định lí py - ta - go mang đến nhiều toán thú vị Khi hỏi bạn học sinh lớp năm học 2003-2004 : “Nếu tam giác vuông cân có cạnh góc vuông cạnh huyền ?”, bạn lúng túng Điều dễ hiểu chương trình môn toán năm học 2003-2004 trở trước, học sinh lớp chưa học bậc hai Nhưng đặt câu hỏi cho học sinh lớp vào cuối học kì I năm học 2003-2004 bạn trả lời : - Quá dễ ! 12 + 12 = 2, đáp số ! Định lí Py-ta-go bậc hai sách giáo khoa Toán giúp ta có thêm nhiều khả tiếp cận toán thú vị Bài toán tính độ dài đoạn thẳng Ví dụ : Tính độ dài x, y hình Lời giải : áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AHC, AHB ta có : x2 = 162 + AH2 ; y2 = 92 + AH2 Do : x2 - y2 = (162+ AH2) - (92 + AH2) = 175 (1) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông BAC : x2 + y2 = (9 + 16)2 = 625 (2) Từ (1) (2) suy x2 = 400 ; y2 = 225 Do : x = 20 ; y = 15 Ví dụ : Một tam giác có độ dài hai cạnh 8, góc xen 60 o Tính độ dài cạnh lại Lời giải : (hình 2) Xét tam giác ABC có AB = ; AC = Kẻ đường cao AH Tam giác vuông AHB có A = 60o nên AH = AB : = : = Do AC = nên C nằm A H CH = AH - AC = - = Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông CHB, AHB ta có : BC2 = BH2 + CH2 = (AB2 - AH2 ) + CH2 = 82 - 42 + 12 = 49 Vậy BC = Ví dụ : Tính chu vi đường gấp khúc ABCDEA hình Hướng dẫn : Hãy kéo dài AB ED cho cắt I Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AIE, ta tính AE = 5, chu vi đường gấp khúc ABCDEA 12 Bài toán tính diện tích tam giác Ví dụ : Cho tam giác ABC có cạnh 1dm Số số sau cho giá trị sát với diện tích tam giác ABC : 0,4 dm2 ; 0,5 dm2 ; 0,6 dm2 ? Lời giải : (hình 4) Kẻ đường cao AH Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AHC ta có : AH2 = AC2 - HC2 = 12 - 0,52 = 0,75 Giá trị sát với diện tích tam giác ABC 0,4 dm Hướng dẫn : Chú ý 10 = 32 + 12 ; 20 = 22 + 42 ; 50 = (3 + 2)2 + (1 + 4)2 Lời giải : Vẽ thêm điểm D, H, E hình Ta tính SADB = 1,5 ; SBHC = ; SBDEH = ; SAEC = 12,5 Do : SABC = 12,5 - 1,5 - - = Mời bạn tự giải tập sau : Bài : Một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông Cạnh huyền tam giác có giá trị sát với số số sau : 2,6 ; 2,7 ; 2,8 ; Bài : Một tam giác có độ dài hai cạnh 5, góc xen 60o Tính độ dài cạnh thứ ba Bài : Một tam giác có độ dài hai cạnh 6, góc xen 120o Tính độ dài cạnh thứ ba Bài (bài toán Xem Lôi-đơ) : hội chợ, người ta quảng cáo bán hồ hình tam giác ba miếng đất hình vuông dựng ba cạnh (hình 6) Diện tích ba miếng đất 74 acrơ ; 116 acrơ ; 370 acrơ (1acrơ = 4047m 2) Bảng quảng cáo không nói rõ diện tích hồ làm nhiều người thắc mắc không rõ diện tích lớn hay nhỏ Bạn tìm diện tích hồ Hướng dẫn : 74 = 72 + 52 ; 116 = 102 + 42 đẳng thức thú vị Với số thực a, b, c, ta có : (a + b)(a + c) = a2 + (ab + bc + ca) = a(a + b + c) + bc (*) Với tôi, (*) đẳng thức thú vị Trước hết, từ (*) ta có : Hệ : Nếu ab + bc + ca = a2 + = (a + b)(a + c) Hệ : Nếu a + b + c = a + bc = (a + b)(a + c) Bây giờ, đến với vài ứng dụng (*) hai hệ Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Hãy tính giá trị biểu thức : Lời giải : Theo hệ ta có a2 + = a2 + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ; b2 + = b2 + (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ; c2 + = c2 + Suy (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b) Vì A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) = 2(ab + bc + ca) = Vấn đề khó ta hướng tới việc đánh giá biểu thức Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn (a +b)(a +c) = Chứng minh : Lời giải : a) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a(a + b + c) ; bc : = (a + b)( a + c) = a(a + b + c) + bc ≥ b) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a ; (ab + bc + ca)/2 ; (ab + bc + ca)/2 = (a + b)( a + c) = a2 + (ab + bc + ca) = Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh : Lời giải : Theo hệ ta có Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a2 + ab ; a2 + ac : Tương tự ta có Từ kết ta suy : Bài toán sau nguyên đề thi Châu - Thái Bình Dương năm 2002 viết lại cho đơn giản (thay (1/x ; 1/y ; 1/z) (a ; b ; c)) Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : Lời giải : Theo hệ bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có Tương tự ta có Từ kết ta suy : Để kết thúc, xin bạn làm thêm số tập : Bài tập : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Hãy tính giá trị biểu thức : Bài tập : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh : Bài tập : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : (a + bc)(b + ca)(c + ab) ≥ 64/81(ab + bc + ca)2 phương pháp tìm giá trị nhỏ giấ trị lớn Trong viết này, đề cập đến dạng toán tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức nhiều ẩn, ẩn nghiệm phương trình bất phương trình cho trước Đối với dạng toán này, ta cần xác định giải bất phương trình ẩn mà ẩn biểu thức cần tìm GTLN, GTNN Bài toán : Tìm GTLN GTNN xy biết x y nghiệm phương trình x4 + y4 - = xy(1 - 2xy) Lời giải : Ta có x4 + y4 - = xy(1 - 2xy) xy + = x4 + y4 + 2x2y2 xy + = (x2 + y2)2 (1) Do (x2 - y2)2 ≥ với x, y, dễ dàng suy (x2 + y2)2 ≥ 4(xy)2 với x, y (2) Từ (1) (2) ta có : xy + ≥ 4(xy)2 4t2 - t - ≤ (với t = xy) (t - 1)(4t + 3) ≤ Vậy : t = xy đạt GTLN x = y = ±1 ; t = xy đạt GTNN Bài toán : Cho x, y, z số dương thỏa mãn xyz ≥ x + y + z + Tìm GTNN x + y + z Lời giải : áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương x, y, z ta có : Vậy t = x + y + z đạt GTNN x = y = z = Bài toán : Cho số thực x, y, z thỏa mãn x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = Tìm GTLN GTNN A = xyz Lời giải : x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = (x2 + y2z2) + 2(y2 + x2z2) + 3x2y2z2 = (1) áp dụng bất đẳng thức m2 + n2 ≥ 2|mn| với m, n ta có : x2 + y2z2 ≥ 2|xyz| ; y2 + x2z2 ≥ 2|xyz| (2) Từ (1) (2) suy : 2|xyz| + 4|xyz| + 3(xyz)2 ≤ 3A2 + 6|A| - ≤ A2 + 2|A| - ≤ (|A| - 1)(|A| + 3) ≤ |A| ≤ -1 ≤ A ≤ Vậy : A đạt GTLN A đạt GTNN -1 Bài toán : Cho số thực x, y, z thỏa mãn x4 + y4 + x2 - = 2y2(1 - x2) Tìm GTLN GTNN x2 + y2 Lời giải : Ta có x4 + y4 + x2 - = 2y2(1 - x2) (x2 + y2)2 - 2(x2 + y2) - = -3x2 ≤ => t2 - 2t - ≤ (với t = x2 + y2 ≥ 0) => (t + 1)(t - 3) ≤ => t ≤ Vậy t = x2 + y2 đạt GTLN x = ; Ta lại có x4 + y4 + x2 - = 2y2(1 - x2) (x2 + y2)2 + x2 + y2 - = 3y2 ≥ => t2 + t - ≥ (với t = x2 + y2 ≥ 0) Vậy t = x2 + y2 đạt GTNN y = ; Bài tập tương tự 1) Cho x, y, z thỏa mãn : 2xyz + xy + yz + zx ≤ Tìm GTLN xyz Đáp số : 1/8(x = y = z = 1/2) 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn : (x + y + z)3 + x2 + y2 + z2 + = 29xyz Tìm GTNN xyz Đáp số : (x = y = z = 2) 3) Tìm GTLN GTNN S = x2 + y2 biết x y nghiệm phương trình : 5x2 + 8xy + 5y2 = 36 Đáp số : GTLN 36 GTNN 4) Cho x y số thực thỏa mãn : Tìm GTLN x2 + y2 Đáp số : (x = -1 ; y = 0) 5) Cho số thực x, y, z thỏa mãn : x2 + 4y2 + z2 = 4xy + 5x - 10y +2z - Tìm GTLN GTNN x - 2y Đáp số : GTLN (x =2y+4;y&1028R;z=1);GTNN 1(x=2y+1; y&1028 R;z =1) 6) Tìm số nguyên không âm x, y, z, t để M = x2 + y2 + 2z2 + t2 đạt GTNN, biết : Đáp số : x = ; y = ; z = ; t = Khi M đạt giá trị nhỏ 61 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Sau “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên” cô giáo Nguyễn Thị Lệ Huyền (TTT2 số 14), nhiều bạn bổ sung thêm phương pháp khác minh họa nhiều toán thú vị Kì này, tòa soạn tổng hợp giới thiệu tiếp số phương pháp từ gửi nhóm giáo viên Toán, trường THCS Phan Bội Châu, Hải Dương, nhà giáo Minh Trân, phòng giáo dục Hương Thuỷ, Thừa Thiên, Huế ; Phan Tuấn Dũng, 9A, THCS Phong Bắc, Kì Anh ; Dương Ngọc Tuyền, 9B, THCS Hoàng Xuân Hàn, Đức Thọ, Hà Tĩnh ; Dương Mạnh Linh, 9A2, THCS Lê Quý Đôn, ý Yên, Nam Định để bạn đọc tham khảo Phương pháp : Đưa dạng tổng Biến đổi phương trình dạng : vế trái tổng bình phương, vế phải tổng số phương Thí dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + y2 - x - y = (8) Lời giải : (8) Û 4x2 + 4y2 - 4x - 4y = 32 Û (4x2 - 4x + 1) + (4y2 - 4y + 1) = 34 Û |2x - 1|2 + |2y - 1|2 = 32 + 52 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng hai số phương 32 52 Do phương trình thỏa mãn hai khả : Giải hệ => phương trình (8) có bốn nghiệm nguyên (x ; y) Є {2 ; 3) ; (3 ; 2) ; (-1 ; -2) ; (-2 ; -1)} Phương pháp : lùi vô hạn Thí dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 - 5y2 = (9) Lời giải : Giả sử (x0 ; y0) nghiệm (9) : x02 - 5y02 = => x0 chia hết cho 5, đặt x0 = 5x1 ; (x1 Є Z), ta có : 25x12 - 5y02 = Û 5x12 - y02 = => y0 chia hết cho 5, đặt y0 = 5y1 ; (y1 Є Z) Từ ta có : 5x12 - 25y12 = Û x12 - 5y12 = Vậy (x0 ; y0) nghiệm nguyên (9) (x0/5 ; y0/5) nghiệm nguyên (9) Tiếp tục lập luận tương tự, ta có với k nguyên dương bất kì, nghiệm nguyên (9) hay x0 y0 chia hết cho 5k với k số nguyên dương tùy ý Điều xảy x0 = y0 = Vậy phương trình (9) có nghiệm x = y = Phương pháp : xét chữ số tận Thí dụ 10 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1! + 2! + + x! = y (10) Lời giải : Cho x ; ; ; 4, ta có nghiệm nguyên dương (x ; y) phương trình (10) (1 ; 1) (3 ; 3) Nếu x > dễ thấy k! với k > có chữ số tận ị 1! + 2! + ! + 4! + 5! + + x! = 33 + 5! + + x! có chữ số tận Mặt khác vế phải số phương nên có chữ số tận Vậy phương trình (10) có hai nghiệm nguyên dương (x ; y) Є {(1 ; 1) ; (3 ; 3)} Thí dụ 11 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình : x2 + x - = 32y + (11) Lời giải : Cho x giá trị từ đến 9, dễ dàng xác định chữ số tận x + x - nhận giá trị ; ; Mặt khác, ta thấy 2y + lũy thừa bậc lẻ nên chữ số tận 7, khác với ; ; Vậy (11) xảy Nói cách khác, phương trình (11) nghiệm nguyên dương Bài toán giải phương pháp sử dụng tính chất chia hết Phương pháp : Sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc hai Biến đổi phương trình dạng phương trình bậc hai ẩn, coi ẩn khác tham số, sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc để xác định giá trị tham số Thí dụ 12 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = (12) Lời giải : (12) Û y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + = Ta thấy phương trình có nghiệm y nguyên => - 4x - nguyên, mà x nguyên nên nguyên => ∆'y = x2 - = n2 với n Є Z, dùng phương pháp (đưa dạng tích) => (x + n)(x - n) = 4, ta xác định x = x = -2 Vậy phương trình (12) có hai nghiệm nguyên (x ; y) Є {(2 ;-5); (-2 ; 3)} Thí dụ 13 : Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 - (y + 5)x + 5y + = (13) Lời giải : Giả sử phương trình ẩn x có nghiệm nguyên x1, x2 theo định lí Vi-ét ta có : => (x1 - 5)(x2 - 5) = = 1.2 = (-1)(-2) => x1 + x2 = 13 x1 + x2 = => y = y = 2, thay vào (13), phương trình có nghiệm : (x ; y) Є {(7 ; 8) ; (6 ; 8) ; (4 ; 2) ; (3 ; 2)} Chú ý : Một số phương pháp mà bạn gọi phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên thấy đặc trưng cho phương trình nghiệm nguyên nên không giới thiệu Chẳng hạn có bạn nêu phương pháp chứng minh nghiệm với thí dụ giải phương trình nghiệm nguyên 2x + 5x = 7x Có bạn viết phương trình dạng phương trình bậc ẩn x đặt điều kiện ∆x ≥³ để có miền giá trị y, phương pháp thực trình bày thí dụ 7, không viết biệt thức ∆’ x Các bạn làm thêm số tập : Bài : Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình : a) 5x2 - 4xy + y2 = 169 b) 3x = 4y + Bài : Tìm nghiệm nguyên phương trình : a) 5x + 12x = 13x b) y4 = x6 + 3x3 + Bài : Chứng minh phương trình 25t = 2t5 + 1997 nghiệm nguyên < 4>Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 - 3y3 - 9z3 = Bài : Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x2 + 2y2 - 2xy + x + y - 10 = ... số thực x, y, z thỏa mãn : x2 + 4y2 + z2 = 4xy + 5x - 10y +2z - Tìm GTLN GTNN x - 2y Đáp số : GTLN (x =2y+4;y &102 8R;z=1);GTNN 1(x=2y+1; y &102 8 R;z =1) 6) Tìm số nguyên không âm x, y, z, t để M... pháp : xét chữ số tận Thí dụ 10 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1! + 2! + + x! = y (10) Lời giải : Cho x ; ; ; 4, ta có nghiệm nguyên dương (x ; y) phương trình (10) (1 ; 1) (3 ; 3) Nếu x... tòa soạn tổng hợp giới thi u tiếp số phương pháp từ gửi nhóm giáo viên Toán, trường THCS Phan Bội Châu, Hải Dương, nhà giáo Minh Trân, phòng giáo dục Hương Thuỷ, Thừa Thi n, Huế ; Phan Tuấn Dũng,