Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 7

84 3.9K 5
Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 7

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, ... b) 3, 24, 63, 120, 195, ... c) 1, 3, 6, 10, 15, ... d) 2, 5, 10, 17, 26, ... e) 6, 14, 24, 36, 50, ... f) 4, 28, 70, 130, 208, ... g) 2, 5, 9, 14, 20, ... h) 3, 6, 10, 15, 21, ... i) 2, 8, 20, 40, 70, ... Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n c) n( n + 1) 2 d) 1+n2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) n( n + 3) 2 (n + 1)(n + 2) h) 2 g) i) n( n +1)(n + 2) 3 Bài 2: Tính: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3 Bài 3: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 http://NgocHung.name.vn 1 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Hướng dẫn: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5: Tính: A = 4+12+24+40+...+19404+19800 Hướng dẫn: 1 A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100 2 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+...+4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+...+19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+...+4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100 http://NgocHung.name.vn 2 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 10: Tính: A = 12+22+32+...+992+1002 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 12+22+32+...+(n-1)2+n2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 22+42+62+...+982+1002 Hướng dẫn: A = 22(12+22+32+...+492+502) Bài 12: Tính: A = 12+32+52+...+972+992 Hướng dẫn: A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002) A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502) Bài 13: Tính: A = 12-22+32-42+...+992-1002 Hướng dẫn: A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002) Bài 14: Tính: A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) Bài 15: Tính: A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101 http://NgocHung.name.vn 3 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2) A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99) Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2) A = (22+42+62+...+982+1002)+4(1+2+3+...+49+50) Bài 17: Tính: A = 13+23+33+...+993+1003 Hướng dẫn: A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1) A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.10098.99+(12+22+32+...+992+1002) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) (12+22+32+... +992+1002) Bài 18: Tính: A = 23+43+63+...+983+1003 Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 13+33+53+...+973+993 Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 13-23+33-43+...+993-1003 Hướng dẫn: http://NgocHung.name.vn 4 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT I. TỈ LỆ THỨC 1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số a c = (hoặc a : b = c : d). b d Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tính chất: Tính chất 1: Nếu a c = thì ad = bc b d Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau: a c = , b d a b = , c d d c = b a , d b = c a Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU -Tính chất: Từ a c a c a+c a−c = suy ra: = = = b d b d b+d b−d -Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: a c e a c e a+b+c a −b+c = = = = = = = ... suy ra: b d f b d f b+d + f b−d + f (giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). http://NgocHung.name.vn 5 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 * Chú ý: Khi có dãy tỉ số a b c = = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. 2 3 5 Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC. Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết x y = và x + y = 20 2 3 Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt x y = =k 2 3 , suy ra: x = 2k , y = 3k Theo giả thiết: x + y = 20 ⇒ 2k + 3k = 20 ⇒ 5k = 20 ⇒ k = 4 Do đó: x = 2.4 = 8 y = 3.4 = 12 KL: x = 8 , y = 12 Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y x + y 20 = = = =4 2 3 2+3 5 Do đó: x =4⇒ x =8 2 y = 4 ⇒ y = 12 3 KL: x = 8 , y = 12 Cách 3: (phương pháp thế) Từ giả thiết x y 2y = ⇒x= 2 3 3 http://NgocHung.name.vn 6 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 mà x + y = 20 ⇒ Do đó: x = 2y + y = 20 ⇒ 5 y = 60 ⇒ y = 12 3 2.12 =8 3 KL: x = 8 , y = 12 Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: x y y z = , = và 2 x − 3 y + z = 6 3 4 3 5 Giải: Từ giả thiết: x y x y = ⇒ = 3 4 9 12 (1) y z y z = ⇒ = 3 5 12 20 (2) Từ (1) và (2) suy ra: x y z = = 9 12 20 (*) Ta có: x y z 2x 3y z 2x − 3y + z 6 = = = = = = = =3 9 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 2 Do đó: x = 3 ⇒ x = 27 9 y = 3 ⇒ y = 36 12 z = 3 ⇒ z = 60 20 KL: x = 27 , y = 36 , z = 60 Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt x y z = = =k 9 12 20 VD1). Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: y z 3z = ⇒y= 3 5 5 x y 3y = ⇒x= = 3 4 4 http://NgocHung.name.vn 3z 5 = 9z 4 20 3. 7 ( sau đó giải như cách 1 của Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 mà 2 x − 3 y + z = 6 ⇒ 2. Suy ra: y = 3.60 = 36 , 5 9z 3z z − 3. + z = 6 ⇒ = 60 ⇒ z = 60 20 5 10 x= 9.60 = 27 20 KL: x = 27 , y = 36 , z = 60 Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: x y = và x. y = 40 2 5 Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt x y = =k 2 5 , suy ra x = 2k , y = 5k Theo giả thiết: x. y = 40 ⇒ 2k .5k = 40 ⇒ 10k 2 = 40 ⇒ k 2 = 4 ⇒ k = ±2 + Với k = 2 ta có: x = 2.2 = 4 y = 5.2 = 10 + Với k = −2 ta có: x = 2.(−2) = −4 y = 5.(−2) = −10 KL: x = 4 , y = 10 hoặc x = −4 , y = −10 Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiên x ≠ 0 x y x 2 xy 40 = = = =8 Nhân cả hai vế của với x ta được: 2 5 2 5 5 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = ±4 + Với x = 4 ta có + Với x = −4 ta có 4 y 4.5 = ⇒y= = 10 2 5 2 −4 y − 4.5 = ⇒y= = −10 2 5 2 KL: x = 4 , y = 10 hoặc x = −4 , y = −10 Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1. BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: http://NgocHung.name.vn 8 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 a) x y z = = và 5 x + y − 2 z = 28 10 6 21 c) 2x 3y 4z = = và x + y + z = 49 3 4 5 d) e) x y = và x 2 − y 2 = 4 5 3 f) y + z + 1 = z + x + 1 = x + y − 2 = x + y + z b) x y y z = , = và 2 x + 3 y − z = 124 3 4 5 7 x y = và xy = 54 2 3 x y z Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) x y z = = và 5 x + y − 2 z = 28 10 6 21 c) 2x 3y 4z = = và x + y + z = 49 3 4 5 d) e) x y = và x 2 − y 2 = 4 5 3 f) y + z + 1 = z + x + 1 = x + y − 2 = x + y + z b) x y y z = , = và 2 x + 3 y − z = 124 3 4 5 7 x y = và xy = 54 2 3 x y z Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) 3x = 2 y , 7 y = 5 z và x − y + z = 32 b) x −1 y − 2 z − 3 = = 2 3 4 c) 2 x = 3 y = 5 z và x + y − z = 95 d) x y z = = và xyz = 810 2 3 5 e) y + z +1 z + x + 2 x + y − 3 1 = = = x y z x+ y+z và 2 x + 3 y − z = 50 f) 10 x = 6 y và 2 x 2 − y 2 = −28 Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) 3x = 2 y , 7 y = 5 z và x − y + z = 32 b) x −1 y − 2 z − 3 = = 2 3 4 c) 2 x = 3 y = 5 z và x + y − z = 95 d) x y z = = và xyz = 810 2 3 5 e) y + z +1 z + x + 2 x + y − 3 1 = = = x y z x+ y+z f) 10 x = 6 y và 2 x 2 − y 2 = −28 Bài 5: Tìm x, y biết rằng: 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x Bài 6: Tìm x, y biết rằng: http://NgocHung.name.vn và 2 x + 3 y − z = 50 9 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x Bài 7: Cho a + b + c + d ≠ 0 và Tìm giá trị của: A = Giải: a b c d = = = b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c a+b b+c c+d d +a + + + c+d a+d a+b b+c a b c d a +b+c +d 1 = = = = = b + c + d a + c + d a + b + d a + b + c 3(a + b + c + d ) 3 ( Vì a + b + c + d ≠ 0 ) =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng: x 7 a) y = 3 và 5x – 2y = 87; b) x y = và 2x – y = 34; 19 21 2x + 1 3y − 2 2x + 3y − 1 = = c) 5 7 6x b) x 3 y3 z3 = = và x2 + y2 + z2 = 14. 8 64 216 Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 10: Tìm các số x, y, z biết : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y. Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng của a và b ? Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: số đó ? a b c , , . b +c c +a a +b Biết a+b+c ≠ 0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó? Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: http://NgocHung.name.vn 10 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 [ab( ab − 2cd ) + c d ].[ ab( ab − 2) + 2(ab + 1)] = 0 2 2 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. 2 2 Giải:  ab ( ab − 2cd ) + c d  .  ab ( ab − 2 ) + 2(ab + 1)  = 0 => ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b) =>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC Để chứng minh tỉ lệ thức: A C = ta thường dùng một số phương pháp sau: B D Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số A C và có cùng giá trị. B D Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. Một số kiến thức cần chú ý: +) a na = b nb (n ≠ 0) n a c a c +) = ⇒   =   b d b d  n Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức a c = b d .Chứng minh rằng: Giải: Cách 1: (PP1) Ta có: (a + b)(c − d ) = ac − ad + bc − bd (1) (a − b)(c + d ) = ac + ad − bc − bd (2) a c = ⇒ ad = bc b d (3) Từ giả thiết: Từ (1), (2), (3) suy ra: (a + b)(c − d ) = (a − b)(c + d ) ⇒ http://NgocHung.name.vn a+b c+d = a−b c−d (đpcm) 11 a+b c+d = a−b c−d Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Cách 2: (PP2) a c = = k , suy ra a = bk , c = dk b d Đặt a+b kb + b b( k + 1) k +1 Ta có: a − b = kb − b = b(k − 1) = k − 1 (1) c + d kd + d d (k + 1) k + 1 = = = c − d kd − d d (k − 1) k − 1 Từ (1) và (2) suy ra: a+b c+d = a−b c−d (2) (đpcm) Cách 3: (PP3) Từ giả thiết: a c a b = ⇒ = b d c d Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a+b a−b = = = c d c+d c−d ⇒ a+b c+d = a−b c−d (đpcm) Hỏi: Đảo lại có đúng không ? Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức a c = b d . Chứng minh rằng: ab a 2 − b 2 = cd c 2 − d 2 Giải: Cách 1: Từ giả thiết: Ta có: ( a c = ⇒ ad = bc b d (1) ) ab c 2 − d 2 = abc 2 − abd 2 = acbc − adbd ( ) cd a 2 − b 2 = a 2 cd − b 2 cd = acad − bc.bd http://NgocHung.name.vn 12 (2) (3) Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 ( ) Ta có: ) ab a 2 − b 2 = cd c 2 − d 2 ⇒ Cách 2: Đặt ( ab c 2 − d 2 = cd a 2 − b 2 Từ (1), (2), (3) suy ra: (đpcm) a c = = k , suy ra a = bk , c = dk b d ab bk .b kb 2 b 2 = = = cd dk .d kd 2 d 2 (1) ( ( ) ) a 2 − b 2 (bk ) 2 − b 2 b2k 2 − b2 b2 k 2 −1 b2 = = = = c 2 − d 2 (dk ) 2 − d 2 d 2 k 2 − d 2 d 2 k 2 − 1 d 2 Từ (1) và (2) suy ra: ab a 2 − b 2 = cd c 2 − d 2 (2) (đpcm) a c a b ab a 2 b 2 a 2 − b 2 Cách 3: Từ giả thiết: = ⇒ = ⇒ = 2 = 2 = 2 b d c d cb c d c −d2 ⇒ ab a 2 − b 2 = cd c 2 − d 2 (đpcm) BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Cho tỉ lệ thức: a c = . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết b d các tỉ số đều có nghĩa). 1) 2 3a + 5b 3c + 5d = 3a − 5b 3c − 5d a2 + b2 a+b =  c2 + d 2 c+d  2)  ab ( a − b ) = 4) cd ( c − d ) 2 2 a−b c−d = 3) a+b c+d 5) 2a + 5b 2c + 5d = 3a − 4b 3c − 4d http://NgocHung.name.vn 6) 13 2005a − 2006b 2005c − 2006d = 2006c + 2007 d 2006a + 2007b Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 7 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd = 8) 2 7 a − 5ac 7b 2 − 5bd a c = 7) a+b c+d Bài 2: Cho tỉ lệ thức: a c = . b d Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). 2 3a + 5b 3c + 5d = a) 3a − 5b 3c − 5d a2 + b2 a+b b)   = 2 c +d2 c+d  ab ( a − b ) = cd ( c − d ) 2 2 d) e) c) 2a + 5b 2c + 5d = 3a − 4b 3c − 4d a−b c−d = a+b c+d f) 2008a − 2009b 2008c − 2009d = 2009c + 2010d 2009a + 2010b 7a 2 + 3ab 7c 2 + 3cd = i) 11a 2 − 8b 2 11c 2 − 8d 2 7 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd = h) 2 7 a − 5ac 7b 2 − 5bd a c = g) a+b c+d 3 a b c a  a+b+c Bài 3: Cho = = . Chứng minh rằng:   = b c d d b+c+d  a b c Bài 4: Cho = = . Chứng minh rằng: b c d Bài 5: Cho 3 a  a+b+c   = d b+c+d  a b c = = 2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a) 2 a a a a 3 2008 1 2 Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: a = a = a = ... = a 2 3 4 2009 CMR: Ta có đẳng thức: a a 2008 a 2009  a + a 2 + a 3 +... + a 2008  = 1 ÷  a 2 + a 3 + a 4 +... + a 2009  a a a1 8 9 1 2 Bài 7: Cho a = a = ............... = a = a 2 3 9 1 http://NgocHung.name.vn và a1 + a 2 + ... + a9 ≠ 0 14 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Chứng minh rằng: a1 = a 2 = ... = a9 Bài 8: Cho a b c = = 2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a) 2 Bài 9: Chứng minh rằng nếu : a a b a2 + b2 a = = thì 2 b d b +d2 d a a a 8 9 1 2 Bài 10: Cho a = a = ............... = a = a 2 3 9 1 và a1 + a 2 + ... + a9 ≠ 0 Chứng minh rằng: a1 = a 2 = ... = a9 Bài 11: CMR: Nếu a 2 = bc thì a+b c+a = a−b c−a . Đảo lại có đúng không? a b a2 + b2 a = = Bài 12: Chứng minh rằng nếu : thì 2 b d b +d2 d Bài 13: Cho a+b c+d = a−b c−d Bài 14. Cho tỉ lệ thức : . CMR: a 2 +b 2 ab = 2 2 c +d cd a c = b d . Chứng minh rằng: a c = b d . 2 2 ( a + b ) = ab ⇒ ( a + b )( a + b ) = a.b a 2 +b 2 ab 2ab a + 2ab + b = = = ; = 2 2 2 2 2cd c + 2cd + d ( c + d ) 2 cd ( c + d )( c + d ) c.d cd c +d 2 Giải. Ta có : ⇒ c( a + b ) b( c + d ) ca + cb bc + bd ca − bd a c = = = = = 1 ⇒ ca + cb = ac + ad ⇒ cb = ad ⇒ = a( c + d ) d ( a + b ) ac + ad da + db ca − bd b d Bài 15: Chứng minh rằng nếu: Bài 16: CMR: Nếu a 2 = bc thì u+2 v+3 = u −2 v−3 a+b c+a = a−b c−a Bài 17: CMR nếu a( y + z ) = b( z + x) = c( x + y ) http://NgocHung.name.vn 15 thì u v = 2 3 . Đảo lại có đúng không? Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 y−z z−x x− y trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : a(b − c) = b(c − a) = c(a − b) Bài 18: Cho Bài 19: Cho a+b c+d = a−b c−d . CMR: a c = b d a c = . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0 b d Chứng minh rằng: xa + yb xc + yd = za + tb zc + td Bài 20: Chứng minh rằng nếu: u +2 v+3 = u −2 v−3 thì u v = 2 3 Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 = ac ; c 2 = bd và b 3 + c 3 + d 3 ≠ 0 a3 + b3 + c3 a Chứng minh rằng: 3 3 3 = d b +c +d Bài 22: CMR nếu a( y + z ) = b( z + x) = c( x + y ) .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : y−z z−x x− y = = a(b − c) b(c − a) c(a − b) Bài 23: Cho P = a b c ax 2 + bx + c . Chứng minh rằng nếu a = b = c thì giá trị của P 2 a1 x + b1 x + c1 1 1 1 không phụ thuộc vào x. Bài 24: Cho biết : Bài 25: Cho a b' b c' + = 1; ' + = 1 ' a b b c . CMR: abc + a’b’c’ = 0. a c = . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0 b d Chứng minh rằng: xa + yb xc + yd = za + tb zc + td Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 = ac http://NgocHung.name.vn 16 ; c 2 = bd và b 3 + c 3 + d 3 ≠ 0 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 a3 + b3 + c3 a Chứng minh rằng: 3 3 3 = d b +c +d Bài 27: Cho P = a b c ax 2 + bx + c . Chứng minh rằng nếu a = b = c thì giá trị của P 2 a1 x + b1 x + c1 1 1 1 không phụ thuộc vào x. Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 2a +13b 2c +13d = 3a −7b 3c −7d Bài 29: Cho dãy tỉ số : bz −cy cx −az ay −bx = = a b c ; a c = b d . x y z = = a b c . Chứng minh rằng: ; CMR: Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010 Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A> MỤC TIÊU Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn. B> THỜI LƯỢNG Tổng số :(6 tiết) 1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết) 2)Các dạng bài tập và phương pháp giải(5 tiết) 1. Lý thuyết *Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a( a là số thực) http://NgocHung.name.vn 17 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 * Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó. TQ: Nếu a ≥ 0 ⇒ a = a Nếu a < 0 ⇒ a = −a Nếu x-a ≥ 0=> = x-a Nếu x-a ≤ 0=> = a-x *Tính chất Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm TQ: a ≥ 0 với mọi a ∈ R Cụ thể: =0 a=0 ≠ 0 a ≠ 0 * Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. a = b TQ: a = b ⇔   a = −b * Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó. TQ: − a ≤ a ≤ a và − a = a ⇔ a ≤ 0; a = a ⇔ a ≥ 0 * Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn TQ: Nếu a < b < 0 ⇒ a > b * Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn TQ: Nếu 0 < a < b ⇒ a < b * Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. TQ: a.b = a . b * Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối. TQ: a a = b b * Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó. 2 TQ: a = a 2 * Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu. TQ: a + b ≥ a + b và a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0 2. Các dạng toán : I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: A(x) = k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước ) * Cách giải: http://NgocHung.name.vn 18 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 - Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm ) - Nếu k = 0 thì ta có A( x) = 0 ⇒ A( x) = 0  A( x) = k  A( x) = − k - Nếu k > 0 thì ta có: A( x) = k ⇒  Bài 1.1: Tìm x, biết: a) 2 x − 5 = 4 b) Giải a) = 4 x= ± 4 a) 2 x − 5 = 4 2x-5 = ± 4 * 2x-5 = 4 2x = 9 x = 4,5 * 2x-5 = - 4 2x =5-4 2x =1 x =0,5 Tóm lại: x = 4,5; 1 3 b) − 1 5 1 − − 2x = 3 4 4 c) 1 1 1 − x+ = 2 5 3 d) 3 7 − 2x + 1 = 4 8 x =0,5 5 1 − 2x = 4 4 = Bài 1.2: Tìm x, biết: a) 2 2 x − 3 = 1 2 b) 7,5 − 3 5 − 2 x = −4,5 c) x + 4 − − 3,75 = − − 2,15 15 Bài 1.3: Tìm x, biết: a) 2 3x − 1 + 1 = 5 b) x −1 = 3 2 c) − x + 2 1 + = 3,5 5 2 d) x − 1 1 =2 3 5 Bài 1.4: Tìm x, biết: a) x + 1 3 − = 5% 4 4 b) 2 − 3 1 −5 x− = 2 4 4 c) 3 4 3 7 + x− = 2 5 4 4 d) 4,5 − 3 1 5 5 x+ = 4 2 3 6 Bài 1.5: Tìm x, biết: 9 1 11 3 1 7 15 3 1 =2 + : 4x − = b) c) − 2,5 : x + = 3 4 3 4 2 5 2 4 4 2 21 x 2 + 3: − = 6 5 4 3 2. Dạng 2: A(x) = B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) a) 6,5 − : x + http://NgocHung.name.vn 19 d) Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 * Cách giải: a = b  A( x) = B ( x ) ta có: A( x) = B( x) ⇒   a = −b  A( x) = − B ( x) Vận dụng tính chất: a = b ⇔  Bài 2.1: Tìm x, biết: a) 5 x − 4 = x + 2 b) 2 x − 3 − 3x + 2 = 0 a) 5 x − 4 = x + 2 * 5x-4=x+2 5x- x =2+4 4x=6 x= 1,5 * 5x-4=-x-2 5x + x =- 2+ 4 6x= 2 x= Vậy x= 1,5; x= c) 2 + 3x = 4 x − 3 d) 7 x + 1 − 5 x + 6 = 0 Bài 2.2: Tìm x, biết: a) 3 1 5 7 5 3 7 2 4 1 7 5 1 x + = 4 x − 1 b) x − − x + = 0 c) x + = x − d) x + − x + 5 = 0 2 2 4 2 8 5 5 3 3 4 8 6 2 3. Dạng 3: A(x) = B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) * Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau: A( x ) = B ( x) (1) Điều kiện: B(x) ≥ 0 (*)  A( x) = B ( x ) (1) Trở thành A( x) = B( x) ⇒  ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều  A( x) = − B ( x) kiện ( * ) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a ≥ 0 ⇒ a = a Nếu a < 0 ⇒ a = −a Ta giải như sau: A( x) = B( x) (1) • Nếu A(x) ≥ 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện ) • Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện ) VD1: Giải : a0) Tìm x ∈ Q biết =2x * Xét x+ ≥ 0 ta có x+ =2x http://NgocHung.name.vn 20 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 *Xét x+ < 0 ta có x+ =- 2x Bài 3.1: Tìm x, biết: 1 x = 3 − 2x 2 c) 5 x = x − 12 d) 7 − x = 5 x + 1 Bài 3.2: Tìm x, biết: a) 9 + x = 2 x b) 5 x − 3x = 2 c) x + 6 − 9 = 2 x d) 2 x − 3 + x = 21 Bài 3.3: Tìm x, biết: a) 4 + 2 x = −4 x b) 3x − 1 + 2 = x c) x + 15 + 1 = 3x d) 2 x − 5 + x = 2 Bài 3.4: Tìm x, biết: a) 2 x − 5 = x + 1 b) 3x − 2 − 1 = x c) 3x − 7 = 2 x + 1 d) 2 x − 1 + 1 = x Bài 3.5: Tìm x, biết: a) x − 5 + 5 = x b) x + 7 − x = 7 c) 3x − 4 + 4 = 3x d) 7 − 2 x + 7 = 2 x a) b) x − 1 = 3x + 2 4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: * Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A( x ) + B ( x ) + C ( x) = m Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng ) Ví dụ1 : Tìm x biết rằng x − 1 + x − 3 = 2 x − 1 (1)  Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x Giải Xét x – 1 = 0 ⇔ x = 1; x – 1 < 0 ⇔ x < 1; x – 1 > 0 ⇔ x > 1 x- 3 = 0 ⇔ x = 3; x – 3 < 0 ⇔ x < 3; x – 3 > 0 ⇔ x > 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây: x 1 3 x–1 0 + + x–3 - 0 + Xét khoảng x < 1 ta có: (1) ⇔ (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 ⇔ -2x + 4 = 2x – 1 5 ⇔ x = (giá trị này không thuộc khoảng đang xét) 4 ≤ ≤ Xét khoảng 1 x 3 ta có: (1) ⇔ (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 ⇔ 2 = 2x – 1 3 ⇔ x = ( giá trị này thuộc khoảng đang xét) 2 http://NgocHung.name.vn 21 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Xét khoảng x > 3 ta có: (1) ⇔ (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1 ⇔ - 4 = -1 ( Vô lí) 3 Kết luận: Vậy x = . 2 VD2 : Tìm x + =0 Nhận xét x+1=0 => x=-1 x-1=0 => x=1 Ta lập bảng xét dấu x -1 1 x+1 0 + + x-1 0 + Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp Nếu x1 Bài 4.1: Tìm x, biết: a) 4 3x − 1 + x − 2 x − 5 + 7 x − 3 = 12 1 5 1 5 b) 3 x + 4 − 2 x + 1 − 5 x + 3 + x − 9 = 5 1 5 1 2 c) 2 − x + x − + 8 = 1,2 1 2 Bài 4.2: Tìm x, biết: a) 2 x − 6 + x + 3 = 8 c) x + 5 + x − 3 = 9 d) x − 2 + x − 3 + x − 4 = 2 e) x + 1 + x − 2 + x + 3 = 6 f) 2 x + 2 + 4 − x = 11 Bài 4.3: Tìm x, biết: a) x − 2 + x − 3 + 2 x − 8 = 9 b) 3x x + 1 − 2 x x + 2 = 12 c) x − 1 + 3 x − 3 − 2 x − 2 = 4 d) x + 5 − 1 − 2 x = x e) x − 2 x + 3 = x − 1 f) x + 1 − x = x + x − 3 Bài 4.4: Tìm x, biết: a) x − 2 + x − 5 = 3 c) 2 x − 1 + 2 x − 5 = 4 b) x − 3 + x + 5 = 8 d) x − 3 + 3x + 4 = 2 x + 1 5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) (1) Điều kiện: D(x) ≥ 0 kéo theo A( x) ≥ 0; B( x) ≥ 0; C ( x) ≥ 0 Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) Bài 5.1: Tìm x, biết: http://NgocHung.name.vn 1 5 d) 2 x + 3 + x − 3 = 2 − x 22 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 a) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4 x 3 5 c) x + 2 + x + + x + b) x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 5 x − 1 1 = 4x 2 d) x + 1,1 + x + 1,2 + x + 1,3 + x + 1,4 = 5 x Bài 5.2: Tìm x, biết: 1 2 3 100 + x+ + x+ + ... + x + = 101x 101 101 101 101 1 1 1 1 + x+ + x+ + ... + x + = 100 x b) x + 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 + x+ + x+ + ... + x + = 50 x c) x + 1.3 3.5 5.7 97.99 1 1 1 1 + x+ + x+ + ... + x + = 101x d) x + 1.5 5.9 9.13 397.401 a) x + 6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp: Bài 6.1: Tìm x, biết: a) 2 x − 1 + 1 4 = 2 5 2 b) x + 2 x − 1 = x2 + 2 2 3 2 2 c) x x + 4 = x Bài 6.2: Tìm x, biết: a) 2 x − 1 − 1 1 = 2 5 b) 1 3 2 x +1 − = 2 4 5 2 c) x x + 3 =x 4 Bài 6.3: Tìm x, biết: 2 a) x x − 3 =x 4 Bài 6.4: Tìm x, biết: a) 2 x − 3 − x + 1 = 4 x − 1 1 3 3  b)  x +  2 x − = 2 x − c) x − 2 x − b) x − 1 − 1 = 2 c) 3x + 1 − 5 = 2 2  4 4 1 2 3 3 = 2x − 4 4 7. Dạng 7: A + B = 0 Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức. * Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0. * Cách giải chung: A + B = 0 B1: đánh giá: A ≥ 0 ⇒ A + B ≥0 B ≥ 0 A = 0 B = 0 B2: Khẳng định: A + B = 0 ⇔  Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn: http://NgocHung.name.vn 23 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 a) 3x − 4 + 3 y + 5 = 0 b) x − y + y + 9 =0 25 c) 3 − 2 x + 4 y + 5 = 0 Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn: 3 2 y −3 = 0 4 7 x − 2007 + y − 2008 = 0 a) 5 − x + b) 2 1 3 11 23 − + x + 1,5 − + y =0 3 2 4 17 13 c) * Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A + B ≤ 0 nhưng kết quả không thay đổi * Cách giải: A + B ≤ 0 (1) A ≥ 0 ⇒ A + B ≥0 B ≥ 0 (2) A = 0 B = 0 Từ (1) và (2) ⇒ A + B = 0 ⇔  Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn: a) 5 x + 1 + 6 y − 8 ≤ 0 b) x + 2 y + 4 y − 3 ≤ 0 c) x − y + 2 + 2 y + 1 ≤ 0 Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn: a) 12 x + 8 + 11y − 5 ≤ 0 b) 3x + 2 y + 4 y − 1 ≤ 0 c) x + y − 7 + xy − 10 ≤ 0 * Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự. Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: 2007 2008 + y+4 =0 a) x − y − 2 + y + 3 = 0 b) x − 3 y 2006 2008 c) ( x + y ) + 2007 y − 1 = 0 d) x − y − 5 + 2007( y − 3) = 0 Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn : a) ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 0 c) 3( x − 2 y ) 2004 +4y+ 1 =0 2 4 b) 2( x − 5) + 5 2 y − 7 = 0 5 d) 1  x + 3y −1 +  2 y −  2  b) 3 x − y + 10 y + 2000 =0 Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn: a) x − 2007 + y − 2008 ≤ 0 c) 13 1  x−  24 2 2006 + 2007 4 6 y+ ≤0 2008 5 25 7 2 ≤0 3 2008 2007 d) 2007 2 x − y + 2008 y − 4 ≤ 0 8. Dạng 8: A + B = A + B * Cách giải: Sử dụng tính chất: a + b ≥ a + b http://NgocHung.name.vn 5 24 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Từ đó ta có: a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0 Bài 8.1: Tìm x, biết: a) x + 5 + 3 − x = 8 b) x − 2 + x − 5 = 3 c) 3x − 5 + 3x + 1 = 6 d) 2 x − 3 + 2 x + 5 = 11 e) x + 1 + 2 x − 3 = 3x − 2 f) x − 3 + 5 − x + 2 x − 4 = 2 Bài 8.2: Tìm x, biết: a) x − 4 + x − 6 = 2 d) 5 x + 1 + 3 − 2 x = 4 + 3x b) x + 1 + x + 5 = 4 e) x + 2 + 3x − 1 + x − 1 = 3 1 - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối Bài 1: Tìm x, biết: a) 2 x − 6 + x + 3 = 8 Ta lập bảng xét dấu x -3 3 x+3 0 + 2x-6 0 Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp * Nếu x3) c) 3x + 7 + 3 2 − x = 13 f) x − 2 + x − 7 = 4 + + 2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong Bài 1: Tìm x, biết: 1 4 a) 2 x − 1 + = 2 5 * + = = = 2x-1= 2x = + 1 http://NgocHung.name.vn x= 25 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 2x-1= - 2x = - + 1 x= * + ==- - (không thỏa mãn) 3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng thức: Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: a) x − y − 2 + y + 3 = 0 x-y-2 =0 x=-1 y+3 =0 y= -3 Bài 2: Tìm x, y thoả mãn : 2 2 a) ( x − 1) + ( y + 3) = 0 Bài 3: Tìm x, y thoả mãn: a) x − 2007 + y − 2008 ≤ 0 Bài 4: Tìm x thoả mãn: a) x + 5 + 3 − x = 8 II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: A + B = m với m ≥ 0 * Cách giải: A = 0 B = 0 * Nếu m = 0 thì ta có A + B = 0 ⇔  * Nếu m > 0 ta giải như sau: A + B = m (1) Do A ≥ 0 nên từ (1) ta có: 0 ≤ B ≤ m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng . Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x − 2007 + x − 2008 = 0 b) x − y − 2 + y + 3 = 0 2 c) ( x + y ) + 2 y − 1 = 0 Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: 5 4 a) x − 3 y + y + 4 = 0 b) x − y − 5 + ( y − 3) = 0 c) x + 3 y − 1 + 3 y + 2 = 0 Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn: a) x + 4 + y − 2 = 3 b) 2 x + 1 + y − 1 = 4 c) 3x + y + 5 = 5 d) 5 x + 2 y + 3 = 7 Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 3 x − 5 + y + 4 = 5 b) x + 6 + 4 2 y − 1 = 12 c) 2 3x + y + 3 = 10 d) 3 4 x + y + 3 = 21 http://NgocHung.name.vn 26 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 2 2 2 a) y = 3 − 2 x − 3 b) y = 5 − x − 1 c) 2 y = 3 − x + 4 d) 3 y = 12 − x − 2 2 2. Dạng 2: A + B < m với m > 0. * Cách giải: Đánh giá A + B < m (1) A ≥ 0  ⇒ A + B ≥ 0 (2) B ≥ 0 Từ (1) và (2) ⇒ 0 ≤ A + B < m từ đó giải bài toán A + B = k như dạng 1 với 0 ≤ k < m Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x + y ≤ 3 b) x + 5 + y − 2 ≤ 4 c) 2 x + 1 + y − 4 ≤ 3 d) 3x + y + 5 ≤ 4 Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 5 x + 1 + y − 2 ≤ 7 b) 4 2 x + 5 + y + 3 ≤ 5 c) 3 x + 5 + 2 y − 1 ≤ 3 d) 3 2 x + 1 + 4 2 y − 1 ≤ 7 3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a + b ≥ a + b xét khoảng giá trị của ẩn số. Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) x − 1 + 4 − x = 3 b) x + 2 + x − 3 = 5 c) x + 1 + x − 6 = 7 d) 2 x + 5 + 2 x − 3 = 8 Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau. a) x + y = 4 và x + 2 + y = 6 b) x +y = 4 và 2 x + 1 + y − x = 5 c) x –y = 3 và x + y = 3 d) x – 2y = 5 và x + 2 y − 1 = 6 Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời: a) x + y = 5 và x + 1 + y − 2 = 4 b) x – y = 3 và x − 6 + y − 1 = 4 c) x – y = 2 và 2 x + 1 + 2 y + 1 = 4 d) 2x + y = 3 và 2 x + 3 + y + 2 = 8 4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích: * Cách giải : A( x).B( x) = A( y ) Đánh giá: A( y ) ≥ 0 ⇒ A( x).B( x) ≥ 0 ⇒ n ≤ x ≤ m tìm được giá trị của x. Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) ( x + 2)( x − 3) < 0 b) ( 2 x − 1)( 2 x − 5) < 0 c) ( 3 − 2 x )( x + 2) > 0 d) ( 3x + 1)( 5 − 2 x ) > 0 Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) ( 2 − x )( x + 1) = y + 1 b) ( x + 3)(1 − x ) = y c) ( x − 2)( 5 − x ) = 2 y + 1 + 2 Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) ( x + 1)( 3 − x ) = 2 y + 1 b) ( x − 2)( 5 − x ) − y + 1 = 1 c) ( x − 3)( x − 5) + y − 2 = 0 5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức: * Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B http://NgocHung.name.vn 27 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Đánh giá: A ≥ m Đánh giá: B ≤ m (1) (2) A = m B = m Từ (1) và (2) ta có: A = B ⇔  Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 12 2 a) x + 2 + x − 1 = 3 − ( y + 2) c) y + 3 + 5 = b) x − 5 + 1 − x = y + 1 + 3 6 10 d) x − 1 + 3 − x = y + 3 + 3 ( 2 x − 6) 2 + 2 Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 8 16 a) 2 x + 3 + 2 x − 1 = 2( y − 5) 2 + 2 b) x + 3 + x − 1 = y − 2 + y + 2 12 10 c) 3x + 1 + 3x − 5 = ( y + 3) 2 + 2 d) x − 2 y − 1 + 5 = y − 4 + 2 Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 14 20 2 a) ( x + y − 2) + 7 = y − 1 + y − 3 2 b) ( x + 2) + 4 = 3 y + 2 + 5 6 30 c) 2 x − 2007 + 3 = y − 2008 + 2 d) x + y + 2 + 5 = 3 y + 5 + 6 III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: • Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 ≤ x ≤ 4,1 a) A = x − 3,5 + 4,1 − x b) B = − x + 3,5 + x − 4,1 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3: a) A = x + 1,3 − x − 2,5 b) B = − x − 1,3 + x − 2,5 Bài 3: Rút gọn biểu thức: a) A = x − 2,5 + x − 1,7 b) B = x + 1 2 − x− 5 5 c) C = x + 1 + x − 3 −3 1 0 2 2 a) A = x + 0,8 − x − 2,5 + 1,9 với x < - 0,8 1 5 1 5 c) C = 2 − x + x − + 8 b) B = x − 4,1 + x − 1 1 1 với ≤ x ≤ 2 5 5 5 http://NgocHung.name.vn 28 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 ==============&=&=&============== IV – Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: a) M = a + 2ab – b với a = 1,5; b = −0,75 Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: a) A = 2 x + 2 xy − y với x = 2,5; y = c) C = −3 4 b) N = a 2 − với a = 1,5; b = −0,75 2 b 1 3 b) B = 3a − 3ab − b với a = ; b = 0,25 5a 3 1 1 − với a = ; b = 0,25 d) D = 3x 2 − 2 x + 1 với x = 3 b 3 2 Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức: 3 2 a) A = 6 x − 3x + 2 x + 4 với x = c) C = 2 x − 2 − 31 − x với x = 4 −2 3 1 2 b) B = 2 x − 3 y với x = ; y = −3 1 5x 2 − 7 x + 1 d) D = với x = 2 3x − 1 V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối: * Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức: Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 3x +2 b) B = − 1,4 − x − 2 c) C = e) E = 5,5 − 2 x − 1,5 f) F = − 10,2 − 3x − 14 g) G = 4 − 5 x − 2 − 3 y + 12 h) H = 2,5 − x + 5,8 i) I = − 2,5 − x − 5,8 k) K = 10 − 4 x − 2 l) L = 5 − 2 x − 1 m) M = x − 2 + 3 5,8 4x −5 1 k) K = 2 3x − 1 − 4 3 x −1 12 n) N = 2 + 3 x + 5 + 4 Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = 1,7 + 3,4 − x b) B = x + 2,8 − 3,5 d) D = 3x + 8,4 − 14,2 e) E = 4 x − 3 + 5 y + 7,5 + 17,5 g) G = 4,9 + x − 2,8 d) D = 2x +3 a) A = 0,5 − x − 3,5 2 3 + 5 7 l) L = 2 3x − 2 + 1 h) H = x − c) C = 3,7 + 4,3 − x f) F = 2,5 − x + 5,8 i) I = 1,5 + 1,9 − x m) M = 51 − 4 x − 1 Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 15 a) A = 5 + 4 3x + 7 + 3 −1 21 4 20 b) B = 3 + 815 x − 21 + 7 c) C = 5 + 3x + 5 + 4 y + 5 + 8 http://NgocHung.name.vn 29 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 2 24 21 e) E = 3 + ( x + 3 y ) 2 + 5 x + 5 + 14 d) D = −6 + 2 x − 2 y + 3 2 x + 1 + 6 Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = 2 7 x + 5 + 11 7x + 5 + 4 b) B = 2 y + 7 + 13 2 2y + 7 + 6 c) C = 15 x + 1 + 32 6 x +1 + 8 Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: −8 a) A = 5 + 4 5 x + 7 + 24 6 14 b) B = 5 − 5 6 y − 8 + 35 15 28 c) C = 12 − 3 x − 3 y + 2 x + 1 + 35 Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = 21 4 x + 6 + 33 3 4x + 6 + 5 b) B = 6 y + 5 + 14 2 y + 5 + 14 c) C = − 15 x + 7 − 68 3 x + 7 + 12 2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức: Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x + 5 + 2 − x b) B = 2 x − 1 + 2 x + 6 d) D = 4 x + 3 + 4 x − 5 e) E = 5 x − 6 + 3 + 5 x c) C = 3x + 5 + 8 − 3x f) F = 2 x + 7 + 5 − 2 x Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = 2 x − 3 + 2 x + 5 b) B = 3 x − 1 + 4 − 3x c) C = 4 x + 5 + 4x − 1 Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = − x − 5 + x + 4 b) B = − 2 x + 3 + 2 x + 4 c) C = − 3x − 1 + 7 − 3x Bài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = −2 x − 5 + 2 x + 6 b) B = −3 x − 4 + 8 − 3x c) C = −5 5 − x + 5 x + 7 Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x + 1 + x − 5 b) B = x − 2 + x − 6 + 5 c) C = 2 x − 4 + 2 x + 1 3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x + 2 + x − 3 b) B = 2 x − 4 + 2 x + 5 c) C = 3 x − 2 + 3x + 1 Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x + 5 + x + 1 + 4 b) B = 3x − 7 + 3x + 2 + 8 c) C = 4 x + 3 + 4 x − 5 + 12 Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x + 3 + 2 x − 5 + x − 7 b) B = x + 1 + 3x − 4 + x − 1 + 5 c) C = x + 2 + 4 2 x − 5 + x − 3 d) D = x + 3 + 5 6 x + 1 + x − 1 + 3 http://NgocHung.name.vn 30 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x +1 + y − 2 Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức: B = x − 6 + y +1 Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 2x + 1 + 2 y + 1 Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = 2x + 3 + y + 2 + 2 DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT, DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT( tiếp) Bài 1 : Tính tổng: 2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … - 2008 Hướng dẫn: Bài 2: Cho A = 1 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100. a) Tính A. b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ? Hướng dẫn: Bài 3: Cho A = 1 − 7 + 13 − 19 + 25 − 31 + ... a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? http://NgocHung.name.vn 31 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Hướng dẫn: Bài 4: Cho A = 1 − 7 + 13 − 19 + 25 − 31 + .... a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. b) Tìm số hạng thứ 2004 của A. Hướng dẫn: Bài 5: Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: ( x + 2) + ( x + 7) + ( x + 12) + ... + ( x + 42) + ( x + 47) = 655 Hướng dẫn: Bài 6: a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + … + (x+2009) = 2009.2010 b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ … + 2009. 2010 Hướng dẫn: Bài 7: Tính tổng: S = 9.11 + 99.101 + 999.1001 + 9999.10001 + 99999.100001 Hướng dẫn: Bài 8: Cho A = 3 + 32 + 33 + ... + 3100 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n Hướng dẫn: Bài 9: Cho A = 3 + 32 + 33 + .... + 32004 a) Tính tổng A. b) Chứng minh rằng A 130 . c) A có phải là số chính phương không ? Vì sao ? Hướng dẫn: Bài 10: a) Cho A = 1 − 3 + 3 2 − 33 + ... − 3 2003 + 32004 Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3. b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với A = 4 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + ... + 2 2003 + 2 2004 Hướng dẫn: Bài 11: a) Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 60 Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15. b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42 Hướng dẫn: Bài 12: http://NgocHung.name.vn 32 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Cho A = 2 + 22 + 23 + ............+299 + 2100 Chứng tỏ A chia hết cho 31 Hướng dẫn: Bài 13: Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596 a, Chứng minh: S M126 b, Tìm chữ số tận cùng của S Hướng dẫn: Bài 14: Cho A = 1.2.3......29.30 B = 31.32.33........59.60 a) Chứng minh: B chia hết cho 2 30 b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61. Hướng dẫn: Bài 15: Cho A = 3 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 2001 + 2 2002 So sánh A và B. Hướng dẫn: và B = 2 2003 Bài 16: Cho M = 3 + 32 + 33 + ... + 399 + 3100 . a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n . Hướng dẫn: Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33 +…+ 3118+ 3119 a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? Hướng dẫn: Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: 1 1 1 2 2003 + + + ... + = 3 6 10 n(n + 1) 2004 Hướng dẫn: Bài 19: 2 2 2 2 + + + ..... + 1.3 3.5 5.7 99.101 3 3 3 3 * b) Cho S = 1.4 + 4.7 + 7.10 +  + n(n + 3) n ∈ N a) Tính: Hướng dẫn: Chứng minh: S < 1 http://NgocHung.name.vn 33 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 2 2 2 2 + + ... + + 60.63 63.66 117.120 2003 5 5 5 5 + + ... + + và B = 40.44 44.48 76.80 2003 Bài 20: So sánh: A = Hướng dẫn: Bài 21: 1 1 1 1 1 1 + + + + + 10 40 88 154 238 340 1 1 1 1 2 b) Tính: M = + + + + .... + 3 6 10 15 2004.2005 1 1 1 + + ... + c) Tính tổng: S = 1.2.3 2.3.4 98.99.100 a) Tính A = Hướng dẫn: 1 2 Bài 22: So sánh: A = 1 + + 1 1 1 + 3 + ... + 100 và B = 2. 2 2 2 2 Hướng dẫn: Bài 23: So sánh: A= 2 2 2 2 + + ... + + 60.63 63.66 117.120 2006 và B= 5 5 5 5 + + ... + + 40.44 44.48 76.80 2006 Hướng dẫn: Bài 24. Tính 2 2 2 2 2 + + + + . 15 35 63 99 143 3 3 3 3 + + + ... + b. B = 3+ . 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4 1 + 2 + ... + 100 a. A = Hướng dẫn: Bài 25: Tính giá trị các biểu thức: 1 1 1 1 + + ... + + 3 5 97 99 a) A = 1 1 1 1 1 + + + ... + + 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 1 1 1 1 + + + ... + 2 3 4 100 b) B = 99 98 97 1 + + + ... + 1 2 3 99 1+ Hướng dẫn: Bài 26: Chứng minh rằng: http://NgocHung.name.vn 34 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7  100 - 1 + + + ... +  1 2 1 3 1  1 2 3 99  = + + + ... + 100  2 3 4 100 Hướng dẫn: A biết: B 1 1 1 1 1 2 3 198 199 + + + ... + + A = + + + ... + và B = 2 3 4 200 199 198 197 2 1 Bài 27: Tính Hướng dẫn: Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy: 1 1 1 1 1 1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;.... 3 8 15 24 35 Hướng dẫn: Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: 1 1 1 1 ; ; ; ;... 6 66 176 336 Hướng dẫn: A biết: B 1 1 1 1 1 + + + ... + + A= 1.2 3.4 5.6 17.18 19.20 1 1 1 1 1 B = + + + ... + + 11 12 13 19 20 Bài 30: Tính Hướng dẫn: Bài 31: Tìm x, biết: 1 1  1 1 1  1 + + ... + + + .... +  x = 10.110  1.11 2.12 100.110  1.101 2.102 Hướng dẫn: Bài 32: Tính : a) S = 1 + a + a 2 + a 3 + ... + a n , với ( a ≥ 2, n ∈ N ) b) S1 = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + ... + a 2 n , với ( a ≥ 2, n ∈ N ) c) S2 = a + a 3 + a 5 + ... + a 2 n +1 , với ( a ≥ 2, n ∈ N * ) Hướng dẫn: Bài 33: Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499 , B = 4100 . Chứng minh rằng: A < Hướng dẫn: http://NgocHung.name.vn 35 B . 3 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Bài 34: Tính giá trị của biểu thức: a ) A = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9 123 50 ch÷ sè b) B = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9 123 200 ch÷ sè Hướng dẫn: Chuyên đề 1: giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. 1-Kiến thức cơ bản: x ⇔ x ≥ 0 x = − x ⇔ x  0 x ≥ 0; x ≥ x; x = − x http://NgocHung.name.vn 36 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 x+ y ≤ x + y x− y ≥ x − y 2- Các dạng toán cơ bản: * Dạng toán 1: Tính x biết 1 3 3 1 2) x = −2 : 3) x + 25 = 0 5 5 13 2 1 1 1 1 1 1 1 x + + .... + = + + ..... + = 4) 5) 1.3 3.5 47.49 x 1.4 4.7 97.100 2 1  1 4 4 4 2x + 5  1  1  1   + + .... + = + x = 2 6) 7) 1 − 1 − 1 − ....1 − 5 1.5 5.9 97.101 101  2  3  4   100  1 1 8) 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + 99.100 = 2 x − 1 9) (12 + 22 + ... + 492 )(2 − x) = −1 5 5 1) x = −1 * Dạng 2: Tìm x biết 1) x = 3 2x . − 3 5 2) x − 25 =0 8 3) 5 x − 5 =0 23 4) 1 1 = −1 5 3 5) 1,75 − 2,5 − x = 1,25 1 5 8) 2 3x − 7 = 11 10 1 3 6) 2 x − 5 = 13 7) 3 − 2 x − 9) (2 x − 5) 2 = 9 10) x 2 = 4 * Dạng 3: Tìm x, y, z biết 1) x + y + z = 0 1 5 1 + 3 −z =0 2 2 3 5) 1 − 2 x + 2 − 3 y + 3 − 4 y = 0 1 4 1 1 2 3 6) x − 1 + ( x − 1)( x + 1) = 0 4) ( x − 1) 2 + ( y − )2 + ( z − ) 2 = 0 *Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức sau. 1 3 2 2 2) B = xy − 2 + 5( x − 3) x − 2 xy + y với x=y=2 với x = − 1 1 − 2 2 x + 1 với x = 4 2 2 4) D = 3x − 6 x + 3 với x = 1 2 3) C = x − x + 5) E = 2 x − 5 y + 7 xy với x + y − 2 = 0 6) G = 2 x 2 − 3 y 2 + 6 xy với x − 1 + y − 2 = 0 * Dạng 5: Rút gọn các biểu thức sau 1) M = x − 5 + 2 x − 9 + 3x − 13 với x ≥ 6,5 2) N= x + 1 + x + 2 + x − 3 với − 2 ≤ x  −1 3) P= 2 x − 5 + 3x − 7 − 5 x − 15 với x ≥ 3 *)Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất. http://NgocHung.name.vn 11) (3 − 7 x) 2 = 2) 3x − 5 + 2 y − 7 = 0 3) x − 1 + 2 y − 2 1) A = x − 2 x + 5 3 2 =− 7 3 37 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: C = 4,5 2 x − 0,5 − 0,25 2, Tìmgiá trị lớn nhất của : D = − 3x + 4,5 + 0,75 3, Tìm giá trị nhỏ nhất của : E = x − 2005 + x − 2004 3- Các bài toán tự học : Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A= 2x+2xy-y với | x| = 2,5 và y = -3/4 Bài 2: Tìm x , y biết: a) 2.| 2x-3|= 1/ 2 b) 7,5 -3 |5-2x|=-4,5 c) | 3x-4|+ |3y+5| = 0 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất: a) | 3x- 8,4| -14,2 b) |4x-3|+|5y+7,5| +17,5 Bìa 4: Tìm giá trị lớn nhất: F= 4- |5x-2|- | 3y+12| CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI. Bài toán 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản 0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13) Bài toán 2: Tính a) 10,(3)+0,(4)-8,(6) b) [12, (1) − 2,3(6)] : 4, (21) 1 3 c) 0, (3) + 3 − 0,4(2) Bài toán 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ khi biểu diễn số 116 dưới dạng số 99 thập phân vô hạn tuần hoàn. Bài toán 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0, (12) Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị a) A = (11,81 + 8,19).2,25 6,75 (4,6 + 5 : 6,25).4 b) B = 4.0,125 + 2,31 Bài toán 6: Rút gọn biểu thức M = 0,5 + 0, (3) − 0,1(6) 2,5 + 1, (6) − 0,8(3) Bài toán 7: Chứng minh rằng: 0,(27)+0,(72)=1 Bài toán 8: Tìm x biết 0,1(6) + 0, (3) a) 0, (3) + 1,1(6) .x = 0, (2) b) 0,0(3) c) [ 0, (37) + 0, (62)] x = 10 http://NgocHung.name.vn 0, (3) + 0, (384615) + 3 x 13 = 50 85 d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4) 38 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 e) x:0,(3)=0,(12) Bài toán 9: m3 + 3m 2 + 2m + 5 ; (m ∈ N ) Cho phân số A = m( m + 1)(m + 2) + 6 a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản. b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao? CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI. Bài toán 10: So sánh các số sau  1 9  4 :5 và  1 −  9 16 25   c) CMR: với a, b dương thì a + b  a) 0,5 100 − b) 25 + 9 và 25 + 9 a+ b Bài toán 11: Tìm x biết 2 a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ; ( 2 − 3 ) 2 b) ( 2 x − 3) = 3 − 2 x c) ( x − 1) 2 + ( 2 x − 1) 2 = 0 Bài toán 12: Tìm x biết a) x − 2 x = 0 2 c) ( x − 1) = b) x = x Bài toán 13: Cho A = 9 16 16 25 x +1 . CMR với x = và x = thì A có giá trị là một số 9 9 x −1 nguyên Bài toán 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên a) A = 7 x 3 x −1 b) B = Bài toán 15: Cho A = c) C= 2 x −3 x +1 Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên x −3 Bài toán 16: thực hiện phép tính ( )  2 2 2 : 2,4 5,25 :      1 7   : 2 :    7  ( ) 2 Bài 17: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý. http://NgocHung.name.vn 39 ( 5 )  : 2 : (2 2 )   2 2 2 7     81    Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 1− A= 1 1 1 + − 49 49 7 7 ( 2 ) 2 64 4  2  4 − +  − 2 7  7  343 Bài toán 18: Tính bằng cách hợp lý. ( ) 2 5 5 25 5 M = 1− − − − 2 204 374 196 2 21 ( ) Bài toán 19: Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức (x − 2) 2 + ( y + 2) 2 + x+ y+z =0 Bài toán 20: thực hiện phép tính ( ) 2  1 2 49   1 6 7  1704   : M = 18 : 225 + 8 . : 12 + 8  − 3 4   3 7  3 2 2  445  3   ( CHUYÊN ĐỀ: NHÂN, ) CHIA SỐ HỮU TỈ - ÁP DỤNG. ********** Bài toán 1: Tính 1  1 1 1 5  5 4  5 11 12  1 − 0, 75.8 b)  2 + 3 ÷:  −4 + 3 ÷+ 7 c) 4 :  − ÷+ 5 :  − ÷ 2  6 7 2 9  7 9  7 23 23  3 5 5 1 3  1  13 − 2 − 10 ÷.230 + 46 25 2 27 6 25 4  9 125 −27  1 3  4 4 + 25  : : − 4 + ÷ d) e) g) ÷ 2 16 3  3 10   1  16 64 8  2 4 1 7 + 3 ÷: 12 3 − 14 7 ÷     3 4 a) − .31 Bài toán 2: Tính 1  1 1 1  1  1   + + .... + b) B = 1 − ÷1 − ÷..... 1 − ÷ với n ∈ N 1.2 2.3 99.100  2  3   n + 1  7  33 3333 333333 33333333  1 1 1  + + c) C = −66.  − + ÷+ 124.(−37) + 63.(−124) d) D =  + ÷ 4  12 2020 303030 42424242   2 3 11  a) A = Bài toán 3: Tính 1 1 1 A = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + .... + (1 + 2 + 3 + .... + 16) 2 3 16 Bài toán 4: Tìm x biết   a) (2 x − 3)  x + 1÷ = 0 3 2 5 3 21 1 2 b) x + = c) − x + = 3 7 10 13 3 3 4  1 3 3 2 3 1 3  d) x + 2 = 1 e) (5 x − 1)  2 x − ÷ = 0 g) + : x = 3 7 8 5 7 7 14  1  1  1   1  Bài toán 5: Cho A =  − 1÷ − 1÷.....  − 1÷. So sánh A với − 9  2  3   10  11  1  1   1  − 1÷. So sánh B với − Bài toán 6: Cho B =  − 1÷ − 1÷.....  21  4  9   100   2 3  193 33   7 11  1931 9  − +  :  + +  Bài toán 7: Tính  ÷. ÷.  193 386  17 34   1931 3862  25 2  http://NgocHung.name.vn 40 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Bài toán 8: Cho A = 1,11 + 0,19 − 13.2  1 1  −  + ÷: 2 2, 06 + 0,54 2 4 b) Tìm x ∈ Z để A a / x / > a  x < a / x/ < a -a< x< a B. LUYỆN TẬP: 1. Dạng: Tính giá trị của một Biểu thức : Bài 1 : Tính Gía trị biểu thức A = 3 x 2 −2 x + 1 với /x / = 0,5 Giải: / x / = 0,5 x = 0,5 hoặc x = - 0,5 - Nếu x = 0,5 thì A = 0,75 - Nếu x = - 0,5 thì A = 2,75 2. Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối Bài 2 : Rút gọn biểu thức A = 3 ( 2x - 1 ) - / x - 5 / http://NgocHung.name.vn 41 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Giải : với x - 5 ≥ 0 x ≥ 0 thì / x -5 / = x - 5 với x –5 < 0 x < 5 thì / x – 5 / = - x + 5 Xét cả 2 trường hợp ứng với hai khỏang giá trị của biến x a/ Nếu x ≥ 5 thì A = 3 (2x – 1 ) – ( x – 5 ) = 5x + 2 b/ Nếu x < 5 thì A = 3 ( 2x – 1 ) – ( -x + 5 ) = 7x – 8 3. Dạng: Tính giá trị của biến trong Đẳng thức có chứa dấu GTTĐ: Bài 3 : Tìm x . Biết 2 / 3x – 1 / + 1 = 5 Giải : Ta có / 3x - 1 / = 2 Nên 3x – 1 = +2 và -2 Xét cả hai trường hợp : a/ 3x – 1 = 2 => x = 1 b/ 3x - 1 = 2 => x = - 1 3 Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )? Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/ / A / = A A ≥ 0 Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp : a/ a = 0 thì b tùy ý b/ b = 2 thì a tùy ý c/ a > 0 thì b < 2 d/ a < 0 thì b > 2 Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho a + b = / a / - / b / (1) HD: Xét 4 trường hợp : a/ a ≥ 0, b > 0 thì (1) a + b = a – b b = - b (không xảy ra ) b/ a ≥ 0, b ≤ 0 thì (1) a = b = a + b Đẳng thức nầy luôn luôn đúng.Vậy : a ≥ 0, b ≤ 0 thỏa mãn bài toán . c/ a < 0 , b > 0 thì (1) a + b = -a – b a = - b . Vây a < 0 và b = -a thỏa mãn bài toán . d/ a < 0 , b ≤ 0 thì (1) a + b = -a + b a = -a ( không xảy ra ) Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a ≥ 0, b ≤ 0 hoặc a < 0 , b > 0 4. Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối : Bài 6: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4 Với mọi x ta có / 3x – 1 / ≥ 0 => 2 / 3x – 1 / ≥ 0 Do đó 2 / 3x - 1 / - 4 ≥ - 4 Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 x = 1/3 http://NgocHung.name.vn 42 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x / HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2 c/ Tìm GTNN của C = /x-3/ HD:Ta có x ≥ 0 => / x − 3 / ≥ 0 => GTNN = 0 Bài 7: a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 / Với mọi x ta có / x – 2 / ≥ 0 => - / 4 / x - 2 / ≤ 10 Do đó 10- - 4 / x - 2 / ≤ 10 Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2 b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 / HD: C= - /x+2/ ≤ 0 => GTLN = 0khix = −2 c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/ HD: D = 1-/2x-3/ ≤ 1 => GTLNlla 0khix = 3 / 2 Bài 8: Tìm GTNN của C = 6 với x là số nguyên / x /− 3 - Xét / x / > 3 => C > 0 - Xét / x / < 3 => / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6 Vậy GTNN của C = -6 x = 2 ; -2 . Bài 9 Tìm GTLN của C = x - / x / - Xét x ≥ 0 => C = x - x = 0 - Xét x < 0 => C = x – (- x ) = 2x < 0 Từ (1) và (2) ta thấy C ≤ 0 Vậy GTLN của C = 0 x ≥ 0 Bài 10 : Tìm giá trị biểu thức : 3 a/ A = 6 x −3x 2 + 2 / x / + 4 với x = -2/3 b/ B = 2/x/ - 4/y/ với x = ½ và y = - 3 (1) (2) (đs 20/9) (đs -8 ) Bài 11 : Rút gọn biểu thức : a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 / (đs :x – 9 với x ≥ −3 ;5x+ 3 với x < 3) b/ 2 / x – 3 / - / 4x - 1 / (đs: = 2x+5 với x < ¼ ; Bằng -6x+7 với http://NgocHung.name.vn 43 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 ¼ ≤ x < 3và bằng -2x -5 với x ≥ 3. Bài 12 : a/ A = b/ B = c/ C = d/ D = Tìm GTNN của các biểu thức : 2 / 3x – 2 / - 1 => GTNN của A = -1 x = 2/3 5 / 1 – 4x / - 1 => GTNN của B = -1 x = 1/4 2 x +3/y–2/ -1 => GTNN của C = -1 x = 0 ; y = 2 x + / x / ( xét x > 0 ;c < 0) => GTNN của D = 0 x ≤ 0 Bài 13: Tìm GTLN của các biểu thức : e/ E = 5 - / 2x - 1 / => GTLN của E = 5 x = 1/2 1 / x − 2 /+ 3 f/ F = g/ G = => GTLN của F =1/3 x =2 x+2 với x là số nguyên / x/ HD : Xét 3 TH : * * * x ≤ −2 C ≤ 1 x = 1 C = 1 x ≥ 1 G = Ta thấy G lớn nhất khi x+2 2 =1+ x x 2 2 nhỏ nhất . Mà lớn nhất x nhỏ nhất x x tức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 x= 3 BÀI 14: Tìm x sao cho : a/ / x - 2 / < 4 HD: Ta đã biết /x/ < a -a < x < a Nên /x-2/3/2 => A = (x -1/2)-(x - 3/2) = 1 Vậy với x < 1/2 hoặc x > 3/2 thì giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào biến x II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/Phương pháp chung : Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối . Ví dụ 16: Tìm x .Biết rằng : a/ x − 1 + x − 3 = 6 (1) GIẢI: Xét x-1 = 0 x = 1 x-1< 0 x < 1 x-1> 0 x > 1 và xét x-3 = 0 x = 3 x-3 < 0 x < 3 x-3 > 0 x > 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x-1 ; x-3 như sau : x 1 3 x-1 0 + / x -3 / 0 Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= 6 -2x=2 0x = 4 x=-1 (không có giá trị (giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) khoảng đang xét) Vậy x = -1 và x = 5 thì thoả mãn (1) b/ x + 2 + x − 5 = 7 http://NgocHung.name.vn 45 + + (x-1)+(x-3) = 6 2x = 10 x=5 ( giá tri nầy thuộc khoảng đang xét) Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 x x+2 x-5 - -2 0 / 5 / 0 + - + + * Xét khoảng x 5 Ta đựoc 2x=10 x = 5 ( loại) Kết luận: -2 ≤ x ≤ 5 c/ x + 3 − 2 x = x − 4 x x+3 x- 4 - -3 0 / 4 / 0 + - + + *Xét khoảng x < 3 ta được -2x = 7 x= -3,5( thuộc khoảng đang xét) *Xét khoảng -3 ≤ x ≤ 4 ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn. * Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét . Kết luận : vậy x = -3,55 Ví dụ 17: Tìm x , Biết: x − 1 + x − 3 < x + 1 (2) Tương tự: • Xét khoảng x< 1 Ta có (2) =>(1-x)+*3-x)(x-1)+(3-x) Ta có các giá trị 13 => ta có (x-1)+(x-3) 0 x + 2 / 3 > 0  x > −2 / 3   1 / 4 − x > 0 x < 1/ 4  x + 2 / 3 < 0  x < −2 / 3  (khongthedongthoixayra )  x > 1/ 4 1 / 4 − x < 0 -2/3 < x < 1/4 Cách 2: Lập bảng xét dấu: Giá trị x dấu x+3/2 dấu 1/4-x dấu của B.thức + - -2/3 0 / -2/3 + + + Vậy Biểu thức > 0 nếu b/ Tìm x thoả mãn: 1/4 / 0 1/4 + - -2/3 < x < 1/4 2x − 1 0 x > 1 / 2 2x − 1 < 0   (khongthexayra) 3+ x 3 + x < 0 x < 1 / 4 2 x − 1 < 0 x < 1/ 2 2x − 1 < 0   { − 3 < x < 1 / 2 3+ x 3 + x > 0  x > −3 Vậy biểu thức < 0 khi -3 < x < 1/2 &&&&&&&&& http://NgocHung.name.vn 51 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Chuyên đề 2: CHỨNG MINH TAM GiÁC $1.. TỔNG BA GÓC CỦA TAM GIÁC Kiến thức cần nhớ : 1- Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180 độ . 2- Trong tam gíác vuông 2 góc nhọ phụ nhau . 3- Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. 4- Góc ngoài của tam giác lớn hơn 1 góc trong không kề với nó . BAÌ 1 a/ Chứng minh tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ?(Bằng cách khác SGK) b/ Chứng minh tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360 độ ? c/ Chứng minh góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề ? BÀI 2: a/ Tính tổng các góc ở đỉnh của một ngôi sao năm cạnh ? b/ Cho ∆ ABC : AC >AB . Vẽ phân giác AD ( D ∈ BC ) Chứng minh : Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ? HD. Sử dụng định lý góc ngoài của tam giác . BÀI 3 Cho ∆ ABC có góc A = α Vẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt nhau tại O . a/ Tính góc BOC theo α ? b/ Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I . Tính góc BIC theo α ? Hướng dẫn : Tổng quát : Ô = 90 0 + α α và góc I = 90 0 2 2 BÀI 4 : Tính các góc trong và ngoài của tam giác ABC . Biết Aˆ − Bˆ = Bˆ − Cˆ = 20 0 HD : ..=>  = Bˆ + 20 0 , Cˆ = Bˆ − 20 0 => Aˆ + Bˆ + Cˆ = 3 Bˆ = 180 0 , => Bˆ = 60 0 ,  = 80 0 ; Cˆ = 40 0 & Bˆ1 = 120 0 , Aˆ1 =100 0 ; Cˆ1 = 140 0 BÀI 5 : Vẽ thêm và dùng định lý góc ngoài . Chứng minh : AÔ B = Aˆ + Bˆ http://NgocHung.name.vn 52 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 a A O b B $2. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC Tam giác TH 1. C-C-C TH 2. C-G-C TH 3. G-C-G $ 3. Tam giác vuông Cạnh huyền + Cạnh góc vuông Hai cạnh góc vuông Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT : ∆ . Cân Tam giác Định A,B,C không ∆ ABC: nghĩ thẳng hàng AB = AC a Qua Â+ Bˆ + Cˆ =180 Bˆ = Cˆ 0 ˆ n hệ ˆ = 180 − A B các Cˆ 1 > Aˆ 2 góc Â=180 Cˆ 1 > Bˆ 0 Qua n hệ các cạnh 1 cạnh< Tổng và > Hiệu 2cạnh còn lại ∆ . ĐỀU AB=BC=AC ∆ VUÔNG ∆ABC : Aˆ = 90 0 ∆ vuông cân ∆ABC : Aˆ = 90 0 Aˆ = Bˆ = Cˆ = 60 Bˆ + Cˆ = 90 0 Bˆ + Cˆ = 45 0 ∆ ABC : AB=AC 0 −2 Bˆ BC 2 = AB 2 + AC 2 AB=AC AB=BC=AC BC > AB BC > AC AB=AC= c BC= c 2 BÀI 6 : Cho tam giác ABC có  = 80 độ , Bˆ = 60 độ . Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I . Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D . Chứng minh góc BDC = góc C ? HD: Tính góc C = 40 độ . Tính góc BDC = 180 0 –(90 +30) = 40độ =>gócC =góc http://NgocHung.name.vn 53 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 BÀI 7 : Cho tam giác ABC có góc A = 2 Bˆ và Bˆ = 3 Cˆ . a/ Tính góc A ;B ; C ? b/ Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C . Tính góc AEC ? B A HD : a/Qui về góc C =>góc A+B+C =10 Cˆ => góc C = 18 0 => Bˆ = 54 độ;  = 108 độ. b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ => AC E = 81 độ và    2 = B + C =54+18 =72 độ=>gócE =180–(81+72)= 27 độ . C E BÀI 8 : Cho tam giác ABC có các góc A;B;C tỷ lệ với 3;2;1 .Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ? HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 độ => Tamgiác ABC vuông tại A . BÀI 9 : Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm . Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp và AB < BC < CA . Tim độ dài 3 cạnh của tam giác A. Biết ∆ABC = ∆PQR. A HD : Gọi độ dài 3 cạnh AB = 2n + 1 ,BC= 2n +3 và CA = 2n +5 . Ta có AB+BC+AC= 6n = 12 => n= 2 =>AB= PQ= 5 ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm B C BÀI 10: Cho góc xÔy . Trên tia O x lấy A , B và trên Oy lấy C,D sao cho OA=OC ; AB = CD . Chứng minh rằng : a/ ∆ABC = ∆CDA & b / ∆ABD = ∆CDB ? D C http://NgocHung.name.vn HD : ∆ABC = ∆CDA(cgc) & ∆CDB = ∆ABD(cgc) 54 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 A B BÀI 11 : Cho tam giác ABC.Biết AB = 3 cm , BC = 5 cm và CA = 4 cm .Gọi đường thẳng qua A và song song với BC là a .Đường qua B song song với CA là b và đường thẳng qua C và song song vơi AB là c . Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm các đường thẳng b và c ; a và c ; a và b . Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP ? HD : Chứng minh ∆ABC = ∆CNA( gcg ); ∆ABC = ∆BAP = ∆MCB. =>Các cạnh của tam giác MNP dài gấp đôi các cạnh tương ứng của tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ; NP = 2BC = 10 cm và NP =2CA = 8cm . A B C M BÀI 12 : Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC , kẻ BH ⊥ AM và CK ⊥ AM . Chứng minh : a/ BH // CK A b/ M trung điểm của HK c/ HC // BK ? H H D : a/ BH // CK vì cùng vuông góc với AM . B M C b/ ∆BHM = ∆CKM => MH = MK c/ ∆HCM = ∆KBM => gocHCB = gocKBC => HC // BK BÀI 13 : Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn . Người ta vẽ phía ngoài tam giác ấy ba tam giác đều LMA ; MNB và NLC . Chứng minh rằng : LB = MC = NA ? ∆AMN = ∆LMB (cgc) => NA = BL HD : ∆ALN = ∆MLC (cgc) => NA = CM => LB = MC = NA . L A M N http://NgocHung.name.vn 55 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 B BÀI 14: Cho tamgiác ABC có  = 90 độ ; Bˆ = 60 độ . Phân giác góc B;góc C cắt nhau tai I và AI cắt BC tại M . a/ Chứng minh góc BIC là góc tù ? b/ Tính góc BIC ? A HD:a/ Góc I 1 > góc A 1 Góc ngoài tam giác BIM Góc I 2 > góc A 2 góc ngoài tam giác CIM  góc I > góc A = 90 độ = > góc BIC là góc tù . C b/ ...=> góc BIC = 180 – 45 = 135 độ . M B BÀI 15 : Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20 độ . Tia phân giác góc A cắt BC tại D . Tính số đóc góc ADC ? góc ADB ? A HD : => Ta có Dˆ 1 = Bˆ + Aˆ1; Dˆ 2 = Cˆ + Aˆ 2 => Dˆ 1− Dˆ 2 = Bˆ − Cˆ = 20 0 Mà Dˆ 1 + Dˆ 2 = 180 độ => Dˆ 1 =100 0 , Dˆ 2 = 80 0 B D C BÀI 16 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB ( D khác phía C đối với AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC ( E khác phía B đối với AC ) . Chứng minh rằng : a/ DC = BE ? b/ DC ⊥ BE ? E HD : a/ ∆ADC = ∆ABE (gcg ) => DE = BE D c./ Gọi H là giao điểm AB với CD và K là giao A điểm DC với BE. ∆ADH & ∆KBHgocDAH = BKH = 900 B C BÀI 17 : Cho tam giác ABC có góc B = 2 Cˆ . Tia phân giác góc B cắt AC ở D . Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE = AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK = AB . Chứng minh rằng : AE = AK ? HD : Chứng minh góc ABE = góc ACK A => ∆ABE = ∆KCA(cgc) => AE = AK . D http://NgocHung.name.vn 56 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 B C K E BÀI 18 : Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC . Trên tia đối tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC . Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho EN = EB . Chứng minh A là trung điểm của MN ? HD: ∆AKM = ∆BKC (cgc) => gocKAM = gocKBC => AM // BC ∆AEN = ∆CEB => AN = BC & AN // BC M A K N Mà AM//BC;AN//BC=>M;A;N thẳng hàng (1) AM=BC;AN=BC=>AM=AN (2) Từ (1) &(2) => A là trung điểm của MN . E B C BÀI 19 : Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ∆ ADB ; ∆ACE có AB = AD ; AC = AE . Kẻ AH vuông góc BC ; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH . Chứng minh rằng a/ DM = AH N E b/ MN đi qua trung điểm DE . D M HD : a/ ...=> ∆ADM = ∆BAH => DM = AH A B H C b/ ...=> tương tự câu a => EN=AH =>DM=EN Chứng minh DM//EN và gọi O giao điểm MN và DE => ∆DMO = ∆ENO( gcg ) => OD = OE . BÀI 20 : Cho tam giác ABC. gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF . Chứng minh rằng : A a/ DB = CF b/ ∆BDC = ∆FCDˆ http://NgocHung.name.vn 57 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 D 1 BC 2 HD: a/ ...=> ∆AED = ∆CEF (cgc) => AD = CF => BD = CF C b/ ...=> ∆DBC = ∆FCD(cgc) 1 1 c/ ...=> ∆BDC = ∆FCD => BC = DF => DE = DF => DE = BC . 2 2 E F B c/ DE // BC & DE = BÀI 21 : Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D ; E sao cho AD = BE. Qua D và E vẽ các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N . Chứng minh DM + EN = BC ? A HD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC tại K.Tacó EN//BK EB//NK nên chứng minh được NK=EB;EN=BK  AD= NK ( vì cùng bằng EB ).  Chứng minh ∆ADM = ∆NKC (cgc) => DM = KC ...=>.... E N B F C BÀI 22 : Cho tam giác ABC có  = 60 0 . Các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại I và cắt AC ; AB theo thứ tự D ; E . Chứng minh : ID = IE ? A E I HD : D Bˆ + Cˆ 120 = = 60 0 2 2 0 ˆ ˆ ∆BIC :=> BIC = 120 => I 1 = Iˆ4 = 60 0 IK phân giác BIˆC => Iˆ = Iˆ = 60 0 ...=> Bˆ1 + Cˆ1 = 1 2 ∆BIE = ∆BIK ( gcg ) => IE = IK ∆CDI = ∆CIK ( gcg ) => ID = IK => ID = IE B K C BÀI 23 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E . Các tia phân giác ACˆ E & DBˆ E cắt nhau ở K . Chứng minh : BKˆ C = BAˆ C + BDˆ C ? 2 K D A HD: Gọi K là giao điểm CK&BE. H là giao điểm BK&DE Xét ∆KGB & ∆AGC => Kˆ + Bˆ1 = Aˆ + Cˆ1 (1) Xét ∆KHC & ∆DHB => Kˆ + Cˆ 2 = Dˆ + Bˆ 2 (2) H G Từ (1) &(2) => 2 Kˆ = Aˆ + Dˆ => Kˆ = E C B http://NgocHung.name.vn 58 Aˆ + Dˆ 2 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 http://NgocHung.name.vn 59 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 BÀI 24 : Cho tam giác ABC với M trung điểm BC . Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ A x vuông góc AB và lấy D sao cho AD = AB . Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy AE = AC . Chứng minh : a/ H AM = 1 ED 2 b/ AM ⊥ DE HD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo ra đoạn thẳng gấp đôi AM bằng cách trên tia đối MA lấy MK = MA và đi chứng minh DE = AK - Xét ∆ABK & ∆DAE : AD = AB( gt ); AE = BK (= AC ) Và DAˆ E + Aˆ = 180 0 (viAˆ1 + Aˆ 2 = 180 0 ) (1) Bˆ + Bˆ1 = Bˆ + Cˆ => ABˆ K + Aˆ = Bˆ + Cˆ + Aˆ = 180 0 (vibuAˆ ) (2) E A Vậy : ABˆ K = DAˆ E => ∆ABK = ∆DAE => AK = DE => AM = B M C DE 2 b/ Gọi H là giao điểm AM&DE ; Ta có BAˆ K + DAˆ H = 90 0 => Dˆ + DAˆ H = 90 0 => ADˆ H = 90 0 BÀi 25 Miền trong góc nhọn xÔy vẽ Oz sao cho xÔz = 1 yÔz .Qua điểm A thuộc 2 Oy vẽ AH vuông góc O x cắt Oz ở B .Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA . Chứng minh tam gíc AOD cân ? A HD : Để chứng minh AO = AD ta vẽ DE = OB Ta thấy : AEˆ B = 90 0 − α & ABˆ E = OBˆ H = 90 0 − α => AEˆ B = ABˆE => ∆AOB = ∆ADE (cgc) => AO=AD => ∆ AOD cân E O D B Hh http://NgocHung.name.vn 60 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 BÀI 26 : Cho góc xÔz = 120 0 . Oy là tia phân giác xÔz ; Ot là tia phân giác của góc xÔy . M là điểm miềm trong góc yOz. Vẽ MA vuông góc O x,Vẽ MB vuông góc Oy,Vẽ MC vuông góc Ot . Chứng minh 0C = MA – MB ? y z M B H HĐ: Gọi E , I là giao điểm của MC với Oy;O x. => ∆ EOI đều => OC = EK . Vẽ EH ⊥ MA; EK ⊥ OI dễ dàng chứng minh được MH = MB ; EK = OC  MA-MB = MA – MH = HA = EK = OC E t C O I x A K BÀI 27 : Cho tam giác cân ABC có  = 100 độ. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Chứng minh BC = BD + AD . A HD : Ta có Dˆ 1 = Bˆ 2 + Cˆ = 20 0 + 40 0  trên cạnh BC lấy các điểm K , E sao cho BDˆ K = 60 0 & BDˆ E = 80 0 => ∆BDA = ∆BDK ( gcg ) => DA = DK (1) Chứng minh tam gíac DKE cân tại D =>DK = DE (2) Và chứng minh tamgiác DEC cân tại E=>DE=EC (3) Từ (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+AD B K E C BÀI 28 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường cao BD ,CE . Trên tia đối BD lấy điểm I. Trên tia đối CE lấy điểm K sao cho BI = AC , CK = AB . Chứng minh ∆ AIK vuông cân ? HD : Ch/minh ∆ABI = ∆KCA(cgc). AI = AK A Góc AIK=90 độ (vì góc E = góc K (cmt) Suy ra : tam giác AIK vuông cân B C http://NgocHung.name.vn 61 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 BÀI 29:Cho góc xÔy = 90 độ Lấy điểm A trên O x và điểm B trên Oy . Rồi lấy điểm E trên tia đối O x và điểm F trên tia Oy sao cho OE =OB và O F = OA . a/ Chứng minh AB = E F và AB ⊥ E F b/ Gọi M,N là trung điểm AB, E F Chứng minh tam giác OMN vuông cân ? HD : a/ ∆OAB = ∆Oß E(2 cgv) => AB = E F & AB ⊥ E F b/ ∆OMB = ∆ONE (cgc) => OM = ON & gocMOM = 90do => y OMN vuông cân B F N E M O A x BÀI30: Cho tam giác đều ABC, Trên 2 cạnh AB,AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho AM = CN . Gọi O là giao điểm CM và BN . Chứn ninh rằng : A a/ CM = B N b/ Số đo góc BOC không đổi khi M và N di động trên AB,AC thoả mãn điều kiện AM = CN. M HD: a/ ∆ACM = ∆CBN (cgc) => CM = BN & Cˆ1 = Bˆ1 b/ ∆BOCcoBOˆ C = 180 0 − ( Bˆ1 + Cˆ 2 ) = 180 0 − 60 0 = 120 0 N O B C &&&&&&&&& http://NgocHung.name.vn 62 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Chuyên đề: TAM GIÁC VUÔNG TAM GIÁC CÂN ..... A. TAM GIÁC VUÔNG : 1/ Định nghĩa tam giác vuông ? tam giác vuông cân ? 2/ Tính chất : - Tam giác ABC : Â=90 độ Bˆ + Cˆ = 90 0 - Định lý PyTago: ∆ABC : Aˆ = 90 0 ⇔ BC 2 = AB 2 + AC 2 - Bộ ba số Py ta go: (3;4;5); (5;12;15);(6;8;10);(8;15;17);(20;21;29).... - Các hệ thức trong tam giác vuông: ∆ABC : Aˆ = 90 0 ; AH ⊥ BC => AH .BC = AB. AC AB 2 = BH .BC ; AC 2 = CH .BC. ; 1 ∆ABC : Aˆ = 90 ; AB = MC AM = BC 2 S S AMB = AMC - - Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60 độ (30 độ) là nửa tam giác đều ( cạnh bằng cạnh huyền ). - Các trường hợp hai tam giác vuông bằng nhau: 2 cgv-Chuyền Toán nâng cao: BÀI 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc C = 45 độ. Vẽ phân giác AD.Trên tia đối AD lấy AE = BC.Trên tia đối CA lấy CF = AB . Chứng minh : a/ BE = CF b/ BE = BF . Hướng dẫn: a/ Chứng minh : BÂE = B Cˆ F = 135 0 A Ch/minh : ∆BAE = ∆FCB(cgc) ⇒ BE = CF D b/ ∆ABF : Aˆ = 90 0 => ABˆ F + Fˆ = 90 0 A C F Mà: Fˆ = Bˆ (cmt ) => ABˆ F + Bˆ = 90 0 hayEBˆ F = 90 0 => BE ⊥ BF BÀI 2: Cho tam giác ABC có BC = 2 AB . M trung điểm BC; D trung điểm BM . Chứng minh : AC = 2 AD A Hướng dẫn: Trên tia đối AD lấy DE = DA => ∆ADB = ∆EMD(cgc) => AB = ME; ABˆ D = EMˆ D 1 2 => AB=ME= BC => ME = MC (1) http://NgocHung.name.vn 63 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 (1) B D M C Mặt khác: EMˆ A = Mˆ 1 + Mˆ 2 ; CMˆ A = Bˆ + BAˆ M ( gocngoai ) Mà: Mˆ = B(cmt ); Mˆ = ABˆ M 1 2 Vậy : AMˆ E = AMˆ C (2) và AM chung (3) Từ (1),(2) và(3) suy ra E ∆MCME = ∆AMC => AE = AC => AC = 2AD BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 60 độ . Vẽ tia C x ⊥ BC và lấy CE = CA ( CE và CA cùng phía với BC). Kéo dài CB và lấy F sao cho BF = BA . Chứng minh : a/ ∆ACE đều b/ E,A,F thẳng hàng ? Hướng dẫn: a/ Ta có CA = CE (gt) => ∆CEAcan Chứng minh tiếp góc ACE = 60 độ Suy ra : ∆CAE đều E b/ Ta có : BA = BF (gt) => ∆BFAcan Suy ra : góc BA F = 30 độ; A Vậy: FBˆ A + BAˆ C + CAˆ E = 30 0 + 90 0 + 60 0 = 180 0 Ta suy ra ba điểm F;A;E thẳng hàng .EAF F B C BÀI 4: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O . Qua O kẻ đường song song BC,cát AB tại D và cắt AC tại E . Chứng minh : a/ Góc BOC không đổi . b/ DE = DB + EC A HD : a/ BOˆ C = 180 0 − ( Bˆ 2 + Cˆ 2 ) = 180 0 − 45 0 = 135 0 b/ ∆DBOcan => DB = DO ∆EOC can => EC = EO O D E Vậy DB+EC=DO+OE=DE B C BÀI 5 : Cho tam giác ABC: Góc B = 2 góc C. Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC) . Trên tia đối BA lấy BE = BH . Đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứn minh : FH = FA = FC . A Hướng dẫn: Ta có BH= BE => ∆ BEH cân => Eˆ = Hˆ 1 Mà Hˆ 1 = Hˆ 2 => & Bˆ = 2 Hˆ 1 = Bˆ = 2 Hˆ 2 => Hˆ 2 + Cˆ F Vậy tam giác FHC cân =>HF = HC (1) http://NgocHung.name.vn 64 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Mặt khác :  = 90 0 −Cˆ & AHˆ F = 90 0 − Hˆ 2 Vậy tam giác FAH cân => FA = FH (2) C Từ (1) và (2) => HF = FA = FC B H E Bài 6: Cho tam giác ABC :góc A = 90 độ.Ở miềm ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD, AC F ( AB = BD và AC = CF). a/ Chứng minh : D,A,F thẳng hàng ? b/ Từ A và F kẻ các đường D D ' , FF ' vuông góc xuống BC . Chứng minh : DD ' + FF ' = BC HD: a/  = 45+90+45 = 90 độ=>A,D,F thẳng hàng ∆DBD ' = ∆BAH => DD ' = BH b/ Kẻ AH ⊥ BC => ∆CFF ' = ∆AHC => FF ' = HC A => DD ' + FF ' = BH + HC = BC B C Bài 7 : Cho ∆ABC : BAˆ C = 120 0 Kẻ AD phân giác góc A .Từ A hạ DE ⊥ AB ; DF ⊥ AC . a/ Tam giác DE F tam giác gì ? b/ Qua C vẽ đường thẳng // AD cắt AB tại M , tam giác ACM là tam giác gì ? A HD: a/ Chứng minh DE = DF và góc EDF = 60 độ => ∆ đều F b/Tam giác ACM đều . E B D C BÀI 8: Tam giác ABC có AB > AC .Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB,AC lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng: a/ BE = CF c/ góc BME = A b/ AE = AB + AC AB − AC ; BE = 2 2 ACˆ B − Bˆ 2 HD: a/ Chứng minh góc F = góc E Kẻ CD // AB =>BE=CD (1) Mà ∆ CDF cân => CF=CD (2) => BE=CF http://NgocHung.name.vn 65 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 b/ Ta có AE = AB - BE Mà AE=A F= AC+CF=>2AE=AB+AC AB + AC 2 AB − AC Tương tự : 2BE=AB-AC => BE = 2 ˆ B - Fˆ & BM ˆ E = Eˆ - B CEˆ F = AC ˆ ˆ c/ Ta có : ˆ E = ACˆB - B ˆ => BM ˆ E = ACB - B 2BM 2  AE= E M C F B. 1. 2. 3. 4. TAM GIÁC CÂN BỔ SUNG KIẾN THỨC: Trong một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30 độ thì cạnh đối diện với góc ấy bằng nửa cạnh huyền. Một tam giác vuông có góc nhọn bằng 30 độ (hay bằng 60 độ) thì tam giác vuông đó bằng nửa tam giác đều.Cạnh đối diện góc vuông là cạnh tam giác đều và cạnh đối diện góc nhọn 60 độ là chiều cao tam gióc đều. Trong một tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện cạnh với cạnh góc vuông ấy bằng 30 độ. Trong tam giác cân: - Hai trung tuyến ứng với 2cạnh bên bằng nhau. - Hai phân giác ứng với 2 cạnh bên bằng nhau. - Hai đường cao ứng với 2 cạnh bên bằng nhau. TOÁN CHO HS GIỎI: BÀI 9: Cho tam giác nhọn ABC có góc Â= 60 độ. Đường cao BD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB ; AC. a/ Xác định dạng của tam giác BMD ? Tam giác AMD ? b/ Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE=AN . Chứng minh CE vuông góc AB ? HD: A D http://NgocHung.name.vn 66 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 M E N B C Xét tam giác vuông ABD có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyềnAB nên: MD=MA=MB=AB:2 => Tam giác ABD và tam giác AMD cân. Mà Â=60 độ => tam giác AMD đều. b/ Xét tam giác AEN có AE=AN=>tam giác AEN cân+Â=60 độ=>tam giác AEN đều=>EN=NA=CN=AC:2. Vậy tam giác EAC có trung tuyến EN=AC:2=>tam giác EAC vuông tại E => CE vuông góc AB BÀI 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M,N sao cho BM=BA;CN=CA. Tính góc MÂN ? HD: B N = 1 = M 1 A C 180 − Bˆ 2 180 − Cˆ Tam giác CAN cân tại C=> Nˆ 1 = 2 Vậy : MAˆ N = 180 − ( Mˆ 1 + Nˆ ) = 180 − 135 = 45 0 Tam giác BAM cân tại B=> Mˆ 1 = BÀI 11: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc bằng nhau. a/ Chứng minh tam giác ABC vuông ? b/ Tam giấcBM là tam giác đều ? HD: A I http://NgocHung.name.vn 67 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 B H M C a/ Vẽ MI vuông góc AC . Chưng minh ∆MAI = ∆MAH (C.h + g .n) => BH = MH = 1 1 BM = MC => Cˆ = 30 0 & HAˆ C = 60 0 2 2 Vây BÂC= (60.3):2=90 độ => Tam giác ABC vuông tại A. b/ Ta có góc C=30 độ;góc B=60 độ;AM=BM=1/2BC=>tam giác ABM cân có một góc bằng 60 độ => tam giác ABM đều. BÀI 12: Cho tam giác ABC có góc B= 75 độ,góc C bằng 60 độ. Kéo dài BC một đoạn CD sao cho CD=1/2BC .Tính góc ADB ? HD: A H 1 2 1 2 1 B C D - Kẻ BH vuông góc AC. Xét tam gica vuông BHC vuông tại H và góc C=60 độ => góc 1 1 Bˆ1 = 30 0 => CH = BC => CH = CD => ∆CDH can = Dˆ 1 = ACˆ B = 30 0 => ∆HDBcan => HB = HD(1) 2 2 - Xét tam giác HAB vuông tại H có góc B2=75-30=45 độ=>tam giác HAB vuông cân=>HA=HB(2). Từ (1) và (2) => HD=HA=>Tam giác HAD cân. 1 2 Ta suy ra Dˆ 2 = Hˆ 1 = 15 0 => ADˆ B = 30 + 15 = 45 0 ĐỊNH LÝ: PY-TA-GO KIẾN THỨC BỔ SUNG: 1. Trong tam giác vuông cân có cạnh bên băng a thì cạnh huyền bằng a 2 2. Khoảng cách giải 2 điểm trong mựt phẳng toạ độ: http://NgocHung.name.vn 68 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 A( x1 ; y1 ); B( x 2 ; y 2 ) => AB 2 = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 => AB = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 BÀI 13: Cho tam giác ABC có AB=24; BC=40 và AC=32. Trên cạnh AC lấy M sao cho AM =7. Chứng minh rằng : a/ Tam giác ABC vuông ? b/ góc AMB = 2góc C. HD: A 7 M 24 B 32 40 C a/ Tam giác ABC có: BC 2 = 40.40 = 1600 AB 2 + AC 2 = 24.24 + 32.32 = 1600 Vậy AB 2 + AC 2 = BC 2 = 1600 => ∆ABCvuongtaiA 24 2 − 7 2 = 25 b/ Chứng minh ram giác MBC cân : BM= AC − AM = 32 − 7 = 25 Suy ra : góc MBC=góc C. Mà góc AMB=góc MBC+góc C ( góc ngoài) Vậy góc AMB = 2. góc C BÀI 14: Cho tam giác ABC có AB=25 ; AC = 26 . Đường cao AH = 24 . Tính BC ? A A 25 24 24 B H (H1) 26 25 26 C H B C (H.2) - Tính được HB= 7 ; HC= 10 - Nếu góc B nhọ=>H nằm giữa BC=>BC=BH+HC=10+7=17 (h1) - Nếu góc B tù => H nằm ngoài BC=>BC=HC--HB=10-7=3 (h2) http://NgocHung.name.vn 69 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 BÀI 15: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tỷ lệ 8 và 15. Cạnh huyền 51 cm. Tính độ dài 2 cạnh góc vuông ? HD: Giả sử tam giác ABC vuông tại A. =>AB=8k và AC=15k Ta có AB 2 + AC 2 = (8k ) 2 + (15) 2 = 512 => 289k 2 = 2601 => k = 3 Vậy AB= 8.3= 24 m và AC=15.3= 45 m BÀI 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH,trên đó lấy điểm D. Trên tia đối HA lấy E sao cho HE=AD. Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F . Chứng minh EB vuông góc E F ? HD: A D B F H C E Vì AD=HE=>AH=DE Áp dụng Định lý Py ta go vao tam giác vuông ABF;ABH;ADF;BHE;DE F ta được: BF 2 = AB 2 + A F 2 = ( BH 2 + AH 2 ) + ( AD 2 + DF 2 ) BF 2 = HB 2 + DE 2 + HE 2 + DF 2 = ( BH 2 + HE 2 ) + ( DE 2 + DF 2 ) = BE 2 + E F 2 Vậy theo định lý đảo Py ta go=> tam giác BE F vuông tại E=> EB vuông góc E F BÀI 17: Một cây tre cao 9 m. Bị gãy ngang thân. Ngọn cây chạm đất và cáh gốc 3m . Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu mét ? HD : B = C x? http://NgocHung.name.vn = 70 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 A D Gọi AB chiều cao cây tre . Điểm gãy C . Ngọn cham đất cách gốc 3 m là điểm C thì CB=CD . Tam giác vuông ACD có : AC 2 + AD 2 = CD 2 x 2 + 3 2 = (9 − x) 2 => x = 4met BÀI 18: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5;4); B(2;3) và C(6;1). Tính các góc tam giác ABC ? HD x 4 A(5;4) 3 B(2;3) 1 C(6;1) x O 2 5 6 Ta có : AB = (5 − 2) + (4 − 3) = 10(1) 2 2 2 AC 2 = (5 − 6) 2 + (4 − 1) 2 = 10(2) BC 2 = (6 − 2) 2 + (1 − 3) 2 == 20 Từ (1) và (2) => tam giác ABC cân và AB 2 + AC 2 = BC 2 = 20 => ∆ABCvuong Vậy góc A =90 độ . góc B = góc C= 45 độ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦTAM GIÁC VUÔNG BÀI 19: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác . a/ Chứng minh tam giác ABC cân. b/ Cho AB=37; AM =35 . Tính BC ? HD: (H.1) A A F H http://NgocHung.name.vn K 71 D Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 (H.1) B M C (H.2) B E C a/ Vẽ thêm MH vuông góc AB & MK vuông góc AC. Chứng minh ∆HAM = ∆KAM (ch + gn) => MH = MKA ∆HMB = ∆KMC (ch + cgv) => Bˆ = Cˆ => ∆ABCcantaiA b/ Tam giác ABC cân =>AH vuông gócBC =>BM= AB 2 − AM 2 = 12 => BC = 24 BÀI 20: Cho tam giác có ba đường cao bằng nhau. a/ Chứng minh tam giác đó đều ? b/ Cho biết mỗi đường cao có độ dài a 3 . Tính độ dài mỗi cạnh tam giác 2 đó? HD.(H.2) Tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau là: AD=BE=C F. a/ Ta chứng minh ∆FBC = ∆ECB(ch + cgv) => Bˆ = Cˆ ;........ => Cˆ = Aˆ => ∆ABCdeu. b/ Gọi độ dài mỗi cạnh là x.Xét tam giac ADC vuông tại D có AC 2 = AD 2 + CD 2 => x = a : BÀI 21: Cho tam giác ABC cân tại  và Â=80 độ. Gọi O là điểm nằm trong tam goác sao cho góc OBC=30 độ;góc OCB=10 độ. Chứng minh tam giác COA cân.? M M A A O O B C B (H.1) C ( H.2) HD ( Xem H.1) Tam giác ABC cân góc Â=80 độ => gocB=Góc C= 50 độ Vẽ thêm tam giác đều BCM9 M,A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)  góc MCA=60-50=10 độ  ∆AMB = ∆AMC (CCC ) => AMˆ B = AMˆ C = 60 0 : 2 = 30 0  ∆OBC = ∆AMC ( gcg ) => CO = CA => ∆COAcan. http://NgocHung.name.vn 72 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 BÀI 22: Cho tam giác ABC cân tại A và góc Â= 100 độ.Goi O là điểm nằm trên tia phân giác góc C sao cho góc CBO=30 độ . Tính góc CAO ? HD: (Xem hình 2) Vẽ tam giác đều BCM9M,A cùng nửa mặt phẳng bờ BC). Chứng minh tương tự bài 19=> ∆COAcantaiC => ACˆ O = 40 : 2 = 20 0 Suy ra: CAˆO = (180 - 20) : 2 = 80 0 Bài 23: Cho tam giác cân ABC (AB=AC. Kẻ đường vuông góc AB tại B và vuông góc AC tại C. hai đường nầy cắt nhau tại D. a/ Chứng minh AD là phân giác góc A ? b/ So sánh AD & CD ? HD: (H1) A A ( Hình 2) 1 2 B D C B E M N C D (xem h.1) a/ Chứng minh tam giác ABD=tam giác ACD(Ch+cgv)=> Aˆ1 = Aˆ 2 Suy ra AD phân giác góc  b/ Suy ra AD=CD ( 2 cạnh tương ứng) BÀI 24: Cho tam giác cân ABC9AB=AC) D là một điểm thuộc AB và E là môt điểm thuộc AC sao cho AD=AE. Từ D và E hạ đường vuông góc với BC. Chứng minh BM=CN ? HD: ( xem hình 2) Chứng minh BD=EC&góc B = góc C Suy ra tam giác BDM=tam giác ECN(Ch+gn)=> BM=CN BÀI 25: Cho góc xÔy trên O x lấy điểm A. Trên O y lấy điểm B. Gọi M trung điểm AB. Từ A, B hạ đường thẳng AE ; BF cùng vuông góc với tia OM . Chứng minh AE=BF ? HD: Chứng minh tam giác MAE=tam giác MBF x (Ch+gn)=>AE=BF http://NgocHung.name.vn 73 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 A E M F O y BÀI 26: Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại O. Kẻ OE,O F,OG thứ tự vuông góc với AC,AB,BC. a/ Chứng minh OE = O F=O b/ Tia AO cắt BC tại D . Chứng minh góc BOD=góc góc COG HD: A 1 2 E F O 2 2 1 B 1 G D C ∆BOß = ∆BOG(ch + gn) => OF = OG (1) a/ Chưng minh: ∆COG = ∆COE(ch + gn) => OE = OG(2) T u (1) & (2) => OE = OF= OG 1 2 1 2 1 2 b/ ∆AOE = ∆AO F => Aˆ 1 = Aˆ 2 = Aˆ ;Bˆ 1 = Bˆ 2 = Bˆ & Cˆ1 = Cˆ 2 = Cˆ Suy ra Aˆ1 + Bˆ + C 2 = 180 : 2 = 90 0 (1) Mặt khác tam giác vuông BOG(góc G=90 độ)=> Bˆ1 + BOˆ G = 90 0 (2) http://NgocHung.name.vn 74 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Từ (1) và(2) => Aˆ1 + Cˆ 2 = BOˆ G (3)  Từ (3) và (4)=> BOˆ G = COˆ D BOG = GOˆ D = COˆ D + GOˆ D, BOˆ D = COˆ G BIỂU THỨC ĐẠI SỐ – GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Bài 1:Tính giá trị của biểu thức : A = x2 + 4xy – 3y3 với x = 5; y = 1 4x − 9 4y + 9 Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị của biểu thức : B = 3 x + y − 3 y + x ( x ≠ - 3y ; y ≠ 3x) Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau : x 2 ( x 2 + 2 y )( x 2 − 2 y )( x 4 + 2 y 4 )( x 8 + 2 y 8 ) với x = 4 và y = 8 x 16 + 2 y 16 a) A = b) B = 2m2 – 3m + 5 với m = 1 c) C = 2a2 – 3ab + b2 với a = 1 và b = 2 Bài 4: Xác định các giá trị của biến để biểu thức sau có nghĩa : ax + by + c xy − 3 y 6x 2 + x − 3 Bài 5: Tính giá trị của biểu thức : N= 2x − 1 a) x +1 x2 − 4 b) x −1 x2 +1 c) Bài 6 : Tìm các giá trị của biến để : a)A= (x + 1)(y2 – 6) có giá trị bằng 0 Bài 7 : Tính giá trị của biểu thức sau : 5x 2 + 3 y 2 A= 10 x 2 − 3 y 2 với với x = 1 2 b) B = x2 – 12x + 7 có giá trị bằng 7 x y = 3 5 Bài 8: Cho x, y, z ≠ 0 và x – y – z = 0 .Tính giá trị của biểu thức z  x  y  B = 1 − 1 − 1 +   x  y  z Bài 9: 1 5 a) Tìm GTNN của biểu thức C = ( x+ 2)2 + ( y - ) 2 – 10 b) Tìm GTLN của biểu thức sau : D = Bài 10: Cho biểu thức E = 4 ( 2 x − 3) 2 + 5 5− x .Tìm các giá trị nguyên của x để : x−2 a) E có giá trị nguyên b) E có giá trị nhỏ nhất Bài 11: Tìm các GTNN của các biểu thức sau : a) (x – 3)2+ 2 b) (2x + 1)4 – 1 c) (x2 – 16)2 + y − 3 - 2 http://NgocHung.name.vn 75 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Bài 12: Tìm GTNN của biểu thức :A = x − 2 + x − 10 Bài 13: Tìm các giá trị nguyên của x ,để biểu thức sau nhận giá trị nguyên : A= 10 x + 15 5x + 1 Bài 14: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b ∈ Z Chứng minh rằng không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35 Bài 15 Cho f(x) = ax2 + bx + c .Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, c nào làm cho f(x) = 1 khi x = 1998 và f(x) = 2 khi x = 2000 Bài 16: Chứng minh rằng biểu thức P = x8 – x5 + x2 – x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x. Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = x − 1 − x + 3 với x ≤ 7 11 Bài 18: Chứng minh các đẳng thức sau : a) x2 – y2 = (x+ y) (x- y) b) x3 + y3 = (x+ y) ( x2 – xy + y2) c) a(a – b) – b(b- a) = a2 – b2 d) a( b- c) – b(a + c) + c( a – b) = - 2bc e) a( 1- b) + a( a2 – 1) = a (a2- b) f) a(b – x) + x(a + b) = b( a + x) Bài 20: Rút gọcn biểu thức đại số sau : a) A = ( 15x + 2y) - [ ( 2 x + 3) − ( 5 x + y ) ] b) B = - (12x + 3y) + (5x – 2y) - [13x + ( 2 y − 5) ] Bài 21: Đặt thừa số chung để viết các tổng sau đây thành tích : a) ab + bd – ac – cd b) ax + by – ay – bx c) x2 – xy – xy + y2 d) x2+ 5x + 6 Bài 22: Chứng tỏ rằng : a) Biểu thức x2 + x + 3 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x . b) Biểu thức – 2x2 + 3x – 8 không nhận giá trị dương với mọi giá trị của x. Bài 23*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết rằng: 1 x a) x + = 1 2 x b) x + = 5 c) x 3 + 3 = y 3 − x d) (x-2) 25n 2 + 5 + y- 2= 0 (n∈ N) Bài 24: Tìm x, y là các số nguyên biết: a) y= x+2 x −1 b*) y= 2x − 3 x +1 ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG Bài tập cơ bản http://NgocHung.name.vn 76 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức : a)3a2 b+ (- a2b) + 2a2b – (- 6a2b) b)(-7y2) + (-y2) – (- 8y2) c)(-4,2p2) + ( - 0,3p2) + 0,5p2 + 3p2 d) 5an + (- 2a)n + 6an Bài 2: Thực hiện các phép tính sau : a) x x 3x + + 3 6 2 2 5 b) 3ab. ac – 2a.abc - 1 2 a bc 3 2 2 2 1 2  c)  ac  .c2 - a2.(c.c)2 + ac2.ac - a2c2 5 3 4 3  Bài 3: Cho các đơn thức A = x2y và B = xy2 .Chứng tỏ rằng nếu x,y ∈ Z và x + y chia hết cho 13 thì A + B chia hết cho 13 Bài 4: Cho biểu thức : P = 2a2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1+ ( n ∈ N) Với giá trị nào của a thì P > 0 Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5xk+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk ( k ∈ N) Với giá trị nào của x và k thì Q < 0 Bài 6: Tìm x biết : xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = 0 ( n ∈ N; n ≠ 0) Bài 7: Biết A = x2yz , B = xy2z ; C = xyz2 và x+ x + z = 1 Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz Bài 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau: 1 5 3 1 x y ;−3 x 3 y;4 x 2 ;5; ax 5 y 3 ; x 3 y 7 9 Bài9: Tính tổng : a) 1 2 5 3 2 5 4 2 5 y z − y z + y z 2 4 3 b) axy 3 − bxy 3 + 7 3 xy 3 Bài10: Rút gọn các biểu thức sau : a) 10n+1- 66.10n b) 2n+ 3 + 2n +2 – 2n + 1 + 2n http://NgocHung.name.vn 77 c)90.10k – 10k+2 + 10k+1 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 d) 2,5.5n – 3 .10 + 5n – 6.5n- 1 Nâng cao Bài 1: Cho biểu thức M = 3a2x2 + 4b2x2- 2a2x2 – 3b2x2 + 19 ( a ≠ 0; b ≠ 0) Tìm GTNN của M Bài 2 : Cho A = 8x5y3 ; B = - 2x6y3 ; C = - 6x7y3 .Chứng tỏ rằng : Ax2 + Bx + C = 0 Bài 3: Chứngminh rằng với n ∈ N* a) 8.2n + 2n+1 có tận cùng bằng chữ số không b) 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia hết cho 25 c)4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300 Bài 4: Cho A = ( - 3x5y3)4 và B = ( 2x2z4)5 .Tìm x,y,z biết A + B = 0 Bài 5: Rút gọn: a) M + N – P với M = 2a2 – 3a + 1 , N = 5a2 + a , P = a2 – 4 b) 2y – x - { 2 x − y − [ y + 3x − ( 5 y − x ) ]} với x =a2 + 2ab + b2 , y = a2 – 2ab + b2 c) 5x – 3 - 2 x − 1 Bài 6: Tìm x,biết : a) (0,4x – 2) – (1,5x + 1) – ( - 4x – 0,8) = 3,6 b) ( 3 x + 3) – 4 2  1  1  1   x − 4  -  x + 1 =  x + 4  -  x − 3  3  6  3  3  Bài 7: Tìm số tự nhiên abc ( a > b > c) sao cho : abc + bca + cab = 666 Bài 8: Có số tự nhiên abc nào mà tổng abc + bca + cab là một số chính phương không ? Bài9 : Tính tổng : a) (- 5x2y + 3xy2 + 7) + ( - 6x2y + 4xy2 – 5) b) (2,4x3 -10x2y) + (7x2y – 2,4x3+3xy2) c) (15x2y – 7xy2-6y2) + (2x2- 12x2y + 7xy2) 5 3 3 x d) (4x2+x2y -5y3)+( x 3 − 6 xy 2 − x 2 y )+( + 10 y 3 )+ ( 6 y 3 − 15 xy 2 − 4 x 2 y − 10 x 3 ) 3 Bài 10: Rút gọn biểu thức sau a/ (3x +y -z) – (4x -2y + 6z) http://NgocHung.name.vn 78 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 ( c / ( 5,7 x ) ( b / x 3 + 6x 2 + 5 y 3 − 2x 3 − 5x + 7 y 3 2 ) ( ) y − 3,1xy + 8 y − 6,9 xy − 2,3x 2 y + 8 y 3 3 ) d)K= 2x.(-3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x M= e) − 2x  x − 2 7  5x  x 4  + 3 x − − −  −  3 5 2 5 5 6 9 Bài 11: Tìm x biết: a) x +2x+3x+4x+…..+ 100x = -213 b) 1 1 1 1 x− = x− 2 3 4 6 e) x − 6 x − 7 x − 8 x − 9 x − 10 x − 11 + + = + + 7 8 9 10 11 12 g) x − 2 = 13 c) 3(x-2)+ 2(x-1)=10 h) 3 x − 2 + 4 x − 8 = − 2 − f) 1 3 d) x +1 x − 2 = 3 4 x + 32 x + 23 x + 38 x + 27 + = + 11 12 13 14 −1 i) 3x − 2 + 5 = 3 + x − 2 3 k) x + 2 + x − 2 =3 m) (2x-1)2 – 5 =20 n) ( x+2)2 = 1 1 − 2 3 p) ( x-1)3 = (x- 1) q*) (x-1)x+2 = (x-1)2 r*) (x+3)y+1 = (2x-1)y+1 với y là một số tự nhiên Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG. I/ MỤC TIÊU: http://NgocHung.name.vn 79 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có liên quan cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương. 2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính phương và giảimột số dạng toán có liên quan. 3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế. II/ LÝ THUYẾT: 1.Định nghĩa: Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên Ví dụ: 3 2 = 9;15 2 = 225 Các số 9; 225 là bình phương của các số tự nhiên : 3; 15 được gọi là số chính phương 2. Một số tính chất: a) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là : 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi 2; 3; 7; 8. b) Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2. Thật vậy ,giả sử 2 2 M = a5 2 = (10a + 5) = 100a + 100a + 25. Vì chữ số hàng chục của 100a 2 và 100a là số 0 nên chữ số hàng chục của số M là 2 c) Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Thật vậy, giả sử số chính phương N=a2 có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6. Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự ), Khi đó b42 = (10b+4)2 = 100b2 + 80b + 16. Vì chữ số hàng chục của số 100b2 và 80b là số chẵn nên chữ số hàng chục của N là số lẻ. d) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ,số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ . Thật vậy ,giả sử A = m2 =ax .by.cz …trong đó a,b,c ,…là các số nguyên tố khác nhau,còn x,y,z…là các số nguyên tố dương thế thì , A = m2 = (ax by cz…)2 = a2x.b2y.c2z… Từ tính chất này suy ra -Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. -Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. -Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. -Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. 3/ Nhận biết một số chính phương: 4/ Hằng đẳng thức vận dụng: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 và a2 – b2 = (a + b)(a – b) 5. Các ví dụ: Ví dụ 1. Chứng minh rằng : http://NgocHung.name.vn 80 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 a) b) Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n+2 họăc 4n +3 (n∈N); Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(n∈N). Giải a) Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (k∈N), khi đó (2k)2 = 4k2 là số chia hết cho 4 còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (k∈N) , Khi đó (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 là số chia cho 4 dư 1. Như vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1 , do đó không thể viết đựơc dưới dạng 4n+2 hoặc 4n+3(n∈N) b) Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k ± 1 (k∈ N) khi đó bình phương của nó có dạng(3k)2 =9k2 là số chia hết cho 3 ,hoặc có dạng (3k ± 1)2= 9k2 ± 6k +1 là số khi chia cho 3 thì dư 1.Như vậy một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(n∈N). Ví dụ 2: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương. Giải Cách 1 . Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ .Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là: 1, 3, 5, 7 ,9 khi đó tổng của chúng bằng :1+3+5+7+9=25 =52 là số chính phương. Cách 2. Nếu một số chính phương có M=a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của số a là số chẵn, do đó a 2 nên a2 4. Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số Mchỉ có thể là 16,36,56,76,96.Từ đó ,ta có : 1+3+5+7+9=25=52là số chính phương Ví dụ3: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là 2 số chính phương Trả lời n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100, do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :25; 49; 81; 121; 169. Từ đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60,84. Khi đó số 3n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị : 37; 73; 121; 181; 253. Trong các số trên chỉ có số 121=112 là một số chính phương. Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n=40. Ví dụ 4: http://NgocHung.name.vn 81 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính phương Giải Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2 và p không chia hết cho 4 (1) a) Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (m∈N) Vì p là số chẵn nên p+1 là số lẻ , do đó m2 là số lẻ ,vì thế m là số lẻ . Đặt m=2k+1 (k∈N) Ta có m2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k+ 1 , suy ra p+1= 4k2+ 4k+ 1 do đó p=4k(k+1) là số chia hết cho 4, mâu thuẫn với (1) Vậy p+1 không là số chính phương b)Ta có p = 2.3.5…là số chia hết cho 3. Do đó p-1 = 3k+2 không là số chính phương Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương III/ BÀI TẬP: BÀI TẬP BÀI GIẢI Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20 rằng trong 3 mệnh đề sau có 2 có số tận cùng là 2; Từ mệnh đề (3) suy ra n – mệnh đề đúng và một mệnh đề 69 có chữ số tận cùng là 3. Một số chính sai: phương không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3. 1/ n có chữ số tận cùng là 2 Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3) đều sai, trái 2/ n + 20 là một số chính giã thiết. Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2) phương và (3) đúng. 3/ n – 69 là một số chính Đặt n + 20 = a2; n – 69 = b2 (a, b ∈ N và a > b) phương => a2 – b2 = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1 a + b = 89 suy ra a = 45. Vậy n = 452 – a − b = 1  Do đó:  Bài 2: Cho N là tổng của 2 số chính phương. Chứng minh rằng: a/ 2N cũng là tổng của 2 số chính phương. b/ N2 cũng là tổng của 2 số chính phương. Bài 3: Cho A, B, C, D là các số chính phương. Chứng minh rằng:(A + B)(C + D) là tổng của 2 số chính phương. Bài 4: Cho 3 số nguyên x, y, z sao cho: x = y + z. Chứng minh http://NgocHung.name.vn 20 = 2005 Gọi N = a2 + b2 (a, b ∈ N) a/ 2N = 2a2 + 2b2 = a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 – 2ab = (a + b)2 + (a – b)2 là tổng của 2 số chính phương. b/ N2 = (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b2 = a4 – 2a2b2 + b2+ 4a2b2 = (a2 – b2)2 + (2ab)2 Theo bài toán thì: A = a2; B = b2; C = c2; D = d2; Nên: (A + B)(C + D) = (a2 + b2)(c2 + d2) = = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + b2d2 + 2abcd – 2abcd + a2d2 + b2c2 = (ac + bd)2 + (ad – bc) là tổng của 2 số chính phương. Vì x = y + z => x – y – z = 0 => (x – y – z)2 = 0 => x2 + y2 + z2 – 2xy – 2xz + 2yz = 0 82 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 rằng: 2(xy + xz – yz) là tổng của 3 số chính phương. Bài 5: Cho a, b, c, d là các số nguyên thoả mãn: a – b = c + d. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của 3 số chính phương. => 2(xy + xz – yz) = x2 + y2 + z2 Từ a – b = c + d => a – b – c – d = 0 => 2a(a – b – c – d) = 0 Nên ta suy ra: a2 + b2 + c2 + d2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2a(a – b – c – d) = (a – b)2 + (a – c)2 + (a – d)2 Ta có: n2 + (n + 1)2 + n2(n + 1)2 = n4 + 2n3 + 3n2 + 2n + 1 = = (n2 + n + 1)2 n2 + n là một số chẵn n2 + n + 1 là một số lẻ. Suy ra (n2 + n + 1)2 là một số chính phương lẻ. a/ Từ bài toán ta suy ra: an+1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n + 1) Bài 6: Cho 2 số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Bài 7: Cho an = 1 + 2 + 3 + ... + n (1 + n)n (1 + n + 1)(n + 1) a/ Tính an+1 b/ an + an+1 = + = 2 2 b/ Chứng minh rằng an + an+1 là (n + 1)(n + n + 2) một số chính phương = 2 = (n + 1)2 C. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1. Cho 2 số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm có 2m chữ số 1, số B chỉ gồm m chữ số 4. Chứng minh rằng : A+B +1 là số chính phương. Bài 2. Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó và số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. Bài3. Tìm số chính phương có 4 chữ số , biết rằng chữ số hàng trăm , hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị là 4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Bài 4. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập tất cả các số có 6 chữ số , mỗi số gồm các chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có số nào chia hết cho 11 không ? Có số nào là số chính phương không? Bài 5 Người ta viết liên tiếp các số : 1, 2, 3,…, 1994 thành một hàng ngang theo một thứ tự tuỳ ý . Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số chính phương không? http://NgocHung.name.vn 83 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 http://NgocHung.name.vn 84 [...]... thiết b d các tỉ số đều có nghĩa) 1) 2 3a + 5b 3c + 5d = 3a − 5b 3c − 5d a2 + b2 a+b =  c2 + d 2 c+d  2)  ab ( a − b ) = 4) cd ( c − d ) 2 2 a−b c−d = 3) a+b c+d 5) 2a + 5b 2c + 5d = 3a − 4b 3c − 4d http://NgocHung.name.vn 6) 13 2005a − 2006b 2005c − 2006d = 2006c + 20 07 d 2006a + 2007b Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 7 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd = 8) 2 7 a − 5ac 7b 2 − 5bd a c = 7) a+b c+d Bài 2: Cho... Khẳng định: A + B = 0 ⇔  Bài 7. 1: Tìm x, y thoả mãn: http://NgocHung.name.vn 23 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 a) 3x − 4 + 3 y + 5 = 0 b) x − y + y + 9 =0 25 c) 3 − 2 x + 4 y + 5 = 0 Bài 7. 2: Tìm x, y thoả mãn: 3 2 y −3 = 0 4 7 x − 20 07 + y − 2008 = 0 a) 5 − x + b) 2 1 3 11 23 − + x + 1,5 − + y =0 3 2 4 17 13 c) * Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A + B ≤ 0 nhưng kết quả không thay đổi * Cách giải:... y + 5 + 8 http://NgocHung.name.vn 29 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 2 24 21 e) E = 3 + ( x + 3 y ) 2 + 5 x + 5 + 14 d) D = −6 + 2 x − 2 y + 3 2 x + 1 + 6 Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = 2 7 x + 5 + 11 7x + 5 + 4 b) B = 2 y + 7 + 13 2 2y + 7 + 6 c) C = 15 x + 1 + 32 6 x +1 + 8 Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: −8 a) A = 5 + 4 5 x + 7 + 24 6 14 b) B = 5 − 5 6 y − 8 + 35... + 2000 =0 Bài 7. 7: Tìm x, y thoả mãn: a) x − 20 07 + y − 2008 ≤ 0 c) 13 1  x−  24 2 2006 + 20 07 4 6 y+ ≤0 2008 5 25 7 2 ≤0 3 2008 20 07 d) 20 07 2 x − y + 2008 y − 4 ≤ 0 8 Dạng 8: A + B = A + B * Cách giải: Sử dụng tính chất: a + b ≥ a + b http://NgocHung.name.vn 5 24 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Từ đó ta có: a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0 Bài 8.1: Tìm x, biết: a) x + 5 + 3 − x = 8 b) x − 2 + x − 5 =... 2 = ac http://NgocHung.name.vn 16 ; c 2 = bd và b 3 + c 3 + d 3 ≠ 0 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 a3 + b3 + c3 a Chứng minh rằng: 3 3 3 = d b +c +d Bài 27: Cho P = a b c ax 2 + bx + c Chứng minh rằng nếu a = b = c thì giá trị của P 2 a1 x + b1 x + c1 1 1 1 không phụ thuộc vào x Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 2a +13b 2c +13d = 3a −7b 3c −7d Bài 29: Cho dãy tỉ số : bz −cy cx −az ay −bx = = a b c ; a c = b... Cho A = 1 − 7 + 13 − 19 + 25 − 31 + a) Biết A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? b) Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n ? http://NgocHung.name.vn 31 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Hướng dẫn: Bài 4: Cho A = 1 − 7 + 13 − 19 + 25 − 31 + a) Biết A có 40 số hạng Tính giá trị của A b) Tìm số hạng thứ 2004 của A Hướng dẫn: Bài 5: Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: ( x + 2) + ( x + 7) + ( x +... 34 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7  100 - 1 + + + +  1 2 1 3 1  1 2 3 99  = + + + + 100  2 3 4 100 Hướng dẫn: A biết: B 1 1 1 1 1 2 3 198 199 + + + + + A = + + + + và B = 2 3 4 200 199 198 1 97 2 1 Bài 27: Tính Hướng dẫn: Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy: 1 1 1 1 1 1 ;1 ;1 ;1 ;1 ; 3 8 15 24 35 Hướng dẫn: Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: 1 1 1 1 ; ; ; ; 6 66 176 ... Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + + 499 , B = 4100 Chứng minh rằng: A < Hướng dẫn: http://NgocHung.name.vn 35 B 3 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Bài 34: Tính giá trị của biểu thức: a ) A = 9 + 99 + 999 + + 999 9 123 50 ch÷ sè b) B = 9 + 99 + 999 + + 999 9 123 200 ch÷ sè Hướng dẫn: Chuyên đề 1: giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 1-Kiến thức cơ bản: x ⇔ x ≥ 0 x = − x ⇔ x  0 x ≥ 0; x ≥ x; x = − x http://NgocHung.name.vn... b và a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0 2 Các dạng toán : I Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1 Dạng 1: A(x) = k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước ) * Cách giải: http://NgocHung.name.vn 18 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 - Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm ) - Nếu k = 0 thì ta có A(... mãn - 3 ≤ x ≤ 3) * Nếu x >3 2x-6 + x + 3 = 8 3x = 11 x = ( thỏa mãn x >3) c) 3x + 7 + 3 2 − x = 13 f) x − 2 + x − 7 = 4 + + 2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong Bài 1: Tìm x, biết: 1 4 a) 2 x − 1 + = 2 5 * + = = = 2x-1= 2x = + 1 http://NgocHung.name.vn x= 25 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 2x-1= - 2x = - + 1 x= * + ==- - (không thỏa mãn) 3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng ... A = 1.3+3.5+5 .7+ + 97. 99+99.101 http://NgocHung.name.vn Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ + 97( 97+ 2)+99(99+2) A = (12+32+52+ + 972 +992)+2(1+3+5+ + 97+ 99) Bài 16: Tính:... http://NgocHung.name.vn 6) 13 2005a − 2006b 2005c − 2006d = 2006c + 20 07 d 2006a + 2007b Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 a + 5ac 7b + 5bd = 8) a − 5ac 7b − 5bd a c = 7) a+b c+d Bài 2: Cho tỉ lệ thức: a c = b d Chứng... 3.5 5 .7 99.101 3 3 * b) Cho S = 1.4 + 4 .7 + 7. 10 +  + n(n + 3) n ∈ N a) Tính: Hướng dẫn: Chứng minh: S < http://NgocHung.name.vn 33 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 2 2 + + + + 60.63 63.66 1 17. 120

Ngày đăng: 04/10/2015, 12:39

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7

  • DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC

  • BÀI 19: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác .

  • 1 2

  • E

  • F

  • O

  • 2 2

  • 1 1

  • B G D C

  • a/ Chưng minh:

  • b/

  • a) b*)

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan