KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: Toán (đề 33) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi được soạn theo cấu trúc mới nhất 2015!(Kèm đáp án chi tiết tại)! https://www.facebook.com/profile.php?id=100005223169289 Câu I (2 điểm) Cho hàm số: y = 2x – 1 x – 1 có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OA = 9OB. Câu II (1 điểm) Giải phương trình: 1 + sinx + cosx 1 + sinx = 2 – tanx. Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = 1 2 x + 2lnx (x + 2) 2 dx. Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB = AC = a 2, hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC. Câu V (1 điểm) ) Tìm m để phương trình có nghiệm thực. 2 2 2 2 .( 4). 2 8 2 14 0 4 x x x m x x x m x Câu VI (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): 9x 2 + 25y 2 = 225. Gọi F 1 , F 2 lần lượt là hai tiêu điểm của (E) (x F 1 < x F 2 ). Gọi A, B là hai điểm thuộc (E). Xác định tọa độ của A và B để chu vi tứ giác F 1 F 2 BA nhỏ nhất biết rằng tổng độ dài hai đường chéo bằng 6. Câu VII (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): x – 1 2 = y + 1 3 = z – 1 2 , mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 0. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng ( ) qua M(1; 2; 1), song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d). Câu VIII (1 điểm) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 3 _ z = (2 + i 3)|z| Câu IX (1 điểm) Giải hệ phương trình: : x y 2 + 6 + y x 2 + 3 = 7xy x x 2 + 3 + y y 2 + 6 = 2 + x 2 + y 2 (x; y R). CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG ! Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì! - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Hướng dẫn Câu I: Câu Đáp án 1 ( 2,0 điểm) Cho hàm số: y = 2x – 1 x – 1 có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. T ập xác định: D = R \ {1} Sự biến thiên: y' = -1 (x - 1) 2 < 0 x D hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định và hàm số không có cực trị Gi ới hạn v à ti ệm cận: 1 1 lim ; lim x x y y tiệm cận đứng: x = 1 lim lim 2 x x y y tiệm cận ngang y = 2 B ảng biến thi ên: Đ ồ thị: (học sinh tự vẽ - lưu ý (C) c ắt Ox tại (1/2; 0), cắt Oy tại (0 ; 1) b) Vi ết ph ương tr ình ti ếp tuyến d c ủa ( C ), bi ết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox , Oy l ần l ư ợt tại A , B sao cho OA = 9OB. Ta có hệ số góc tiếp tuyến được tính bởi k = OB OA = 1 9 Gọi M(x o ; y o ) là tiếp điểm của tiếp tuyến (d) và (C). (PTTT (d): y = k(x - x o ) + y o ) Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình f ' (x o ) = k hay -1 (x o - 1) 2 = 1 9 (vô nghiệm) -1 (x o - 1) 2 = - 1 9 (x o - 1) 2 = 9 x o = 4 y o = 7 3 x o = -2 y o = 5 3 Với k = - 1 9 và tiếp điểm là (4 ; 7 3 ) ta có phương trình tiếp tuyến y = - 1 9 x + 25 9 Với k = - 1 9 và tiếp điểm là (-2 ; 5 3 ) ta có phương trình tiếp tuyến y = - 1 9 x + 13 9 Câu II: Giải phương trình: 1 + sin x + cos x 1 + sinx = 2 – tanx. ■ Điều kiện: cosx ≠ 0 sinx ≠ -1 Phương trình đã cho tương đương: 1 + sinx + cosx 1 + sinx = 2 - sinx cosx = 2cosx - sinx cosx cosx(1 + sinx + cosx) = (2cosx - sinx)(1 + sinx) cosx(1 + sinx) + cos 2 x = (2cosx - sinx)(1 + sinx) cosx(1 + sinx) + (1 - sinx)(1 + sinx) = (2cosx - sinx)(1 + sinx) (1 + sinx)(cosx + 1 - sinx - 2cosx + sinx) = 0 (1 + sinx)(1 - cosx) = 0 cosx = 1 sinx = - 1(loại) x = k2 (k Z). Vậy phương trình có một họ nghiệm. Câu III: Tính tích phân: I = 1 2 x + 2lnx (x + 2) 2 dx. Đặt u = x + 2lnx dv = dx (x + 2) 2 du = x + 2 x dx v = -1 x + 2 Vậy I = uv 2 1 - 1 2 vdu = - x + 2lnx x + 2 2 1 + 1 2 dx x = -1 6 + ln2 2 + lnx 2 1 = ln2 2 - 1 6 Vậy I = ln2 2 - 1 6 Câu IV Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB = AC = a 2, hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC. Gọi H là trung điểm BC AH = a A'H = AA' 2 - AH 2 = a 3 V ABC.A'B'C' = HA'.S ABC = 1 2 HA. AB.AC = a 3 3 (đvtt) Ta có AH BC, A'H BC (AA'H) BC Gọi K là hình chiếu của H trên AA'. Khi đó, HK AA', HK BC d(AA', BC) = HK Mà AA'H H 1 HK 2 = 1 HA 2 + 1 HA' 2 = 4 3a 2 HK = a 3 2 Vậy d(AA', BC) = a 3 2 (đvđd) Câu V Điều kiện: 2 2 0 4 4 2 4 8 2 0 x x x x x x 0,25 Phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 2 | 4 | 2. 8 2 14 0 4 x x x m x x x m x 2 2 2 ( 2 8) 8 2 2 8 2 6 0 x x m x x x x m . (1) Đặt t = 2 8 2 x x ; Khi x - 2; 4) thì t 0; 3 . (2) Phương trình trở thành : - t 2 – mt + 2t – 6 – m = 0 2 2 6 1 t t m t . 0,25 Xét hàm số 2 2 6 ( ) ; 0;3 1 t t f t t t ; f’(t) = 2 2 2 8 ( 1) t t t ; f’(t) = 0 t = - 4 v t = 2. Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn 0 ; 3 . t -∞ -4 -1 0 2 3 +∞ f’(t) - 0 + + + 0 - f(t) - 2 -6 9 4 0,25 Phương trình đx cho có nghiệm x - 2; 4) Phương trình (2) có nghiệm t 0; 3 Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f(t) , t 0; 3 - 6 ≤ m ≤ - 2 0,25 Câu VI Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): 9x 2 + 25y 2 = 225. Gọi F 1 , F 2 lần lượt là hai tiêu điểm của (E) (x F 1 < x F 2 ). Gọi A, B là hai điểm thuộc (E). Xác định tọa độ của A và B để chu vi tứ giác F 1 F 2 BA nhỏ nhất biết rằng tổng độ dài hai đường chéo bằng 6. (E): x 2 25 + y 2 9 = 1 a 2 = 25 b 2 = 9 c 2 = a 2 - b 2 = 16 a = 5 b = 3 c = 4 (a, b, c > 0) Theo giả thiết thì BF 2 + AF 1 = 6 (1) Mặt khác BF 2 + BF 1 = AF 1 + AF 2 = 10 BF 2 + BF 1 + AF 2 + AF 1 = 20 BF 1 + AF 2 = 14 (2) V ậy chu vi tứ giác F 1 F 2 AB là P = F 1 F 2 + AF 2 + BF 1 + AB = 2c + 14 + AB = 22 + AB Do đó P min AB min = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2 Mặt khác A (E) x A 2 25 + y A 2 9 = 1 (2) B (E) x B 2 25 + y B 2 9 = 1 (3) Lấy (2) trừ (3) ta được: 1 25 (x A 2 - x B 2 ) + 1 9 (y A 2 - y B 2 ) = 0 (4) Từ (1) a - ex B + a + ex A = 6 x B - x A = 5 (5) nên AB = 5 2 + (y B - y A ) 2 5 Yêu cầu bài toán AB min = 5 y B = y A Do đó (4) (x A - x B )(x A + x B ) = 0 x A + x B = 0 (6) Giải (5) và (6) ta được x A = 5 2 x B = -5 2 y A = y B = 3 3 2 Kết luận A( 5 2 ; 3 3 2 ), B( -5 2 ; 3 3 2 ) là các điểm cần tìm. Câu VII Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): x – 1 2 = y + 1 3 = z – 1 2 , mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 0. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng ( ) qua M(1; 2; 1), song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d). Ta có (d) qua A(1; -1; 1) có vectơ chỉ phương u d = (2; 3; 2) mặt phẳng (P) có VT pháp tuyến n P = (1; 1; -2) Gọi u là VTCP của đường . // (P) u n P và (d) u u d Nên ta chọn u = n P ; u d = (8; -6; 1) Vậy PT chính tắc của : x - 1 8 = y + 6 -6 = z - 1 1 Câu VIII Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 3 _ z = (2 + i 3)|z| (1) Đặt z = x + yi (x, y R) ta được (1) 4x - 2yi = 2 x 2 + y 2 + i 3x 2 + 3y 2 4x = 2 x 2 + y 2 -2y = 3x 2 + 3y 2 x 0 y 0 y 2 = 3x 2 y = - x 3 x 0 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z cần tìm là phần đường thẳng y = - x 3 với x 0. Câu IX 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x y 2 + 6 + y x 2 + 3 = 7xy x x 2 + 3 + y y 2 + 6 = 2 + x 2 + y 2 (x; y R). ■ Với x = 0, y = 0 hệ phương trình không thỏa mãn. ■ Với x, y ≠ 0, biến đổi hệ phương trình trên thành: x 2 + 3 x + y 2 + 6 y = 7 x( x 2 + 3 - x) + y( y 2 + 6 - y) = 2 x 2 + 3 x + y 2 + 6 y = 7 3 x 2 + 3 x + 1 + 6 y 2 + 6 y + 1 = 2 . ■ Đặt u = x 2 + 3 x , v = y 2 + 6 y thì hệ phương trình trở thành: u + v = 7 3 u + 1 + 6 v + 1 = 2 Giải hệ trên ta được u = 2 v = 5 hay u = 7 2 v = 7 2 ■ Với u = 2 v = 5 x 2 + 3 x = 2 y 2 + 6 y = 5 x = 1 y = 1 2 ■ Với u = 7 2 v = 7 2 x 2 + 3 x = 7 2 y 2 + 6 y = 7 2 x = 2 15 y = 2 2 15 Vậy nghiệm (x; y) của hệ đã cho là: (1; 1 2 ) hay ( 2 15 ; 2 2 15 ) . KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: Toán (đề 33) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi được soạn theo cấu trúc mới nhất. coi thi không giải thích gì thêm! Hướng dẫn Câu I: Câu Đáp án 1 ( 2,0 điểm) Cho hàm số: y = 2x – 1 x – 1 có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số. https://www.facebook.com/profile.php?id=100005223169289 Câu I (2 điểm) Cho hàm số: y = 2x – 1 x – 1 có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến d của