Đang tải... (xem toàn văn)
. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 44 Phương trình lượng giác 91 sinx + sin2x = 3 (cosx + cos2x); 92 tanx = cotx + 4cos3 2x 93 3 – tanx.( tanx + 2sinx ) + 6.cosx = 0 94 3.cos4x – 8.cos6 x + 2.cos2 x + 3 = 0 95 cot x – 3 cos2x 1 2 1 tan x 2 = − + (sin 2x + cos 2x) 96 tanx – cot 7 2x 2 π⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = tan 3x 97 cos4 x + sin4 x – sin 2x + 3 4 sin2 2x = 0 98 cos3 4x = cos 3x .cos3 x + sin 3x .sin3 x 99 1 1 7 4sin x 3sin x 4 sin x 2 π⎛ ⎞ + = −⎜ ⎟π⎛ ⎞ ⎝ ⎠−⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 100 sin3 x – 3 cos3 x = sinx.cos2 x – 3 sin2 x cosx 101 2sinx (1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 102 (1 + sin2 x).cosx + (1 + cos2 x).sinx = 1 + sin2x 103 2.sin2 2x + sin7x – 1 = sinx; 104 2 sin cos 3.cos 2 2 x x x ⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 2 105 6 6 2.(cos sin ) sin .cos 0 2 2.sin x x x x x + − = − ; 106 x cot x sin x.(1 tan x.tan ) 4 2 + + = 107 cos3x + cos2x – cosx – 1=0; 108 cos2 3x.cos2x – cos2 x = 0 109 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 110 0 2 3 4 3sin. 4 cossincos 44 =−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++ ππ xxxx 111 (2.cosx – 1).(2.sinx + cosx) = sin2x – sinx 112 2cos2x 1 cot x 1 sin x .sin 2x 1 tan x 2 − = + − + 113 cotx – tanx + 4sin2x = x2sin 2 ; 114 2 2 2 sin .tan cos 0 2 4 2 x x x π⎛ ⎞ − − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 115 sin2 3x – cos2 4x = sin2 5x – cos2 6x 116 Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) của phương trình : cos3x sin3x 5 sin x cos2x 3 1 2sin2x +⎛ ⎞ + = +⎜ ⎟ +⎝ ⎠ 117 Tìm nghiệm x∈0;14 của pt: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 Phương trình lượng giác 1 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1 Các hệ thức cơ bản: a sin tan cos x x x = ; b cos cot sin x x x = ; c cos2 x + sin2 x = 1 d tanx.cotx = 1 e 1 + tan2 x = 2 1 cos x f 1 + cot2 x = 2 1 sin x CHÚ Ý: sinx = cosx.tanx; cosx = sinx.cotx 2 Cung (góc) liên kết: a Hai cung đối nhau: b Hai cung bù nhau: cos(− α) = cos α sin(− α) = − sinα tan(− α) = − tanα cot(− α) = − cotα cos(π − α) = − cosα sin(π − α) = sinα tan(π − α) = − tanα cot(π − α) = − cotα c Hai cung phụ nhau: d Hai cung hơn kénh nhau π: cos( 2 π − α) = sinα; sin( 2 π − α) = cosα tan( 2 π − α) = cotα; cot( 2 π − α) = tanα sin(π + α ) = −sinα cos(π + α ) = −cosα tan(π + α ) = tanα cot(π + α ) = cotα CHÚ Ý: sin(α + k2π) = sinα; cos(α + k2π) = cosα; tan(α + kπ) = tanα; cot(α + kπ) = cotα 3 Công thức cộng: cos(a ± b) = cosa cosb ∓ sinasinb sin(a ± b) = sinacosb ± sinbcosa tan(a ± b) = tan tan 1 tan tan a b a b ± ∓ 4 Công thức nhân: a Công thức nhân đôi: b Công thức nhân ba: sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2 a − sin2 a = 2cos2 a − 1 = 1 − 2sin2 a tan2a = 2 2tan 1 tan a a− sin3a = 3sina − 4sin3 a cos3a = 4cos3 a − 3cosa 3 2 3tan tan tan3 1 3tan a a a a − = −
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 44 Phương trình lượng giác Phương trình lượng giác 91/ sinx + sin2x = (cosx + cos2x); 92/ tanx = cotx + 4cos 2x 93/ – tanx.( tanx + 2sinx ) + 6.cosx = 94/ 3.cos4x – 8.cos6x + 2.cos2x + = cos 2x = − (sin 2x + cos 2x) + tan x 7π ⎞ ⎛ 96/ tanx – cot ⎜ 2x − ⎟ = tan 3x ⎠ ⎝ 97/ cos4 x + sin4 x – sin 2x + sin2 2x = 95/ cot x – x x⎞ ⎠ 103/ 2.sin22x + sin7x – = sinx; 104/ ⎜ sin + cos ⎟ + 3.cos x = 2 105/ 2.(cos6 x + sin x) − sin x.cos x x = ; 106/ cot x + sin x.(1 + tan x.tan ) = 2 − 2.sin x 107/ cos3x + cos2x – cosx – 1=0; 108/ cos23x.cos2x – cos2 x = 109/ + sinx + cosx + sin2x + cos2x = π π 110/ cos x + sin x + cos⎛⎜ x − ⎞⎟ sin⎛⎜ 3x − ⎞⎟ − = ⎝ 4⎠ ⎝ sin x ; cos x b/ cot x = cos x ; sin x c/ cos2x + sin2x = d/ tanx.cotx = 1 e/ + tan2x = cos x f/ + cot2x = cos(− α) = cos α sin(− α) = − sinα tan(− α) = − tanα cot(− α) = − cotα 101/ 2sinx (1 + cos2x) + sin2x = + 2cosx 102/ (1 + sin2x).cosx + (1 + cos2x).sinx = + sin2x ⎛ ⎝ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1/ Các hệ thức bản: sin x CHÚ Ý: sinx = cosx.tanx; cosx = sinx.cotx 2/ Cung (góc) liên kết: a/ Hai cung đối nhau: b/ Hai cung bù nhau: ⎛ 7π ⎞ = 4sin ⎜ − x⎟ π ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ sin ⎜ x − ⎟ ⎠ ⎝ 100/ sin x – cos3x = sinx.cos2x – sin2x cosx + sin x GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC a/ tan x = 98/ cos3 4x = cos 3x cos3 x + sin 3x sin3 x 99/ 4⎠ 111/ (2.cosx – 1).(2.sinx + cosx) = sin2x – sinx cos 2x + sin x − sin 2x + tan x 2 x ⎛ x π⎞ 113 / cotx – tanx + 4sin2x = ; 114/ sin ⎜ − ⎟ tan x − cos = sin x ⎝2 4⎠ 112/ cot x − = 115/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 116/ Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0;2 π ) phương trình : cos3x + sin 3x ⎞ ⎛ ⎜ sin x + ⎟ = cos 2x + + 2sin 2x ⎠ ⎝ 117/ Tìm nghiệm x∈[0;14] pt: cos3x – 4cos2x + 3cosx – = cos(π − α) = − cosα sin(π − α) = sinα tan(π − α) = − tanα cot(π − α) = − cotα c/ Hai cung phụ nhau: d/ Hai cung kénh π: π π sin(π + α ) = −sinα cos( − α) = sinα; sin( − α) = cosα 2 cos(π + α ) = −cosα π π tan(π + α ) = tanα tan( − α) = cotα; cot( − α) = tanα 2 cot(π + α ) = cotα CHÚ Ý: sin(α + k2π) = sinα; cos(α + k2π) = cosα; tan(α + kπ) = tanα; cot(α + kπ) = cotα 3/ Công thức cộng: tan a ± tan b cos(a ± b) = cosa cosb ∓ sinasinb tan(a ± b) = ∓ tan a tan b sin(a ± b) = sinacosb ± sinbcosa 4/ Công thức nhân: a/ Công thức nhân đôi: b/ Công thức nhân ba: sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − = − 2sin2a tan2a = tan a − tan a sin3a = 3sina − 4sin3a cos3a = 4cos3a − 3cosa tan 3a = tan a − tan a − tan a GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 5/ Công thức hạ bậc: cos2a = + cos 2a ; Phương trình lượng giác sin2a = tan x 6/ Công thức tính theo tanx: sin2x = ; + tan x 7/ Công thức biến đổi: a/ tích thành tổng: sinasinb= − [cos(a+b)−cos(a−b)] sinacosb= [sin(a+b)+sin(a−b)] cosacosb= [cos(a+b)+cos(a−b)] − cos 2a − tan x cos2x = ; + tan x Phương trình lượng giác 66/ GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 43 sin x + co s x 1 = cot x − ; 5sin x 8sin x 4 68/ cos 2x + cos x ( tan x − 1) = 67/ s inx 3π ⎞ ⎛ − tan ⎜ x − ⎟ = cos x + ⎠ ⎝ b/ tổng thành tích: 1 − = cot x 2sin x sin x 70/ sin x − 3sin x − cos x + 3sin x + 3cos x − = cosa+cosb = 2cos π 71/ (1 + 2cos3x)sinx + sin2x = 2sin2 ⎛⎜ 2x + ⎞⎟ a+b a −b cos 2 a+b a −b cosa−cosb = −2sin sin 2 a+b a −b sina+sinb = sin cos 2 a+b a −b sina−sinb = cos sin 2 sin(a ± b) tana ± tanb = cos acob 69/ sin x + sin x − ⎝ 4⎠ 72/ (2cos x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 73/ ( 2sin x − 1)( 2cos 2x + 2sin x + 3) = 4sin x − 1 = cot 2x − sin x sin x 5x π ⎞ 3x ⎛ x π ⎞ − ⎟ − cos⎜ − ⎟ = cos ⎠ ⎝2 ⎠ 74/ sin x + sin x − ⎛ ⎝ 75/ sin ⎜ (2 − sin 2 x ) sin x 76/ tan x + = ; 77/ − = 2 cos( x + π ) cos x sin x cos x 78/ 2sinx.cos2x + sin2x.cos2x = sin4x.cosx 79/ (2sin2x – 1).tan22x + 3.(2.cos2x – 1) = 80/ 2cos2x + sinxcosx + = 3( sinx + cosx ) sin 2x cos 2x π ⎞ ⎛ 81/ + = tan x − cot x ; 82/ 2 sin ⎜ x − ⎟ cos x = sin x ⎝ π⎞ ⎛ 83/ 2 cos ⎜ x − ⎟ − cos x − sin x = 4⎠ ⎝ 84/ Tìm nghiệm thuộc khoảng ( , π ) pt: 3π ⎞ x 2⎛ cos x 12 ⎠ − cos x = + cos ⎜ x − ⎟ ⎠ ⎝ π cos 2x − 85/ tan ⎛⎜ x + ⎞⎟ − 3.tan x = 2⎠ cos x ⎝ sin 86/ sinx.cos2x + cos2x.(tan2x – 1) + 2.sin3x = 87/ sin2x + cos2x + 3.sinx – cosx – = ⎛ 3π ⎞ sin x 88/ tan ⎜ − x ⎟ + = 2; 89/ − sin x + − cos x = ⎝ ⎠ + cos x 90/ (sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 42 37/ 2sinx + cosx = sin2x + Phương trình lượng giác 38/ cos 2x − tan2 x = + s inx − sin 2x = cosx cosx 7x 3x x 5x 40/ sin cos + sin cos + sin x cos x = 2 2 cos x + cos x − cos2 x 43/ sin2x + 2 cosx + 2sin(x + π ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ cos x − sin x = cos x − sin x − ⎠ 46/ 4(sin x + cos x) + sin4x − = ; 47/ cosx.cos2x.sin3x = sin2x 48/ 2(tgx − sin x) + 3(cot gx − cos x) + = + cos x sin x 4 49/ Định m để pt sau có nghiệm π⎞ ⎛ ⎛ π⎞ π⎞ ⎛ 4sin3xsinx + 4cos ⎜ 3x - ⎟ cos ⎜ x + ⎟ − cos ⎜ 2x + ⎟ + m = 4⎠ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 4 ( cos x − sin x ) sin x + cos x 1 = ; 51/ 50/ = ( tan x + cot x ) tan x + cot x cot x − sin x 52/ (2 cos x − 1)(sin x + cos x ) = 53/ cos3 x − sin x − cos x sin2 x + sin x = x⎞ ⎛ 54/ cot x + sin x ⎜⎜1 + tan x tan ⎟⎟ = ⎝ 2⎠ (sin x + tan x ) 11 − cos x = 55/ tan2 x + cot2 x + cot2 2x = ; 56/ tan x − sin x 57/ s in3x (1 − sin2 x ) = 58/ (1 − tan x )(1 + s in2x ) = + tan x 59/ cos 7x.cos 5x − s in2x=1 − sin 7x s in5x π⎞ ⎛ 61/ sin x + cos4 ⎜⎜x + ⎟⎟ = ⎝ sin2x 4⎠ 62/ sin x + cos x − s in2x+cos2x = π 63/ + sin x + cos3 x = s in2x 64/ sin ( x − ) = sin x − tan x 65/ sin x ( cos x + 3) − 3cos x − 3cos2 x + cos x − s inx − 3 = 60/ tan x + cot2x = s in2x+ ( 4⎠ ) 2 ⎛ 1⎞ Ta có: cos a = − sin a = − ⎜ − ⎟ = ⇒ cosa = ± ⎝ 3⎠ π 3π 2 Vì [...]... 2 x = + k 2π x = + kπ ⎢ ⎢ 1 6 12 ,k ∈ ⇔⎢ y sin2x = ⇔ ⎢ 2 ⎢ 2 x = 5π + k 2π ⎢ x = 5π + kπ ⎢⎣ ⎢⎣ 6 12 1 2 GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 26 Phương trình lượng giác Vấn đề 4: ĐẠI SỐ HÓA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1/ Phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác: Dạng: af2(x) +bf(x) +c= 0 (a≠0); af3(x)+bf2(x) +cf(x) +d = 0 (a ≠0); … Trong đó f(x) là một trong các hàm số sinx, cosx, tanx, cotx Cách giải:...GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 34 Phương trình lượng giác Phương trình lượng giác Vấn đề 5: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT: ⎡ ⎡sin x = − k (3) sin x = 3sin x + 2k ⎢ ⇔ ⇔⎢ ⎢sin x = −3sin x + 2k ⎢ sin x = k (4) ⎢⎣ 2 ⎣ ⎧A = 0 ; ⎩B = 0 1/ Phương pháp tổng bình phương:... cos2 x cos6x TXĐ: D = R Phương trình lượng giác 1 + sin x =y 2 + cos x 6⎠ 1 2 17/ 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4x = 2 ; 18/ 1 + sin 3 x + cos3 x = sin 4x 19/ 2 2(sin x + cos x )cos x = 3 + cos 2x ; 20/ 2 cos 3x + 3 sin x + cos x = 0 ⎛ ⎝ ⎞ 4⎠ 21/ Tìm nghiệm x∈(0;π) của pt 4 sin2 x − 3 cos 2x = 1 + 2 cos2 ⎜⎜⎜x − 3π ⎟⎟⎟ 2 GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 24 Phương trình lượng giác 4 3 ⇔ sin2xcosα + sinαcos2x... cos 2 x = 1 (B-13) 4 3/ Giải Ta có: 3tan2x − 3tanx − GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 15 1/ sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos2 4x sin 3 x 1 Vì cosx = 0 không thỏa (1) nên (1) ⇔ 2 3 = cos x cos 2 x ⇔ 2tan3x = 1 + tan2x ⇔ 2tan3x − tan2x − 1 = 0 Phương trình lượng giác 8/ sin6 x + cos6 x = 2(sin 8 x + cos8 x ) ; 9/ cos x cos 2x cos 4x cos 8x = 1 16 10/ sin 2x (cot x + tan 2x ) = 4 cos2 x ; 11/ 2 tan x + cot2x... y sinx = 1 ⇔ x = π 2 1 2 + k 2π ( k ∈ Z ) Phương trình lượng giác 19 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 1 3 1 sinx − cosx = 2 2 2 π ⎡ x = + k 2π ⎢ π π 1 π π 2 ⇔ sinx.cos −sin cosx = ⇔ sin(x − ) = sin ⇔ ⎢ 7 3 3 3 6 2 ⎢ x = π + k 2π ⎢⎣ 6 a/ Khi m = − 3 , ta có pt sinx − 3 cosx = 1 ⇔ b/ Pt đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi m2 + 1 < 1 ⇔ m2 < 0 ⇔ m∈∅ Vậy không có giá trị nào của m để pt đã cho vô nghiệm Ví dụ 3:... 5 = 0 ⇔ ⎢ ⇔ ,k∈Z 4 ⎢ ⎣ tan x = −5 = tan β ⎣ x = β + kπ 2 2 Ví dụ 5: Giải phương trình: 4cos x + 3sinxcosx – sin x = 3 Giải 2 2 Ta có: 4cos x + 3sinxcosx – sin x = 3 Phương trình lượng giác GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 17 Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH: asinx + bcosx = c (1) (a2 + b2 ≠ 0) 1 Cách giải: Chia cả 2 vế của pt cho a a 2 + b2 sinx + b a 2 + b2 ⇔cosαsinx+sinαcosx= ⇔ sin(x + α) = c a 2 + b2 cosx = c... x + 3 23/ 3 s in2x+cos2x=2cosx-1 (A−12) 22/ 24/ 2(cos x + 3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1 (B−12) 25/ sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x (D−12) 26/ 2cos2x + sinx = sin3x (CĐ−12) Phương trình lượng giác GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 31 2 Ví dụ 12: Giải phương trình sin x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2 Giải Điều kiện: cosx ≠ 0 Chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được: tan2x (tanx – 1)... x + 8 = 0 12/ cos2 x + cos x − 2 = 0 2 4 cos 2 x + 4sin 2 x + 4sin x = 1 x 2 6 cos 2 x − sin x = 0 8 cos 2 x + 9 cos x + 5 = 0 4 cos x + 2 sin = 1 GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 4 3 30 2 Phương trình lượng giác ⇔ tan x + tan x − 2tan x − 3tanx − 3 = 0 Đặt t = tanx, ta được pt: t4 + t3 − 2t2 − 3t − 3 = 0 ⇔ (t − 3 )(t + 3 )(t2 + t + 1) = 0 ⇔ t =± 3 (do t2 + t + 1 > 0 ∀t) π ⇔ tanx =± 3 ⇔ x = ± + kπ, k ∈Z... cos2x b/ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) + 4cos2x = 3 Giải a/ Ta có: 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x ⇔ (1 − cos2x) + (cos3x − cosx) = sin2x − sinx GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 2 12 Phương trình lượng giác ⇔ 2sin x − 2sin2xsinx = 2sinxcosx − sinx ⇔ 2sin2x(1 − 2cosx) = sinx(2cosx − 1) ⇔ 2sin2x(1 − 2cosx) − sinx(1 − 2cosx) = 0 ⇔ (1 − 2cosx)(2sin2x − sinx) = 0 ⇔ cosx = y cosx = 8 y sinx = 0 ⇔ x = kπ,... GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 16 2 23/ 3 tan 3x + cot2x = 2 tan x + sin 4x 24/ sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x 25/ (2 sin x + 1)(3 cos 4x + 2 sin x − 4) + 4 cos2 x = 3 Phương trình lượng giác 2+3 2 (CT x 3 ngược) 8 (1 − cos x )2 + (1 + cos x )2 1 27/ − tan2 x sin x = (1 + sin x ) + tan2 x 4(1 − sin x ) 2 ⎛π ⎞ 28/ Tìm các nghiệm trên khoảng ⎜⎜⎜ ; 3π⎟⎟⎟ của phương trình ⎝3 ⎠ ⎛ ⎛ 5π ⎞ ... ⎢⎣ 12 GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 26 Phương trình lượng giác Vấn đề 4: ĐẠI SỐ HÓA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1/ Phương trình đa thức hàm số lượng giác: Dạng: af2(x) +bf(x) +c= (a≠0); af3(x)+bf2(x)... Cho sin α − cos α = GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 Phương trình lượng giác Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Công thức nghiệm pt lượng giác bản: / tgu = tgv ⇔ u = v + kπ ; ⎡u = v + k 2π / sin u = sin... cos2x = cos4x(2sin2x + 1) − cos4x GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 34 Phương trình lượng giác Phương trình lượng giác Vấn đề 5: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT: ⎡ ⎡sin x = − k (3) sin x = 3sin x +