Renkinanghoctoan

Chuyên đề: Danh mục chuyên đề Stt 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. Bất đẳng thức Nội dung Phần mở đầu Nội dung chuyên đề Các kiến thức cần lu ý Các phơng pháp chứng minh bát đẳng thức Phơng pháp 1:dùng định nghiã Phơng pháp 2:dùng biến đổi tơng đơng Phơng pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc Phơng pháp 4:dùng tính chất bắc cầu Phơng pháp 5: dùng tính chấtbủa tỷ số Phơng pháp 6: dùng phơng pháp làm trội Phơng pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác Phơng pháp 8: dùng đổi biến Phơng pháp 9: Dùng tam thức bậc hai Phơng pháp 10: Dùng quy nạp toán học Phơng pháp 11: Dùng chứng minh phản chứng Các tập nâng cao ứng dụng bất dẳng thức Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị Dùng bất đẳng thức để: giải phơng trình hệ phơng trình Dùng bất đẳng thức để : giải phơng trình nghiệm nguyên Tài liệu tham khảo trang 4 10 12 14 16 17 18 19 21 23 28 29 31 33 B- nội dung Phần : kiến thức cần lu ý 1- Định nghĩa 2- Tính chất 3-Một số bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1-Phơng pháp dùng định nghĩa 2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng 3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Phơng pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phơng pháp làm trội 7- Phơng pháp dùng bất đẳng thức tam giác 8- Phơng pháp đổi biến số 9- Phơng pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phơng pháp quy nạp 11- Phơng pháp phản chứng Phần :các tập nâng cao PHầN : ứng dụng bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình bất phơng trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm nguyên Phần I : kiến thức cần lu ý 1-Đinhnghĩa A B A B A B A B 2-tính chất + A>B B < A + A>B B >C A > C + A>B A+C >B + C + A>B C > D A+C > B + D + A>B C > A.C > B.C + A>B C < A.C < B.C + < A < B < C B > A n > B n n + A > B A n > B n với n lẻ + A > B A n > B n với n chẵn + m > n > A > A m > A n + m > n > 1 > A B 3-một số bất đẳng thức + A với A ( dấu = xảy A = ) + An với A ( dấu = xảy A = ) + A với A (dấu = xảy A = ) + - A < A= A + A + B A + B ( dấu = xảy A.B > 0) + A B A B ( dấu = xảy A.B < 0) Phần II : số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp : dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A B > Lu ý dùng bất đẳng thức M với M Ví dụ x, y, z chứng minh : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy 2xz + 2yz c) x + y + z +3 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z - xy yz - zx = ( x y ) + ( x z ) + ( y z ) với x;y;z R Vì (x-y)2 vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2 vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2 với z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx = .2 .( x + y + z - xy yz zx) [ ] Dấu xảy x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z - ( 2xy 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz 2yz =( x y + z) với x;y;z R Vậy x + y + z 2xy 2xz + 2yz với x;y;z R Dấu xảy x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z +3 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1) Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : 2 a) a + b a + b ;b) c) Hãy tổng quát toán a2 + b2 + c2 a + b + c 3 giải a2 + b2 a + b a + 2ab + b a) Ta xét hiệu 2 = 2( a + b ) ( 2a + 2b a b 2ab = ( a b) = ) 2 Vậy a + b a + b Dấu xảy a=b b)Ta xét hiệu a2 + b2 + c2 a + b + c 3 = ( a b) + ( b c) + ( c a ) [ ] 2 Vậy a + b + c a + b + c Dấu xảy a = b =c c)Tổng quát a12 + a 22 + + a n2 a1 + a + + a n n n Tóm lại bớc để chứng minh A B tho định nghĩa Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B Bớc 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +.+(E+F) Bớc 3:Kết luận A B Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta có m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải: m2 m2 m2 m2 mn + n + mp + p + mq + q + m + m m m m n + p + q + (luôn đúng) m n =0 m p=0 Dấu xảy m q =0 m = m n = m m=2 p = n = p = q = m q = m = 22 Bài tập bổ xung phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đợc chứng minh đúng. Chú ý đẳng thức sau: ( A + B ) = A + AB + B ( A + B + C ) = A + B + C + AB + AC + BC ( A + B ) = A + A B + AB + B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh a) a + b ab b) a + b + ab + a + b c) a + b + c + d + e a( b + c + d + e ) Giải: a) a + b ab 4a + b 4ab 4a 4a + b ( 2a b ) (bất đẳng thức đúng) Vậy a + b ab (dấu xảy 2a=b) b) a + b + ab + a + b 2( a + b + ) > 2(ab + a + b) a 2ab + b + a 2a + + b 2b + Bất đẳng thức cuối đúng. (a b) + ( a 1) + (b 1) 2 Vậy a + b + ab + a + b Dấu xảy a=b=1 c) a + b + c + d + e a( b + c + d + e) 4( a + b + c + d + e ) 4a( b + c + d + e ) a 4ab + 4b + a 4ac + 4c + a 4ad + 4d + a 4ac + 4c ( a 2b ) + ( a 2c ) + ( a 2d ) + ( a 2c ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ( a10 + b10 )( a + b ) ( a + b )( a + b ) Giải: (a )( ( ) ( )( ) + b10 a + b a + b a + b a 12 + a 10 b + a b10 + b12 a 12 + a b + a b + b12 a 8b a b + a 2b b a a2b2(a2-b2)(a6-b6) a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 10 ) ( ) Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 x.y x2 + y2 Chứng minh 2 x y Giải: x2 + y2 2 :x y nên x- y x2+y2 2 ( x-y) x y x2+y2- 2 x+ 2 y x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2 x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- )2 Điều luôn . Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: 1)CM: P(x,y)= x y + y xy y + x, y R 2)CM: (gợi ý :bình phơng vế) a2 + b2 + c2 a + b + c 3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x. y.z = 1 + + < x+ y+z x y z Chứng minh :có ba số x,y,z lớn (đề thi Lam Sơn 96-97) Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 x y z x y z x y z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( + + )=x+y+z - ( + + ) > (vì + + < x+y+z theo gt) số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dơng. Nếủ trờng hợp sau xảy x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trờng hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x + y xy b) x + y xy dấu( = ) x = y = c) ( x + y ) xy a b b a d) + 2)Bất đẳng thức Cô sy: a1 + a + a3 + + a n n a1 a a3 a n n Với > 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski (a 2 ) + a22 + + an2 .( x12 + x22 + + 2n ) ( a1 x1 + a2 x2 + + an xn ) 4) Bất đẳng thức Trê- b-sép: abc A B C abc Nếu A B C Nếu aA + bB + cC a + b + c A + B + C . 3 aA + bB + cC a + b + c A + B + C . 3 a=b=c A = B = C Dấu xảy b/ ví dụ ví dụ Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: ( x + y ) xy Tacó ( a + b ) 4ab ; ( b + c ) 4bc ; ( c + a ) 4ac ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 64a b c = ( 8abc ) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu = xảy a = b = c 1 + + a b c CMR:x+2y+z 4(1 x)(1 y )(1 z ) ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 a+b+c=1 2)Cho x,y,z>0 x+y+z=1 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: CMR: a b c + + b+c c+a a+b 4)Cho x ,y thỏa mãn x y = ví dụ 3: ;CMR: x+y Cho a>b>c>0 a + b + c = chứng minh a3 b3 c3 + + b+c a+c a+b Giải: a2 b2 c2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c a b c b + c a + c a + b áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có a b c a + b2 + c2 a b c 2 a . +b . +c . . + + = . = b+c a+c a+b b+c a+c a+b 2 3 Vậy a + b + c Dấu xảy a=b=c= b+c a+c a+b 2 ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 abcd =1 .Chứng minh : a + b + c + d + a ( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) 10 Giải: Ta có a + b 2ab c + d 2cd 1 (dùng x + ) ab x Ta có a + b + c 2(ab + cd ) = 2(ab + ) ab Mặt khác: a( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) Do abcd =1 nên cd = (1) =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = ab + + ac + + bc + + + ab ac bc 2 2 Vậy a + b + c + d + a( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) 10 ví dụ 5: Cho số a,b,c,d chứng minh rằng: ( a + c) + (b + d ) a + b + c + d Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd a + b . c + d mà ( a + c ) + ( b + d ) = a + b + 2( ac + bd ) + c + d ( ) a2 + b2 + a2 + b2 . c2 + d + c2 + d (403-1001) ( a + c) + (b + d ) a + b + c + d ví dụ 6: Chứng minh a + b + c ab + bc + ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c) ta có (1 ) + 12 + 12 (a + b + c ) (1.a + 1.b + 1.c ) a + b + c a + b + c + 2( ab + bc + ac ) a + b + c ab + bc + ac Điều phải chứng minh Dấu xảy a=b=c ( ) Phơng pháp 4: Sử dụng tính chất bắc cầu Lu ý: A>B b>c A>c 0< x c+d , b>c+d Chứng minh ab >ad+bc Giải: a > c + d b > c + d Tacó a c > d > b d > c > (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc ví dụ 2: (điều phải chứng minh) Cho a,b,c>0 thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 1 + + < a b c abc Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab ac bc) 2 ( a +b +c ) 1 ac+bc-ab Chia hai vế cho abc > ta có + a b c ac+bc-ab abc ví dụ Cho < a,b,c,d 1-a-b-c-d Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c 0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh) ví dụ 1- Cho a + b mà 0< a,b a , b > b Từ (1) (2) 1+ a b > a + b Vậy a + b < 1+ a b Tơng tự b + c + b c c + a3 + c2a Cộng bất đẳng thức ta có : 2a + 2b + 2c + a b + b c + c a b)Chứng minh : Nếu a + b = c + d = 1998 ac+bd =1998 (Chuyên Anh 98 99) Giải: Ta có (ac + bd) + (ad bc ) = a c + b d + 2abcd + a d = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rỏ ràng (ac+bd)2 ( ac + bd ) + ( ad bc ) = 1998 + b c - 2abcd = ac + bd 1998 2-Bài tập : 1, Cho số thực : a1; a2;a3 .;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + .+a2003 =1 c hứng minh : a 12 + a 22 + a32 + + a 2003 2003- 2004Thanh hóa ) 2,Cho a;b;c thỏa mãn :a+b+c=1(?) a b ( đề thi vào chuyên nga pháp 2003 c Chứng minh rằng: ( 1).( 1).( 1) Phơng pháp 5: dùng tính chấtcủa tỷ số 10 Phơng pháp 9: dùng tam thức bậc hai Lu ý : Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c Nếu < a. f ( x ) > x R Nếu = a. f ( x ) > Nếu > a. f ( x ) > với x1 < x < x2 a. f ( x ) < b a với x < x1 x > x2 x Ví dụ1: Chứng minh f ( x, y ) = x + y xy + x y + > Giải: Ta có (1) x x( y 1) + y y + > (1) = ( y 1) y + y = y2 y +1 5y2 + y = ( y 1) < Vậy f ( x, y ) > với x, y Ví dụ2: Chứng minh ( ) f ( x, y ) = x y + x + . y + xy + x > xy Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với ( ) x y + x + . y + xy + x xy > ( y + 1) .x + y (1 y ) x + y > Ta có = y (1 y ) y ( y + 1) = 16 y < Vì a = ( y + 1) > f ( x, y ) > (đpcm) 17 ( x2 > x1 ) Phơng pháp 10: dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức với n > n0 ta thực bớc sau : Kiểm tra bất đẳng thức với n = n0 - Giả sử BĐT với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) kết luận BĐT với n > n0 Ví dụ1: Chứng minh 1 1 + + + < 2 n n n N ; n > (1) Giải : Với n =2 ta có + < (đúng) Vậy BĐT (1) với n =2 Giả sử BĐT (1) với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) với n = k+1 Thật n =k+1 (1) 1 1 + + + + < 2 2 k (k + 1) k +1 Theo giả thiết quy nạp 1 1 1 + + + + < + < 2 2 k (k + 1) k ( k + 1) k +1 1 1 + + < + < 2 ( k + 1) k + ( k + 1) k k +1+1 < k (k + 2) < ( k + 1) k2+2k n n n Chứng minh a + b a + b (1) Giải Ta thấy BĐT (1) với n=1 Giả sử BĐT (1) với n=k ta phải chứng minh BĐT với n=k+1 Thật với n = k+1 ta có (1) a + b k k +1 a k +1 + b k +1 a+b a+b a k +1 + b k +1 . 2 (2) 18 a k + b k a + b a k +1 + ab k + a k b + b k +1 a k +1 + b k +1 . = 2 k +1 k +1 k +1 k k k +1 a +b a + ab + a b + b (3) a k b k .( a b ) Vế trái (2) ( ) Ta chứng minh (3) (+) Giả sử a b giả thiết cho a -b a b k a k b bk (a k ) b k .( a b ) (+) Giả sử a < b theo giả thiết - a , ab+bc+ac > , abc > Chứng minh a > , b > , c > Giải : Giả sử a từ abc > a a < Mà abc > a < cb < Từ ab+bc+ca > a(b+c) > -bc > Vì a < mà a(b +c) > b + c < a < b +c < a + b +c < trái giả thiết a+b+c > Vậy a > tơng tự ta có b > , c > Ví dụ 2: Cho số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac 2.(b+d) .Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: , c < 4d a < 4b Giải : Giả sử bất đẳng thức : a < 4b , c < 4d cộng vế ta đợc (1) a + c < 4(b + d ) Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2) Từ (1) (2) a + c < 2ac hay ( a c ) < (vô lý) Vậy bất đẳng thức a < 4b c < 4d có bất đẳng thức sai Ví dụ 3: Cho x,y,z > xyz = 1. Chứng minh Nếu x+y+z > 1 + + có ba số lớn x y z Giải : Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz xy- yz + x + y+ z 1 x y z =x + y + z ( + + ) xyz = theo giả thiết x+y +z > 1 + + x y z nên (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 có số dơng Thật ba số dơng x,y,z > xyz > (trái giả thiết) Còn số dơng (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) Vậy có ba số x , y,z lớn 20 Phần iii : tập nâng cao 1/dùng định nghĩa 1) Cho abc = a > 36 . . Chứng minh a + b2+c2> ab+bc+ac Giải Ta có hiệu: a + b2+c2- ab- bc ac = a + a + b2+c2- ab- bc ac 12 = ( a + b2+c2- ab ac+ 2bc) + a 3bc 12 a =( -b- c)2 + a 36abc 12a a =( -b- c)2 + a 36abc >0 (vì abc=1 a3 > 36 nên 12a Vậy : a + b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh 2) Chứng minh a) x + y + z + x.( xy x + z + 1) b) với số thực a , b, c ta có a + 5b 4ab + 2a 6b + > c) a + 2b 2ab + 2a 4b + Giải : 21 a >0 ) a) Xét hiệu H = x + y + z + x y + x xz x = ( x y ) + ( x z ) + ( x 1) H ta có điều phải chứng minh b) Vế trái viết H = ( a 2b + 1) + ( b 1) + H > ta có điều phải chứng minh c) vế trái viết H = ( a b + 1) + ( b 1) H ta có điều phải chứng minh Ii / Dùng biến đổi tơng đơng 1) Cho x > y xy =1 .Chứng minh (x ) + y2 ( x y) 2 Giải : Ta có (x x + y = ( x y ) + xy = ( x y ) + 2 +y ) = ( x y) 2 (vì xy = 1) + 4.( x y ) + Do BĐT cần chứng minh tơng đơng với ( x y ) + 4( x y ) + 8.( x y ) ( x y ) 4( x y ) + [ ( x y ) 2] BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy .Chứng minh 1 + 2 1+ x 1+ y + xy Giải : 1 + 2 1+ x 1+ y + xy 1 1 + 2 + x + y + y + xy Ta có xy x xy y + + x .(1 + xy ) + y .(1 + xy ) x ( y x) y( x y) + + x .(1 + xy ) + y .(1 + xy ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y x ) ( xy 1) (1 + x ).(1 + y ).(1 + xy ) BĐT cuối xy > .Vậy ta có điều phải chứng minh 22 Iii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chứng minh a + b + c Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c) Ta có (1.a + 1.b + 1.c ) (1 + + 1).( a + b + c ) ( a + b + c ) 3.( a + b + c ) a2 + b2 + c2 (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c số dơng Chứng minh ( a + b + c ). + + a Giải : b c (1) a b a b b c c c a c a a a b a c b c 3+ + + + + + b a c a c b x y áp dụng BĐT phụ + Với x,y > y x (1) + + + + + + + + Ta có BĐT cuối 1 Vậy ( a + b + c ). + + a b c (đpcm) Iv / dùng phơng pháp bắc cầu 1) Cho < a, b,c a + b3 Vậy a + b < + a b Tơng tự ta có b3 + c < + b 2c a3 + c3 < + c 2a (đpcm) 2a + 2b + 2c < + a 2b + b c + c a 2) So sánh 31 11 17 14 Giải : 11 Ta thấy 3111 < 3211 = ( 25 ) = 255 < 256 Mặt khác 256 = 24.14 = ( 24 ) = 1614 < 1714 Vởy 31 11 < 17 14 (đpcm) 14 V/ dùng tính chất tỉ số 1) Cho a ,b ,c ,d > .Chứng minh : 2< a+b b+c c+d d +a + + + nên ta có a+b a+b a +b+d < < a+b+c+d a+b+c a+b+c+d b + +c b+c b+c+a < < a+b+c+d b+c+d a+b+c+d d +a d +a d +a+c < < a+b+c+d d +a+b a+b+c+d (1) (2) (3) Cộng vế bất đẳng thức ta có : 2< a+b b+c c+d d +a + + + , y > Ta có x + x = y x + x = y x = y2 x > Đặt x = k (k nguyên dơng x nguyên dơng ) Ta có k .(k + 1) = y Nhng k < k ( k + 1) < ( k + 1) k < y < k +1 Mà k k+1 hai số nguyên dơng liên tiếp không tồn số nguyên dơng Nên cặp số nguyên dơng thoả mãn phơng trình . 30 x = y = Vậy phơng trình có nghiệm : Tài liệu tham khảo ************ 1- toán nâng cao chuyên đề đại số -nxb giáo dục 1998 Tác giả : Nguyễn Ngọc Đạm Nguyễn Việt Hải Vũ D ơng Thụy 2- toán nâng cao cho học sinh - đại số 10 -nxb Đại học quốc gia hà nội 1998 Tác giả : Phan Duy Khải toán bồi dỡng học sinh đại số -nhà xuất hà nội Tác giả : Vũ Hữu Bình Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều sách giáo khoa đại số 8,9,10 -nxb giáo dục 1998 toán nâng cao đại số 279 toán chọn lọc -nhà xuất trẻ 1995 Tác giả : Võ Đại Mau Giáo trình đại số sơ cấp trờng đhsp i hà nội ----------------&&&----------------- 31 32