SKKN Rèn luyện khả năng tư duy trong khai thác lời giải một số bài toán Hình học 9

Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học A- ĐẶT VẤN ĐỀ I- Lời mở đầu Trong chương trình THCS, tốn học chiếm vai trị quan trọng Với đặc thù mơn khoa học tự nhiên, tốn học khơng giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả tìm tịi khám phá tri thức, vận dụng hiểu biết vào thực tế sống mà tốn học cịn cơng cụ giúp em học tốt môn học khác góp phần giúp em phát triển cách tồn diện Việc tìm kiến thức lời giải cho toán rèn luyện phương pháp khoa học suy nghĩ, suy luận, giải vấn đề, qua rèn luyện trí thơng minh sáng tạo, phát triển lực phẩm chất trí tuệ Việc tìm lời giải tốn khó, phương pháp mới, độc đáo toán gây nên hồ hứng, phấn chấn, khối trá, điều có ý nghĩa to lớn việc vun đắp lịng say mê học tốn ước mơ vươn tới vinh quang lĩnh vực nghiên cứu, khám phá, phát minh vấn đề Đối với học sinh giỏi, việc rèn luyện cho em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán trí tuệ điều kiện cần thiết vơ việc học tốn Chính vậy, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi không đơn cung cấp cho em số vốn hiểu biết thông qua việc làm tập nhiều, khó mà cần phải rèn luyện khả tư cho học sinh khai thác lời giải toán II- Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trường THCS Thanh Sơn trường vùng cao huyên Như Xuân, tất học sinh em dân tộc thiểu số, trình độ nhận thức em cịn nhiều hạn chế Vì vậy, có học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn điều khó, nhiên có nhiều nguyên nhân khách quan chủ quan Xuất phát từ đó, từ đầu năm trường, tơi ln cố gắng tìm tịi, tham khảo tài liệu với mục đích nâng cao chất lượng học toán đại trà đặc biệt chất lượng mũi nhọn Trong trình giảng dạy nghiên cứu trọng đến việc rèn luyện khả tư Tốn cho học sinh Do đó, dạy cho học sinh khá, giỏi Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu -1- Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số toán Hình học biết cách khai thác lời giải tốn hình học việc làm đặc biệt quan trọng mà thân tơi ln đặt lên vị trí hàng đầu Mặc dù với cương vị mới, khơng cịn trực tiếp bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp nữa, xong thân tơi q trình đạo chun mơn tâm đắc với tốn giải nhiều cách khác Mục đích phương pháp rèn luyện khả tư Toán học cho học sinh Trước toán, học sinh biết khai thác tìm nhiều cách giải khác sở gợi ý, hướng dẫn định hướng giáo viên Từ đó, học sinh tự tìm cách giải hợp lý nhất, phát cách giải tương tự khái quát phương pháp chung Vì lẽ đó, qua thời gian dài tìm tịi, nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm, mạnh dạn đưa đề tài: “Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học 9” nhằm góp phần nhỏ việc nâng cao chất lượng đại trà bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu -2- Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY TRONG KHAI THÁC LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC I- Các giải pháp thực hiện: 1) Tìm tịi cách giải: Để học sinh nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh, từ tìm nhiều cách giải khác nhau, việc gợi ý, định hướng giáo viên đặc biệt quan trọng Dưới số ví dụ khai thác lời giải nhiều cách khác nhau: Ví dụ 1: Chứng minh khoảng cách từ đỉnh tam giác đến trực tâm tam giác hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến cạnh đối diện với đỉnh * Khai thác lời giải: ∆ABC nội tiếp đường tròn (O; R), H trực tâm ∆ABC ; OM khoảng cách từ O đến BC Dễ thấy, M trung điểm BC Cách giải 1: (Hình 1) Kẻ đường kính BON A Tứ giác AHCN có: AH ⊥ BC (Vì H trực tâm ∆ABC ) N · NC ⊥ BC (Vì NCB nội tiếp chắn nửa (O)) H O• ⇒ AH // NC (1) B C M Tương tự ta có: CH // NA (2) Từ (1) (2) suy ra: tứ giác AHCN hình bình hành (Hình 1) Do AH = NC (*) Dễ thầy OM đường trung bình ∆BCN ⇒ OM = Từ (*) (**) ta có: OM = CN (**) AH hay AH = 2OM (Đpcm) Cách giải 2: (Hình 2) Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu -3- Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học Gọi N F điểm đối xứng với O qua BC AC Gọi E trung điểm AC Dễ thấy OF cắt AC E EM đường trung bình ∆ABC ⇒ EM // AB; EM = EM đường trung bình ∆ OFN ⇒ EM // NF; EM = AB (1) A NF (2) F E Từ (1) (2) suy ra: AB // NF; AB = NF Mặt khác OF // BH (Vì vng góc với BC) · Suy · ABH = NFO H B · · Tương tự ta có BAH = FNO Do ∆ OFN = ∆ HBA (g.c.g) ⇒ AH = NO Vậy AH = 2OM (vì ON = 2OM) (Đpcm) O • C M N (Hình 2) Cách giải 3: (Hình 3) A Gọi D N trung điểm AC CH OD ⊥ AC (t/c đường kính dây cung) D BH ⊥ AC (vì H trực tâm ∆ ABC) H O • ⇒ OD // BH (1) N B Mặt khác MN đường trung bình ∆ CBH M nên MN // BH (2) Từ (1) (2) suy ra: OD // MN (*) (Hình 3) Chứng minh tương tự ta có: DN // OM (**) Từ (*) (**) suy ra: tứ giác OMND hình bình hành Do OM = DN, mà DN đường trung bình ∆ CHA nên DN = Vậy OM = AH AH hay AH = 2OM (Đpcm) Cách giải 4: (Hình 4) Gọi N, P Q trung điểm AC, AH HB AB MN đường trung bình ∆ ABC nên MN //AB; MN = AB ⇒ MN // PQ; MN = PQ PQ đường trung bình ∆ ABH nên PQ // AB; PQ = ON // BH (vì vng góc với AC) Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu -4- Trường THCS Thanh Sơn C Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học · · ⇒ HQP = ONM · · Tương tư ta có: HPQ = OMN A Dễ dàng suy ∆ HPQ = ∆ OMN (g.c.g) Do HP = OM mà AH = 2HP Vậy AH = 2OM (Đpcm) Cách giải 5: (Hình 5) Gọi N trung điểm AC Do MN đường trung bình ∆ ABC nên MN //AB; MN = P H O Q B N • C M (Hình 4) AB (*) Xét ∆ OMN ∆ HAB có: ON // BH (vì vng góc với AC) A · · ⇒ HBA = ONM ⇒ ∆ OMN ~ ∆ HAB (g.g) ⇒ O H · · tương tự ta có: HAB = OMN B OM MN = = (suy từ (*)) HA AB N • C M Vậy AH = 2OM (Đpcm) (Hình 5) * Khai thác tốn: Trong cách giải trên, ta xét đến ∆ ABC nhọn Vậy trường hơp lại tam giác ABC nào?: a) Tam giác ABC vng: (Hình 6): Dễ thấy OM đường trung bình ∆ ABC ⇒ AH =2OM A A •O B BH M A •OH C (Hình 6) M B C H (Hình 7) • M O C (Hình 8) b) Tam giác ABC cân: Chứng minh cách Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu -5- Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học c) Tam giác ABC đều: (Hình 7): AH vừa đường cao, vừa đường trung tuyến, vừa đường phân giác, vừa đường trung trực tam giác ABC M nằm AH nên AH = 2OM d) Tam giác ABC tù: (Hình 8): H nằm ngồi đường trịn: Chứng minh tương tự tam giác nhọn Ví dụ 2: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn tâm O, với AB > AC Kẻ · đường cao AH, bán kính OA Chứng minh OAH = · ACB − · ABC A * Khai thác lời giải: Cách giải 1: (Hình 9) K Kẻ đường kính AOD, hạ CK ⊥ AD · · Ta có: OAH = KCB (1) (góc có cạnh tương ứng B vng góc) H C D · ABC = · ADC (2) (góc nội tiếp chắn » ) AC (Hình 9) Cộng vế (1) (2), ta được: A · · OAH + · ABC = KCB + · ADC · Mà · ADC = KCA (góc có cạnh tương ứng vng góc) I · · · ⇒ OAH + · ABC = KCB + KCA = · ACB M · Vậy: OAH = · ACB − · ABC (Đpcm) B Cách giải 2: (Hình 10) C H Kẻ OI ⊥ AC cắt AH M · Ta có: OMH = · ACB (góc có cạnh tương ứng vng góc) (Hình 10) · AOM = · ABC (cùng sđ » ) AC A · · Xét ∆OAM: OMH = · AOM + OAH (Góc ngồi tam giác) · · Hay · ACB = ABC + OAH K · Vậy: OAH = · ACB − · ABC (Đpcm) Cách giải 3: (Hình 11) B Kẻ OI ⊥ BC OK ⊥ AB Ta có: · µ OAH = O1 (1) (so le trong) Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu I H (Hình 11) -6- Trường THCS Thanh Sơn C Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học · ¶ ABC = O2 (2) (góc có cạnh tương ứng vng góc) Cộng vế (1) (2), ta c: A Ã ả OAH + Ã ABC = O1 + O2 ả ACB (Cựng bng s » ) Mà O1 + O2 = · AB · ⇒ OAH + · ABC = · ACB K B · Vậy OAH = · ACB − · ABC (Đpcm) H C D Cách giải 4: (Hình 12) (Hình 12) Kẻ đường kính AOD, hạ DK ⊥ BC x · · Ta có: OAH = ODK (1) (so le trong) A · ABC = · ADC (2) (góc nội tiếp chắn » ) AC y Cộng vế (1) (2), ta được: · · · OAH + · ABC = ODK + · ADC = KDC · Mà KDC = · ACB (góc có cạnh tương ứng vng góc) B · ⇒ OAH + · ABC = · ACB · Vậy OAH = · ACB − · ABC (Đpcm) C H (Hình 13) Cách giải 5: (Hình 13) A Tại A kẻ tiếp tuyến Ax đường thẳng Ay // BC · · Ta có: OAH = xAy (1) (góc có cạnh tương ứng vng góc) · · ABC = BAy (2) (so le trong) Cộng vế (1) (2), ta được: B · · · · OAH + · ABC = xAy + BAy = xAB · Mà xAB = · ACB (góc nội tiếp chắn » ) AB · ⇒ OAH + · ABC = · ACB H M C D (Hình 14) · Vậy OAH = · ACB − · ABC (Đpcm) Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu -7- Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học Cách giải 6: (Hình 14) Kẻ đường kính AOD, nối C với D, đường cao AH kéo dài cắt CD M Ta có: · AMC = · ACB (1) (góc có cạnh tương ứng vng góc) · ADM = · ABC (2) (góc nội tiếp chắn » ) AC Trừ vế (1) (2), ta được: · AMC − · ADM = · ACB − · ABC · Mà: · AMC − · ADM = OAH (góc ngồi tam giác AMD) A · Vậy OAH = · ACB − · ABC (Đpcm) Cách giải 7: (Hình 15) B H H D C (Hình 15) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn A cắt BC D · Ta có: · ABC = CAD (1) (Cùng chắn » ) AC · OAH = · ADC (2) (góc có cạnh tương ứng vng góc) · · Cộng vế (1) (2) ta được: · ABC + OAH = CAD + · ADC · Mà CAD + · ADC = · ACB (góc ngồi tam giác) · ⇒ · ABC + OAH = · ACB · Vậy: OAH = · ACB − · ABC (Đpcm) * Khai thác toán: Ta khai thác đến trường hợp mà tốn xảy ra: 1) Chứng minh tốn: Khi BC đường kính đường tròn Trong trường hợp xác định vị trí đỉnh A để AO AH chia góc BAC thành phần (Hình 16) 2) Với tốn cho dây AB lớn ? Tại sao? Trong đường trịn tốn có đặc biệt? (Hình 17) Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu -8- Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học 3) Chứng minh tốn dây AB AC phía tâm? (Hình 18) A A H A C B ● H ● C ● B CH B (Hình 16) (Hình 17) (Hình 18) Ví dụ 3: Cho đường trịn (O; R) có đường kính AE; cung AB cung AC có số đo 900 1200 Tia AE nằm hai tia AB, AC Tính độ dài BC theo R * Khai thác lời giải: Cách giải 1: (Hình 19) B Kẻ đường kính BOD, dễ thấy ∆ BCD vuông C 1 · DBC = sđ( ¼ − » ) = (1200 − 900 ) = 150 ADC AD 2 Trong tam giác vng BCD ta có: • O A E · BC = BD.cos DBC = BD.cos150 = 2R.cos150 ≈ ≈ 2R.0,9659 C D (Hình 19) Vậy BC ≈ 1,9318.R Chú ý: Trường hợp kẻ đường kính COD, cách giải tương tự Cách giải 2: (Hình 20) · · ∆ OBC cân O có OBC = OCB = 150 (1) · Gọi I điểm thuộc BO cho IAO = 150 B I A • O E Sđ » = 900 ⇒ OB đường trung trực AE AB · · ⇒ IA = IE ⇒ ∆ IAE cân I IAE = IEA = 150 (2) C D (Hình 20) Từ (1) (2) suy ∆ OBC : ∆ IAE (g.g) ⇒ BC OB OB AE R.2 R 2R ⇒ BC = ⇒ BC = = = (*) AE IA IA IA IA Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu -9- Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học · Mặt khác ∆ IOA vuông O IAO = 150 nên IA = B AO R = thay vào (*) ta được: · cos IAO cos15 2R2 BC = R = 2R.cos150 ≈ 2R.0,9659 cos150 A O • E Vậy BC ≈ 1,9318.R H Cách giải 3: (Hình 21) C D (Hình 21) Kẻ đường kính BOD Hạ CH ⊥ BD (H ∈ BD) · Dễ thấy ∆ BCD vuông C CBD = 150 · ⇒ DC = BD.sin CBD = 2R.sin150 · · DCH = DBC (Cặp góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) · Xét ∆ DHC vuông H ⇒ HC = DC.cos DCH = 2R.sin150.cos150 · Xét ∆ BHC vuông H CBH = 150 ⇒ BC = HC R.sin150.cos150 = · sin150 sin CBH Vậy BC = 2R.cos150 ≈ 1,9318.R Cách giải 4: (Hình 22) B Vẽ AH ⊥ BC (H ∈ BC) Sđ » = 900 ⇒ AB cạnh hình vng nội tiếp AB (O; R) ⇒ AB = R A ABH = sđ » = 600 ∆ AHB vuông H · AC R ⇒ BH = AB.cos · = ABH = R cos60 = R 2 R AH = AB.sin · ABH = R sin60 = R = 2 H • O E C M (Hình 22) B ACH = sđ » = 450 ⇒ ∆ AHC vuông cân H ∆ AHC vuông H · AB Do HA = HC = R 2 Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu A - 10 - • O E Trường THCS Thanh Sơn C N (Hình 23) Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số toán Hình học Vậy BC = BH + HC = R R R + = ( + ) ≈ 1,9318.R 2 Cách giải 5: (Hình 23) Tiếp tuyến E (O; R) cắt đường thẳng AB AC M N ⇒ MN ⊥ AE » · ∆ AEM vuông E MAE = sđ BE = 450 ⇒ ∆ AEM vuông cân E ⇒ ME = AE = 2R · » ∆ AEN vuông E NAE = sđ CE = 300 ⇒ EN = AE.tg300 = 2R = R 3 AE 2R AN = = = · cos300 cos EAN MN = ME + EN = 2R + 2R 3R = 2 3 R = R ( + 1) 3 Xét ∆ ABC ∆ ANM có µ chung; · ACB = · AMN = 450 ⇒ ∆ ABC : ∆ ANM A (g.g) AB.MN AB BC ⇒ ⇒ BC = = = AN AN NM R 2 R ( + 1) R = ( + 1) ≈ 1,9318.R 3R B Cách giải 6: (Hình 24) Kẻ đường kính BOD A O • E Từ C hạ CH ⊥ BD (H ∈ BD) · » ∆ OHC vuông H HOC = sđ DC = 300 R · ⇒ HC = OC.sin HOC = R.sin300 = Áp dụng định lý Pitago ta có: Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu - 11 - H D C (Hình 24) Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số toán Hình học R2 3R OH = OC – HC = R = 4 2 2 ⇒ OH = R BH = BO + OH = R + R R = (2 + 3) 2 Áp dụng đinh lý Pitago ∆ BHC vng H ta có: R 2 R R R (8 + 3) = 2.(3 + + 1) = BC2 = BH2 + HC2 = [ (2 + 3)]2 +  ÷ = 4 2 = R2 R 2.( + 1) Vậy BC = ( + 1) ≈ 1,9318.R * Khai thác toán: Trong cách giải ta xét trường hợp B C nằm khác phía so với đường kính AE Nếu B C nằm phía so với đường kính AE kết nào? Xét trường hợp B C nằm phía so với đường kính AE (Hình 25): · Nhận thấy ∆ BOC cân O BOC = 300 Hạ đường cao OH ∆ µ BOC ⇒ OH vừa đường trung tuyến, vừa đường phân giác O tức · · B H BH = CH BOH = COH = 150 C · ∆ BHO vuông H ⇒ BH = OB.sin BOH = = R.sin150 mà BC = 2BH ⇒ BC = 2R.sin150 ≈ 2R.0,2588 A • O E Vậy BC ≈ 0,5176.R (Hình 25) Ví dụ 4: Cho đường trịn (O; R) điểm E nằm ngồi đường trịn cho EO = 2R Đường thẳng EO cắt đường tròn A B Kẻ hai tiếp tuyến Ax By (O) tiếp tuyến thứ ba qua E tiếp xúc với đường tròn (O) M cắt Ax, By C D Tính độ dài CD theo R * Khai thác lời giải: Cách giải 1: (Hình 26) Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu - 12 - Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học EM tiếp tuyến (O) M ∈ O ⇒ EM ⊥ MO ⇒ ∆ MOE vuông M · Ta có, sin MEO = MO · = ⇒ MEO = 300 EO y Ax ⊥ AB; By ⊥ AB ⇒ Ax // By Từ C kẻ CH ⊥ By (H ∈ By) x ⇒ Tứ giác CABH hình chữ nhật M Do CH = AB = 2R C H · · Mặt khác DEB = DCH = 300 (Vì AB // CH) · ∆ DHC vuông H ⇒ cos DCH = CH CD E • O A CH 2R 2R = = · ⇒ CD = cos DCH cos30 Vậy CD = D B (Hình 26) R Cách giải 2: (Hình 27) · · µ Xét ∆ EOM ∆ EDB có E chung, EMO = EBD = 900 ⇒ ∆ EOM : ∆ EDB (g.g) ⇒ EM EO EO.EB R.3R R ⇒ ED = = = = (1) EB ED EM EM EM ∆ EOM vuông M MO = y D · EO ⇒ MEO = 300 · EM = EO.cos MEO = 2R.cos300 = R x Do ED = 2R M C Mặt khác ∆ EAC vuông A EA R R = = · ⇒ EC = cos MEO cos30 E A H • O B ⇒ EC = 3R Vậy CD = ED – EC = 2R - 3R R = 3 (Hình 27) Cách giải 3: (Hình 27) Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu - 13 - Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học 0 ∆ EAC vuông A · AEC = 30 ⇒ AC = AE.tg · AEC = AE.tg30 = R mà AC = CM (Vì hai tiếp tuyến (O) xuất phát từ C) · Tương tự ∆ EBD vuông B ⇒ BD = EB.tg BED = 3R.tg300 = R mà DM = DB (Vì tiếp tuyến (O) xuất phát từ D) CD = CM + MD = R 3R +R = 3 Cách giải 4: (Hình 27) ∆ EAC vuông A · AEC = 30 ⇒ EC = EA R 3R = = cos · AEC cos30 ∆ EBD vuông B ⇒ AC // BD Theo định lý Talet ta có: 3R CD AB ⇒ CD = AB.EC R = 3R = = EC EA EA R Cách giải 5: (Hình 28) · · · ∆ EOM vuông M MEO = 300 ⇒ MOE = 600 ⇒ MOB = 1200 Do · · MDB = 600 ⇒ MDO = 300 · ∆ MOD vuông M MDO = 300 ⇒ MD = · Tương tự ∆ MOC vuông M MOC = 300 · ⇒ MC = MO.tg MOC = R.tg30 = R 3 MO R = =R · tg MDO tg 30 x M R 3R Vậy CD = CM + MD = +R = 3 E Cách giải 6: (Hình 28) y D C H • O A B Theo cách ta có: ∆ MOC : ∆ MDO (g.g) ⇒ MC MO ⇒ MC.MD = MO2 = R2 = MO MD (Hình 28) · · ∆ ODE có ODE = OED = 300 ⇒ ME = MD = R (Theo cách 2) R2 R2 R = = Do đó: MC = MD R 3 Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu - 14 - Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học Vậy CD = CM + MD = R 3R +R 3= 3 Cách giải 7: (Hình 28) ∆ ODE cân O ⇒ OD = OE = 2R 3R Dễ dàng chứng minh ∆ CEO cân C ⇒ CE = CO mà CE = (Theo cách 2) ⇒ CO = 3R · · · · · Mặt khác ∆ COD vng O (Vì COD = COM + MOD = ( EOM + MOB ) = 900 ) 1 3R 3R 2 R = S ∆COD = OC.OD = 2 3 3R 1 mà S ∆COD = OM CD = R.CD ⇒ CD = 2.S∆COD = 2 R R Vậy CD = 3R Cách giải 8: (Hình 28) y D · · · · ∆ COD : ∆ CAE (g.g) (Vì COD = CAE = 900 ; CEA = CDO = 300 ) ⇒ CD OD OD.CE ⇒ CD = = CE AE AE Mà CE = x 3R (Theo cách 2) C OD = 2R (Theo cách 7) 3R R Do đó: CD = = 3R R N M E A • O B Cách giải 9: (Hình 29) (Hình 29) Kẻ AN //CD (N ∈ By) Dễ thấy AN = CD · · BED = BAN = 300 (Đồng vị) Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu - 15 - Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học AB 2R R 3R = = = 3R ⇒ AN = cos BAN cos300 · ∆ ABN vuông B Vậy CD = 3 2) Định hướng cách giải cho toán: Dưới số tốn giải nhiều cách, không giải cụ thể mà gợi ý cách để học sinh tự tìm lời giải cho cách đó: Bài tốn 1: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn đường kính BC cắt AB D, cắt AC E BE cắt CD H Chứng minh bốn điểm A, D, H, E thuộc đường tròn * Gợi ý cách giải: - Cách giải 1: (Hình 30) Tổng hai góc đối tứ giác ADHE 1800: · ADH = · AEH = 900 ⇒ · ADH + · AEH = 1800 - Cách giải 2: (Hình 30) Tổng hai góc đối tứ giác ADHE 1800: · · · · DAE = EHC (góc có cạnh tương ứng vng góc) ⇒ DAE + DHE = 1800 A · · - Cách giải 3: (Hình 30) Chứng minh DAH = HED - Cách giải 4: (Hình 30) Gọi I trung điểm E AH D Chứng minh IA = ID = IH = IE H •O • B C (Hình 30) Bài tốn 2: Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Vẽ cát tuyến qua A cắt (O), (O’) B, C Chứng minh tiếp y tuyến B C song song với * Gợi ý cách giải: C - Cách giải 1: (Hình 31) Chứng minh OB // O’C ⇒ Bx ⊥ OB; Cy ⊥ OB O• ⇒ Bx // Cy A • O’ - Cách giải 2: (Hình 31) Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu B - 16 - x Trường THCS Thanh Sơn (Hình 31) Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học · Chứng minh xBA = ·yCA ⇒ Bx // Cy - Cách giải 3: (Hình 32) Vẽ tiếp tuyến chung (O) (O’) A, cắt Bx D cắt Cy E Chứng minh ·ABD = · ACE y E C O• A • O’ B D (Hình 32) x Bài tốn 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Đường cao BD đường cao CE cắt H Chứng minh OA ⊥ DE x * Gợi ý cách giải: A Gọi I giao điểm AO DE - Cách giải 1: (Hình 33) Chứng minh ∆ AIE vuông I · Thật ∆ OAB cân O ⇒ BAO = 1800 − · AOB · · ⇒ BAO = 900 − AOB = 900 − · ACB (Vì · AOB = · ACB ) I E H D •O C B (Hình 33) · Hay BAO + · ACB = 900 (*) · · · Tứ giác BEDC nội tiếp ⇒ BED + BCD = 1800 mà BED + · AED = 1800 · ⇒ · AED = · ACB kết hợp với (*) ta có: BAO + · AED = 900 ⇒ ∆ AIE vuông I ⇒ OA ⊥ DE - Cách giải 2: (Hình 34) Kẻ tiếp tuyến Ax (O) Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu - 17 - Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học Chứng minh Ax // DE x A A D I E H M I N •O C B E D •O H C B (Hình 34) (Hình 35) - Cách giải 3: (Hình 35) Vẽ BD cắt (O) tai M (M ≠ B); CE cắt (O) N (N ≠ C) Chứng minh MN ⊥ AO MN // ED 3) Những tốn giải nhiều cách: Dưới số tốn giải nhiều cách khác nhau, trình giảng dạy, hướng dẫn cho học sinh cách giải yêu cầu em tìm cách giải tương tự, sáng tạo cách giải khác: Bài 1: Cho đường trịn tâm O bán kính R dây cung AB với góc AOB = 1200 Hai tiếp tuyến A B đường tròn cắt C Trên đoạn · BC, CA, AB lấy điểm I, J, K (K ≠ A; K ≠ B) cho IKJ = 600 Chứng minh AJ.BI ≤ AB Hướng dẫn: Chứng minh ∆AKJ : ∆BIK ⇒ AK AJ = ⇒ AJ.BI = AK BK Từ áp dụng BI BK tính chất bất đẳng thức để suy điều phải chứng minh Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC AI cắt (O) D (D ≠ A) Chứng minh tam giác DBI cân D Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu - 18 - Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học Hướng dẫn: Chú ý I giao điểm đường phân giác Từ sử dụng phương · · pháp cộng góc để suy DBI = DIB DI = DB Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) đường tròn tiếp xúc với cạnh AB, AC B, C Từ điểm M cung BC nằm tam giác vẽ đường vng góc với BC, AB, AC D, E, F Chứng minh MD2 = ME.MF Hướng dẫn: Chứng minh ∆ DEM : ∆ FDM ⇒ MD ME = ⇒ MD = ME.MF MF MD ME MB = ∆ CFM : ∆ BDM MD MC Hoặc chứng minh ∆ BEM : ∆ CDM ⇒ ⇒ MD MB = Từ suy điều phải chứng minh MF MC Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M điểm cung BC Xác định vị trí điểm M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn Hướng dẫn: Gọi I giao điểm AM BC Chứng minh ∆ MBI : ∆ MAC ∆ ABM : ∆ CIM ⇒ MA = MB + MC Vậy MA + MB + MC = 2.MA ≤ 2.2R » M điểm BC II- Kết đạt được: Năm học qua, cho áp dụng sáng kiến giảng dạy mơn Tốn, với mục đích rèn luyện lực tư giải tốn Hình học cho học sinh Phần lớn em học sinh thực có hứng thú học Tốn, tự độc lập tìm tịi nhiều cách giải khác mà không cần gợi ý giáo viên Kết thu khả quan, cụ thể: Lớ p Số H S Khảo sát đầu năm học Giỏi S % Khá S % TB S % Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu Khảo sát cuối năm học Yếu S % - 19 - Giỏi S Khá % S % TB S % Yếu S % Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học L L L L L L L L 9A 27 18, 18 66, 14, 14, 8 29, 14 51, 3, 9B 27 11, 17 63, 25, 7,4 18, 18 66, 7, Đặc biệt, áp dụng sáng kiến việc bồi dưỡng học sinh giỏi, tin mang lại hiệu cao mong đợi III- Các biện pháp để tổ chức thực hiện: 1) Đối với nhà trường: Cần tạo điều kiện sở vật chất, trang thiết bị, đồ dùng dạy học, sách giáo khoa, tài liệu tham khảo phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Phân công lao động, phân cơng chun mơn hợp lý, có sách ưu tiên giáo viên bồi dưỡng học sinh khá, giỏi 2) Đối với giáo viên học sinh: Để áp dụng phương pháp đạt hiệu cao, học sinh hiểu tự sáng tạo cách giải tốn, thì: - Giáo viên phải tìm sưu tầm tốn giải nhiều cách để đưa cho học sinh tự tìm lời giải - Sau đó, giáo viên hướng dẫn, định hướng cách giải để học sinh tự tìm lời giải khác cho cách - Sau giáo viên định hướng cho học sinh khai thác lời giải cho toán xong, giáo viên nên đặt câu hỏi có liên quan để học sinh tự tổng hợp kiến thức trả lời, như: 1) Sau cách chứng minh kiến thức sử dụng? 2) Có cách chứng minh tương tự Khái quát đường lối chung cách ấy? 3) Hãy tìm xem tốn cịn cách chứng minh khác khơng? Nếu cịn, chứng minh theo cách riêng vừa tìm Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu - 20 - Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học - Giáo viên tổng hợp cách giải đưa cách giải dễ hiểu nhất, hay Sau giáo viên u cầu học sinh tìm lời giải cho toán tương tự C- KẾT LUẬN Giảng dạy áp dụng sáng kiến mang lại hiệu cao việc nâng cao chất lượng đại trà bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn Nhiều học sinh chủ động tìm tịi, định hướng sáng tạo nhiều cách giải tốn khơng cần hướng dẫn giáo viên Từ đó, em phát triển lực tư độc lập, khả sáng tạo, tính tự giác học tập, phương pháp giải toán nhanh, kỹ phát tốt Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu - 21 - Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học Để làm vậy, giáo viên cần nghiên cứu, tìm tịi, tham khảo nhiều tài liệu để tìm toán hay, với nhiều cách giải khác Đối với học sinh trường THCS Thanh Sơn, việc áp dụng phương pháp làm thay đổi nhận thức học Tốn học sinh Phần lớn em thích say mê với Tốn học hơn, có nhiều học sinh giỏi Toán nhiều em thi vào cấp đạt điểm cao mơn Tốn Trên vài kinh nghiệm nhỏ áp dụng cho việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi mơn Tốn Nhưng dù phương pháp mà cá nhân học hỏi, đúc kết kinh nghiệm tham khảo số tài liệu, chắn chưa hồn chỉnh nhiều chỗ khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý chân thành q thầy, đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu - 22 - Trường THCS Thanh Sơn ... Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY TRONG KHAI THÁC LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC I- Các giải pháp thực hiện:.. .Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học biết cách khai thác lời giải tốn hình học việc làm đặc biệt quan trọng mà thân ln đặt lên... Tính độ dài CD theo R * Khai thác lời giải: Cách giải 1: (Hình 26) Người thực hiện: Lê Sỹ Hiệu - 12 - Trường THCS Thanh Sơn Rèn luyện khả tư khai thác lời giải số tốn Hình học EM tiếp tuyến (O)