Tổng hợp một số đề ôn thi vào lớp 10 môn toán chọn lọc

B ễN THI TUYN SINH VO LP 10 THPT V THPT CHUYấN Mụn: TON A - PHN BI I - ễN THI TUYN SINH LP 10 THPT S Cõu 1: a) Cho bit a = + v b = Tớnh giỏ tr biu thc: P = a + b ab 3x + y = b) Gii h phng trỡnh: x - 2y = - x + Cõu 2: Cho biu thc P = (vi x > 0, x 1) ữ: x x - x +1 x- x a) Rỳt gn biu thc P b) Tỡm cỏc giỏ tr ca x P > 2 Cõu 3: Cho phng trỡnh: x 5x + m = (m l tham s) a) Gii phng trỡnh trờn m = b) Tỡm m phng trỡnh trờn cú hai nghim x 1, x2 tha món: x1 x = Cõu 4: Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB V dõy cung CD vuụng gúc vi AB ti I (I nm gia A v O ) Ly im E trờn cung nh BC ( E khỏc B v C ), AE ct CD ti F Chng minh: a) BEFI l t giỏc ni tip ng trũn b) AE.AF = AC2 c) Khi E chy trờn cung nh BC thỡ tõm ng trũn ngoi tip CEF luụn thuc mt ng thng c nh Cõu 5: Cho hai s dng a, b tha món: a + b 2 Tỡm giỏ tr nh nht 1 ca biu thc: P = + a b S Cõu 1: a) Rỳt gn biu thc: 1 3+ b) Gii phng trỡnh: x2 7x + = Cõu 2: a) Tỡm ta giao im ca ng thng d: y = - x + v Parabol (P): y = x2 4x + ay = b b) Cho h phng trỡnh: x - by = a Tỡm a v b h ó cho cú nghim nht ( x;y ) = ( 2; - 1) Cõu 3: Mt xe la cn chuyn mt lng hng Ngi lỏi xe tớnh rng nu xp mi toa 15 tn hng thỡ cũn tha li tn, cũn nu xp mi toa 16 tn thỡ cú th ch thờm tn na Hi xe la cú my toa v phi ch bao nhiờu tn hng Cõu 4: T mt im A nm ngoi ng trũn (O;R) ta v hai tip tuyn AB, AC vi ng trũn (B, C l tip im) Trờn cung nh BC ly mt im M, v MI AB, MK AC (I AB,K AC) a) Chng minh: AIMK l t giỏc ni tip ng trũn ã ã b) V MP BC (P BC) Chng minh: MPK = MBC c) Xỏc nh v trớ ca im M trờn cung nh BC tớch MI.MK.MP t giỏ tr ln nht Cõu 5: Gii phng trỡnh: y - 2010 x - 2009 z - 2011 + + = x - 2009 y - 2010 z - 2011 S Cõu 1: Gii phng trỡnh v h phng trỡnh sau: a) x4 + 3x2 = 2x + y = b) 3x + 4y = -1 Cõu 2: Rỳt gn cỏc biu thc: a) A = 2+ 1+ x+2 x b) B = ữ x x4 x + x +4 ( vi x > 0, x ) Cõu 3: a) V th cỏc hm s y = - x v y = x trờn cựng mt h trc ta b) Tỡm ta giao im ca cỏc th ó v trờn bng phộp tớnh Cõu 4: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn (O;R) Cỏc ng cao BE v CF ct ti H a) Chng minh: AEHF v BCEF l cỏc t giỏc ni tip ng trũn b) Gi M v N th t l giao im th hai ca ng trũn (O;R) vi BE v CF Chng minh: MN // EF c) Chng minh rng OA EF Cõu 5: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = x2 - x y + x + y - y + S 4 ; b) Trong h trc ta Oxy, bit th hm s y = ax i qua im M (- 2; ) Tỡm h s a Cõu 2: Gii phng trỡnh v h phng trỡnh sau: Cõu 1: a) Trc cn thc mu ca cỏc biu thc sau: a) 2x + = - x 2x + 3y = b) x - y = Cõu 3: Cho phng trỡnh n x: x2 2mx + = (1) a) Gii phng trỡnh ó cho m = b) Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú hai nghim x 1, x2 tha món: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = Cõu 4: Cho hỡnh vuụng ABCD cú hai ng chộo ct ti E Ly I ã thuc cnh AB, M thuc cnh BC cho: IEM = 900 (I v M khụng trựng vi cỏc nh ca hỡnh vuụng ) a) Chng minh rng BIEM l t giỏc ni tip ng trũn ã b) Tớnh s o ca gúc IME c) Gi N l giao im ca tia AM v tia DC; K l giao im ca BN v tia EM Chng minh CK BN Cõu 5: Cho a, b, c l di cnh ca mt tam giỏc Chng minh: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ) S Cõu 1: a) Thc hin phộp tớnh: ữ 3ữ b) Trong h trc ta Oxy, bit ng thng y = ax + b i qua im A( 2; ) v im B(-2;1) Tỡm cỏc h s a v b Cõu 2: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) x2 3x + = x -2 + = b) x-1 x+1 x -1 Cõu 3: Hai ụ tụ hnh cựng mt lỳc trờn quóng ng t A n B di 120 km Mi gi ụ tụ th nht chy nhanh hn ụ tụ th hai l 10 km nờn n B trc ụ tụ th hai l 0,4 gi Tớnh tc ca mi ụ tụ Cõu 4: Cho ng trũn (O;R); AB v CD l hai ng kớnh khỏc ca ng trũn Tip tuyn ti B ca ng trũn (O;R) ct cỏc ng thng AC, AD th t ti E v F a) Chng minh t giỏc ACBD l hỡnh ch nht b) Chng minh ACD ~ CBE c) Chng minh t giỏc CDFE ni tip c ng trũn d) Gi S, S 1, S2 th t l din tớch ca AEF, BCE v BDF Chng minh: S1 + S2 = S ( Cõu 5: Gii phng trỡnh: 10 x + = x + S Cõu 1: Rỳt gn cỏc biu thc sau: 3+ 3 a) A = + ữ ữ +1 ữ ữ ) b b) B = a - ab a ữ a b - b a ab - b ữ ( x - y = - Cõu 2: a) Gii h phng trỡnh: x + y = ) ( vi a > 0, b > 0, a b) ( 1) ( 2) b) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh: x2 x = Tớnh giỏ tr biu thc: P = x12 + x22 Cõu 3: a) Bit ng thng y = ax + b i qua im M ( 2; ) v song song vi ng thng 2x + y = Tỡm cỏc h s a v b b) Tớnh cỏc kớch thc ca mt hỡnh ch nht cú din tớch bng 40 cm2, bit rng nu tng mi kớch thc thờm cm thỡ din tớch tng thờm 48 cm2 Cõu 4: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, M l mt im thuc cnh AC (M khỏc A v C ) ng trũn ng kớnh MC ct BC ti N v ct tia BM ti I Chng minh rng: a) ABNM v ABCI l cỏc t giỏc ni tip ng trũn ã b) NM l tia phõn giỏc ca gúc ANI 2 c) BM.BI + CM.CA = AB + AC Cõu 5: Cho biu thc A = 2x - xy + y - x + Hi A cú giỏ tr nh nht hay khụng? Vỡ sao? S Cõu 1: a) Tỡm iu kin ca x biu thc sau cú ngha: A = b) Tớnh: x-1+ 3-x 1 5 +1 Cõu 2: Gii phng trỡnh v bt phng trỡnh sau: a) ( x )2 = x-1 < b) 2x + Cõu 3: Cho phng trỡnh n x: x2 2mx - = (1) a) Chng minh rng phng trỡnh ó cho luụn cú hai nghim phõn bit x1 v x2 b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m : x12 + x22 x1x2 = Cõu 4: Cho ng trũn (O;R) cú ng kớnh AB V dõy cung CD vuụng gúc vi AB (CD khụng i qua tõm O) Trờn tia i ca tia BA ly im S; SC ct (O; R) ti im th hai l M a) Chng minh SMA ng dng vi SBC b) Gi H l giao im ca MA v BC; K l giao im ca MD v AB Chng minh BMHK l t giỏc ni tip v HK // CD c) Chng minh: OK.OS = R2 x + = 2y Cõu 5: Gii h phng trỡnh: y + = 2x S 2x + y = Cõu 1: a) Gii h phng trỡnh: x - 3y = - b) Gi x 1,x2 l hai nghim ca phng trỡnh:3x x = Tớnh giỏ 1 + tr biu thc: P= x1 x2 a a a +1 Cõu 2: Cho biu thc A = vi a > 0, a ữ ữ: a a - a a - a) Rỳt gn biu thc A b) Tỡm cỏc giỏ tr ca a A < Cõu 3: Cho phng trỡnh n x: x2 x + + m = (1) a) Gii phng trỡnh ó cho vi m = b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú hai nghim x 1, x2 tha món: x1x2.( x1x2 ) = 3( x1 + x2 ) Cõu 4: Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R v tia tip tuyn Ax cựng phớa vi na ng trũn i vi AB T im M trờn Ax k tip tuyn th hai MC vi na ng trũn (C l tip im) AC ct OM ti E; MB ct na ng trũn (O) ti D (D khỏc B) a) Chng minh: AMCO v AMDE l cỏc t giỏc ni tip ng trũn ã ã b) Chng minh ADE = ACO c) V CH vuụng gúc vi AB (H AB) Chng minh rng MB i qua trung im ca CH Cõu 5: Cho cỏc s a, b, c [ ; 1] Chng minh rng: a + b + c3 ab bc ca S Cõu 1: a) Cho hm s y = ( ) x + Tớnh giỏ tr ca hm s x = 3+2 b) Tỡm m ng thng y = 2x v ng thng y = 3x + m ct ti mt im nm trờn trc honh x +6 x x-9 + A = ữ ữ: x x x Cõu 2: a) Rỳt gn biu thc: x 0, x 4, x vi x - 3x + = b) Gii phng trỡnh: ( x + ) ( x - 3) x - 3x - y = 2m - Cõu 3: Cho h phng trỡnh: (1) x + 2y = 3m + a) Gii h phng trỡnh ó cho m = b) Tỡm m h (1) cú nghim (x; y) tha món: x2 + y2 = 10 Cõu 4: Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB Ly im M thuc on thng OA, im N thuc na ng trũn (O) T A v B v cỏc tip tuyn Ax v By ng thng qua N v vuụng gúc vi NM ct Ax, By th t ti C v D a) Chng minh ACNM v BDNM l cỏc t giỏc ni tip ng trũn b) Chng minh ANB ng dng vi CMD c) Gi I l giao im ca AN v CM, K l giao im ca BN v DM Chng minh IK //AB a+b Cõu 5: Chng minh rng: vi a, b l cỏc s a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) dng S 10 Cõu 1: Rỳt gn cỏc biu thc: a) A = 50 ( ) 2 x - 2x + , vi < x < x-1 4x Cõu 2:Gii h phng trỡnh v phng trỡnh sau: b) B = ( x - 1) + y = a) x - 3y = - b) x + x = Cõu 3: Mt xớ nghip sn xut c 120 sn phm loi I v 120 sn phm loi II thi gian gi Mi gi sn xut c s sn phm loi I ớt hn s sn phm loi II l 10 sn phm Hi mi gi xớ nghip sn xut c bao nhiờu sn phm mi loi Cõu 4: Cho hai ng trũn (O) v (O) ct ti A v B V AC, AD th t l ng kớnh ca hai ng trũn (O) v (O) a) Chng minh ba im C, B, D thng hng b) ng thng AC ct ng trũn (O) ti E; ng thng AD ct ng trũn (O) ti F (E, F khỏc A) Chng minh im C, D, E, F cựng nm trờn mt ng trũn c) Mt ng thng d thay i luụn i qua A ct (O) v (O) th t ti M v N Xỏc nh v trớ ca d CM + DN t giỏ tr ln nht Cõu 5: Cho hai s x, y tha ng thc: (x+ )( x + 2011 y + ) y + 2011 = 2011 Tớnh: x + y S 11 Cõu 1: 1) Rỳt gn biu thc: - a a - a A = + a ữ ữ - a ữ ữ vi a v a 1- a 2) Gii phng trỡnh: 2x2 - 5x + = Cõu 2: 1) Vi giỏ tr no ca k, hm s y = (3 - k) x + nghch bin trờn R 2) Gii h phng trỡnh: 4x + y = 3x - 2y = - 12 Cõu 3: Cho phng trỡnh x2 - 6x + m = 1) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú nghim trỏi du 2) Tỡm m phng trỡnh cú nghim x 1, x2 tho iu kin x1 - x2 = Cõu 4: Cho ng trũn (O; R), ng kớnh AB Dõy BC = R T B k tip tuyn Bx vi ng trũn Tia AC ct Bx ti M Gi E l trung im ca AC 1) Chng minh t giỏc OBME ni tip ng trũn 2) Gi I l giao im ca BE vi OM Chng minh: IB.IE = IM.IO Cõu 5: Cho x > 0, y > v x + y Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : + P = 3x + 2y + x y S 12 Cõu 1: Tớnh gn biu thc: 1) A = 20 - 45 + 18 + 72 a + a a- a + 2) B = + ữ ữ vi a 0, a a + ữ 1- a ữ Cõu 2: 1) Cho hm s y = ax2, bit th hm s i qua im A (- ; -12) Tỡm a 2) Cho phng trỡnh: x2 + (m + 1)x + m2 = (1) a Gii phng trỡnh vi m = b Tỡm m phng trỡnh (1) cú nghim phõn bit, ú cú nghim bng - Cõu 3: Mt tha rung hỡnh ch nht, nu tng chiu di thờm 2m, chiu rng thờm 3m thỡ din tớch tng thờm 100m Nu gim c chiu di v chiu rng i 2m thỡ din tớch gim i 68m2 Tớnh din tớch tha rung ú Cõu 4: Cho tam giỏc ABC vuụng A Trờn cnh AC ly im M, dng ng trũn tõm (O) cú ng kớnh MC ng thng BM ct ng trũn tõm (O) ti D, ng thng AD ct ng trũn tõm (O) ti S 1) Chng minh t giỏc ABCD l t giỏc ni tip v CA l tia phõn ã giỏc ca gúc BCS 2) Gi E l giao im ca BC vi ng trũn (O) Chng minh cỏc ng thng BA, EM, CD ng quy 3) Chng minh M l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ADE Cõu 5: Gii phng trỡnh x - 3x + + x+3 = x-2 + x + 2x - S 13 a a - a a + a +2 Cõu 1: Cho biu thc: P = ữ ữ : a - vi a > 0, a 1, a a a a + a 1) Rỳt gn P 2) Tỡm giỏ tr nguyờn ca a P cú giỏ tr nguyờn Cõu 2: 1) Cho ng thng d cú phng trỡnh: ax + (2a - 1) y + = Tỡm a ng thng d i qua im M (1, -1) Khi ú, hóy tỡm h s gúc ca ng thng d 2) Cho phng trỡnh bc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + = a) Tỡm m, bit phng trỡnh cú nghim x = b) Xỏc nh giỏ tr ca m phng trỡnh cú tớch nghim bng 5, t ú hóy tớnh tng nghim ca phng trỡnh Cõu 3: Gii h phng trỡnh: 4x + 7y = 18 3x - y = Cõu 4: Cho ABC cõn ti A, I l tõm ng trũn ni tip, K l tõm ng trũn bng tip gúc A, O l trung im ca IK 1) Chng minh im B, I, C, K cựng thuc mt ng trũn tõm O 2) Chng minh AC l tip tuyn ca ng trũn tõm (O) 3) Tớnh bỏn kớnh ca ng trũn (O), bit AB = AC = 20cm, BC = 24cm Cõu 5: Gii phng trỡnh: x2 + x + 2010 = 2010 S 14 Cõu 1: Cho biu thc x +1 x 2+5 x + + vi x 0, x 4-x x -2 x +2 1) Rỳt gn P 2) Tỡm x P = Cõu 2: Trong mt phng, vi h ta Oxy, cho ng thng d cú phng trỡnh: y = (m 1)x + n 1) Vi giỏ tr no ca m v n thỡ d song song vi trc Ox 2) Xỏc nh phng trỡnh ca d, bit d i qua im A(1; - 1) v cú h s gúc bng -3 Cõu 3: Cho phng trỡnh: x2 - (m - 1)x - m - = (1) P= 10 x2 - 5x - = x1 = 37 + 37 (loi); x2 = 2 2 x + = x x + x + = 4(x x + 1) 4x 5x + = nghim 2) vụ + 37 b) Vỡ a, b, c [0; 2] nờn: (2 - a)(2 - b)(2 - c) > - 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) - abc > 2(ab + bc + ca) > 4(a + b + c) - + abc nờn 2(ab + bc + ca) > (vỡ a + b + c = v abc 0) Suy (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) > a2 + b2 + c2 (vỡ (a + b + c)2 = 9) Du = xy mt s a, b, c cú mt s bng 2, mt s bng v mt s bng p Cõu 3: Gi s x = (p, q Z, q > 0) v (p, q) = q Vy phng trỡnh cú nghim: x = p p Ta cú + + = n (n N) p2 = q(-P - 6q + n2q) q q => q l c ca p2 nhng (p, q) = => q = lỳc ú x = p => p2 + p + = n2 (p, n Z) (2p + 1)2 + 23 = 4n2 (2n)2 - (2p + 1)2 = 23 (2n - 2p - 1)(2n + 2p + 1) = 23 Do ú 2n - 2p - = v 2n + 2p + = 23 ; 2n - 2p - = 23 v 2n + 2p + =1 (vỡ 23 P v 2n + 2p + > v 2n - 2p - > 0) p = (t/m) ; p = - (t/m) Vy s hu t x cn tỡm l hoc Cõu 4: 112 a) T giỏc MNKB ni tip c (vỡ +N = 1800) T giỏc MNCI cng ni K A ã ã tip c (vỡ MNC MNC = 900) = MIC ã ã ã ã => BNK , INC (1) = BMK = IMC (vỡ gúc ni tip cựng chn mt cung) ã ã Mt khỏc BMK (2) = IMC ã ã ã ã BMK + KMC = KMC + IMC cựng bự vi gúc A ca tam giỏc ABC) ã ã T (1), (2) suy BNK = INC nờn S H P O K C B N (vỡ I M Q im K, N, I thng hng ã ã b) Vỡ MAK = MCN = (vỡ gúc ni tipcựng chn cung BM) => AK CN AB BK CN AB BK CN = = cot g => = = hay (1) MK MN MK MN MK MK MN Tng t cú: M AC CI BN AI BN = + = hay MI MN MI MI MN IC BK ã ã = = tg ( = BMK ) = IMC MI MK T (1), (2), (3) => (2) (3) AB AC BC + = (pcm) MK MI MN c) Gi giao ca AH, MN vi ng trũn (O) th t l Q, S => AQMS l hỡnh thang cõn (vỡ AQ // MS => AS = QM) V HP // AS (P MS) => HQMP l hỡnh thang cõn, cú BN l trc i xng (vỡ Q v H i xng qua BC) ã ã => N l trung im ca PM m HP // KN (vỡ KN // AS SAC vỡ = AIN ã cựng bng NMC ) => KN i qua trung im ca HM (pcm) 2x xy y = p Cõu 5: a v bi toỏn tỡm P h phng trỡnh: 2 x + 2xy + 3y = nghim cú 8x 4xy 4y = 4p (1) H trờn Ly (1) - (2), ta cú: px + 2pxy + 3py = 4p (2) 113 (8 - p)x2 - 2y(2 + p)x - (4 + 3p)y2 = (3) - Nu y = => (8 - p)x2 = x = hoc p = p = 0; p = - Nu y chia v pt (3) cho y2 ta cú : (8 - p)t2 - 2(2 + p)t - (4 + 3p) = (4) vi t = x y + Nu p 8: Phng trỡnh (2) cú nghim ' = (2 + p)2 + (8 - p)(4 + 3p) > + Nu p = thỡ t = - p2 - 12p - 18 < - p + Du = cú xy Vy P = - , max P = +3 S Cõu 1: a) T gi thit ta cú: a b c ab - b - ac + c = = b-c a-c a-b ( a - b) ( a - c) a Nhõn v ca ng thc vi ta cú: b-c ( b - c) = ab - b - ac + c ( a - b) ( a - c) ( b - c) Vai trũ ca a, b, c nh nhau, thc hin hoỏn v vũng quanh gia a, b, c ta cú: b ( c - a) = cb - c - ab + a ( a - b) ( a - c) ( b - c) , c ( a - b) Cng v vi v cỏc ng thc trờn, ta cú = ac - a - bc + b ( a - b) ( a - c) ( b - c) a b c + + =0 2 (b - c) (c - a) (a - b) (pcm) b) t 2010 = x 2010 = x ; 2010 = x Thay vo ta cú: x2 - x + x2 A= + ữ x 1-x 2 1 = ữ - ữ =0 x x 114 + x x = ữ + x2 x 1+ + ữ x + x2 Cõu 2: a) Vỡ a, b, c l di cnh ca tam giỏc nờn a, b, c > p dng BT Cụ-si ta cú: a2 + bc 2a bc, b + ac 2b ac ; c + ab 2c ab Do ú 1 1 1 + + + + ữ a + bc b + ac c + ab a bc b ac c ab a +b b+c c+a + + ab + bc + ca = 2 = a+b+c, 2 abc abc 2abc pcm Du bng xy v ch a = b = c, tc l tam giỏc ó cho l tam giỏc u b) iu kin x 0; y Ta cú: A = (x - xy + y) + 2y - x +1 ( =( x - y x - y - + (2y - y + ( x - y -1 =[ = ) -2 ) ) ( x - 2 + ( ) y + 1] - y + 2y 1 )2 2 1 y 2 ) x= x - y -1=0 A= 2 y - = y = Vy minA = 4 Cõu 3: a) iu kin : x p dng BT Bunhiacpski ta cú: (2 x-1+3 5-x ) (2 + 32 ) ( x - + - x) = 13.4 x - + - x 13 Du bng xy v ch x - = - x x = 29 13 Thay vo pt ó cho th li thỡ tha 115 Vy pt cú nghim x = 29 13 b) Xột ng thc: f(x) + 3f ữ = x x (1) x Thay x = vo (1) ta cú: f(2) + f ữ = Thay x = vo (1) ta cú: 1 f ữ + 3.f(2) = t f(2) = a, f ữ = b ta cú Vy f(2) = - a + 3b = 13 Gii h, ta c a = 32 3a + b = 13 32 a Cõu 4: Gi O l tõm ca ng trũn ngoi tip lc giỏc u thỡ A, O, D thng hng v 1 AB Vỡ FM = EF m EF = AB 2 ú FM = OK OK = b o f k c m ã Ta li cú AF = R AF = OA v AFM = 1200 d e ã ã ã ã AOK + AOB = 1800 = AOK + 60 AOK = 120 Do ú: AFM = AOK (c.g.c) ã AM = AK, MAK = 600 AMK u Cõu 5: Gi BH l ng cao ca ABO Ta cú 2SAOB = OA BH Nhng BH BO nờn 2SAOB OA OB OA + OB2 m OA.OB b o c h a d 116 OA + OB2 Du = xy OA OB v OA = OB Chng minh tng t ta cú: Do ú 2SAOB OB2 + OC OC2 + OD ; 2SCOD 2 2 OD + OA 2SAOD 2 OA + OB2 + OC + OD Vy 2S = 2(SAOB + SBOC + SCOD + SDOA) 2 2 Hay 2S OA + OB + OC + OD Du bng xy v ch OA = OB = OC = OD ã ã ã ã v AOB = BOC = COD = DOA = 900 ABCD l hỡnh vuụng tõm O 2SBOC ( ) Li bỡnh: Cõu III.b t õu m ra? Gi A(x), B(x), P(x), Q(x), C(x) l cỏc a thc ca bin x v f(x) l hm s c xỏc nh bi phng trỡnh A(x).f[P(x)] + B(x).f[Q(x)] = C(x) (1) tỡnh giỏ tr ca hm s f(x) ti im x = a ta lm nh sau Bc 1: Gii phng trỡnh Q(x) = P(a) (2) Gi s x = b l mt nghim ca (2) Bc 2: Thay x = a, x = b vo phng trỡnh (1), v t x = f(a), y = f(b) ta cú h 1) Chc chn bn s hi x = A(a ) x + B (a ) y = C ( a) B (b) x + A(b) y = C (b) (3) Gii h phng trỡnh (3) (ú l h phng trỡnh bc nht i vi hai n x, y) Trong bi toỏn trờn: A(x) = 1, B(x) = 3, P(x) = x, Q(x) = , C(x) = x2, a = x 117 Phng trỡnh Q(x) = P(a) 1 = x = , tc l b = x 2 c ngh nh th ú 2) Chỳ ý: Khụng cn bit phng trỡnh (2) cú bao nhiờu nghim Ch cn bit (cú th l oỏn) c mt nghim ca nú l cho li gii thnh cụng 3) Mt s bi tng t S x = a) Tớnh giỏ tr ca hm s f(x) ti x = nu f(x) + 3.f( x) = + 3x (vi x Ă ) b) Tớnh giỏ tr ca hm s f(x) ti x = nu f ( x) + f ữ= x x (vi x 1) c) Tớnh giỏ tr ca hm s f(x) ti x = nu 1 ( x 1) f ( x) + f ữ = (vi x 1) x x S Cõu 1: a) T x2 + y2 = 2xy = (x + y)2 - = (x + y + 2) (x + y - 2) xy x+y = -1 Vỡ x + y + nờn (1) x+y+2 p dng BT Bunhiacopski, ta cú: x+y ( x + y2 T (1), (2) ta c: ) x+y 2 xy x+y+2 (2) - Du "=" x 0, y x = y x=y= x + y2 = Vy maxA = - b) Vỡ x2 + y2 + z2 = nờn: 2 x + y2 + z2 x + y2 + z x + y2 + z2 + + = + + x + y2 y2 + z2 z2 + x x + y2 y2 + z2 z2 + x 118 z2 x2 y2 + + +3 = x + y2 y2 + z2 x + z2 z2 z2 Ta cú x2 + y2 2xy , x + y2 2xy x2 x2 y2 y2 Tng t , y + z2 2yz x + z 2xz 2 z x z2 x2 y y2 Vy + + + + +3 + x + y2 y2 + z2 2xy 2yz x + z2 2xz 2 x + y3 + z3 + + + , pcm x + y2 y2 + z2 z2 + x 2xyz 10 Cõu 2: a) x2 + 9x + 20 = 3x + 10 (1) iu kin: x (2) (1) (3x + 10 - 3x + 10 + 1) + (x2 + 6x + 9) = ( 3x + 10 - 1)2 + (x + 3)2 = 3x + 10 - = x = - (tha k (2) x + = Vy phng trỡnh (1) cú nghim x = -3 2x x y - 2x + y = (1) y = x + b) 2x - 4x + = - y y3 = - (x - 1) - 2x y2 - y (1) 1+x Mt khỏc: - (x - 1)2 - - y3 - y - (2) T (1) v (2) y = - nờn x = Thay vo h ó cho th li thỡ tha Ta cú: Vy x = v y = -1 l cỏc s cn tỡm Cõu 3: a) t x = b > v Thay vo gt ta c y = c > ta cú x2 = b3 v y2 = c3 b3 + b c + c3 + bc = a a2 = b3 + b2c + c3 + bc2 + b c ( b + c ) a2 = (b + c)3 a = b + c hay x2 + y = a , pcm 119 b) Gi s x0 l mt nghim ca phng trỡnh, d thy x a 1 + = x 02 + + a x + ữ+b=0 x0 x0 x0 x Suy x + ax0 + b + t x0 + 1 = y0 x 02 + = y02 - , y y02 - = - ay0 - b x0 x0 p dng bt ng thc Bunhiacpxki ta cú: (y -2 ) = ( ay0 + b ) (a +b )( ) 2 y + a +b (y 02 2) (1) y 02 + (y 02 2) Ta chng minh (2) y02 + 2 Thc vy: (2) 5(y0 4y0 + 4) 4(y0 + 1) 5y 24y + 16 5(y02 4)(y 02 ) ỳng vi y nờn (1) ỳng 5(a + b ) , pcm 2 T (1), (2) suy a + b Cõu 4: t AH = x ã Ta cú AMB = 900 (OA = OB = OM) m c k Trong vuụng AMB ta cú MA = AH AB = 2Rx (H l chõn ng vuụng gúc h t M xung BC) Mt khỏc: MK2 = OH2 = (R - x)2 (vỡ MKOH l b a h o h' hỡnh ch nht) Theo bi ta cú: 4Rx = 15(R - x)2 Do H AB O x 2R Phng trỡnh tr thnh: 15x2 - 34Rx + 15R2 = 3R 5R (5x - 3R) (3x - 5R) = x = ;x= C giỏ tr ny u tho Vy ta tỡm c im H v H im M v M l giao im ca na ng trũn vi cỏc ng vuụng gúc vi AB dng t H v H a Cõu 5: Gi I l trung im ca CD b e f g d 120 i c Ni EF, EI, IF, ta cú IE l ng trung bỡnh ca BDC IE // BC M GF BC IE GF (1) Chng minh tng t EG IF (2) T (1) v (2) G l trc tõm ca EIF IG EF (3) D chng minh EF // DC (4) T (3) v (4) IG DC Vy DGC cõn ti G DG = GC S Cõu 1: 1) Tr vo v ca phng trỡnh vi 2x 9x x+9 2 x2 18x 9x 18x + - 40 = (1) Ta cú: x = 40 ữ ữ x+9 x + x+9 x + x2 t = y (2), phng trỡnh (1) tr thnh y2 + 18y - 40 = x+9 (y + 20) (y - 2) = y = -20 ; y = x = - 20(x + 9) x + 20x +180 = (3) Thay vo (2), ta cú x = 2(x + 9) = x - 2x - 18 = (4) Phng trỡnh (3) vụ nghim, phng trỡnh (4) cú nghim l: x = 19 Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l: x = 19 2) iu kin x > x+1 (*) x-3 x - Phng trỡnh ó cho (x - 3) (x + 1) + 3(x - 3) x+1 =4 x-3 x+1 t = (x - 3) (x + 1) x-3 Phng trỡnh tr thnh: t2 + 3t - = t = 1; t = - t t = ( x - 3) Ta cú: (x -3) x + = (1) ; ( x 3) x - x + = (2) x 121 x > x > x = 1+ + (1) (x 3)(x + 1) = x 2x = (t/m (*)) x < x < x = (t/m (*)) + (2) (x 3)(x + 1) = 16 x 2x 19 = Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l: x = + ; x = Cõu 2: 1) iu kin: - x2 > - < x < - 3x > A 25 - 30x + 9x (3 - 5x) Vy A = = +16 16 - x2 - x2 Du bng xy - 5x = x = Vy minA = 2) Chng minh: a + b + b + c + c + a (a + b + c) (1) S dng bt ng thc: 2(x + y ) (x + y) , ta cú: 2(a + b ) (a + b) a + b a + b (2) Tng t, ta c: b + c b + c c2 + a c + a (3) v (4) Ly (2) + (3) + (4) theo tng v v rỳt gn, suy (1) ỳng, pcm Cõu 3: (1) cú nghim y = x x 2; x (3) (2) (y + 1) = x 2x cú nghim x 2x x (4) T (3), (4) ta cú: x = - 2, t ú ta cú y = - Vy h cú nghim (- ; - 1) Cõu 4: K MP // BD (P AD) MD ct AC ti K Ni NP ct BD ti H AM AP AM CM e = = (gt) Ta cú m AB AD AB CD i AP CN = PN // AC Gi O l giao im a o AD CD n BO CO MK OC = , = ca AC v BD Ta cú OD OA PK OA NH OC NH MK = = KH // MN v Suy ra: PH OA PH PK 122 m k f h b Cỏc t giỏc KENH, MFHK l hỡnh bỡnh hnh nờn MF = KH v EN = KH MF = EN ME = NF ã ã Cõu 5: 1) T giỏc MEHF ni tipvỡ MEH + MFH = 1800 ã ã ã ã AMB = 1800 - EHF = EHA + FHB (1) ã ã ằ ) Ta cú MHF (gúc ni tip chn MF = MEF ã ã ã ã Li cú MHF + FHB = 900 = MEF + EMD ã ã FHB = EMD (2) ã ã T (1) v (2) EHA , Gi N l giao im ca MD vi ng trũn (O) = DMB ã ã ằ ) EHA ã ã ta cú DMB (gúc ni tip chn NB ú AN // EH = NAB = NAB ã m HE MA nờn NA MA hay MAN = 90 AN l ng kớnh ca ng trũn Vy MD i qua O c nh 2) K DI MA, DK MB, ta cú AH S AM HE AD S AM DI = MAD = ; = MAD = BD SMBD BM DK BH SMBH BM HF AH AD MA HE DI (1) = BD BH MB2 DK HF ã ã ã ã ã Ta cú HMB (cựng ph vi MHF ) m FHB (CMT) = FHB = EMD ã ã ã ã v EHF EFH = DIK = DMH Vy ã ã T giỏc MEHF ni tip nờn AMH = EFH ã ã T giỏc MIDK ni tip nờn DMB = DIK ã ã EHF = 1800 - AMB ã ã IDK = 1800 - AMB ã ã ã ã DIK HFE (g.g) ú EFH = DIK EHF = IDK ID DK HE.DI ID HE = DK HF suy = = (2) HF HE DK.HF MA AH AD T (1), (2) = MB BD BH S Cõu 1: Ta cú: A = =-1+ 1- 2- + + + -1 -1 24 - 25 -1 - + - + + 25 = - + = 123 Cõu 2: a) T gi thit suy ra: x2 y2 x2 y2 + + 2 2 ữ 2 ữ a +b +c b a +b +c a z2 z2 =0 2 2 ữ a +b +c c 1 1 x - 2 ữ + y - 2 ữ + z - 2 ữ = (*) a +b +c a b a +b +c c a +b +c 1 1 1 > 0; - > 0; - >0 Do - 2 2 a a +b +c b a +b +c c a + b2 + c2 Nờn t (*) suy x = y = z = 0, ú M = a + 8a - b) x = 2a + x a - ữ ữ 3 x3 = 2a + 3x ( - 2a ) 3 x = 2a + x(1 - 2a) x + (2a - 1) x - 2a = (x - 1) (x2 + x + 2a) = x - = x = x + x + 2a = (vô nghiệm a > ) nờn x l số nguyờn duơng Cõu 3: a) Ta cú: 4c 35 35 + >0 4c + 57 1+a 35 + 2b ( + a ) ( 2b + 35 ) Mt khỏc 4c 35 4c 35 1+a 4c + 57 35 + 2b + a 4c + 57 35 + 2b 4c 35 2b +1 1= +a 4c + 57 35 + 2b 35 + 2b 2b 57 57 + >0 35 + 2b 1+a 4c + 57 ( + a ) ( 4c + 57 ) Ta cú: - 124 4c 35 1+ 1+a 4c + 57 35 + 2b (1) (2) a 57 35 + 1+a 4c + 57 35 + 2b 35 57 >0 ( 4c + 57 ) ( 35 + 2b ) (3) T (1), (2), (3) ta cú: 8abc 35 57 ( + a ) ( 4c + 57 ) ( 2b + 35 ) ( + a ) ( 2b + 35 ) ( 4c + 57 ) Do ú abc 35.57 = 1995 Du = xy v ch a = 2, b = 35 v c = 57 Vy (abc) = 1995 b) t t = t= A B C D = = = A = ta, B = tb, C = tc, D = td a b c d A+B+C+D a+b+c+d Vỡ vy aA + bB + cC + dD = a t + b t + c t + d t = (a + b + c + d) t = (a + b + c + d) = A+B+C+D a+b+c+d (a + b + c +d)(A + B + C + D) A Cõu 4: a) Xột ABC cú PQ // BC AQ QP = AB BC Q Xột BAH cú QM // AH Cng tng v ta cú: B AQ BQ QP QM QP QM + = + 1= + AB AB BC AH BC AH 2SMNPQ QM QP QM QP 1= + = ữ AH BC AH SABC BC SMNPQ P BQ QM = BA AH M H C N SABC 125 SABC QP QM BC = = QP = BC AH 2 Tc l PQ l ng trung bỡnh ca ABC, ú PQ i qua trung im AH QP QM QP + QM + QP + QM = BC b) Vỡ = m BC = AH = BC AH BC max SMNPQ = Do ú chu vi (MNPQ) = 2BC (khụng i) Cõu 5: HCD ng dng vi ABM (g.g) m B AB = 2AM nờn HC = 2HD t HD = x thỡ HC = 2x Ta cú: DH2 = HM HC hay x2 = HM 2x HM = 0,5x; MC = 2,5x; AM = 2,5x; AH = 3x A Vy AH = 3HD H M D 126 C [...]... xy - y2 với x, y thoả mãn điều kiện sau: x2 + 2xy + 3y2 = 4 ĐỀ SỐ 3 Câu 1: a) Cho a, b, c là 3 số từng đôi một khác nhau và thoả mãn: a b c + + =0 b-c c-a a-b a b c + + =0 Chứng minh rằng: 2 2 (b - c) (c - a) (a - b) 2 b) Tính giá trị của biểu thức: 2 A =  2 010 - 2 010 + 1 + 2 010 ÷ 4  1 - 4 2 010 2 010 ÷   4 2 4 1+ 2 1 + 2 010 2 010 1 + 2 010 Câu 2: a) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác, chứng minh:... // BF  x 3 + 2y 2 − 4y + 3 = 0 (1) Câu 5 Hai số thực x, y thoả mãn hệ điều kiện :  2 2 2  x + x y − 2y = 0 (2) Tính giá trị biểu thức P = x 2 + y 2 29 II - ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN ĐỀ SỐ 1 Câu 1: Giải các phương trình: 2  2 4   a)  x + 2 ÷− 4  x - ÷− 9 = 0 x   x  b) ( ) )( x + 5 − x + 2 1 + x 2 + 7x + 10 = 3 Câu 2: a) Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abc = 1 và a b c... hình vuông b) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆ADE Câu 5: Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 50 điểm ĐỀ SỐ 2 Câu 1: a) Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức: x ( 2011 + 2 010) + y(... 3 Câu 2: a) Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abc = 1 và a b c b 3 c3 a 3 + + = + + b 3 c3 a 3 a b c Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c luôn tồn tại một số là lập phương của một trong hai số còn lại 84 3 84 Chứng minh x có giá trị là một số nguyên + 1− 9 9 Câu 3: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: b) Cho x = 3 1 + 2 2 2 A = 1+ x + 1+ y + 1+ z + 2... tròn Từ M kẻ MH vuông góc với AB (H ∈ AB) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA, MB Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt AB tại D 1) Chứng minh đường thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn MA 2 AH AD 2) Chứng minh: = × 2 MB BD BH ĐỀ SỐ 6 Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A = 1 1 + + ××× + 1+ 2 2+ 3 1 24 + 25 33 Câu 2: a) Cho các số khác không a, b, c Tính... thức P = x1 x 2 Câu 3 Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300 km Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thi t rằng quãng đường sắt Huế-Hà Nội dài 645km Câu 4 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB C là một điểm nằm giữa O và A Đường thẳng vuông góc với AB tại C... 2mx2 + (m2 + 1) x - m = 0 (1) ĐỀ SỐ 21 Câu 1 1) Trục căn thức ở mẫu số 2 5 −1 x − y = 4 2) Giải hệ phương trình :  2 x + 3 = 0 Câu 2 Cho hai hàm số: y = x 2 và y = x + 2 1) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Oxy 2) Tìm toạ độ các giao điểm M, N của hai đồ thị trên bằng phép tính Câu 3 Cho phương trình 2 x 2 + ( 2m − 1) x + m − 1 = 0 với m là tham số 1) Giải phương trình khi m =... Câu 3: a) Giải phương trình: 2 x - 1 + 3 5 - x = 2 13 b) Cho hàm số y = f(x) với f(x) là một biểu thức đại số xác định với mọi số thực x khác 1 không Biết rằng: f(x) + 3f  ÷= x2 ∀ x ≠ 0 Tính giá trị của f(2) x Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF Gọi M là trung điểm của EF, K là trung điểm của BD Chứng minh tam giác AMK là tam giác đều Câu 5: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S và điểm O nằm trong... tháng hai do cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 101 0 chi tiết máy Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Câu 4: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mp bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy một điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K Đường tròn đường kính IC cắt... vuông góc với OM cắt tia AB, AC tại D, E a) Chứng minh 4 điểm O, B, D, M cùng thuộc một đường tròn b) MD = ME Câu 5: Giải phương trình: x2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 + 1 ĐỀ SỐ 39 Câu 1: 1) Tính: 48 - 2 75 + 108  1   1  ÷  1 ÷ với x ≠ 1 và x >0 x 1- x 1+ x   2) Rút gọn biểu thức: P=  1 - 27 Câu 2: 1) Trên hệ trục tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm M (3; 2) và N (4; -1) Tìm hệ số ... − 4y + = (1) Câu Hai số thực x, y thoả mãn hệ điều kiện :  2  x + x y − 2y = (2) Tính giá trị biểu thức P = x + y 29 II - ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN ĐỀ SỐ Câu 1: Giải phương... hình tròn có bán kính chứa không 50 điểm ĐỀ SỐ Câu 1: a) Tìm số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức: x ( 2011 + 2 010) + y( 2011 − 2 010) = 20113 + 2 0103 30 b) Tìm tất số nguyên x > y > z > thoả mãn:... + x + 7x + 10 = Câu 2: a) Cho số a, b, c khác thỏa mãn: abc = a b c b c3 a + + = + + b c3 a a b c Chứng minh số a, b, c tồn số lập phương hai số lại 84 84 Chứng minh x có giá trị số nguyên +