Luong giac

với Một số cách để nhớvui để học: *Công thức cộng: Cos thì cos cos sin sin Sin thì sin cos , cos sin đó mà.. Sin thì cùng dấu khác loài Cos thì trái dấu, chẳng sai bao giờ Tan của tổng 2

Liên đoàn bóng đá thế giới FIFA

LIấN ĐOÀN BểNG ĐÁ CHÂU ÂU UEFA

REAL MADRID CF

Los Blancos

6 thỏng 3, 1902 http://www.realmadrid.es/

CễNG THỨC LƯỢNG GIÁC & BÀI TẬP.

Phần 1: Cỏc cụng thức lượng giỏc.

1- Cụng thức hàm lượng giỏc:

x x

cos

sin

tan =

x x

x x

tan

1 sin

cos cot = =

( x k π )

x sin 2 sin = +

x x

x 2 sin cos 2

sin =

sin(3x) = 3sin(x) − 4sin3(x) cos(3x) = 4cos3(x) − 3cos(x)

Nếu:

với

Một số cách để nhớ(vui để học):

*Công thức cộng:

Cos thì cos cos sin sin

Sin thì sin cos , cos sin đó mà

Sin thì cùng dấu khác loài

Cos thì trái dấu, chẳng sai bao giờ

Tan của tổng 2 tầng cao rộng

Trên thượng tầng tan cộng cùng tan

Dưới thì chú 1 ngang tàn

Dám trừ cả tích đôi tan oai hung

*Tích thành tổng:

+Cách 1:

Nhớ rằng hiệu trước, tổng sau

Sin sin, cos tổng phải ghi dấu trừ (mấy cái khác còn lại là cộng) Cos thì cos hết

Sin sin cos cos, sin cos sin sin

Một phần hai phải nhân vào, chớ quên!

+Cách 2:

Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ

Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng

Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ

*Tổng thành tích:

+Tổng tang ta lấy sin tòng (sin của tổng)

Chia cho cos cos khó lòng lại sai

+Tang ta cộng với Tang mình

Bằng Sin hai đứa trên Cos mình Cos ta

+Tổng sin và tổng cos:

Đối với a & b:

Tổng chia hai trước, hiệu chia hai sau (“góc chia đôi: trước cộng, sau trừ” hay “vế phải của 2 tích theo thứ tự tổng trước ,hiệu sau”)

Đối với các hệ số khi khai triển:

Cos cộng cos là 2 cos cos

Cos trừ cos trừ 2 sin sin

Sin cộng sin là 2 sin cos

Sin trừ sin là 2 cos sin

+CT cos+sin:

Cos cộng sin bằng căn hai cos (căn 2 nhân cos)

Của a trừ cho 4 dưới pi (a là góc, tức là cos(a-pi/4))

Nhớ rằng đây cộng kia trừ

Đây trừ kia cộng chỉ là thế thôi

Có một số bài thơ gần như chỉ là cách đọc, nhưng tôi thấy nhờ những cách đọc có vẫn điệu như vậy sẽ giúp chúng ta học nhanh hơn ban ạ Ví dụ bài thơ này :

+CT cos+sin…tôi đã nâng cấp thành:

Cos cộng sin bằng căn hai cos, của a trừ cho 4 dưới pi

Sin cộng cos bằng căn hai sin, của a cộng cho pi trên 4

Đọc với giọng nhanh ta thấy hai câu đối nhau (nhớ là trong công thức này, tính theo cos dấu phải coi chừng)

*CT gấp đôi ( dấu "=" là viết tắt của chữ "bằng"):

+Sin gấp đôi = 2 sin cos

+Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin

= trừ 1 cộng hai bình cos (1)

= cộng 1 trừ hai bình sin (2)

(từ (1) & (2) ta có thể => CT hạ bậc của sin và cos, còn của tg thì dễ thôi,

tga=sina/cosa mà!)

+Tang gấp đôi

Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)

Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền

*CT gấp ba:

+Sin thì sin hết (3)

Cos thì cos luôn

Cos thì 4 lập trừ 3 (tức là 4.cos^3a-3cos, các bài thơ chỉ nói đến hệ số)

Sin thì đảo dấu cos là ra thôi (chú ý (3))

+Sin3a = 3Sina - 4Sin mũ 3 a

Cos3a= 4Cos mũ 3 a - 3Cosa

Sin ra sin, cos ra cos

Sin thì 3, 4 Cos thì 4, 3

Dấu trừ ở giữa phân ra

Chỗ nào có 4, mũ 3 thêm vào

(*cách đọc cho có chất thơ*)

+Tang gấp ba ta lấy ngay tang

Nhân ( 3 trừ lại tang bình) (chú ý dấu ngoặc)

Chia 1 trừ lại 3 lần bình tang

*CT chia đôi – CT tính theo t=tg(a/2)

Sin, cos mẫu giống nhau chả khác

Ai cũng là một cộng bình tê (1+t^2)

Sin thì tử có hai tê (2t), cos thì tử có 1 trừ bình tê (1-t^2)

(còn tg thì ta cứ lấy tga=sina/cosa)

*Cos đối, sin bù, hơn kém pi tang, phụ chéo

*Sin bù, Cos đối,Tang Pi,

Phụ nhau Sin Cos, ắt thì phân chia

+Cos đối :Cos(-a)=cosa

+Sin bù in(180-a)=sina

+Hơn kém pi tang :

Tg(a+180)=tga

Cotg(a+180)=cotga

+Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tg góc này = cotg góc kia ( sự chéo trong bảng giá trị LG đặc biệt)

*Ta có công thức tổng quát hơn về việc hơn kém pi như sau:

Hơn kém bội hai pi sin, cos

Tang, cotang hơn kém bội pi

Sin(a+k.2.180)=sina ; Cos(a+k.2.180)=cosa

Tg(a+k180)=tga ; Cotg(a+k180)=cotga

*sin bình + cos bình = 1

*Sin bình = tg bình trên tg bình cộng 1

*cos bình = 1 trên 1 cộng tg bình

*Một trên cos bình = 1 cộng tg bình

*Một trên sin bình = 1 cộng cotg bình

(Chú ý sin *; cos @ ; tg @ ;cotg * với các dấu * và @ là chúng có liên quan nhau trong CT trên)

Một số công thức biến đổi nhanh khi làm lượng giác:

* Sinx^4 + cosx^4= (3 +cos4x)/4

* Sinx^6 +cosx^6= (5 +3cos4x)/8

* Cosx^3.sin3x + sinx^3.cos3x = 3/4 sin4x

* cosx^3.cos3x + sinx^3.sin3x = cos2x^3

The Lever Is Forever

Phần 2: Bài tập.

Bài 1:

a) Cho α = π < α < π

2

&

5

3 sin Tính cos α , tan α , cot α .

b) Cho tan α = 2 &

2

3 π α

π < < Tính sin α , cos α .

c) Cho cos α =

13

12

− và π < α < π

2 Tính sin2 α , cos2 α , tan2 α .

d) Cho cot α = 2 và 0 < α <

4

π

Tính sin2 α , cos2 α , tan 2 α .

e) Cho sin α - cos α = 0,2 Tính sin2 α , cos2 α .

f) Cho sin α =

9

5

− & π < α < π

2

α , cos

2

α tan

2

α .

g) Cho cos α =

13

5

& π α 2 π

2

3 < < Tính sin

2

α

, cos

2

α

tan

2

α

.

h) Tính sin750; tan1050; cos(-150); sin

12

π ; cos

3

22 π ; sin

4

23 π .

i) Rút gọn các biểu thức:

- A =

a a

a a

2 sin 4

sin

4 cos 2

cos

+

−

B =

a a

a a

4 sin 2 sin 2

4 sin 2 sin 2

+

−

- C =











 −

−











 −











 − +











 −

a a

a a

4

cos 4

sin

4

cos 4

sin

π π

π π

D =

a

a a

4 cos 2

3 sin sin −

Bài 2: Chứnh minh:

a) ( 1 + tan a ) sin3a + ( 1 + tan α ) cos3a = sin a + cos a

a

a

2

2 2

sin cot

1 cos 2

a a

a

2 2

2 2

tan cot

cos

tan

−

−

d) ( cot a + tan a ) (2 − cot a − tan a )2 = 4 e) cos 4 a − sin 4 a = 1 − 2 sin 2 a

f)

1 tan

1 tan cos

sin

2

1

cos

sin2 2

+

−

= +

−

a

a a

a

a

2

cot sin

cos 1

sin cos

a a

a

−

−

− +

a a

a a

cos sin 1 cos

sin

cos

sin3 3

−

= +

2 cos 16 2 cos 1

sin

2

2 = α

− a

a

a a

a a

tan cos

2

cos

1

sin 2

+

+

+

m)

n) sin4x + cos4x = 1- 2sin2xcos2x = 1 –

2

1

sin22x q)

sinx +cosx-1 cosx sin cos

sinx-cosx+1 1+sinx 1 c otx 1+tanx

d

+

p) sin6x + cos6x = 1-3sin2xcos2x = 1-

4

3

sin22x

Bài 3: R ỳt g ọn thức:

(1 c otx)sin (1 t anx)cos s inxcosx D= sin 4 os os 4sin

c x c x x x c x

E = 3 ( sin4 x + cos4 x ) ( − 2 cos6 x + sin6 x )

F = 3 ( sin8 x − cos8 x ) ( + 4 cos6 x − 2 sin6 x + 6 sin4 x )

G = sin2 x ( 1 + cot x ) + cos2 x ( 1 + tan x )

2 sin cos









 −

−

− + π π π

I =

2 cos 4

2 45 sin 2 sin

x

x









 −

−

−

L =

x x

x x

2 2

4 2

sin 4 2 sin 4

sin 4 2 sin

−

−

+

K =

27 sin 9 9 sin 3 3

sin3 a + 3 a + 3 a M = ( )

y x y

x

sin sin cos

sin sin cos

−

−

+ +









 − +

− +











 −

−

2

3 tan 2

cot 2

cos

Bài 4:RG:

sin( ) sin( )

tan( ) tan tan tan( ) tan tan os(a+b)-cos(a-b)

sina+sin3a+sin5a+sin7a

H=

osa+cos3

c

c

2

os os3a+sin a.sin3a

osa-sina osa+sina

2 sin 2 os2a

c a

a c

+

+

π

< <

Bài 5: Tính:

0

4sin 70 os os os tan 9 tan 27 tan 63 tan 81

sin os sin 20 sin 40 sin 60 sin 80

Bài 6: Chứng minh đẳng thức:

a) ( )

x x

x x

cot sin

sin 1 2

4

tan

=

+











 − π

x x

x a

tan sin

2 4

sin 2

4 cos 2 cos 2

=

−











 +











 −

− π

π









 −

= +

−

4 2 cos 2 sin

sin

cos4a 4a 2 x x π









 −

=

4

1 1 2 cos sin

sin 30

sin 30

sin2 0 − a + 2 0 + a − 2a =









 +











 −

x

3

cos 3

cos cos 4

3

g)

8

3 2 cos 2

1 4 cos 4

1

cos4 x = x + x +

a

a a

2 cos 2

sin tan

1

tan 2 tan

1

2

2 2

+

= +

− +

a

a a

cos 2 cos 8 2

3 cot

1

2

3 cot

2

cot

2 2

2 2

= +

−

Bài 7: Chứng minh đẳng thức sau o phụ thuộc vào x:

os os ( ) os ( )

c

Bài 8:

CMR trong tam giỏc ta luụn cú:

a, sinA + sinB + sinC = 4 cos(A/2) cos(B/2) cos(C/2) b, cosA+cosB+cosC =

1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

c, sin2A+sin2B+sin2C = 2+ cosAcosBcosC d, tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC

< tam giỏc ko vuụng>

e, tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2) = 1

f, cotAcotB + cotBcotC + cotCcotA = 1

g,

os os os os os os

Bài 9: CMR điều kiện cần và đủ để tam gỏic ABC vuụng là:

a, cos2A + cos2B + cos2C = -1 b, sinA + sinB + sinC + 1 = cosA + cosB + cosC

c, sinB + sinC = cosB + cosC d, sin2B + sin2C = 4 sinBsinC

e,

sin osB

tan , tan

C f

Bài 10: CMR tam giỏc ABC cõn nếu:

a, c = 2a.cosB b, tanA + 2tanB = tanA.tan B c, sinC = 2sinAsinB.tan(C/2)

d, asin(B-C) + bsin(C-A) = 0 e, tanA + tanB = 2cot(C/2)

Bµi 11: CMR : Nếu 0≤x,y ≤ α thì

sinx+siny

sin

x y +

≤