Bài 1: a) Chứng minh rằng biểu thức: A= Không phụ thuộc vào x và y. b)Chứng minh rằng: Lời giải: a) Điều kiện để A có nghĩa: . Với và . Ta có: (Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm) Và như vậy: A=0, A không phụ thuộc vào x,y. ĐPCM. Với và . Thay . Ta đuợc và ta có: Như kết quả ở trường hợp ban đầu, ta được A=0, không phụ thuộc vào x, y. ĐPCM. b) Ta có Vì là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và chia hết cho 6. Hay nói cách khác chia hết cho 6. Từ đó dễ dàng suy ra chia hết cho 6. ĐPCM. Bài 2:a) Chứng minh bất đẳng thức: Với b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Lời giải: Ta có: Như thế: Bây giờ, không mất tính tổng quát, ta giả sử: Ta cố định giá trị hai biến a, c và tìm giá trị của b: sao cho A đạt giá trị lớn nhất. Vì a, c cố định, biểu thức A đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi đạt giá trị lớn nhất. Ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Như thế: Hay là : (Vì ) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a; b; c) là một hoán vị của b) Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với: Điều này hiển nhiên đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Trở lại bài toán, ta có: Ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi Bài 3:Giải phương trình căn thức: Lời giải: Ta có: Vậy phương trình có nghiêm là hoặc Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ xOy cho điểm và . Xét điểm M, N thay đổi trên trục tung sao cho AM vuông góc với BN. a)Chứng minh rằng AN vuông góc với BM và OM.ON không đổi. Từ đó suy ra đường tròn đường kính MN luôn đi qua hai điểm cố định. Tìm tọa độ hai điểm cố định đó. b)Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Xác định vị trí của M, N sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất. Lời giải: a) Xét tam giác AMN có NB và AO là hai đường cao, giao nhau tại B. Do đó MB cũng là đường cao của tam giác. Từ đó suy ra AN vuông góc với BM. ĐPCM. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của BN với AM, AM với BN Dễ dàng nhận thấy: (góc, góc) Suy ra: (góc, góc) Suy ra: (góc, góc) Suy ra: Từ đó, ta có: Hay nói cách khác OM.ON không đổi. Gọi I, J là giao điểm của đường tròn đường kính MN với trục Ox. Xét đường tròn đường kính MN có MN là đường kính, IJ là dây cung, MN vuông góc với IJ nên MN đi qua trung điểm của IJ. Hay nói cách khác OI=OJ. Ta có: (góc, góc) Suy ra: Hay nói cách khác: Suy ra: I( , J( I, J là các điểm cố định mà đường tròn đường kính MN đi qua. ĐPCM. b) Gọi K là giao điểm còn lại của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN với trục Ox Ta có: (góc, góc) Suy ra K(1;0) là điểm đối xứng của B qua O,là điểm cố định. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua A, K nên tâm G của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nằm trên đường trung trực (d) ( ) của AK. Ta chứng minh quỹ tích của G chính là đường thẳng (d). Thật vậy: Gọi G’ là một điểm trên (d) , kẻ đường tròn (G’, G’A).Đường tròn này cắt trục tung tại hai điểm M’ và N’.Gọi P’, Q’ lần lượt là giao điểm của M’B với N’A, M’A với N’B. Ta cần phải chứng minh M’A vuông góc với BN’, hay là M’Q’ vuông góc với BN’.Thật vậy: Vì K là điểm đối xứng của B qua O nên Suy ra: N’Q’ vuông góc AM’. Suy ra ĐPCM. Vậy quỹ tích tâm G của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN là đường thẳng (d) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .Khi đó ) . góc với IJ nên MN đi qua trung điểm của IJ. Hay nói cách khác OI=OJ. Ta có: (góc, góc) Suy ra: Hay nói cách khác: Suy ra: I( , J( I, J là các điểm cố định mà đường tròn đường kính MN đi qua thấy: (góc, góc) Suy ra: (góc, góc) Suy ra: (góc, góc) Suy ra: Từ đó, ta có: Hay nói cách khác OM.ON không đổi. Gọi I, J là giao điểm của đường tròn đường kính MN với trục Ox. Xét đường. ĐPCM. b) Ta có Vì là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và chia hết cho 6. Hay nói cách khác chia hết cho 6. Từ đó dễ dàng suy ra chia hết cho 6. ĐPCM. Bài 2:a) Chứng minh bất đẳng