PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1) *Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc nhất một ẩn (§5). A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Các dạng và cách giải Dạng 1: c = 0 khi đó ( ) ( ) 2 x 0 1 ax bx 0 x ax+b 0 b x a = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = − Dạng 2: b = 0 khi đó ( ) 2 2 c 1 ax c 0 x a − ⇔ + = ⇔ = -Nếu c 0 a − ≥ thì c x a − = ± . -Nếu c 0 a − < thì phương trình vô nghiệm. Dạng 3: Tổng quát CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN 2 b 4ac∆ = − 2 ' b' ac∆ = − 0∆ > : phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 b b x ; x 2a 2a − + ∆ − − ∆ = = ' 0∆ > : phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 b' ' b' ' x ; x a a − + ∆ − − ∆ = = 0∆ = : phương trình có nghiệm kép 1 2 b x x 2a − = = ' 0∆ = : phương trình có nghiệm kép 1 2 b' x x a − = = 0∆ < : phương trình vô nghiệm ' 0∆ < : phương trình vô nghiệm Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích đã nói ở §5. 3.Hệ thức Viet và ứng dụng -Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x 1 , x 2 thì: 1 2 1 2 b S x x a c P x x a = + = − = = -Nếu có hai số u và v sao cho u v S uv P + = = ( ) 2 S 4P≥ thì u, v là hai nghiệm của phương trình x 2 – Sx + P = 0. -Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x 1 = 1; x 2 = c a . -Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x 1 = -1; x 2 = c a − . 4.Điều kiện có nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0) -(1) có 2 nghiệm 0∆ ≥ ; có 2 nghiệm phân biệt 0∆ > . -(1) có 2 nghiệm cùng dấu 0 P 0 ∆ ≥ > . -(1) có 2 nghiệm dương 0 P 0 S 0 ∆ ≥ > > -(1) có 2 nghiệm âm 0 P 0 S 0 ∆ ≥ > < -(1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0. 5.Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó. 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3 1 2 1 2 1 1 a) x x ; b) x x m; c) n x x d) x x h; e) x x t; α + β = γ + = + = + ≥ + = Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương trình. B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Giải các phương trình sau 2 2 2 1 a) 3x 2x 0 b) x 8 0 c) x 3x 10 0 2 + = − + = + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 d) 2x 2 1 x 1 2 2 0 e) x 4 x 3 0 f ) x 1 x 2 x 3 x 4 3+ − + − = − + = + + + + = Giải ( ) 2 x 0 a) 3x 2x 0 x 3x 2 0 2 x 3 = + = ⇔ + = ⇔ = − Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt … 2 2 1 b) x 8 0 x 16 x 4 2 − + = ⇔ = ⇔ = ± Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt … ( ) 2 2 1 2 c) a 1; b 3; c 10 b 4ac 3 4.1. 10 49 0 b 3 7 b 3 7 x 2; x 5 2a 2.1 2a 2.1 = = = − ∆ = − = − − = > − + ∆ − + − − ∆ − − = = = = = = − Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt … d) a 2; b 2 1; c 1 2 2= = − = − Có a b c 2 2 1 1 2 2 0+ + = + − + − = Theo hệ thức Viet, có: 1 2 c 1 2 2 2 4 x 1; x a 2 2 − − = = = = e) Đặt t x 0= ≥ , ta có pt mới: t 2 – 4t + 3 = 0. Có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0. Vậy t 1 = 1; t 2 = 3. Suy ra: x 1 = 1; x 2 = 9. f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 1 x 2 x 3 x 4 3 x 5x 4 x 5x 6 3+ + + + = ⇔ + + + + = Đặt x 2 + 5x + 4 = t, ta có: t .(t + 2) = 3 ( ) ( ) 2 t 1 t 2t 3 0 t 1 t 3 0 t 3 = ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ = − Suy ra: 2 2 1 2 2 2 x 5x 4 1 x 5x 3 0 5 13 5 13 x ; x 2 2 x 5x 4 3 x 5x 7 0 + + = + + = − + − − ⇔ ⇔ = = + + = − + + = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt … VD2.Cho phương trình x 2 + 3x – m = 0 (1) a) Giải phương trình với m = 4. b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1). c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm còn lại. d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn một trong các điều kiện sau: 1. 2x 1 + 3x 2 = 13. 2. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 3 đơn vị. 3. x 1 2 + x 2 2 = 11. e) Chứng tỏ rằng 1 2 1 1 ; x x là nghiệm của phương trình mx 2 – 3x – 1 = 0. Trong đó x 1 , x 2 là hai nghiệm của (1). f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì về hai nghiệm đó. Giải a) Với m = 4 ta có: x 2 + 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4) Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 Theo hệ thức Viet, có: x 1 = 1; x 2 = c 4 a = − b) có: 2 b 4ac 9 4m∆ = − = + 1 2 9 0 9 4m 0 m 4 b 3 9 4m b 3 9 4m x ; x 2a 2 2a 2 ∆ > ⇔ + > ⇔ > − − + ∆ − + + − − ∆ − − + = = = = 1 2 9 0 9 4m 0 m 4 b 3 x x 2a 2 ∆ = ⇔ + = ⇔ = − − = = = − 9 0 9 4m 0 m 4 ∆ < ⇔ + < ⇔ < − phương trình vô nghiệm. c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, do đó: (-2) 2 + 3(-2) – m = 0 ⇔ m = -2 -Tìm nghiệm thứ hai cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x 2 + 3x + 2 = 0 có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x 1 = -1; x 2 = c 2 a − = − Vậy nghiệm còn lại là x = - 1. Cách 2: Ta có x 1 + x 2 = b a − ( ) 2 1 b x x 3 2 1 a ⇒ = − − = − − − = − Cách 3: Ta có x 1 x 2 = c a 2 1 c m x : x 1 a 2 − ⇒ = = = − − d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x 1 + 3x 2 = 13 1 2 1 2 1 2 0 b x x a c x x a 2x 3x 13 ∆ ≥ + = − ⇔ = + = 1 2 1 2 1 2 9 m 4 x x 3 x x m 2x 3x 13 ≥ − + = − ⇔ = − + = giải hệ tìm được x 1 = -22; x 2 = 19; m = 418. -Tương tự ta tìm được (x 1 = -2; x 2 = -3; m = -6); (m=1) e) Ta có 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 x x 3 x x x x m 1 1 1 1 . x x x .x m + + = = = = − mà 2 2 2 3 1 9 4 9 4m 4 0 m m m m m + − − = + = ≥ ÷ ÷ Vậy 1 2 1 1 ; x x là hai nghiệm của phương trình 2 2 3 1 x x 0 mx 3m 1 0 m m − − = ⇔ − − = f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu 9 0 m 9 m 0 4 P 0 4 m 0 ∆ ≥ ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ < > − > Hai nghiệm này luôn âm. Vì S = - 3. C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Giải các phương trình sau ( ) 2 2 2 2 a) x 5x 0 b) 2x 3 0 c) x 11x 30 0 d) x 1 2 x 2 0− = + = − + = − + + = ( ) 2 4 2 e) x 7x 12 0 f ) x 2 5 x 2 6 0− + = − − − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 x 4 g) 0 h) x 1 x 2 x 5 x 2 20 x 4 x x 2 x x 2 − − + = + + + − = − − − + 2 2 2 2 1 1 i) 2x 8x 3 2x 4x 5 12 k) x 4,5 x 7 0 x x − − − − = + − + + = ÷ 2.Cho phương trình 2 x 2 3x 1 0− + = , có hai nghiệm x 1 , x 2 . Không giải phương trình. Hãy tính giá trị các biểu thức sau: 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3x 5x x 3x A x x ; B x x ; C 4x x 4x x + + = + = + = + 3.Cho phương trình x 2 + mx + m+3 = 0. a) Giải phương trình với m = -2. b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình. c) Tính x 1 2 + x 2 2 ; x 1 3 + x 2 3 theo m. d) Xác định giá trị của m để x 1 2 + x 2 2 = 10. e) Tìm m để 2x 1 + 3x 2 = 5. f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm còn lại. g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương. 4.Cho phương trình bậc hai: mx 2 – (5m-2)x + 6m – 5 = 0. a) Giải phương trình với m = 2. b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau. d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau. e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm còn lại. f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm. 5.Cho phương trình x 2 – mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m. a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có) cùng giá trị tương ứng của m. b) Đặt A = x 1 2 + x 2 2 – 6x 1 x 2 . +) Chứng minh A = m 2 – 8m + 8. +) Tìm m để A = 8. +) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m. 6*.Cho phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 với abc ≠ 0. a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 . b) Lập phương trình nhận hai số ( ) ( ) 1 2 x ; x+ α + α làm nghiệm. c) Lập phương trình nhận hai số 1 2 x ; xα α làm nghiệm. d) Lập phương trình nhận hai số 1 2 1 1 ; x x làm nghiệm. e) Lập phương trình nhận hai số 1 2 2 1 x x ; x x làm nghiệm. . c x a − = ± . -Nếu c 0 a − < thì phương trình vô nghiệm. Dạng 3: Tổng quát CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN 2 b 4ac∆ = − 2 ' b' ac∆ = − 0∆ > : phương trình. dấu 9 0 m 9 m 0 4 P 0 4 m 0 ∆ ≥ ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ < > − > Hai nghiệm này luôn âm. Vì S = - 3. C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Giải các phương trình sau ( ) 2 2 2 2 a) x 5x 0 b). − − − − = + − + + = ÷ 2.Cho phương trình 2 x 2 3x 1 0− + = , có hai nghiệm x 1 , x 2 . Không giải phương trình. Hãy tính giá trị các biểu thức sau: 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 1 2 1 2 3 3 1 2