SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT Nam Đàn 1 ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA LẦN 3 - NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1(2,0 điểm). Cho hàm số 13 23 +−= xxy (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C). b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 023 23 =−− mxx có 3 nghiệm phân biệt. Câu 2( 1,0 điểm ). a) Giải phương trình: ( ) ( ) 121 logloglog 432 −=− xxx b) Giải phương trình: 0sincos2sinsin2 2 =−+− xxxx Câu 3(1,0 điểm ). a) 21 , zz là hai nghiệm của phương trình 0532 2 =+− zz trên tập số phức. Tính 2 2 2 1 zz + . b) Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để một toa có 3 hành khách, một toa có 1 hành khách và hai toa không có hành khách. Câu 4(1,0 điểm ). Tính tích phân: dx xx x xI e ∫ + += 3 1 2 1ln ln 2 Câu 5(1,0 điểm ). Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình: −= = += 1 2 1 : z ty tx d và mặt phẳng (P): 0122 =−−+ zyx . a) Viết phương trình đường thẳng đi qua ( ) 1;2;1M , song song với (P) và vuông góc với đường thẳng d. b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mp(P). Câu 6( 1,0 điểm ). Cho hình chóp .S ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB AC a= = , I là trung điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ) ABC là trung điểm H của BC , mặt phẳng ( ) SAB tạo với đáy 1 góc bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp .S ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( ) SAB theo a . Câu 7( 1,0 điểm ). Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A, D là trung điểm cạnh AC. K ( ) 0;1 , E 4; 3 1 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam giác ABD. P ( ) 6;1− , Q ( ) 2;9− lần lượt thuộc đường thẳng AC, BD. Tìm tọa độ điểm A, B, C biết D có hoành độ dương. Câu 8( 1,0 điểm ). Giải hệ phương trình: ( ) ++=+−−− ++++=+−+ 126613 13233 3 2 3 2 yxxx yyxxxx Câu 9(1,0 điểm ). Cho x, ,y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 3 2 3 P x xy xyz x y z = − + + + + ……………Chưa……Hết………………… Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Câu Nội dung Điểm 1 a.(1,0 điểm) TXĐ: D R = xxy 63 2' −= , 00 ' =⇔= xy hoặc 2=x 0.25 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) 0;∞− và ( ) +∞;2 , nghịch biến trên khoảng ( ) 2;0 Hàm số đạt cực đại tại 0=x , 1= CĐ y , đạt cực tiểu tại 2=x , 3−= CĐ y −∞= −∞→x ylim , +∞= +∞→x ylim 0.25 * Bảng biến thiên 0,25 Đồ thị 0.25 b.(1,0 điểm) ( ) *1213023 2323 +=+−⇔=−− mxxmxx 0.25 Từ (*) suy ra số nghiệm của pt đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số 1213 23 +=+−= myvàxxy 0.25 Vẽ hai đồ thị hàm số 1213 23 +=+−= myvàxxy cùng trên cùng một hệ trục tọa độ Dựa vào đồ thị 2 hàm số ⇒ điều kiện để pt có 3 nghiệm phân biệt là 021123 <<−⇔<+<− mm 0.25 Vậy giá trị cần tìm là 02 <<− m . 0,25 2. (1,0 điểm) a,(0,5điểm) Đk: 1 > x ( ) ( ) ( ) ( ) 011121 logloglogloglog 32432 =−−⇔−=− xxxxx 0.25 ( ) 01 log 2 =−⇔ x hoặc 01 log 3 =−x 2=⇔ x hoặc 3=x 0. 25 Đối chiếu điều kiện suy ra nghiệm của pt là 2 = x và 3 = x b,(0,5điểm) x –∞ 0 2 +∞ y' + 0 - 0 + y + ∞ –∞ 1 -3 ( )( ) 01sin2cossin0sincos2sinsin2 2 =−−⇔=−+− xxxxxxx 0cossin =−⇔ xx hoặc 01sin2 =−x 1tan =⇔ x hoặc 2 1 sin =x π π kx +=⇔ 4 hoặc += += π π π π 2 6 5 2 6 kx kx . 0.25 0.25 4 (1,0 điểm) ∫ ∫ + += 3 3 1 1 1ln ln 2 e e dx xx x xdxI Tính 12 6 1 2 1 1 3 3 −=== ∫ exxdxI e e 0.25 Tính ∫ + = 3 1 2 1ln ln e dx xx x I Đặt = −= ⇒+= tdtdx x tx xt 2 1 1ln 1ln 2 . Đổi cận =⇒= =⇒= 2 11 3 tex tx 0.25 Khi đó ( ) 3 8 3 1 2122 1 2 1 3 2 1 2 2 1 2 2 = −=−= − = ∫∫ ttdtttdt t t I 0.25 Vậy 3 5 6 += eI . 0.25 3 (1,0 điểm) a,(0,5điểm). Ta có: 4 313 031 2,1 i z ± =⇒<−=∆ 0.25 Khi đó: 5 2 2 2 1 =+ zz . 0.25 b,(0,5điểm). Mỗi hành khách có 4 cách chọn 1 toa để lên tàu nên số cách 4 hành khách chọn toa để lên tàu là : 2564 4 = (cách). ( ) 256=Ω⇒ n . 0.25 Gọi biến cố A” 4 hành khách từ sân ga lên tàu sao cho một toa có ba hành khách, 1 toa có một hành khách và 2 toa không có hành khách” . + Chọn 3 hành khách từ 4 hành khách và xếp 3 hành khách vừa chọn lên 1 trong 4 toa tàu có 164. 3 4 = C (cách). + Xếp hành khách còn lại lên 1 trong 3 toa tàu còn lại có 3(cách) ( ) 483.16 ==⇒ An . Vậy ( ) ( ) ( ) 16 3 256 48 == Ω = n An AP . 0.25 5. (1,0 điểm) a,(0,5điểm). Vì ( ) [ ] ( ) 3;2;4, // −==⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥∆ ∆ ∆ ∆ ∆ dP d P unu uu nu d P 0,25 Vậy PT đường thẳng đi qua ( ) 1;2;1M là += −= += ∆ tz ty tx 31 22 41 : 0,25 b,(0,5điểm). Vì tâm mặt cầu là dI ∈ nên ( ) 1;2;1 −+ ttI Vì mặt cầu có tâm I , bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mp(P) nên 0.25 d(I,(P))=3 ( ) ( ) −= = ⇔ −=+ =+ ⇔=+⇔= ++ −−−++ ⇔ 3 2 3 934 934 9343 414 112212 t t t t t tt + ( ) ( ) ( ) 2 22 2 313 2 5 :1;3; 2 5 2 3 =++−+ −⇒ −⇒= zyxSIt + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 3162:1;6;23 =+++++⇒−−−⇒−= zyxSIt Vậy ( ) ( ) ( ) 2 22 2 313 2 5 : =++−+ − zyxS hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 3162: =+++++ zyxS . 0.25 6. (1,0 điểm) j C B A S H K M Gọi K là trung điểm của AB HK AB ⇒ ⊥ (1) Vì ( ) SH ABC⊥ nên SH AB⊥ (2) Từ (1) và (2) suy ra AB SK ⇒ ⊥ Do đó góc giữa ( ) SAB với đáy bằng góc giữa SK và HK và bằng 0 60=∠SKH Ta có 2 3 tan a SKHHKSH =∠= 0.25 Vậy 3 . 1 1 1 3 . . . . 3 3 2 12 S ABC ABC a V S SH AB AC SH= = = 0.25 Vì / /IH SB nên ( ) / /IH SAB . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d I SAB d H SAB= Từ H kẻ HM SK ⊥ tại M ( ) HM SAB⇒ ⊥ ⇒ ( ) ( ) ,d H SAB HM= 0.25 Ta có 2 2 2 2 1 1 1 16 3HM HK SH a = + = 3 4 a HM⇒ = . Vậy ( ) ( ) 3 , 4 a d I SAB = 0,25 7. (1,0 điểm) G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh AB. KDEGCDEG MD ME MC MG ⊥⇒⇒== // 3 1 . Mà ABC là tam giác cân nên ⇒⊥ MDKG G là trực tâm tam giác EKD nên BDKEGDKE ⊥⇒⊥ . 0,25 Suy ra BD : −− +−= +− −−=> + ⇒=++ 6 21 ;1, 6 15 ;1.0, 6 21 ;0216 t tDK t tDPt t tDyx 0,25 Vì DKDP ⊥ nên ( )( ) ( ) 4;3 37 117 3 0 6 21 6 15 11 D t t tt tt ⇒ − = = ⇔= −− +− ++−−− AC đi qua D và P 0112: =−+⇒ yxAC AK qua K và vuông góc với DE nên ( ) 5;101: AxKA ⇒=− . Kết hợp D là trung điểm AC ( ) 3;4C⇒ 0,25 BC qua C và vuông góc với AK nên ( ) 3;303: −⇒=− ByBC Vậy ( ) ( ) ( ) 3;4,3;3,5;1 CBA − . 0,25 8. (1,0 điểm). ( ) ( ) ( ) ++=+−−− ++++=+−+ 2126613 113233 3 2 3 2 yxxx yyxxxx Đk: ( ) ( ) * 3 331 33 066 01 03 033 2 2 −≥ −≤≤ +≥ ⇒ ≥+− ≥− ≥+ ≥+− y x x xx x y xxx Đặt 1312 3 3 +=+⇒−≥+= ayya . Khi đó , phương trình ( ) 1 trở thành ( ) ( ) ( ) 31111 3 3 aaxx ++=−++− . Xét hàm số ( ) 1,1 3 −≥++= ttttf . ( ) ( ) tft t t tf ⇒∀>+ + = ,01 12 3 3 2 ' là hàm đồng biến trên R. Khi đó ( ) ( ) ( ) axafxf =−⇔=−⇔ 113 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ⇔ = = ≥ = ⇔ =+− ≥ = ⇔ =− =− ⇔−=−⇔ −−+−=+− ≥−− ⇔ −−=+−⇔=+−−−⇔ 4 5 5 1 4 5 5 0 1 025254 0 1 215 01 15123 3161966 **013 136666132 2 22 22 x x x x x x x xx x x xx x xxx xxxxxx xx xxxxxxxx Đối chiếu với (**) và ( ) * thấy 5 = x thỏa mãn 624 =⇒=⇒ ya . Vậy hệ có nghiệm là ( ) ( ) 62;5; =yx 0,5 9. (1,0 điểm) . Ta có 3 3 1 1 2 .8 2 .8 .32 4 8 x xy xyz x x y x y z+ + = + + 0,5 ≤ ( ) ( ) 2 8 2 8 32 32 4 8 24 24 3 x y x y z x x y z x y z + + + + + = + + = + + ( ) 2 ; 0 3 2 2 3 t x y z t P f t t t = + + ≥ ⇒ ≥ = − ( ) ( ) 3 2 3 1 ; 0 1f t f t t t t ′ ′ = − + = ⇔ = 0,25 Lập bảng biến thiên của hàm f(t) ta được min 3 2 P = − tại t=1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 16 21 1 4 2 8 21 2 32 1 21 x x y z x y y x z z = + + = = ⇒ = = = 0,25 . NGHỆ AN TRƯỜNG THPT Nam Đàn 1 ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA LẦN 3 - NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1(2,0 điểm). Cho hàm số 13 23 +−= xxy . +∞= +∞→x ylim 0.25 * Bảng biến thi n 0,25 Đồ thị 0.25 b.(1,0 điểm) ( ) *1213023 2323 +=+−⇔=−− mxxmxx 0.25 Từ (*) suy ra số nghiệm của pt đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số 1213 23 +=+−= myvàxxy 0.25 Vẽ. 1(2,0 điểm). Cho hàm số 13 23 +−= xxy (C) a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (C). b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 023 23 =−− mxx có 3 nghiệm phân biệt. Câu