) v (O2) Tỡm qu tớch im M khi M di ng trờn ng trũn (O) 17 Chuyên đề: Phép nghịch đảo và ứng dụng Ti liu tham kho: 1 Cỏc phộp bin hỡnh trong mt phng - Nguyn Mng Hy 2 Cỏc phộp bin hỡnh trong mt phng - Thanh Sn 3 Cỏc bi toỏn v hỡnh hc phng Tp 2 V.V Praxolov 4 INVERSION IN GEOMETRY