Phương pháp giải toán hình học (Phần 2: HHKG)

Các em học sinh thân mến Chúng tôi là nhóm giáo viên Toán của Trung tâm luyện thi Vĩnh Viễn có nhiều kinh nghiệm trong việc giảng dạy và biên soạn sách tham khảo. Nhằm mục đích giúp các em học sinh tự học, nâng cao bài tập ở các lớp 10, 11, 12 và nhất là các em đang sắp thi vào Đại học, chúng tôi cùng biên soạn bộ Toán gồm ba quyển.Quyển 1: Hình học (3 Phần).Quyển 2: Khảo sát hàm số – Tích phân – Số phứcQuyển 3: Lượng giác – Đại số – Giải tích tổ hợpMỗi quyển sách gồm: Tóm tắt lý thuyết một cách có hệ thống và đầy đủ. Phân loại các dạng toán cùng với cách giải dễ hiểu. Nhiều bài tập mẫu từ dễ đến khó, trong đó có nhiều bài được giải bằng nhiều cách khác nhau.Chúng tôi hy vọng quyển sách này sẽ giúp các em thích thú, nâng cao học lực và thành công trong kì thi tuyển sinh Đại học sắp đến. Dù đã cố gắng nhiều, nhưng chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót, mong sự đóng góp ý kiến của các em học sinh và của độc giả.

TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN PHÂN DẠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC DÀNH CHO HỌC SINH 10–11–12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHẦN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Biên soạn: TRẦN MINH QUANG TRẦN MINH THỊNH HOÀNG HỮU VINH Hình học 75 Lời nói đầu Các em học sinh thân mến! Chúng nhóm giáo viên Toán Trung tâm luyện thi Vónh Viễn có nhiều kinh nghiệm việc giảng dạy biên soạn sách tham khảo Nhằm mục đích giúp em học sinh tự học, nâng cao tập lớp 10, 11, 12 em thi vào Đại học, biên soạn Toán gồm ba Quyển 1: Hình học (3 Phần) Quyển 2: Khảo sát hàm số – Tích phân – Số phức Quyển 3: Lượng giác – Đại số – Giải tích tổ hợp Mỗi sách gồm: • Tóm tắt lý thuyết cách có hệ thống đầy đủ • Phân loại dạng toán với cách giải dễ hiểu Nhiều tập mẫu từ dễ đến khó, có nhiều giải nhiều cách khác Chúng hy vọng sách giúp em thích thú, nâng cao học lực thành công kì thi tuyển sinh Đại học đến Dù cố gắng nhiều, chắn nhiều thiếu sót, mong đóng góp ý kiến em học sinh độc giả Nhóm biên soạn 76 Nhiều tác giả BÀI QUAN HỆ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC I HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Đònh nghóa:  Hai đường thẳng song song với chúng đồng phẳng điểm chung Lưu ý: Hai đường thẳng chéo chúng không đồng phẳng Đònh lý: Trong không gian  Qua điểm nằm đường thẳng, có đường thẳng song song với đường thẳng  Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với  Đònh lí: Nếu ba mặt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy song song (h.1,2)  Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng (hoặc trùng với hai đường thẳng đó) (h.3) P c a R Q (h.1,2) R b c (Q) a (P) b Ba giao tuyến đồng qui song song P b c (h.3) a Q P) ∩ (Q) = c, a ⊂ (Q), b ⊂ (P) a // b ⇒Ta PHẲ // b //NcG(khô ng xé t c ≡ a, b) II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶ SONG SONG Hình học 77 Vò trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:  d (α) điểm chung ⇔ d // (α)  d (α) có điểm chung M ⇔ d ∩ (α) = M  d (α) có từ điểm chung trở lên ⇔ d ⊂ (α) d (P) (P) d // (P) d (P) d cắt (P) d ⊂ (P)  Đònh lí: d Nếu đường thẳng a không nằm mp(P) song song với đường thẳng nằm mp(P) a song song với mp(P) a ⊄ (P), d ⊂ (P), a // d ⇒ a // (P)  Đònh lí: Nếu đường thẳng a song song với mp(P), mp(Q) chứa a cắt (P) giao tuyến (P) (Q) song song với a Q aa // (P), a (Q), (P) (Q) = b a // b b (h.1) P  Hệ quả:  Nếu đường thẳng d song song mp(P) d song song đường thằng (P)  Nếu hai mặt phẳng cắt song song đường thẳng d giao tuyến chúng song song với d.(h.2) (P) (Q) = a, (P) // d , (Q) // d ⇒ a // d  Đònh lí: Nếu a b hai đường thẳng chéo có mặt phẳng (P) chứa a song song với b (h.3) b P (h.3) Q d (P) b' a III HAI MẶT PHẲNG SONG (h.2) SONG Hai mặt phẳng phân biệt (P) (Q); có hai vò trí tương đối:  Hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến d: (P) (Q) = d 78 Nhiều tác giả  Hai mặt phẳng song song chúng điểm chung Điều kiện để hai mặt phẳng song song  Đònh lí: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mp(Q) (P) song song (Q) a a ⊂ (P), b ⊂ (P), a ∩ b ≠ ∅   ⇒ (P) // (Q) α // ( Q), b // (Q)  b P Q  Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng song song đường thẳng nằm mặt phẳng song song mp (P) // (Q),a ⊂ (P) ⇒ a // (Q) Tính chất  Tính chất 1: Qua điểm nằm mp(P) có mp(Q) song song với mp(P) • Hệ 1: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) có mp(Q) chứa a song song mp(P) • Hệ 2: Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với • Hệ 3: Cho điểm A không nằm mp(P) Mọi đường thẳng qua A song song mp(P) nằm mp(Q) qua A song song mp(P)  Tính chất 2: Có hai mặt phẳng song song mặt phẳng cắt mặt phẳng thứ cắt mp thứ hai hai giao tuyến song song (P) // (Q), (R) ∩ (P) = a ⇒ (R) ∩ (Q) = b, b // a • Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn b a P (h.1) Q a (h.2) b P Q A A' B' B Hình học 79 BÀI QUAN HỆ VNG GĨC I ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG Đònh nghóa: Đường thẳng d gọi vuông góc mp (P) d vuông góc đường nằm (P) Kí hiệu d ⊥ (P) Điều kiện để đường thẳng d vuông góc mp(P) Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm (P) d vuông góc (P) d d ⊥ b ⊂ (P)   d ⊥ a ⊂ (P)  ⇒ d ⊥ (P) a ∩ b ≠ ∅  a Tính chất: a) Qua điểm có mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước b) Mặt phẳng vuông góc đoạn thẳng AB trung điểm gọi mặt phẳng trung trực đoạn AB M mặt phẳng trung trực (P) b (P) I A B M ⇔ MA = MB c) Qua điểm có đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước Liên hệ quan hệ song song quan hệ vuông góc đường thẳng mặt phẳng a) • Có hai đường thẳng song song, mặt phẳng vuông góc đường vuông góc đường • Hai đưởng thẳng phân biệt α vuông góc mặt phẳng song song β b) • Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng vuông góc mặt phẳng 80 Nhiều tác giả vuông góc mặt phẳng • Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc đường thẳng song song c) • Một đường thẳng mặt phẳng song song, đường thẳng vuông góc mặt phẳng vuông góc đường thẳng • Một đường thẳng mặt phẳng vuông góc đường thẳng đường thẳng song song nằm mặt phẳng Đònh lí ba đường vuông góc Cho a đường thẳng nằm mp (P), b đường thẳng không thuộc (P) vuông góc (P) có hình chiếu vuông góc (P) b’ Khi a vuông góc b a vuông góc b’ Góc đường thẳng mặt phẳng  Góc đường thẳng d mp(P) góc hình chiếu (P)  Khi d vuông góc (P) ta nói góc d (P) 90  Gọi α góc d mp (P) 00 ≤ α ≤ 900 b A d O (P) d' B b′ P a II HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Đònh nghóa: Góc hai mặt phẳng cắt góc hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng vuông góc vời giao tuyến I A (P) B (Q) Diện tích hình chiếu đa giác: Góc (P); (Q) Cho hình H có diện tích S nằm mặt phẳng (P) hình H’ có diện tích S’ hình chiếu H mặt phẳng (Q) Hình học 81 Nếu góc (P) (Q) ϕ thì: S’ = S.cosϕ Hai mặt phẳng vuông góc a) Đònh nghóa: Hai mặt phẳng gọi vuông góc góc chúng 900 Kí hiệu (P) ⊥ (Q) d (P) (Q) d ⊥ (P) d ⊂ (Q) ⇒ (Q) ⊥ (P) b) Đònh lí 1: Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vuông góc mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc mặt phẳng c) Các hệ • Hai mặt phẳng vuông góc nhau, đường thẳng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vuông góc mặt phẳng (P) ⊥ (Q); (P) ∩ (Q) = d   ⇒ a ⊥ (Q) a ⊂ (P), a ⊥ d  • Hai mặt phẳng cắt vuông góc mặt phẳng (P) giao tuyến chúng vuông góc mặt phẳng (P) d (Q) (P) 82 Nhiều tác giả (R)  Các vấn đề thường gặp VẤN ĐỀ 1: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm M đến mp (P) a) Cách tính: Q • Ta tìm mp (Q) chứa M vuông góc M (P) theo giao tuyến d d • Vẽ MH vuông góc d MH vuông góc mp(P) H • Khoảng cách từ M đến (P) P đoạn MH b) Đặc biệt: Khi tính khoảng cách từ M đến (P) cách tính đoạn MH mà khó ta đổi khoảng cách sau :  Đổi điểm song song: Ta tìm mặt phẳng (Q) vuông góc (P) theo giao tuyến d (không cần phải chứa M), từ M vẽ đường thẳng (D) song song với (P), đường thẳng (D) cắt mặt phẳng (Q) A A Suy ra: MA // mp(P) M d(A,(P)) = d(M,(P)) K (P) H  Đổi điểm cắt nhau: d(M,(P)) MH CM = d(A,(P)) Nếu đoạn MA cắt mp(P) CMA //(P) ta có⇒ d(M,(P)) = = d(A,(P)) AK CA M A C (P) H K Khoảng cách đường thẳng d song song mp(P) đến mp(P) khoảng cách từ điểm d đến (P) Cách dựng đoạn vuông góc chung đường chéo Hình học 83 • Cách 1: (Dựng song song) – Xác đònh mp (P) chứa d’ song song d – Lấy M d, vẽ MH vuông góc (P) H, qua H vẽ đường song song d đường cắt d’ B d M – Qua B vẽ đường song song MH cắt d A A Khi AB đoạn vuông góc chung H • Cách 2: (Dựng vuông góc) B d′ (P) – Dựng mp (β) vuông góc có d H – Dựng đường thẳng (D) hình chiếu vuông góc d′ lên mp(β) – Trong mp(β) vẽ HK ⊥ (D) – Từ K vẽ đường thẳng song song với d đường cắt d′ B – Từ B vẽ đường thẳng // HK đường cắt d A AB đường vuông góc chung cần dựng • Chú ý: Khi d vuông góc d′ – Xác đònh mp (P) chứa d vuông góc d’ B Từ B vẽ BA vuông góc d – Khi AB đoạn vuông góc chung d d’ d′ B (P) A d Khoảng cách hai đường chéo nhau: – Bằng độ dài đoạn vuông góc chung – Bằng khoảng cách đường thẳng thứ đến mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai song song đường thẳng thứ – Bằng khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng B/ BÀI TẬP MẪU Bài Đề dự bò ĐH khối B/04 · Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mp(ABC), SA = 3a, BA = BC = 2a, ABC = o 120 84 Nhiều tác giả h = SO: đường cao – Hình nón cụt phần hình nón giới hạn mặt đáy thiết diện vuông góc với đáy Sxq = π(R + R ').l O′ πh(R + R '2 + RR ') l2 = h + (R − R ')2 V= M R, R ' : bán kính hai đáy h = OO ' : chiều cao O l = MM ' : đường sinh M′ Bài Cho hình nón có chiều cao h Gọi (α) mặt phẳng qua đỉnh hình nón π tạo mặt đáy góc Tính theo h diện tích mặt cắt hình nón, biết 2π mặt cắt chắn đường tròn đáy cung có số đo Giải S Vẽ OH ⊥ AB SH ⊥ AB π · = ⇒ ∆ SHO vuông cân Ta có: SOH ⇒ SH = SO = h OH = SO = h » = 1200 ⇒ BOH · Ta có: sđ AB = 600 ∆ OBH vuông ⇒ tan600 = O BH OH B ⇒ AB = 2BH = 2h Do đó: dt ( ∆ SAB) = 1 SH.AB = (h )(2h )= h2 2 · Bài 2: Cho ∆ ABC vuông A, có AB = a ACB =α Người ta quay tam giác vòng quanh BC Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành theo a α Giải 136 Nhiều tác giả H A Vẽ đường cao AH ∆ABC ⊥ ⇒ sin α = tan α = AB a ⇒ BC = BC sin α AB ⇒ AC = A cot α AC ∆AHC ⊥ ⇒ sin α = AH AC A′ B ⇒ AH = ACsinα = acost sinα = acosα Khi quay ∆ ABC quanh BC khối tròn xoay tạo thành gồm hai hình nón có đáy đường tròn tâm H bán kính AH Ta có: V = π π BH.AH2 + CH.AH2 3 H α C A = π π AH2 (BH + CH) = AH BC 3 = π a a cos2 α π a a cos2 α (a cos2 ) = = = (a cos2 α) sin α sin α sin α sin α Bài Một hình nón có đường cao 20, bán kính đáy r = 25 a) Tính diện tích xung quanh hình nón b) Một thiết diện qua đỉnh cách tâm đáy 12 Tính diện tích thiết diện Giải a) ∆ SOA vuông ⇒ SA2 = SO2 + OA2 = 400 + 625 = 1025 ⇒ SA = 41 Vậy Sxq = π Rl = 25.5 = 125 41 S K b) Mặt phẳng qua đỉnh S cắt mặt nón theo hai đường sinh SM SN Vẽ OH ⊥ MN OK ⊥ SH Ta có MN ⊥ mp (SOH) nên MN ⊥ OK Vậy OK ⊥ mp(SMN) M O K học Hình H 137 A N ⇒ OK = 12 = d(O, mp (SMN)) ⇒ ∆SOH vuông 1 = − 2 OH OK SO2 1 = − 144 400 256 = 144.400 12 × 20 = 15 16 ∆OMH vuông ⇒ MH2 = OM2 − OH2 = 625 − 225 = 400 ⇒ MN = 2MH = 40 ∆SOH vuông ⇒ SH2 = SO + OH2 = 400 + 225 = 625 ⇒ SH = 25 1 Vậy: dt (∆SMN) = SH.MN = 25.40 = 500 2 ⇒ OH = · Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a BSC =α π với < α < Tính theo a α a) Thể tích khối chóp theo a α b) Diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp Giải a/ Gọi H tâm hình vuông ABCD SH ⊥ mp(ABCD) Gọi M trung điểm BC Ta có HM ⊥ BC ⇒ SM ⊥ BC a α S ∆ SMC vuông ⇒ SM = cot 2 α SHM vuông a cosα 2 ⇒ SH = a cot α − a = α sin 4 D a cosα V= Thể tích khối chóp: α sin H A a b/ Diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp là: S = π HB.SB a πa 2 a S = α ⇒ Với: HB = SB = α sin sin 2 C M B Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC, cạnh đáy a, góc đỉnh mặt bên α 138 Nhiều tác giả a) Tính thể tích khối chóp cho theo a α b) Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S nội tiếp hình chóp theo a α Giải a/ Gọi O tâm tam giác ABC SO ⊥ mp(ABC) Gọi I trung điểm BC Do ∆SBC cân nên SI ⊥ BC 1· α · BSI = BSC = 2 2 a a = Ta có: OB = BJ = 3 ∆ SBI vuông I A α BI α ⇒ sin = ⇒ BS = α SB sin SOB vuông O ⇒ SO2 = SB2 – OB2   ÷ a2  a2 a2 a2  − = −  ÷ =  cot = 12 α α 12   sin ÷ sin   Vậy: VS.ABC = h.dt ( ∆ ABC) a a2 α a3 α ⇒V= cot − = cot − 24 BI a S C J O I B α  − 1÷  a = cot α BI ⇒ l = SI = α 2 b/ ∆ SBI ⇒ tan = tan SI a R = OI = Vậy Sxq = πRl = π S a 3a α πa α cot = cot 2 12 Bài Cho S.ABC hình chớp tam giác có cạnh bên a góc mặt bên mặt đáy 300 Gọi hình nón nội tiếp hình chóp hình nón đỉnh S đáy đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tính diện tích xung quanh hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC theo a B A Giải Gọi J trung điểm BC, I tâm I J Hình học C 139 đường tròn nội tiếp tam giác ABC Do S.ABC hình chóp nên SI ⊥ mp(ABC) AJ ⊥ BC · ⇒ SJ ⊥ BC Vậy SJA = 300 Đặt r = IJ bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC ∆SIJ vuông ⇒ tan 300 = cos 30 = SJ = SI IJ IJ r ⇒ SI = SJ 2r ∆SIA vuông ⇒ SA = AI2 + SI2 r 3 r 13r 2 ⇒ a = (2r) +  = 4r + = ⇒r= ÷ ÷ 3   Vậy l = SJ = a 13 2r 2a = 13 13    2a  2a S = π r l = π =  Do đó: xq ÷ 13 ÷ 13 13    Bài Cho hình nón tròn xoay có chiều cao 15 cm, bán kính R = cm Tìm chiều cao bán kính đáy hình trụ có diện tích toàn phần lớn nội tiếp hình nón Tính diện tích toàn phần hình trụ S Giải Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình trụ nội tiếp hình nón với < r < < h < 15 Ta có: Stp = 2Sđáy + Sxq = π r2 + π rh AN MN 6−r h = ⇒ = Do MN // SH ⇒ AH SH 15 M A 140 Nhiều tác giả N K H B π 5r  ⇒ h = 15  − ÷ = 15 − 6  Vậy: 5r   S(r) = 2πr + 2πr  15 − ÷ 2  Ta có: S(r) = 2πr + 30πr − 5πr = 30πr − 3πr với < r < S’(r) = 30π − 6πr ; S’(r) = ⇔ r = r s' s Do đó: + – 75π CĐ r =  Smax = 75 π ⇔   h = C BÀI TẬP TỰ GIẢI BT1 Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Lấy A, B thuộc đường tròn tâm O · · cho d(O, AB) = a, SAO = 300, SAB = 600 Tính diện tích xung quanh hình nón BT2 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao SH h, góc SAB α với α > 450 Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD BT3 Cho hình nón µ có bán kính đáy R, đường cao SO Mặt phẳng (P) cố đònh vuông góc SO O' cắt theo đường tròn có bán kính đáy R ' Mặt phẳng (Q) thay đổi vuông góc SO O (O1 nằm O ) cắt hình nón theo thiết diện hình tròn có bán kính x Tính x theo R, (Q) chia hình nón nằm (P) đáy hình nón theo phần tích BT4 Cho hình nón có chiều cao h Gọi ( α ) mặt phẳng qua đỉnh hình nón tạo π 2π với đáy góc Tính diện tích mặt cắt chắn đáy có số đo BT5 Trong khối nón tròn xoay có diện tích toàn phần π khối có diện tích lớn BT6 Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h có bán kính đáy R Trong mặt phẳng qua đỉnh hình nón, xác đònh mặt phẳng cắt hình nón theo mặt cắt có diện tích lớn tính diện tích Hình học 141 VẤN ĐỀ 5: MẶT CẦU – THỂ TÍCH KHỐI CẦU Mặt cầu tâm I bán kính R, kí hiệu S(I, R) S(I, R) = { M / IM = R} I Hình cầu tâm I bán kính R, kí hiệu B(I, R) B(I, R) = { M / IM ≤ R} R Thể tích hình cầu B(I, R): M V = πR 3 Diện tích mặt cầu: smc = πR • Phương pháp xác đònh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD · · • Trường hợp 1: Nếu ABC = ADC = 1v A Hai điểm B D nhìn đoạn AC góc vuông nên nằm mặt cầu đường kính AC D B • Trường hợp 2: Nếu AB = AC = AD = a – Vẽ AH ⊥ mp (BCD) H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD – Trên mp (ABH) vẽ đường trung trực AB, đường cắt AH I I tâm mặt cầu (ABCD) – Do hệ thức lượng đường tròn (IJBH) ta có: AJ.AB = AI.AH ⇒ R = IA = a2 2AHα • Trường hợp 3: Nếu AB ⊥ mp (BCD) 142 C A J A I B D ∆ H J I B C D H Nhiều tác giả C Vẽ ( ∆ ) trục đường tròn (BCD) – Vẽ (α) mặt phẳng trung trực AB (∆) cắt (α) I I tâm mặt cầu (ABCD) – R = IB = IH2 + HB2 Bài Thiết diện qua trục hình nón tam giác đều, bán kính đáy hình nón R a) Tính thể tích khối nón cho b) Chứng minh diện tích đáy, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình tỉ lệ : : c) Chứng minh diện tích toàn phần hình nón diện tích mặt cầu mà đường kính chiều cao hình nón Giải ∆SAB cạnh 2R nên SO = 2R =R R πR 3 (πR ) = SO.dt.(đáy) = 3 2 Ta có Sđáy = πR Sxq = πR.SA = 2πR2 Stp = Sđáy + Sxq = 3πR2 Do Sđáy : Sxq : Stp = : : Diện tích xung quanh mặt cầu Vậy Vnón = bán kính S 2R 2R SO R = 2 R 3 Vậy Smc = 4π(SO ) = 4π  ÷ ÷ = 3πR = Stp   A B O Bài (Tuyển sinh Đại học khối D 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với theo giao tuyến (∆) Trên (∆) lấy hai điểm A, B mà AB = a Lấy Hình học 143 C (P) D (Q) cho AC BD vuông góc (∆) mà AC = AB = BD Tính bán kính mặt cầu qua điểm A, B, C, D khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Giải a/ Do hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với theo giao tuyến ( ∆ ) mà AC ⊥ (∆) AC P C nằm mặt phẳng (P) nên AC ⊥ mp (Q) ⇒ AC ⊥ AD Tương tự: BD ⊥ (∆) ⇒ BD ⊥ (P) ⇒ BD ⊥ BC · · Ta có : DBC = DAC = 1v K B ∆ A B A nhìn DC góc vuông nên nằm mặt cầu DC đường kính DC, R = 2 ∆ABC ⊥ cân ⇒ BC = 2a2 Q CD a + 2a a ∆BDC ⊥ ⇒ R= = = 2 b) Từ A vẽ AK ⊥ BC Ta có (P) ⊥ (Q) mà BD ⊥ ∆ nên DB ⊥ (P) ⇒ BD ⊥ AK Vậy AK ⊥ mp(BCD) Do đó: AK = d(A, BCD) = AC.AB = a = a BC a 2 Bài 3.Cho tứ diện SABC cạnh a Gọi I trung điểm đường cao SH tứ diện a) Chứng minh ba đường thẳng IA, IB, IC vuông góc với đôi S b) Xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC tính bá n kính theo a Giải a/ S.ABC tứ diện đường cao SH nên H tâm ∆ABC ∆SHB vuông H 2 a 3 2a ⇒ SH = SB − BH = a −  − = ÷ ÷  3 144 2 I M A B H Nhiều tác giả C O ⇒ SH = a a = 3 ∆IHB vuông 2 a 6 a 3 a2 ⇒ IB = IH + HB =  + = ÷  ÷ ÷  ÷     2 I ∈ SH ⇒ IA = IB = IC Xét ∆IBC có IB2 + IC2 = BC2 ⇒ IB ⊥ IC Tương tự ta có IC ⊥ IA, IA ⊥ IB b) Vì I H cách A, C, B nên tâm hình cầu qua điểm I, A, B, C phải nằm IH.Vẽ đường trung trực đoạn IB mp(BIH), đường cắt IH kéo dài O Ta có OA = OB = OC = OI , O tâm hình cầu qua bốn điểm A, B, C, I Gọi M trung điểm IB IB IH = Ta có: ∆IBH ~ ∆IOM ⇒ IO IM IB.IM IB2 a2 a ⇒ R = OI = = = = IH 2IH a 6 4 ÷   Bài Cho tứ diện ABCD có hai mặt bên (ACD) (BCD) vuông góc nhau, AB = BC = BD = AC = a, AD = a a) Chứng minh ∆ACD vuông b) Tính theo a diện tích mặt cầu xung quanh qua A, B, C, D Giải B a) Gọi M trung điểm CD ∆BCD cân B ⇒ BM ⊥ CD (ACD) ⊥ (BCD) ⇒ BM ⊥ (ACD) Do BC = BD = BA nên MC = MD = MA I O Vậy ∆ACD vuông A b) Do BC = BD = BA MC = MD = MA C nên BM trục đường tròn (ACD) Trong (BCD) đường trung trực BC cắt M BM O O tâm mặt cầu qua B, C, D, A ∆ACD vuông A ⇒ CD2 = AC2 + AD2 = a2 + 2a2 = 3a2 A a D Hình học 145 a 3 a2 ∆BCM vuông M ⇒ BM2 = BC2 – MC2 = a2 –  ÷ =   BI BO = ∆BIO ∽ ∆BMC ⇒ BM BC a2 BI.BC BC2 = ⇒ R = BO = ⇒R= a =a BM 2BM 2 Vậy Sxq = 4πR = 4πa Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a; SA = SB = a, hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) vuông góc với Tính diện tích xung quanh mặt cầu qua S, A, B, D Giải S Gọi J tâm hình vuông ABCD ∆ Gọi ∆ đường thẳng qua J ⊥ (ABCD) ∆ trục đường tròn (ABCD) Mp(SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ (ABCD) Do IJ ⊥ AB ⇒ IJ ⊥ (SAB) Vẽ (d) ⊥ (SAB) G (d) trục đường tròn (SAB) Ta có (d) cắt ∆ O O ∈ ∆ ⇒ OA = OB = OD O ∈ d ⇒ OA = OB = OS Vậy OA = OB = OD = OS ⇒ O tâm mặt cầu qua S, A, B, D Vậy OGIJ hình chữ nhật Ta có d // IJ SI // ∆ 2 2 ∆OSG vuông ⇒ R = SO = SG + OG 146 Nhiều tác giả d A ∆ SAB ⇒ SI ⊥ AB Gọi G tâm tam giác SAB O G Gọi I trung điểm AB D I J B C  a   a 2 a a 7a 2 2 SI + IJ = + = ⇒R =   ÷ ÷ ÷ +  ÷ 12 3   =   Do Sxqmc = πR = 7a π Bài (Tuyển sinh ĐH khối B năm 2010) Cho lăng trụ tam giác ABC.A 'B'C' có AB = a, góc hai mặt phẳng (A ' BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm ∆A 'BC Tính thể tích khối lăng trụ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC A' Giải • Gọi H trung điểm BC, ∆ABC ⇒ AH ⊥ BC C' Mà AA ' ⊥ mp(ABC) ⇒ A ' H ⊥ BC · ' HA = 60o Vậy A B' AA ' ∆A ' AH ⊥⇒ tan 60 = = AH a 3a ⇒ AA ' = = 2 o Và cos 60o = C AH = ⇒ A ' H = 2AH = a A 'H Do VLT = AA '.dt(∆ABC) = A G H 3a a 3a 3 = • Trong mặt phẳng (GHA) vẽ (d) đường trung trực GA cắt GI O O tâm mặt cầu qua G, A, B, C Gọi M trung điểm GA Gọi I tâm ∆ ABC C HG HI = = ⇒ GI // AA ' Ta có: HA ' HA GI 1 3a a = ⇒ GI = = Vậy: AA ' 3 2 B G M O d A H I B a 3a 21a a 2 a 3 = + = ∆GLA ⊥ ⇒ GA2 = GL2 + LA2 =  ÷ +  ÷ 36 2 3 ÷  Hình học 147 PG /(OMIA) = GM.GA = GO.GI Ta có: ⇒ R = GO = GM.GA GA 21a 21a 7a = = = = GI 2GI 36 a 36 12 · Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a; ABC = 60o , SA = SB = SC = a Gọi M trung điểm SD; N hình chiếu vuông góc M lên mp (ABCD) Tính thể tích khối S.ABCD Chứng minh sáu điểm S, B, A, C, M, N thuộc mặt cầu Giải · • ∆ABC có AB = BC = a ABC = 600 nên ∆ ABC tam giác Gọi G tâm ∆ ABC SA = SB = SC, GA = GB = GC nên SG ⊥ (ABCD) S Do MN ⊥ (ABCD) nên MN // SG N ∈ BD Ta có: ∆ SBG vuông M ⇒ SG2 = SB2 – BG2 H 2 a 3 I A = a –  ÷ ÷ 3  a2 2a = a2 =– 3 SG G Vậy VS.ABCD = dt (ABCD) B a 3 a 2a a = = • Gọi I tâm mặt cầu qua S, A, B, C S Thì I ∈ SG trục đường tròn (ABC) Ta có: IS = IB = R ⇒ ∆ ISB cân Gọi H trung điểm SB IH ⊥ SB I Ta có: PS/(IHBG) SI.SG SH.SB G ⇒ R = SI = SH.SB = SB SG 2SG = 148 Nhiều tác giả a2 a a = = a 2 2 D O N C M N J a a a − = 12 a a = NG = OG + ON = 3 6a 3a a a 3a ∆ IGN vuông ⇒ IN2 = IG2 + GN2 = + = + = 144 24 a a = Ta có IN = = R ⇒ N mặt cầu qua SABC 2 Ta có IG = SG – SI = a a a = ; SG 3 12 1 ⇒ IG = SG mà MN = SG ⇒ MN = IG Gọi K trung điểm MN Do IGNK hình chữ nhật nên IK ⊥ MN Vậy IM = IN = R Ta có: IG Do sáu điểm S, A, B, C, M, N thuộc mặt cầu tâm I với R = a C BÀI TẬP TỰ GIẢI BT1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SB = a a) Tính VS.ABCD b) Chứng minh trung điểm SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD BT2 Cho hình chóp tam giác cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc α Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp BT3 Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b Hai mặt phẳng (BCD) (ABC) vuông góc góc BDC 900 Xác đònh tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a b R BT4 Cho hình cầu đường kính AB = 2R, lấy H bán kính OB cho OH = Mặt phẳng (α) qua H vuông góc AB cắt hình cầu theo đường tròn (C) a) Tính diện tích hình tròn (C) b) Gọi CDE tam giác nội tiếp (C) Tính thể tích hình chóp ACDE BCDE BT5 Trong mặt phẳng cho đường tròn đường kính AB = 2R Lấy M di động đường tròn Vẽ MH vuông góc AB H với AH = x (0 < x < 2R) Dựng đường thẳng Hình học 149 vuông góc với (tại M lấy MS = MH Xác đònh tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABM Tìm x để bán kính mặt cầu đạt giá trò lớn BT6 Cho tứ diện S.ABCD có SA vuông góc mặt phẳng (ABC), nhò diện cạnh SB = π π  a, góc BSC , góc ASB α  < α < ÷ 2  a) Chứng minh SB vuông góc BC Xác đònh tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC b) Tính thể tích tứ diện SABC theo a α Tìm α để thể tích lớn BT7 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) Mặt phẳng qua A vuông góc SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Chứng minh điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ thuộc mặt cầu Tính diện tích mặt cầu BT8 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a SBD Hình chiếu vuông góc S lên mp(ABCD) trọng tâm ABD a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Xác đònh tâm bán kính mặt qua S, A, B, C, D (ĐSR = 150 a 35 ) 26 Nhiều tác giả [...]... dự bò Tuyển sinh ĐH khối B 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Cho AB = a, SA = a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB vàSSD Chứng minh SC vuông góc mặt phẳng: (AHK) và tính thể tích hình chóp O.AHK Giải Ta có: ∆SAD = ∆SAB ⇒ SH = SK và SB = SD SH SK = ⇒ HK // BD Vậy SB SD I M H K B A Hình học O D C 109 Mà BD ⊥ mặt phẳng (SAC)... S’ = S.cosϕ B BÀI TẬP MẪU Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA a và SA vuông góc Hình học 89 đáy Tính góc giữa: a) SB và CD b) SD và (ABCD) c) SC và (SAD) Giải a) Ta có: CD // AB nên góc giữa SB và CD bằng góc giữa SB và AB bằng · góc SBA SA · Tam giác SAB có tan SBA = = AB · ⇒ SBA = 60o b) Ta có: S 3 SD I (ABCD) = D A D B C SA ⊥ (ABCD) ⇒ AD là hình chiếu vuông góc của SD trên (ABCD)... (ABCD), SD = a a) Chứng minh ∆SBC vuông Tính diện tích ∆SBC b) Tính d(A, (SBC)) Hình học 95 Đáp số: a 6 6 BT17 (B2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Tính d(BA’, DB’) b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’ Tính góc của hai đường thẳng MP và NC BT18 (B2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm đoạn SA Gọi... GG′ // MB Ta có: BM ⊥ AB và SI D A I B M C Hình học 87 Nên MB ⊥ (SAB) ⇒ GG′ ⊥ (SAB) ⇒ GG′ ⊥ AK (1) và GG′ ⊥ BR ⇒ GG′ ⊥ AK và MN Vậy GG′ là đoạn vuông góc chung của AK và MN a Ta có: GG′ = d(AK, MN) = BM = 2 VẤN ĐỀ 2: CÁC BÀI TOÁN TÍNH GÓC 1 Góc giữa hai đường thẳng: Bằng góc giữa hai đường thẳng cùng phương với chúng và phát xuất từ một điểm  Tìm trong bài toán các đường thẳng song song với hai đường... 6 = = = AI 9 a 2 3 2 6 Bài 3 Tuyển sinh ĐH khối A/2003 Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ Tính góc của hai mặt phẳng (BA′C) và (DA′C) Giải Vẽ BH ⊥ A′C Ta có ∆A′BC = ∆A′CD (c.c.c) · · ⇒ BCH = HCD A′ ⇒ ∆HBC = ∆HCD (c.g.c) D′ · · ⇒ CHD = 1v = CHB · Vậy BHC là góc của B′ C′ hai mp(BA′C), (DA′C) ∆A′BC ⊥ tại B ⇒ BH = B′A.BC A ′C A D H B C Hình học 91 ⇒ HB = HD = a 2.a 2a + a 2 2 = a 6 3 Áp dụng đònh lý hàm... ĐH khối A/08) Cho hình chóp S.ABC có ba mặt bên là các tam giác vuông, SA = SB = SC = a Gọi M, N, E là trung điểm AB, AC, BC Gọi D là Hình học 99 điểm đối xứng của S qua E Gọi I = AD ∩ (SMN) Chứng minh AD vuông góc SI Tính thể tích khối S.MBI theo a A Giải • Trong mp (ABC) : MN ∩ AE = 0 là trung điểm MN (do MN // BC) Trong mp (ASD) : SO ∩ AD = I M thì I = AD ∩ (SMN) C S Do: SBDC hình vuông nên BC... Tính d(A, (SBC)) 2 Đáp số: a 2 2 BT14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = a, AD = 2a SA ⊥ (ABCD) và SA = a Tính d(A, (SBD)) Suy ra khoảng cách từ trung điểm I của SC đến (SBD) BT15 Cho hình thoi ABCD cạnh a và AC = a Từ trung điểm H của AB, vẽ SH vuông góc (ABCD) với SH = 2a Tính d(A, (SBC)) BT16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và D, AB = AD =... Tính thể tích khối S.ABC và khoảng cách từ B đến mp(SAC) Giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên BC Do (SBC) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC) Ta có: AB ⊥ BC ⇒ AB ⊥ SB SH 1 1 ∆SBH ⊥ ⇒ sin30o = = ⇒ SH = (2a 3 ) = a 3 2a 3 SB 2 2 1 1 1 Vậy VS.ABC = SHdt(∆ABC) = a 3 3a × 4a = 2 3 a3 4a 3 3 2 B o 30 ∆SAB ⊥ ⇒ SA2 = SB2 + AB2 = 12a2 + 9a2 = 21a2 3a S H Hình học A C 97 ∆SBH ⊥ ⇒ BH2 = SB2 – SH2 = 12a2 – 3a2 = 9a2... mp(SBC) Giải S Vẽ AI ⊥ BC, AH ⊥ SI Ta có BC ⊥ AI và SA ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH Vậy AH ⊥ (SBC) ∆ABI ⊥ ⇒ sin60o = AI 3 = AB 2 C 3 2a = a 3 2 ⇒ AI = Do đó AH = d(A, (SBC)) = 3a.a 3 = H A 9a + 3a 2 SA.AI SI = 2 B 3a 2 3 3 = a 2 2a 3 I Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), SA = a Gọi I là trung điểm SC Tính khoảng cách từ I đến (SBD) I Giải S... nên CI ⊥ (SAB) Do đó hình chiếu vuông góc của ∆SBC lên mp(SAB) là ∆SBI Ta có dt( ∆ISB ) = 1 1 3 3 SA.IB = SA( R) = R.SA 2 2 2 4 1 1 SA 2 + R 2 R 3 Dt( ∆SBC ) = SC.BC = 2 2 Mà: dt( ∆SIB ) = dt(∆SBC)cos600 Hình học 101 3 1 1 R.SA = SA 2 + R 2 R 3 ⇔ 4 2 2 R2 ⇔ 3SA 2 = SA 2 + R 2 ⇔ SA 2 = 2 ⇔ 3SA = SA 2 + R 2 1 R3 6 Vậy VS.ABC = SAdt(∆ABC) = 3 12 Bài 6 Tuyển sinh ĐH khối A/2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy