Toán HHKG Ôn Luyện HSG-Nguyễn Minh Đức

Đây là bài viết tổng hợp một số các bài toán nâng cao điển hình về Hình Học Không Gian cho Nguyễn Minh Đức biên soạn. Bài viết phục vụ thiên về luyện thi HSG toán THPT. Các bài toán được tổng hợp từ các đề thi HSG Tỉnh, Thành phố và kèm theo đáp án chi tiết. Mong tài liệu là nguồn kiến thức bổ trợ hiệu quả cho người đọc. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ độc giả.

Bài Viết Toán Học Ôn Luyện Hình Học Không Gian Part Bồi Dưỡng HSG Toán THPT THPT Lê Quảng Chí-Tx Kỳ Anh-T Hà Tĩnh Bài Toán 1: Cho góc tam diện vuông Oxyz Gọi a, b, c khoảng cách từ điểm I bên góc tam diện theo thứ tự đến ba mặt phẳng  Oyz  ,  Ozx   Oxy  Qua I vẽ mặt phẳng  P  cắt Ox, Oy, Oz A, B, C Phải chọn mặt phẳng  P  để thể tích tứ diện OABC nhỏ ? (Đề nghị Olympic 30-4) Bài Giải: Ta có: VIOAB VIOBC VIOCA   1 VOABC VOABC VOABC  Do đó: c a b   1 OC OA OB 1 abc abc VOABC  OA.OB.OC   6 a b c 6 a b c  OA  OB  OC OA OB OC    OA  3a a b c      OB  3b Dấu “=” xảy khi: OA OB OC OC  3c        abc Như ta cần chọn mặt phẳng  P  qua I cho OA  3a, OB  3b, OC  3c ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Bài Toán 2: Cho góc tam diện vuông Oxyz Gọi S điểm cố định tia Oz A, B hai điểm di động tia Ox, Oy cho OA  OB  OS  a Xác định theo a giá trị lớn thể tích khối tứ diện SOAB Nêu cách dựng tâm I mặt cầu ngoại tiếp tự diện SOAB tính theo a bán kính R mặt cầu thể tích khối tứ diện SOAB đạt giá trị lớn Khi A, B di động, chứng minh tổng góc phẳng đỉnh S tứ diện SOAB  (Đề nghị Olympic 30-4) Bài Giải: 1 OS OS  OA  OB  OS a3 Ta có: VSOAB  OA.OB.OS  OA.OB    6 24 24 a Dấu “=” xảy OA  OB  a a Vậy MaxVSOAB  Đạt OA  OB  24 Cách dựng tâm I:  Gọi M trung điểm AB Qua M dựng đường thẳng Mt vuông góc với mặt phẳng  OAB   Trong mặt phẳng  Oz, Mt  dựng đường thẳng  qua trung điểm N SO song song với OM  Vậy I giao của đường thẳng Mt với đường thẳng  theo cách dựng ta có IA  IB  IS  IO Bán kính R tính bởi: 2 a  OS  AB  OS  OA  OB R  OI  MN  ON  OM          4     2 ÔN LUYỆN 2 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Ta đặt góc phẳng đỉnh S sau: ASB   , OSA   , OSB       ,  ,   2  Khi ta có: SA2  SB  AB SO  OA2  SO  OB  OA2  OB cos    2SA.SB 2SA.SB SO  OA  OB  OA SO SO OB SO      sin  cos   cos  sin   cos      SA.SB SA.SB SA SB SA SB        dpcm  Bài Toán 3: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' , cạnh a Trên cạnh AA ' kéo dài phía A ' lấy điểm M , cạnh BC kéo dài phía C lấy điểm N cho MN cắt cạnh C ' D ' Tìm giá trị nhỏ đoạn MN (Đề nghị Olympic 30-4) Bài Giải: Gọi MN  C ' D '  I ', AN  CD  I  AMN    CDD ' C '  II '  Vì  AMN    ABB ' A '  AM  II ' AM   CDD ' C '  ABB ' A ' Đặt AM  x  0, BN  y  Theo định lý Thales ta có: A ' M MI ' AI BC xa a 1         AM MN AN BN x y x y a Ta có: MN  AM  AN  AM  BN  AB2  x  y  a Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có : 1     x  y  4a * a x y x y Lại có :  x  y  Do (*)  4a  1   8a  x  y  a  9a  x  y  a  3a   2 Từ (1) (2) suy ra: MN  3a Dấu “=” xảy x  y  2a Vậy giá trị nhỏ MN 3a đạt AM  BN  2a x y 2 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Bài Toán 4: Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo Hai điểm C , D thay đổi Ax By cho:   AC BD AB Chứng minh rằng: Mặt phẳng   chứa CD song song với AB qua điểm cố định I mặt phẳng    chứa Ax    song song với By Tìm vị trí C D cho thể tích tứ diện ABCD nhỏ (Đề nghị Olympic 30-4) Bài Giải: Dựng Ay ' song song với By Trên Ay ' lấy D ' cho AD '  BD Khi     DCD ' ,      ACD ' Ta có: AB AB      1 AC BD AB AC AD ' Giữa hai điểm C , D thỏa giả thiết, tồn điểm I thuộc CD ' cho: D'I AB  D ' C AC Với điểm I trên, gọi M  Ay ', N  Ax cho MI Ax, NI Ay ' Khi đó, áp dụng định lý Thales ta có: AN D ' I AB AB    AN  * AC D ' C AC AM CI D'I AB Do 1 AB AB   1  1   AM  ** AD ' CD ' D 'C AC AD ' Từ (*) (**) suy M , N cố định hay I cố định Do   qua điểm I cố định    Vì ABD  DD ' A nên VABCD  VC ABD  VC DD ' A  VD AD 'C Do VABCD nhỏ VD AD 'C nhỏ ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM   D  By Vì   d ( D,   )  d  D,  AD ' C    const By      Suy ra: VD AD 'C nhỏ diện tích S AD 'C nhỏ 1 Ta có: S AD 'C  AC AD 'sin A  AC.BD sin A 2 Nhận thấy S AD 'C nhỏ AC.BD nhỏ Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2   2  AC.BD  AB AB AC BD AC BD AB  AC   AB  Dấu “=” xảy    AB AC BD  BD   AB AB Vậy VABCD nhỏ hai điểm C , D thỏa mãn AC  ; BD  3 Bài Toán 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, có SA  a vuông góc với đáy M N điểm di động BC, CD tương ứng cho  NAM  450 Xác định vị trí M , N để hình chóp S AMN tích đạt giá trị lớn Tìm giá trị Bài Giải: Đặt MAB   ; NAD   a b Khi ta có: AM  ; AN  ;     900  MAN  450 cos  cos Ta có: 1 VS AMN  SA.S AMN  a AM AN sin 450 3 a 2 a2 a3 a3    cos  cos  cos  cos  cos      cos      ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM  a3  3cos     max cos        0    45 Vì   450      450   0    45 min cos         Từ suy ra:   450 ;   00 a3 Đạt  max VS AMN  0   ;   45 VS AMN   a3   Đạt     22 30' Bài Toán 6: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có khoảng cách từ A tới mặt phẳng  SBC  2a Gọi  góc mặt bên đáy hình chóp Với giá trị  thể tích hình chóp nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài Giải: Gọi M , N trung điểm AD BC Khi ta có: SNM   Vì DA BC nên DA  SBC   d  A,  SBC    d  M ,  SBC   1 Ta có: BC   SMN    SBC    SMN  Do kẻ MH  SN  H  SN  MH   SBC  Vậy d  M ,  SBC    MH  2 Từ (1) (2) ta suy MH  2a Từ ta có: MH 2a MN a MN    SO  ON tan   tan   sin  sin  cos  1  2a  a 4a Vậy VS ABCD  S ABCD SO  MN SO     3  sin   cos  3sin  cos  ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN * GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Từ (*) suy ra, để VS ABCD nhỏ A  sin  cos   phải đạt giá trị lớn Ta có:  A  sin  sin   2sin   A2  2  sin    sin    2sin   27  27  A 27 Dấu “=” xảy khi:  6    arcsin      6 4a Suy ra: VS ABCD   3a Dấu “=” xảy   arcsin     Vậy MinVS ABCD  3a3 sin    2sin   3sin    sin   Bài Toán 7: Hình chóp A.BCD có ACB  ADB  900 , AB  2a Đáy BCD tam giác cân B, có CBD  2 CD  a Tính thể tích khối chóp A.BCD theo a  (HSG Tỉnh Toán 12 Hà Tĩnh năm học 2010-2011) Bài Giải: AB  a Gọi H hình chiếu I  BCD  , M trung điểm CD , ta có ngay: Gọi I trung điểm AB Dễ dàng nhận thấy IB  IC  ID   H  BM   HB  HC  HD ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Theo định lí hàm sin ta có: BH  CD a  2sin CBD 2sin 2 a2 a Suy ra: d  I ,  BCD    IH  IB  BH  a   4sin 2  4sin 2 2sin 2 a  d  A,  BCD    2d  I ,  BCD    4sin 2  sin 2 a Từ tam giác BMC vuông M ta có: BM  DM tan   cot  Vậy 2 1 a a a3 4sin 2  VA.BCD  d  A,  BCD   S BCD  4sin 2  .cot  a  3 sin 2 2 24 sin  Bài Toán 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông với AB  2a, tam giác SAB vuông S Mặt phẳng  SAB  vuông góc với  ABCD  Biết góc tạo đường thẳng SD  SBC   với sin   Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ C đến  SBD  theo a Bài Giải: Ta có: BC  AB  BC   SAB   SA  BC Lại có SA  SB ,suy ra: SA   SBC  Vì góc tạo đường thẳng SD  SBC   với sin   nên ta có: SD SD d  D,  SBC    SD.sin    d  A,  SBC    A S   Do AD  SBC  3 Xét tam giác SAD vuông A (do DA   SAB  ) ta có: SA2  AD  SD  SA2  4a  9SA2  SA  Áp dụng định lý Py-ta-go ta được: SB  AB  SA2  ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN a a 14 GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Khi ta có: SH  SA.SB SA2  SB  a a 14 2  a   a 14           a 1 a a3 Vậy VS ABCD  SH S ABCD  4a  3 a3 Ta có: VC SBD  VS ABCD  a 14 3a Tam giác SBD có SB  , SD  3SA  , BD  2a 2 Dễ thấy SB2  SD2  DB2 nên suy tam giác SBD vuông S a3 3V a 14 3a 3a  2a Do SSBD   Suy ra: d  C ,  SBD    C BCD  2 2 S BCD 3a Bài Toán 9: Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh a Gọi M , N trung điểm DB, AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, đường thẳng DN lấy điểm Q cho PQ CM Tính độ dài PQ thể tích khối AMNP Bài Giải: Gọi F trung điểm AM , FN CM Vậy P  DF  AB Trên  DPN  dựng PQ  Q  DN  song song với FN Gọi E trung điểm PB Khi ME || PF suy PF đường trung bình tam giác AME Ta có: 1 PF  ME  PD  DF  PD 4 CM a FN   ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM a FN DF 3 a Suy ra:      PQ  PQ DP PQ V V AP AN 1 Ta có: APMN     VAMNP  ABCD VABMC AB AC 12 Lại có: VABCD  a3 12 1  2 Từ (1) (2) ta suy ra: VAMNP  a3 144 Bài Toán 10: Cho hình chóp S ABC có mặt phẳng  SBC   ABC  vuông góc với Các cạnh AB  AC  SA  SB  a Tìm độ dài cạnh SC cho khối a3 chóp S ABC tích V  (HSG Tỉnh Toán 12 Hà Tĩnh năm học 2012-2013) Bài Giải: Gọi H hình chiểu A BC Ta có tam giác vuông sau AHB  AHC  AHS (ch-cgv) Từ suy ra: HB  HC  HS  SBC vuông S 3a  x  BC  Đặt SC  x  Khi đó: BC  a  x  AH  AC       2 2 1 3a  x ax 3a  x ax  Vậy VSABC  AH SSBC  3 2 12 a3 Ta cần tìm x cho VSABC  Hay: 2 ax 3a  x a   x 3a  x  3a  3a  x  x 12 a Vậy độ dài SC cần tìm  ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN  0 x a GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Trong trình gõ viết, tránh khỏi sai sót Rất mong đóng góp ý kiến từ người để Nguyễn Minh Đức hoàn thành tốt viết phục vụ cho việc hoàn thành part2 bổ sung viết Cảm ơn! Sẽ tiếp tục cập nhật… My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu “Tôi thích truyền đạt” Nguyễn Minh Đức ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM [...]... dài SC cần tìm bằng 2  ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN  2 0 x a 6 2 GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Trong quá trình gõ bài viết, không thể tránh khỏi những sai sót Rất mong được sự đóng góp ý kiến từ mọi người để Nguyễn Minh Đức có thể hoàn thành tốt bài viết và phục vụ cho việc hoàn thành part2 bổ sung của bài viết Cảm ơn! Sẽ tiếp tục cập nhật… My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu “Tôi thích... tốt bài viết và phục vụ cho việc hoàn thành part2 bổ sung của bài viết Cảm ơn! Sẽ tiếp tục cập nhật… My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu “Tôi thích sự truyền đạt” Nguyễn Minh Đức ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM ... a3 2 144 Bài Toán 10: Cho hình chóp S ABC có các mặt phẳng  SBC  và  ABC  vuông góc với nhau Các cạnh AB  AC  SA  SB  a Tìm độ dài cạnh SC sao cho khối a3 chóp S ABC có thể tích V  8 (HSG Tỉnh Toán 12 Hà Tĩnh năm học 2012-2013) Bài Giải: Gọi H là hình chiểu của A trên BC Ta có các tam giác vuông sau bằng nhau AHB  AHC  AHS (ch-cgv) Từ đó suy ra: HB  HC  HS  SBC vuông tại S 3a 2 ... Sẽ tiếp tục cập nhật… My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu “Tôi thích truyền đạt” Nguyễn Minh Đức ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM ... BN  2a x y 2 ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Bài Toán 4: Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo Hai điểm C , D thay đổi Ax By cho:   AC BD AB Chứng minh rằng: Mặt... dài SC cần tìm  ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN  0 x a GMAIL: MINHDUCK2PI@GMAIL.COM Trong trình gõ viết, tránh khỏi sai sót Rất mong đóng góp ý kiến từ người để Nguyễn Minh Đức hoàn thành tốt