kiến thức về mã tuyến tính

Chương Mã tuyến tính ntnhut@hcmus.edu.vn Mã tuyến tính Đ : Cho F trường hữu hạn Mã tuyến tính không gian không gian Fn từ độ dài n Nói cách khác, KG kchiều Fn mã (n,k) ký tự F Lưu ý: • Một mã tuyến tính (n,k) có k bit mang thông tin n – k bit kiểm tra • Nếu F có r ký tự, mã có rk từ mã ntnhut@hcmus.edu.vn Ma trận sinh Đ : Cho K mã tuyến tính B = {e1, e2, …, ek} sở K Một ma trận sinh (generator matrix) G ứng với sở B K ma trận VD: Một ma trận sinh mã Hamming (7,4) ntnhut@hcmus.edu.vn Ví dụ • Mã kiểm chẵn kẻ độ dài có ma trận sinh • Mỗi ma trận G’ thu từ phép biến đổi dòng sơ cấp ma trận G ma trận sinh mã ntnhut@hcmus.edu.vn Mã tuyến tính hệ thống • Đ : Một mã tuyến tính gọi hệ thống (systematic) ma trận sinh G = [I | B], I ma trận đơn vị • Hai mã K K’ gọi tương đương (equivalent) chúng khác thứ tự ký tự từ mã Tức là, tồn hoán vị (p1, p2, …, pn) (1, 2, …, n) cho v1v2…vn từ mã K⇔ vp1vp2…vpn từ mã K’ ntnhut@hcmus.edu.vn Ví dụ • Mã Hamming (7,4) có ma trận sinh G sau hệ thống • Mệnh đề: Mọi mã tuyến tính tương đương với mã hệ thống ntnhut@hcmus.edu.vn Ma trận kiểm chẵn lẻ Đ : Cho K mã tuyến tính độ dài n trường F Một ma trận H có n cột F gọi ma trận kiểm chẵn lẻ (parity check matrix) K v từ mã K ⇔ Hv = Ma trận kiểm chẵn lẻ H thoả : GHT = Mệnh đề: Một mã hệ thống với ma trận sinh G = [I | B] có ma trận kiểm chẵn lẻ H = [- BT | I] gược lại, H = [A | I] G = [I | -AT] ntnhut@hcmus.edu.vn Syndrome Đ : Cho K mã tuyến tính có ma trận kiểm chẵn lẻ H kích thước m x n Syndrome từ w s = Hw Giải mã: Khi nhận từ w, tính syndrome s = Hw Chọn từ có trọng Hamming nhỏ có syndrome ntnhut@hcmus.edu.vn Phát sửa lỗi Mệnh đề: Trọng nhỏ d mã tuyến tính (n,k) thoả d ≤ n – k + hắc lại: Một mã K phát t lỗi khoảng cách nhỏ K lớn t Ta mong muốn: Khoảng cách nhỏ (d) lớn Số bit mang thông tin (k) lớn Lưu ý: Hai mã tương đương K K’ có thông số n, k, d ntnhut@hcmus.edu.vn Giải mã syndrome • Mã tuyến tính K (n,k) có ma trận kiểm chẵn lẻ H • Khi truyền v, ta nhận w = e + v Trong e gọi error pattern • Các từ lớp ghép (coset) có syndrome Khi nhận w, tính s = Hw Tìm coset leader e tương ứng với s Suy v = w – e ntnhut@hcmus.edu.vn 10 Ví dụ • Giả sử mã K độ dài định nghĩa • Có ma trận ntnhut@hcmus.edu.vn 11 • Giả sử nhận w = 11111 • Tính s: • Suy ra: e = 10000 • Suy ra: v = w – e = 01111 ntnhut@hcmus.edu.vn 12 Xác định bảng sau nào? • Syndrome gồm tất từ s độ dài n – k • Coset leader nghiệm e có trọng Hamming nhỏ pt He = s e1  • VD:   e   0 e + e + e = e3  =   ⇔    0 e3 + e5 = e  e5  ntnhut@hcmus.edu.vn 13 Phát sửa lỗi • Mã Hamming (7,4) có d = 3, phát lỗi sửa lỗi (không sửa lỗi) • VD: truyền 0000000 nhận 1010000 Theo cách giải mã syndrome: – syndrome 010 – Bit số bị lỗi – Giải mã 1110000 (không phải 0000000) ntnhut@hcmus.edu.vn 14 Phát sửa lỗi Đ : Mã K gọi phát s lỗi sửa t lỗi với từ mã v ta có: từ w có d(w,v) ≤ s có d(w,v’) > t với từ mã v’ khác v Hoạt động mã K theo ĐN sau: – Khi nhận từ w – Tìm từ mã v có khoảng cách Hamming với w nhỏ – Nếu d(w,v) ≤ t sửa trở lại thành v – Nếu d(w,v) > t thông báo có s lỗi xảy ntnhut@hcmus.edu.vn 15 Phát sửa lỗi Mệnh đề: Một mã phát s lỗi sửa t lỗi d ≥ t + s + ntnhut@hcmus.edu.vn 16 Cho G không hệ thống, tính H? • VD: Z3, cho ma trận sinh mã sau • Ta chuyển thành ma trận sinh mã hệ thống tương đương phép hoán vị p=(1,4,6,2,5,3) cột dạng [I | B] • Ta tính H* tương ứng với G* • Tính H hoán vị ngược p-1 • Thử lại: GHT = ntnhut@hcmus.edu.vn 17 Tóm tắt • • • • • • Mã tuyến tính Ma trận sinh Mã tuyến tính hệ thống Parity check matrix Syndrome Phát sửa lỗi ntnhut@hcmus.edu.vn 18 Homework • Đọc làm chương [1] ntnhut@hcmus.edu.vn 19 Bài tập Cho ma trận sinh mã tuyến tính Z5 bên Tìm ma trận kiểm chẵn lẻ H Tính toán lại Z7 Cho ma trận sinh mã tuyến tính nhị phân K bên Hỏi K có hệ thống không? Nếu không, tìm mã hthống tương đương K’ Lập bảng mã ứng với hai mã K K’ ntnhut@hcmus.edu.vn 20 [...]... ntnhut@hcmus.edu.vn 16 Cho G không hệ thống, tính H? • VD: trên Z3, cho ma trận sinh của một mã như sau • Ta chuyển thành ma trận sinh của mã hệ thống tương đương bằng một phép hoán vị p=(1,4,6,2,5,3) các cột về dạng [I | B] • Ta tính được H* tương ứng với G* là • Tính H bằng hoán vị ngược p-1 • Thử lại: GHT = 0 ntnhut@hcmus.edu.vn 17 Tóm tắt • • • • • • Mã tuyến tính Ma trận sinh Mã tuyến tính hệ thống Parity check... Homework • Đọc và làm chương 8 [1] ntnhut@hcmus.edu.vn 19 Bài tập 1 Cho ma trận sinh của một mã tuyến tính trên Z5 bên Tìm ma trận kiểm chẵn lẻ H 2 Tính toán lại bài 1 trên Z7 3 Cho ma trận sinh của một mã tuyến tính nhị phân K bên Hỏi K có hệ thống không? Nếu không, tìm mã hthống tương đương K’ 4 Lập bảng mã ứng với hai mã K và K’ trong bài 3 ntnhut@hcmus.edu.vn 20 ... lỗi ngay • Mã Hamming (7,4) có d = 3, có thể phát hiện 2 lỗi nhưng chỉ sửa được 1 lỗi (không sửa được 2 lỗi) • VD: truyền 0000000 nhưng nhận 1010000 Theo cách giải mã bằng syndrome: – syndrome là 010 – Bit số 2 bị lỗi – Giải mã là 1110000 (không phải 0000000) ntnhut@hcmus.edu.vn 14 Phát hiện và sửa lỗi ngay Đ : Mã K được gọi là phát hiện được s lỗi và sửa được t lỗi ngay nếu với mọi từ mã v ta có:... ta có: từ w có d(w,v) ≤ s thì có d(w,v’) > t với các từ mã v’ khác v Hoạt động của mã K theo ĐN trên như sau: – Khi nhận từ w – Tìm từ mã v có khoảng cách Hamming với w là nhỏ nhất – Nếu d(w,v) ≤ t thì sửa được trở lại thành v – Nếu d(w,v) > t thì thông báo rằng có ít nhất s lỗi xảy ra ntnhut@hcmus.edu.vn 15 Phát hiện và sửa lỗi ngay Mệnh đề: Một mã có thể phát hiện được s lỗi và sửa được t lỗi ngay...Ví dụ • Giả sử mã K độ dài 5 định nghĩa bởi • Có ma trận ntnhut@hcmus.edu.vn 11 • Giả sử nhận w = 11111 • Tính s: • Suy ra: e = 10000 • Suy ra: v = w – e = 01111 ntnhut@hcmus.edu.vn 12 Xác định bảng sau như thế nào? • Syndrome gồm tất cả các từ s độ dài n – k • .. .Mã tuyến tính Đ : Cho F trường hữu hạn Mã tuyến tính không gian không gian Fn từ độ dài n Nói cách khác, KG kchiều Fn mã (n,k) ký tự F Lưu ý: • Một mã tuyến tính (n,k) có k bit... sinh mã tuyến tính Z5 bên Tìm ma trận kiểm chẵn lẻ H Tính toán lại Z7 Cho ma trận sinh mã tuyến tính nhị phân K bên Hỏi K có hệ thống không? Nếu không, tìm mã hthống tương đương K’ Lập bảng mã. .. cột dạng [I | B] • Ta tính H* tương ứng với G* • Tính H hoán vị ngược p-1 • Thử lại: GHT = ntnhut@hcmus.edu.vn 17 Tóm tắt • • • • • • Mã tuyến tính Ma trận sinh Mã tuyến tính hệ thống Parity check